거리공간 (3: 노름공간)

위상수학/위상수학(학부)2017. 3. 29. 23:00

거리공간 (3: 노름공간)

$V$ 를 $\mathbb{R}$ 상의 벡터공간이라 하자. 임의의 $v\in V$ 에 대하여 실수 $||v||$ 로 대응하는 함수 $||\cdot||:\,V\,\rightarrow\,\mathbb{R}$ 가 임의의 $v,\,w\in V$ 와 $r\in\mathbb{R}$ 에 대하여

(1) $||v||\geq0$ , $||v||=0$ 일 필요충분조건은 $v=\mathbf{0}$ ( $\mathbf{0}$ 은 영벡터)

(2) (삼각부등식) $||v+w||\leq||v||+||w||$

(3) $||rv||=|r|\cdot||v||$

를 만족하면 함수 $||\,\,||$ 를 $V$ 상의 노름(norm)이라 하고 노름 $||\,\,||$ 을 갖는 벡터공간 $V$ 를 노름공간(normed space)이라 하고 $(V,\,||\,\,||)$ 로 나타낸다. 노름을 알 때, 간단히 노름공간을 $V$ 로 나타낸다.

구간 $[a,\,b]$ 에서 연속인 실함수(real-valued function)들의 집합을 $C([a,\,b])$ 라 하자. 임의의 $f\in C([a,\,b])$ 에 대하여 $||f||_{1}=\int_{a}^{b}{|f(x)|dx},\,||f||_{2}=\max_{x\in[a,\,b]}{|f(x)|}$ 라 하면 $||\,\,||_{1}$ 과 $||\,\,||_{2}$ 는 $C([a,\,b])$ 상의 서로 다른 노름이다.

또한 $X$ 를 위상공간, $X$ 를 정의역으로 하는 유계실함수들의 집합을 $\mathfrak{B}(X)$ 라 하면 $\mathfrak{B}(X)$ 는 벡터공간이고 $||f||=\sup_{x\in X}{|f(x)|}$ 라 하면 $||\,\,||$ 는 $\mathfrak{B}(X)$ 상의 한 노름이다.

5.6 $(V,\,||\,\,||)$ 를 노름공간이라 하자. 임의의 $v,\,w\in V$ 에 대하여 $d(v,\,w)=||v-w||$ 는 $V$ 상의 거리함수이다.

증명: 임의의 $u,\,v,\,w\in V$ 에 대하여

(1) $d(u,\,v)=||u-v||\geq0$ , $d(u,\,u)=||u-u||=||\mathbf{0}||=0$

(2) $d(u,\,v)=||u-v||=||(-1)(v-u)||=||v-u||=d(v,\,u)$

(3) $d(u,\,v)=||u-v||=||(u-w)+(w-v)||\leq||u-w||+||w+v||=d(u,\,w)+d(w,\,v)$

(4) $u\neq v$ 이면 $u-v\neq\mathbf{0}$ 이므로 $d(u,\,v)>0$ 이다.

따라서 $d$ 는 $V$ 상의 거리함수이다. (QED)

5.6의 거리함수 $d$ 를 노름 $||\,\,||$ 에 의해 유도된(induced) 거리함수라고 한다.

앞의 예시에서 들었던 $C([a,\,b])$ 상의 노름 $||\,\,||_{1},\,||\,\,||_{2}$ 과 임의의 $f,\,g\in C([a,\,b])$ 에 대하여 $\rho_{1}(f,\,g)=||f-g||_{1}=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|dx},\,\rho_{2}(f,\,g)=||f-g||_{2}=\max_{x\in[a,\,b]}{|f(x)-g(x)|}$ 라 하자. 그러면 5.6에 의해 $\rho_{1}$ 과 $\rho_{2}$ 는 거리함수이다.