거리공간 (3: 노름공간)
\(V\)를 \(\mathbb{R}\)상의 벡터공간이라 하자. 임의의 \(v\in V\)에 대하여 실수 \(||v||\)로 대응하는 함수 \(||\cdot||:\,V\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 임의의 \(v,\,w\in V\)와 \(r\in\mathbb{R}\)에 대하여
(1) \(||v||\geq0\), \(||v||=0\)일 필요충분조건은 \(v=\mathbf{0}\) (\(\mathbf{0}\)은 영벡터)
(2) (삼각부등식) \(||v+w||\leq||v||+||w||\)
(3) \(||rv||=|r|\cdot||v||\)
를 만족하면 함수 \(||\,\,||\)를 \(V\)상의 노름(norm)이라 하고 노름 \(||\,\,||\)을 갖는 벡터공간 \(V\)를 노름공간(normed space)이라 하고 \((V,\,||\,\,||)\)로 나타낸다. 노름을 알 때, 간단히 노름공간을 \(V\)로 나타낸다.
구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 실함수(real-valued function)들의 집합을 \(C([a,\,b])\)라 하자. 임의의 \(f\in C([a,\,b])\)에 대하여$$||f||_{1}=\int_{a}^{b}{|f(x)|dx},\,||f||_{2}=\max_{x\in[a,\,b]}{|f(x)|}$$라 하면 \(||\,\,||_{1}\)과 \(||\,\,||_{2}\)는 \(C([a,\,b])\)상의 서로 다른 노름이다.
또한 \(X\)를 위상공간, \(X\)를 정의역으로 하는 유계실함수들의 집합을 \(\mathfrak{B}(X)\)라 하면 \(\mathfrak{B}(X)\)는 벡터공간이고$$||f||=\sup_{x\in X}{|f(x)|}$$라 하면 \(||\,\,||\)는 \(\mathfrak{B}(X)\)상의 한 노름이다.
5.6 \((V,\,||\,\,||)\)를 노름공간이라 하자. 임의의 \(v,\,w\in V\)에 대하여$$d(v,\,w)=||v-w||$$는 \(V\)상의 거리함수이다. 증명: 임의의 \(u,\,v,\,w\in V\)에 대하여 (1) \(d(u,\,v)=||u-v||\geq0\), \(d(u,\,u)=||u-u||=||\mathbf{0}||=0\) (2) \(d(u,\,v)=||u-v||=||(-1)(v-u)||=||v-u||=d(v,\,u)\) (3) \(d(u,\,v)=||u-v||=||(u-w)+(w-v)||\leq||u-w||+||w+v||=d(u,\,w)+d(w,\,v)\) (4) \(u\neq v\)이면 \(u-v\neq\mathbf{0}\)이므로 \(d(u,\,v)>0\)이다. 따라서 \(d\)는 \(V\)상의 거리함수이다. (QED) |
5.6의 거리함수 \(d\)를 노름 \(||\,\,||\)에 의해 유도된(induced) 거리함수라고 한다.
앞의 예시에서 들었던 \(C([a,\,b])\)상의 노름 \(||\,\,||_{1},\,||\,\,||_{2}\)과 임의의 \(f,\,g\in C([a,\,b])\)에 대하여$$\rho_{1}(f,\,g)=||f-g||_{1}=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|dx},\,\rho_{2}(f,\,g)=||f-g||_{2}=\max_{x\in[a,\,b]}{|f(x)-g(x)|}$$라 하자. 그러면 5.6에 의해 \(\rho_{1}\)과 \(\rho_{2}\)는 거리함수이다.
참고자료
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Folland, Wiley
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
