위상공간

위상공간

한 집합 $X(\neq\emptyset)$의 한 부분집합족 $\mathcal{T}\subset2^{X}$가 다음의 조건을 만족하면 $\mathcal{T}$를 $X$상의 한 위상(topology)이라고 한다.

(1) $X,\,\emptyset\in\mathcal{T}$

(2) $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\subset\mathcal{T}$이면, $\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}\in\mathcal{T}$이다.

(3) $U_{1},\,U_{2},...,U_{n}\in\mathcal{T}$이면,$\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{U_{i}}\in\mathcal{T}$이다.

순서쌍 $(X,\,\mathcal{T})$를 위상공간(topological space)이라 하고 $\mathcal{T}$가 알려진 경우, 간단하게 $X$만으로 나타낸다.

위상공간의 예:

(1) 집합 $X(\neq\emptyset)$에 대하여 $\mathcal{I}=\{X,\,\emptyset\},\,\mathcal{D}=2^{X}$는 $X$상의 위상이고 이 위상들을 각각 밀착위상(비이산위상, indiscrete topology), 이산위상(discrete topology)이라고 하고 $(X,\,\mathcal{I}),\,(X,\,\mathcal{D})$를 각각 밀착위상공간(indiscrete topological space), 이산위상공간(discrete topological space)이라고 한다.

(2) $X$가 무한집합일 때, $\mathcal{C}=\{U\,|\,U=\emptyset\,또는\,U^{c}는\,유한집합\}$는 $X$상의 위상이고 이 위상 $\mathcal{C}$를 여유한위상(cofinite topology)이라고 한다.

(3) $(X,\,\mathcal{T})$가 위상공간이고 $Y\subset X$일 때, $\mathcal{T}_{Y}=\{U\cap Y\,|\,U\in\mathcal{T}\}$는 $Y$상의 위상이고 이 위상 $\mathcal{T}_{Y}$를 $Y$상의 $\mathcal{T}$의 상대위상(relative topology)이라고 한다.

(4) $\mathcal{U}=\{G\subset\mathbb{R}\,|\,모든\,x\in G\,에\,대하여,\,\epsilon>0이\,존재해서\,(x-\epsilon,\,x+\epsilon)\subset G\}$는 실수 $\mathbb{R}$상의 위상이고 이 위상 $\mathcal{U}$를 보통위상(usual topology)이라고 한다.

위상 $\mathcal{T}$를 정의할 때 쓰는 조건은 실수 상의 보통위상 $\mathcal{U}$의 기본성질을 추상화하여 공리로 만든 것이다. $\mathcal{T}$의 원소들을 열린집합(open set)이라 하고 열린집합의 여집합을 닫힌집합(closet set)이라고 한다. 드 모르간 법칙으로부터 다음이 성립한다: $\mathcal{T}'=\{F\,|\,F^{c}\in\mathcal{T}\}$라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(1) $\emptyset,\,X\in\mathcal{T}'$

(2) $\{F_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\subset\mathcal{T}'$이면, $\displaystyle\bigcap_{\alpha\in A}{F_{\alpha}}\in\mathcal{T}'$

(3) $F_{1},\,F_{2},\,...,\,F_{n}\in\mathcal{T}'$이면, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{F_{i}}\in\mathcal{T}'$이다.

$X,\,\mathcal{T}$를 위상공간, $A\subset X$라 하자. $A$의 내부(interior) $A^{o}$, 폐포(closure) $\overline{A}$, 경계(boundary) $\partial A$를 다음과 같이 정의한다. $$A^{\circ}=\bigcup_{G\in\mathcal{T}}{\{G\,|\,G\subset A\}},\,\overline{A}=\bigcap_{F^{c}\in \mathcal{T}}{\{F\,|\,A\subset F\}},\,\partial A=\overline{A}-A^{\circ}$$

$A$의 내부 $A^{\circ}$는 $A$에 포함되는 최대의 열린집합이고 $A$의 폐포 $\overline{A}$는 $A$를 포함하는 최소의 닫힌집합이다. 즉 $A^{\circ}\subset A\subset\overline{A}$. $x\in A^{\circ}$인 $x$를 $A$의 내점(interior point)이라 한다.

1.1 $A,\,B\in X$라 하자. (1) $\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cup B}$ (2) $A^{\circ}\cap B^{\circ}=(A\cap B)^{\circ}$ 증명 (1): 폐포의 정의에의해 $A\subset\overline{A},\,B\subset\overline{B}$이므로 $A\cup B\subset\overline{A}\cup\overline{B}$이고 다시 폐포의 정의에 의해 $\overline{A\cup B}\subset\overline{A}\cup\overline{B}$이다. $\overline{A}\subset\overline{A\cup B},\,\overline{B}\subset\overline{A\cup B}$이므로 $\overline{A}\cup\overline{B}\subset\overline{A\cup B}$이다. 따라서 $\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cup B}$이다. (2): 내부의 정의에 의해 $(A\cap B)^{\circ}\subset A^{\circ},\,(A\cap B)^{\circ}\subset B^{\circ}$이므로 $(A\cap B)^{\circ}\subset A^{\circ}\cap B^{\circ}$이다. 또한 $A^{\circ}\subset A,\,B^{\circ}\subset B$이므로 $A^{\circ}\cap B^{\circ}\subset A\cap B$이고 다시 내부의 정의에 의해 $A^{\circ}\cap B^{\circ}\subset(A\cap B)^{\circ}$이다. 따라서 $A^{\circ}\cap B^{\circ}=(A\cap B)^{\circ}$이다. (QED)

$(X,\,\mathcal{T})$를 위상공간, $A\subset X$라 하자. 그러면 한 점 $x\in X$에 대하여 열린집합 $G$가 존재해서 $x\in G\subset A$이면, $A$를 $x$의 근방(neighborhood)이라고 한다. $A$가 $x$의 근방이고 열린집합이면 $A$를 $x$의 열린근방(open neighborhood)이라고 한다. $x\in X$의 모든 근방 $U$에 대하여 $A\cap(U-\{x\})\neq\emptyset$이면, $x$는 $A$의 집적점(accumulation point)이라 하고 $A$의 집적점 전체의 집합을 도집합(derived set)이라 하고 $A'$로 나타낸다. $x\in A^{\circ}$일 때, $x\in A^{\circ}$일 필요충분조건은 열린집합 $G$가 존재해서 $x\in G\subset A$이고 또 이는 $x$가 $A$의 근방이라는 것과 같다.

$X=\{a,\,b,\,c,\,d\},\,\mathcal{T}=\{\emptyset,\,X,\,\{a,\,b\},\,\{b,\,c\},\,\{a,\,b,\,c\},\,\{b\}\}$일 때, $$c\in\{b,\,c\}\subset\{b,\,c,\,d\},\,\{b,\,c\}\in\mathcal{T}$$ 이므로 $\{b,\,c,\,d\}$는 $c$의 근방이나 개근방은 아니고 $\{b,\,c\}$는 $c$의 개근방이다. 또한 $A=\{a,\,b,\,c\}$일 때, $a,\,b,\,c$의 근방을 $U_{a},\,U_{b},\,U_{c}$로 나타내면 $A\cap(U_{a}-\{a\})\neq\emptyset$, $A\cap(U_{b}-\{b\})\neq\emptyset$, $A\cap(U_{d}-\{d\})\neq\emptyset$이므로 $A'=\{a,\,c,\,d\}$이다.

이산위상공간 $X,\,\mathcal{D}$에서 모든 $A\subset X$에 대해 $A'=\emptyset$이고 밀착위상공간$(X,\,\mathcal{I})$에서 모든 $A\subset X$에 대해 $A'=X$이다. 이산위상공간에서 $x\in X$일 때 $\{x\}\in\mathcal{D}$이고 밀착위상공간에서는 $\mathcal{I}=\{\emptyset,\,X\}$이기 때문이다.

$A\subset X$에 대하여 $\overline{A}=X$이면 $A$는 $X$에서 조밀(dense)하다고 하고 $(\overline{A})^{\circ}=\emptyset$이면 $A$는 희박하다(nowhere dense)고 한다.

1.2 (1) $x\in\overline{A}$일 필요충분조건은 $x$의 모든 근방 $U$에 대하여 $U\cap A\neq\emptyset$이다. (2) $A,\,B\subset X$에 대하여 $A'\cup B'=(A\cup B)'$이고 $\overline{A}=A\cup A'$ (3) $G$가 열린집합이고 $D$가 조밀하면 $\overline{G}=\overline{G\cap D}$이다. 증명 (1): ($\Rightarrow$): $x\notin A$라 하자. 그러면 $x\in(\overline{A})^{c}$이고 $(\overline{A})^{c}$는 $x$의 한 개근방이다. 따라서 $(\overline{A})^{c}\cap A\subset(\overline{A})^{c}\cap\overline{A}=\emptyset$이다. ($\Leftarrow$): $x$의 한 근방 $U$에 대하여 $U\cap A=\emptyset$이라 하자. 그러면 열린집합 $G$가 존재해서 $A\subset U^{c}\subset G^{c}$이다. $G^{c}$는 닫힌집합이므로 폐포의 정의에 의해 $A\subset\overline{A}\subset G^{c}$이고 따라서 $x\notin\overline{A}$이다. (2): $A\subset A\cup B,\,B\subset A\cup B$이므로 $A'\subset(A\cup B)',\,B'\subset(A\cup B)'$이고 따라서 $A'\cup B'\subset(A\cup B)'$이다. 이제 $(A\cup B)'\subset A'\cup B'$가 성립함을 보이자. 이 명제의 대우는 $(A'\cup B')^{c}=(A')^{c}\cap(B')^{c}\subset((A\cup B)')^{c}$이므로 $x\notin A'\cup B'$이라 하자. 그러면 $x\notin A',\,x\notin B$이고 집적점의 정의에 의해 $x$의 근방 $U$가 존재해서 $$A\cap(U-\{x\})=\emptyset,\,B\cap(U-\{x\})=\emptyset$$ 이고 $(A\cup B)\cap(U-\{x\})=\emptyset$이므로 $x\notin(A\cup B)'$이다. 그러므로 $(A\cup B)'\subset A'\cup B'$이고 따라서 $A'\cup B'=(A\cup B)'$이다. 이제 $\overline{A}=A\cup A'$를 증명하자. $x\notin\overline{A}$이면, $A^{c}$는 $x$의 한 근방이고 따라서 $x\notin A\cup A'$이고 $A\cup A'\subset\overline{A}$이다. $x\notin A\cup A'$이면 열린집합 $U$가 존재해서 $x\in U$이고 $A\cap U=\emptyset$이다. 그러면 $\overline{A}\subset U^{c}$이고 $x\notin\overline{A}$이므로 따라서 $\overline{A}\subset A\cup A'$이다. 그러므로 $\overline{A}=A\cup A'$이다. (3): $G\cap D\subset G$이므로 $\overline{G\cap D}\subset\overline{G}$이다. $x\in\overline{G}$라 하자. 그러면 $x$의 모든 근방 $U_{x}$에 대하여 $G\cap U_{x}\neq\emptyset$이다. $D$는 $X$의 조밀한 부분집합이고 $G\cap U_{x}$는 공집합이 아닌 열린집합이므로 $$\emptyset\neq(U_{x}\cap G)\cap D=U_{x}\cap(G\cap D)$$ 이고 (1)에 의해 $x\in\overline{G\cap D}$이고 $\overline{G}\subset\overline{G\cap D}$이다. 그러므로 $\overline{G}=\overline{G\cap D}$. (QED)

참고자료:
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications 2nd edition, Folland, Wiley
Topology, Munkres, Pearson
위상수학 기초론, 장영식, 경문사