수열, 가산공간

수열, 가산공간

집합 $X$상의 수열 $\{a_{n}\}$은 자연수 $\mathbb{N}$에서 $X$로의 함수이다. 위상공간 $X$에서의 수열 $\{a_{n}\}$ 이 $a\in X$로 수렴(converges)한다는 것은 $a$의 모든 근방 $U$에 대하여 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때, $a_{n}\in U$인 것이다. 이를 $a_{n}\,\rightarrow\,a$ 또는 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a$로 나타낸다.

보통위상공간 $\mathbb{R},\,\mathcal{U}$상의 수열 $a_{n}=\frac{1}{n}$은 $0$으로 수렴한다. 왜냐하면 $0$의 모든 근방 $U$에 대하여 근방 $G$가 존재해서 $0\in G\subset U$이고 $G$는 열린집합이므로 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $0\in\left(-\frac{1}{N},\,\frac{1}{N}\right)\subset G\subset U$이고 따라서 $n>N$일 때, $0<\frac{1}{n}<\frac{1}{N}$이므로 $\frac{1}{n}\in U$이다. 수렴의 정의로부터 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}}=0$이다.

밀착위상 $X,\,\mathcal{I}$상의 수열 $\{a_{n}\}$에 대하여 모든 $a\in X$에 대하여 $a$의 근방은 $X$뿐이다. 따라서 수열 $\{a_{n}\}$은 $X$의 모든 점으로 수렴한다.

이산위상 $X,\,\mathcal{D}$상의 수열 $\{a_{n}\}$에 대하여 모든 $a\in X$에 대하여 $\{a\}$는 $a$의 근방이다. 따라서 수열 $\{a_{n}\}$이 $a\in X$로 수렴할 필요충분조건은 $N\in\mathbb{N}$이 존재하여 수열 $\{a_{n}\}$이 다음과 같이 정의되는 것이다.

$$a_{n}=\begin{cases}a_{n}\,&(1\leq n\leq N)\\a\,&(n>N)\end{cases}$$

6.1 $\mathcal{V}_{a}$를 위상공간 $X$의 한 점 $a$의 국소기저라 하자. $X$상의 한 수열 $\{a_{n}\}$이 $a$로 수렴할 필요충분조건은 모든 $V\in\mathcal{V}_{a}$에 대하여 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때 $a_{n}\in V$인 것이다. 증명 $(\Rightarrow)$: $\mathcal{V}_{a}$를 위상공간 $X$의 한 점 $a$의 국소기저라 하고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a,\,V\in\mathcal{V}$라 하자. $V$는 $a$의 근방이므로 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때 $a_{n}\in V$이다. $(\Leftarrow)$: 가정이 성립한다고 할 때 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a$임을 보이자. $a$의 모든 근방 $U$에 대하여 $V\in\mathcal{V}_{a}$가 존재해서 $a\in V\subset U$이다. 가정에 의해 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때 $a_{n}\in V$이므로 $a_{n}\in U$이고 따라서 $n\geq N$일 때 $a_{n}\in U$이므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a$이다. (QED)

$\{n_{i}\}$를 $\mathbb{N}$상의 증가하는 수열이라 하자. 집합 $X$상의 수열 $\{a_{n}\}$에 대하여 $\{a_{n_{i}}\}$를 수열 $a_{n}$의 부분수열(subsequence)이라고 한다.

한 위상공간 $X$상의 각 점에서 가산개의 국소기저를 가지면 $X$를 제 1 가산공간(first countable space)이라고 한다. $x\in X$에 대하여 $\mathcal{V}_{x}=\{G_{1},\,G_{2},\,\cdots,\,G_{n},\,\cdots\}$가 $x$에서의 가산국소기저이고 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $G_{n+1}\subset G_{n}$이면 $\mathcal{V}_{x}$를 $x$에서의 축소가산국소기저(nested countable local base)라고 한다.

$X$가 제 1 가산공간이면 각 $x\in X$는 가산국소기저 $\mathcal{V}_{x}=\{U_{1},\,U_{2},\,\cdots\}$를 가지고

$$G_{n}=\bigcap_{i=1}^{n}{U_{i}}$$ 라 하면 $\{G_{1},\,G_{2},\,\cdots\}$는 $x$에서의 축소가산국소기저이다. 이 사실로부터 제 1가산공간에서 각 점들은 축소가산국소기저를 반드시 갖는다.

6.2 $X$를 제 1 가산공간이라 하자. (1) $A\subset X,\,a\in X$ 일 때 $a\in\overline{A}$일 필요충분조건은 수열 $a_{n}\in A$이 존재해서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a$인 것이다. (2) $Y$를 위상공간, $f:\,X\,\rightarrow\,Y$를 함수라 하자. $f$가 연속함수일 필요충분조건은 $a\in X$로 수렴하는 모든 수열 $\{a_{n}\}$에 대하여 $f(a_{n})$이 $f(a)$로 수렴하는 것이다. 증명 (1) $(\Rightarrow)$: $a\in\overline{A}$라 하자. $X$는 제 1 가산공간이므로 $a$는 축소가산국소기저 $\mathcal{V}_{a}=\{G_{1},\,G_{2},\,\cdots\}$를 갖는다. $a\in\overline{A}$이므로 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $G_{n}\cap A\neq\emptyset$이다. 따라서 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_{n}\in G_{n}\cap A$인 $a_{n}$을 선택할 수 있고 $a_{n}\in A$이며 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a$이다. $(\Leftarrow)$: $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a,\,a_{n}\in A$라 하자. 그러면 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 모든 $a$의 근방 $U$에 대하여 $n\geq N$일 때 $a_{n}\in U$이다. 그러면 $a_{n}\in U\cap A\neq\emptyset$이고 따라서 $a\in\overline{A}$이다. (2) $(\Rightarrow)$: $f$를 연속함수라 하고 $V$를 $f(a)$의 근방, $\{a_{n}\}$을 $a$로 수렴하는 임의의 수열이라 하자. 그러면 $f^{-1}[V]$는 $a$의 근방이고 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때 $a_{n}\in f^{-1}[V]$이다. 그러면 $n\geq N$일 때 $f(a_{n})\in V$이고 따라서 $f(a_{n})$은 $f(a)$로 수렴한다. $(\Leftarrow)$: 대우명제를 증명하자. $f$가 연속함수가 아니라고 하면 $a\in X$가 존재해서 $f$는 $a$에서 불연속이다. 따라서 $f(a)$의 근방 $U$가 존재해서 $a\notin f^{-1}[U]$는 $a$의 근방이 아니다. $X$는 제 1 가산공간이므로 $a$는 축소가산국소기저 $\mathcal{V}_{a}=\{G_{1},\,G_{2},\,\cdots\}$를 갖고 $a_{n}\in G_{n}-f^{-1}[U]$이므로 $a_{n}$은 $a$로 수렴한다. $a_{n}\notin f^{-1}[U]$이기 때문에 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $f(a_{n})\notin U$이고 따라서 $f(a_{n})$은 $f(a)$로 수렴하지 않는다. (QED)

위상공간 $X$가 가산기저를 가지면 $X$를 제 2 가산공간(second countable space)이라 한다.

분명히 제 2 가산공간이면 제 1 가산공간이 되는데 이유는 $\mathbb{B}$가 $X$의 기저이면, $x\in X$를 포함하는 $\mathbb{B}$의 원소들로 구성된 $\mathbb{B}$의 부분집합은 $x$에 대한 가산국소기저가 되기 때문이다.

$X$를 집합, $A\subset X$라 하자. $\mathcal{C}$가 $X$의 한 부분집합족이고

$$A\subset\bigcup_{G\in\mathcal{C}}{G}$$ 이면 $\mathcal{C}$를 $A$의 덮개(cover)라고 한다.

모든 열린덮개가 가산부분덮개를 포함하면 위상공간 $X$를 린델레프 공간(Lindelof spae)이라고 한다. 가산조밀부분집합을 갖는 공간을 가분공간(separable space) 이라고 한다.

6.3 제 2 가산공간은 린델레프 공간이다. 증명: $X$를 제 2 가산공간이라 하자. 그러면 가산기저 $\mathbb{B}$가 존재한다. $\mathcal{C}$를 $X$의 임의의 열린덮개라 하자. 그러면 $$X=\bigcup_{G\in\mathcal{C}}{G}$$ 이므로 모든 $x\in X$에 대하여 $G_{x}\in\mathcal{C}$가 존재하고 $\mathbb{B}$는 기저이므로 $B_{x}\in\mathbb{B}$가 존재해서 모든 $G_{x}$에 대하여 $x\in B_{x}\subset G_{x}$이다. 따라서 집합 $\{B_{x}\,|\,x\in B_{x}\subset G_{x}\}$는 가산집합인데 가산집합의 부분집합이기 때문이다. 따라서 $$\{B_{x}\,|\,x\in X\}=\{B_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}$$ 이다. 모든 $B_{n}\in\mathbb{B}$에 대하여 $B_{n}\subset G_{n}$을 만족하는 $G_{n}\in\mathcal{C}$를 선택하자. $$X\subset\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{B_{n}}\subset\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{G_{n}}$$ 이므로 따라서 $\{G_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}$은 $\mathcal{C}$의 가산부분집합이고 $X$는 린델레프 공간이다. (QED)

참고자료
Topology Second Edition: Munkres, Pearson
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
위상수학의 기초, 이승온, 이석종, 교우사