수열, 가산공간
집합 \(X\)상의 수열 \(\{a_{n}\}\)은 자연수 \(\mathbb{N}\)에서 \(X\)로의 함수이다. 위상공간 \(X\)에서의 수열 \(\{a_{n}\}\) 이 \(a\in X\)로 수렴(converges)한다는 것은 \(a\)의 모든 근방 \(U\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때, \(a_{n}\in U\)인 것이다. 이를 \(a_{n}\,\rightarrow\,a\) 또는 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a\)로 나타낸다.
보통위상공간 \(\mathbb{R},\,\mathcal{U}\)상의 수열 \(a_{n}=\frac{1}{n}\)은 \(0\)으로 수렴한다. 왜냐하면 \(0\)의 모든 근방 \(U\)에 대하여 근방 \(G\)가 존재해서 \(0\in G\subset U\)이고 \(G\)는 열린집합이므로 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(0\in\left(-\frac{1}{N},\,\frac{1}{N}\right)\subset G\subset U\)이고 따라서 \(n>N\)일 때, \(0<\frac{1}{n}<\frac{1}{N}\)이므로 \(\frac{1}{n}\in U\)이다. 수렴의 정의로부터 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}}=0\)이다.
밀착위상 \(X,\,\mathcal{I}\)상의 수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여 모든 \(a\in X\)에 대하여 \(a\)의 근방은 \(X\)뿐이다. 따라서 수열 \(\{a_{n}\}\)은 \(X\)의 모든 점으로 수렴한다.
이산위상 \(X,\,\mathcal{D}\)상의 수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여 모든 \(a\in X\)에 대하여 \(\{a\}\)는 \(a\)의 근방이다. 따라서 수열 \(\{a_{n}\}\)이 \(a\in X\)로 수렴할 필요충분조건은 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재하여 수열 \(\{a_{n}\}\)이 다음과 같이 정의되는 것이다.$$a_{n}=\begin{cases}a_{n}\,&(1\leq n\leq N)\\a\,&(n>N)\end{cases}$$
6.1 \(\mathcal{V}_{a}\)를 위상공간 \(X\)의 한 점 \(a\)의 국소기저라 하자. \(X\)상의 한 수열 \(\{a_{n}\}\)이 \(a\)로 수렴할 필요충분조건은 모든 \(V\in\mathcal{V}_{a}\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(a_{n}\in V\)인 것이다. 증명 \((\Rightarrow)\): \(\mathcal{V}_{a}\)를 위상공간 \(X\)의 한 점 \(a\)의 국소기저라 하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a,\,V\in\mathcal{V}\)라 하자. \(V\)는 \(a\)의 근방이므로 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(a_{n}\in V\)이다. \((\Leftarrow)\): 가정이 성립한다고 할 때 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a\)임을 보이자. \(a\)의 모든 근방 \(U\)에 대하여 \(V\in\mathcal{V}_{a}\)가 존재해서 \(a\in V\subset U\)이다. 가정에 의해 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(a_{n}\in V\)이므로 \(a_{n}\in U\)이고 따라서 \(n\geq N\)일 때 \(a_{n}\in U\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a\)이다. (QED) |
\(\{n_{i}\}\)를 \(\mathbb{N}\)상의 증가하는 수열이라 하자. 집합 \(X\)상의 수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여 \(\{a_{n_{i}}\}\)를 수열 \(a_{n}\)의 부분수열(subsequence)이라고 한다.
한 위상공간 \(X\)상의 각 점에서 가산개의 국소기저를 가지면 \(X\)를 제 1 가산공간(first countable space)이라고 한다. \(x\in X\)에 대하여 \(\mathcal{V}_{x}=\{G_{1},\,G_{2},\,\cdots,\,G_{n},\,\cdots\}\)가 \(x\)에서의 가산국소기저이고 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(G_{n+1}\subset G_{n}\)이면 \(\mathcal{V}_{x}\)를 \(x\)에서의 축소가산국소기저(nested countable local base)라고 한다.
\(X\)가 제 1 가산공간이면 각 \(x\in X\)는 가산국소기저 \(\mathcal{V}_{x}=\{U_{1},\,U_{2},\,\cdots\}\)를 가지고 $$G_{n}=\bigcap_{i=1}^{n}{U_{i}}$$라 하면 \(\{G_{1},\,G_{2},\,\cdots\}\)는 \(x\)에서의 축소가산국소기저이다. 이 사실로부터 제 1가산공간에서 각 점들은 축소가산국소기저를 반드시 갖는다.
6.2 \(X\)를 제 1 가산공간이라 하자. (1) \(A\subset X,\,a\in X\) 일 때 \(a\in\overline{A}\)일 필요충분조건은 수열 \(a_{n}\in A\)이 존재해서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a\)인 것이다. (2) \(Y\)를 위상공간, \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 함수라 하자. \(f\)가 연속함수일 필요충분조건은 \(a\in X\)로 수렴하는 모든 수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여 \(f(a_{n})\)이 \(f(a)\)로 수렴하는 것이다. 증명 (1) \((\Rightarrow)\): \(a\in\overline{A}\)라 하자. \(X\)는 제 1 가산공간이므로 \(a\)는 축소가산국소기저 \(\mathcal{V}_{a}=\{G_{1},\,G_{2},\,\cdots\}\)를 갖는다. \(a\in\overline{A}\)이므로 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(G_{n}\cap A\neq\emptyset\)이다. 따라서 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(a_{n}\in G_{n}\cap A\)인 \(a_{n}\)을 선택할 수 있고 \(a_{n}\in A\)이며 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a\)이다. \((\Leftarrow)\): \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a,\,a_{n}\in A\)라 하자. 그러면 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 모든 \(a\)의 근방 \(U\)에 대하여 \(n\geq N\)일 때 \(a_{n}\in U\)이다. 그러면 \(a_{n}\in U\cap A\neq\emptyset\)이고 따라서 \(a\in\overline{A}\)이다. (2) \((\Rightarrow)\): \(f\)를 연속함수라 하고 \(V\)를 \(f(a)\)의 근방, \(\{a_{n}\}\)을 \(a\)로 수렴하는 임의의 수열이라 하자. 그러면 \(f^{-1}[V]\)는 \(a\)의 근방이고 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(a_{n}\in f^{-1}[V]\)이다. 그러면 \(n\geq N\)일 때 \(f(a_{n})\in V\)이고 따라서 \(f(a_{n})\)은 \(f(a)\)로 수렴한다. \((\Leftarrow)\): 대우명제를 증명하자. \(f\)가 연속함수가 아니라고 하면 \(a\in X\)가 존재해서 \(f\)는 \(a\)에서 불연속이다. 따라서 \(f(a)\)의 근방 \(U\)가 존재해서 \(a\notin f^{-1}[U]\)는 \(a\)의 근방이 아니다. \(X\)는 제 1 가산공간이므로 \(a\)는 축소가산국소기저 \(\mathcal{V}_{a}=\{G_{1},\,G_{2},\,\cdots\}\)를 갖고 \(a_{n}\in G_{n}-f^{-1}[U]\)이므로 \(a_{n}\)은 \(a\)로 수렴한다. \(a_{n}\notin f^{-1}[U]\)이기 때문에 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f(a_{n})\notin U\)이고 따라서 \(f(a_{n})\)은 \(f(a)\)로 수렴하지 않는다. (QED) |
위상공간 \(X\)가 가산기저를 가지면 \(X\)를 제 2 가산공간(second countable space)이라 한다.
분명히 제 2 가산공간이면 제 1 가산공간이 되는데 이유는 \(\mathbb{B}\)가 \(X\)의 기저이면, \(x\in X\)를 포함하는 \(\mathbb{B}\)의 원소들로 구성된 \(\mathbb{B}\)의 부분집합은 \(x\)에 대한 가산국소기저가 되기 때문이다.
\(X\)를 집합, \(A\subset X\)라 하자. \(\mathcal{C}\)가 \(X\)의 한 부분집합족이고$$A\subset\bigcup_{G\in\mathcal{C}}{G}$$이면 \(\mathcal{C}\)를 \(A\)의 덮개(cover)라고 한다.
모든 열린덮개가 가산부분덮개를 포함하면 위상공간 \(X\)를 린델레프 공간(Lindelof spae)이라고 한다. 가산조밀부분집합을 갖는 공간을 가분공간(separable space) 이라고 한다.
6.3 제 2 가산공간은 린델레프 공간이다. 증명: \(X\)를 제 2 가산공간이라 하자. 그러면 가산기저 \(\mathbb{B}\)가 존재한다. \(\mathcal{C}\)를 \(X\)의 임의의 열린덮개라 하자. 그러면$$X=\bigcup_{G\in\mathcal{C}}{G}$$이므로 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(G_{x}\in\mathcal{C}\)가 존재하고 \(\mathbb{B}\)는 기저이므로 \(B_{x}\in\mathbb{B}\)가 존재해서 모든 \(G_{x}\)에 대하여 \(x\in B_{x}\subset G_{x}\)이다. 따라서 집합 \(\{B_{x}\,|\,x\in B_{x}\subset G_{x}\}\)는 가산집합인데 가산집합의 부분집합이기 때문이다. 따라서$$\{B_{x}\,|\,x\in X\}=\{B_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}$$이다. 모든 \(B_{n}\in\mathbb{B}\)에 대하여 \(B_{n}\subset G_{n}\)을 만족하는 \(G_{n}\in\mathcal{C}\)를 선택하자.$$X\subset\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{B_{n}}\subset\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{G_{n}}$$이므로 따라서 \(\{G_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)은 \(\mathcal{C}\)의 가산부분집합이고 \(X\)는 린델레프 공간이다. (QED) |
참고자료
Topology Second Edition: Munkres, Pearson
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
위상수학의 기초, 이승온, 이석종, 교우사
