거리공간 (2)
\(X,\,d\)를 거리공간이라 하자. \(A\subset X\)가 유계(bounded)라는 것은 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(x,\,y\in A\)에 대하여 \(d(x,\,y)\leq M\)인 것이다.
집합 \(A\)의 지름(diameter)은$$\text{diam}{A}=\sup_{x,\,y\in A}{d(x,\,y)}$$로 정의된다. 또한 한 점 \(x\in X\)와 집합 \(A\) 사이의 거리, 두 집합 \(A,\,B\subset X\)의 거리는$$d(x,\,A)=\inf_{a\in A}{d(x,\,d)},\,d(A,\,B)=\inf_{x,\,A,\,y\in B}{d(x,\,y)}$$로 정의된다. 공집합 \(\emptyset\)에 대해서는 다음과 같이 정의한다.$$d(x,\,\emptyset)=\infty,\,d(A,\,\emptyset)=\infty,\,\text{diam}\emptyset=0$$
일반적으로 거리공간은 가산국소기저(countable local base)를 갖는다.
5.2 \(x\)를 거리공간 \((X,\,d)\)위의 한 점이라 하자. 그러면$$\mathcal{V}_{x}=\left\lbrace B\left(x,\,\frac{1}{n}\right)\,|\,n\in\mathbb{N}\right\rbrace$$은 \(x\)에서의 한 가산국소기저이다. 증명: \(\mathcal{V}_{x}\)의 모든 원소들은 열린집합이고 \(x\)를 포함한다. \(G\)를 \(x\)를 포함하는 열린집합이라 하자. 그러면 \(\delta>0\)가 존재해서 \(x\in B(x,\,\delta)\subset G\)이고 아르키메디안 성질로부터 모든 \(\delta>0\)에 대하여 \(n_{0}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(\frac{1}{n_{0}}<\delta\)이다. 따라서$$x\in B\left(x,\,\frac{1}{n_{0}}\right)\subset B(x,\,\delta)\subset G$$이다. (QED) |
5.3 거리공간 \((X,\,d)\)의 한 부분집합 \(A\)에 대하여$$\overline{A}=\{x\in X\,|\,d(x,\,A)=0\}$$이다. 증명: \(x\in\overline{A}\)라 하자. \(\overline{A}=A\cup A'\)이므로 5.2와 \(A'\)의 정의에 의해 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(B\left(x,\,\frac{1}{n}\right)\cap A\neq\emptyset\)이다. 따라서 \(a_{n}\in B\left(x,\,\frac{1}{n}\right)\cap A\)라 하면 \(0\leq d(x,\,A)\leq d(x,\,a_{n})<\frac{1}{n}\)이고 \(d(x,\,A)=0\)이므로 \(\overline{A}\subset\{x\in X\,|\,d(x,\,A)=0\}\)이다. \(d(x,\,A)=0\)인 \(x\)를 고르자. \(\displaystyle d(x,\,A)=\inf_{a\in A}{d(x,\,a)}=0\)이므로 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(a_{n}\in A\)가 존재해서 \(d(x,\,a_{n})<\frac{1}{n}\)이다. 따라서 \(x\in\overline{A}\)이고 \(\{x\in X\,|\,d(x,\,A)=0\}\subset\overline{A}\)이므로 \(\overline{A}=\{x\in X\,|\,d(x,\,A)=0\}\)이다. (QED) |
5.4 거리공간 \((X,\,d)\)의 유한부분집합은 닫힌집합이다. 증명: 5.3에 의해 \(\overline{\{x\}}=\{y\in X\,|\,d(y,\,\{x\})=d(y,\,x)=0\}=\{x\}\)이므로 \(\{x\}\)는 닫힌집합이다. 수학적귀납법으로부터 거리공간 \((X,\,d)\)의 유한부분집합은 닫힌집합이다. (QED) |
5.5 \(A,\,B\)를 거리공간 \((X,\,d)\)의 닫힌 부분집합이라 하자. 그러면 열린집합 \(G\)와 \(H\)가 존재해서 \(A\subset G\), \(B\subset H\), \(G\cap H=\emptyset\)이다. 증명: \(A,\,B\)중 하나가 공집합이면, 예를들어 \(A=\emptyset\)이면, \(G=\emptyset,\,H=X\)라고 한다. \(A,\,B\neq\emptyset\)이라 하자. \(A\cap B=\emptyset\)이고 \(B\)는 닫힌집합이므로 모든 \(a\in A\)에 대하여, \(a\notin B\)이고 \(d(a,\,B)=\epsilon_{a}>0\)이다. 비슷한 방법으로 \(b\in B\)이면 \(b\notin A\)이고 \(d(b,\,A)=\epsilon_{b}>0\)이다.$$G=\bigcup_{a\in A}{\mathrm{B}\left(a,\,\frac{\epsilon_{a}}{3}\right)},\,H=\bigcup_{b\in B}{\mathrm{B}\left(b,\,\frac{\epsilon_{b}}{3}\right)}$$라 하자(\(\mathrm{B}(x,\epsilon)\)은 \(\epsilon-\)공이다.). 거리위상의 정의에 의해 \(G\)와 \(H\)는 \((X,\,d)\)에서 열린집합이고 분명히 \(A\subset G\), \(B\subset H\)이다. \(G\cap H=\emptyset\)임을 보이자. \(G\cap H\neq\emptyset\)라고 하자. 그러면 \(x\in G\cap H\)가 존재하고$$x\in G\cap H=\bigcup_{a\in A,\,b\in B}{\left(\mathrm{B}\left(a,\,\frac{\epsilon_{a}}{3}\right)\cap\mathrm{B}\left(b,\,\frac{\epsilon_{b}}{3}\right)\right)}$$이므로 \(a\in A\)와 \(b\in B\)가 존재해서 \(x\in\mathrm{B}\left(a,\,\frac{\epsilon_{a}}{3}\right)\)이고 \(x\in\mathrm{B}\left(b,\,\frac{\epsilon_{b}}{3}\right)\)이다. \(d(a,\,b)=\epsilon\)이라 하자. 그러면 \(d(a,\,B)=\epsilon_{a}\leq\epsilon\), \(d(b,\,A)=\epsilon_{b}\leq\epsilon\)이고 \(d(a,\,x)<\frac{1}{3}\epsilon_{a}\), \(d(b,\,x)<\frac{1}{3}\epsilon_{b}\)이므로$$\epsilon=d(a,\,b)\leq d(a,\,x)+d(b,\,x)<\frac{1}{3}\epsilon_{a}+\frac{1}{3}\epsilon_{b}\leq\frac{1}{3}\epsilon+\frac{1}{3}\epsilon=\frac{2}{3}\epsilon$$이고 이는 모순이다. 따라서 \(G\cap H=\emptyset\)이다. (QED) |
참고자료
Topology Second Edition, Munkres, Pearson
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Folland, Wiley
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
위상수학의 기초, 이승온,이석종, 교우사
