거리공간 (2)

거리공간 (2)

$X,\,d$를 거리공간이라 하자. $A\subset X$가 유계(bounded)라는 것은 $M>0$이 존재해서 모든 $x,\,y\in A$에 대하여 $d(x,\,y)\leq M$인 것이다.

집합 $A$의 지름(diameter)은 $$\text{diam}{A}=\sup_{x,\,y\in A}{d(x,\,y)}$$ 로 정의된다. 또한 한 점 $x\in X$와 집합 $A$ 사이의 거리, 두 집합 $A,\,B\subset X$의 거리는 $$d(x,\,A)=\inf_{a\in A}{d(x,\,d)},\,d(A,\,B)=\inf_{x,\,A,\,y\in B}{d(x,\,y)}$$ 로 정의된다. 공집합 $\emptyset$에 대해서는 다음과 같이 정의한다. $$d(x,\,\emptyset)=\infty,\,d(A,\,\emptyset)=\infty,\,\text{diam}\emptyset=0$$

일반적으로 거리공간은 가산국소기저(countable local base)를 갖는다.

5.2 $x$를 거리공간 $(X,\,d)$위의 한 점이라 하자. 그러면 $$\mathcal{V}_{x}=\left\lbrace B\left(x,\,\frac{1}{n}\right)\,|\,n\in\mathbb{N}\right\rbrace$$ 은 $x$에서의 한 가산국소기저이다. 증명: $\mathcal{V}_{x}$의 모든 원소들은 열린집합이고 $x$를 포함한다. $G$를 $x$를 포함하는 열린집합이라 하자. 그러면 $\delta>0$가 존재해서 $x\in B(x,\,\delta)\subset G$이고 아르키메디안 성질로부터 모든 $\delta>0$에 대하여 $n_{0}\in\mathbb{N}$이 존재해서 $\frac{1}{n_{0}}<\delta$이다. 따라서 $$x\in B\left(x,\,\frac{1}{n_{0}}\right)\subset B(x,\,\delta)\subset G$$ 이다. (QED)

5.3 거리공간 $(X,\,d)$의 한 부분집합 $A$에 대하여 $$\overline{A}=\{x\in X\,|\,d(x,\,A)=0\}$$ 이다. 증명: $x\in\overline{A}$라 하자. $\overline{A}=A\cup A'$이므로 5.2와 $A'$의 정의에 의해 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $B\left(x,\,\frac{1}{n}\right)\cap A\neq\emptyset$이다. 따라서 $a_{n}\in B\left(x,\,\frac{1}{n}\right)\cap A$라 하면 $0\leq d(x,\,A)\leq d(x,\,a_{n})<\frac{1}{n}$이고 $d(x,\,A)=0$이므로 $\overline{A}\subset\{x\in X\,|\,d(x,\,A)=0\}$이다. $d(x,\,A)=0$인 $x$를 고르자. $\displaystyle d(x,\,A)=\inf_{a\in A}{d(x,\,a)}=0$이므로 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_{n}\in A$가 존재해서 $d(x,\,a_{n})<\frac{1}{n}$이다. 따라서 $x\in\overline{A}$이고 $\{x\in X\,|\,d(x,\,A)=0\}\subset\overline{A}$이므로 $\overline{A}=\{x\in X\,|\,d(x,\,A)=0\}$이다. (QED)

5.4 거리공간 $(X,\,d)$의 유한부분집합은 닫힌집합이다. 증명: 5.3에 의해 $\overline{\{x\}}=\{y\in X\,|\,d(y,\,\{x\})=d(y,\,x)=0\}=\{x\}$이므로 $\{x\}$는 닫힌집합이다. 수학적귀납법으로부터 거리공간 $(X,\,d)$의 유한부분집합은 닫힌집합이다. (QED)

5.5 $A,\,B$를 거리공간 $(X,\,d)$의 닫힌 부분집합이라 하자. 그러면 열린집합 $G$와 $H$가 존재해서 $A\subset G$, $B\subset H$, $G\cap H=\emptyset$이다. 증명: $A,\,B$중 하나가 공집합이면, 예를들어 $A=\emptyset$이면, $G=\emptyset,\,H=X$라고 한다. $A,\,B\neq\emptyset$이라 하자. $A\cap B=\emptyset$이고 $B$는 닫힌집합이므로 모든 $a\in A$에 대하여, $a\notin B$이고 $d(a,\,B)=\epsilon_{a}>0$이다. 비슷한 방법으로 $b\in B$이면 $b\notin A$이고 $d(b,\,A)=\epsilon_{b}>0$이다. $$G=\bigcup_{a\in A}{\mathrm{B}\left(a,\,\frac{\epsilon_{a}}{3}\right)},\,H=\bigcup_{b\in B}{\mathrm{B}\left(b,\,\frac{\epsilon_{b}}{3}\right)}$$ 라 하자($\mathrm{B}(x,\epsilon)$은 $\epsilon-$공이다.). 거리위상의 정의에 의해 $G$와 $H$는 $(X,\,d)$에서 열린집합이고 분명히 $A\subset G$, $B\subset H$이다. $G\cap H=\emptyset$임을 보이자. $G\cap H\neq\emptyset$라고 하자. 그러면 $x\in G\cap H$가 존재하고 $$x\in G\cap H=\bigcup_{a\in A,\,b\in B}{\left(\mathrm{B}\left(a,\,\frac{\epsilon_{a}}{3}\right)\cap\mathrm{B}\left(b,\,\frac{\epsilon_{b}}{3}\right)\right)}$$ 이므로 $a\in A$와 $b\in B$가 존재해서 $x\in\mathrm{B}\left(a,\,\frac{\epsilon_{a}}{3}\right)$이고 $x\in\mathrm{B}\left(b,\,\frac{\epsilon_{b}}{3}\right)$이다. $d(a,\,b)=\epsilon$이라 하자. 그러면 $d(a,\,B)=\epsilon_{a}\leq\epsilon$, $d(b,\,A)=\epsilon_{b}\leq\epsilon$이고 $d(a,\,x)<\frac{1}{3}\epsilon_{a}$, $d(b,\,x)<\frac{1}{3}\epsilon_{b}$이므로 $$\epsilon=d(a,\,b)\leq d(a,\,x)+d(b,\,x)<\frac{1}{3}\epsilon_{a}+\frac{1}{3}\epsilon_{b}\leq\frac{1}{3}\epsilon+\frac{1}{3}\epsilon=\frac{2}{3}\epsilon$$ 이고 이는 모순이다. 따라서 $G\cap H=\emptyset$이다. (QED)

참고자료
Topology Second Edition, Munkres, Pearson
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Folland, Wiley
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
위상수학의 기초, 이승온,이석종, 교우사