분리공리
\(X\)를 위상공간, \(a,\,b\in X\)라 하자. \(a\neq b\)일 때 어떤 열린집합이 존재해서 \(a\)를 포함하고 \(b\)를 포함하지 않거나 \(b\)를 포함하고 \(a\)를 포함하지 않으면, 이 위상공간 \(X\)를 \(T_{0}\)공간 또는 콜모고로프 공간(Kolmogorov space)이라고 한다.
\(X=\{a,\,b\},\,\mathcal{T}=\{\emptyset,\,X,\,\{a\}\}\)라 하자. 그러면 이 위상공간은 \(T_{0}\)공간이고 이러한 공간을 시어핀스키 공간(Sierpinski space)이라 한다.
7.1 \(X\)를 위상공간이라 하자. 다음의 명제는 서로 동치이다. (1) \(X\)는 \(T_{0}\)공간이다. (2) \(a,\,b\in X,\,a\neq b\)에 대하여 \(a\notin\overline{\{b\}}\)또는 \(b\notin\overline{\{a\}}\)이다. 증명 (1)\(\Rightarrow\)(2): \(X\)를 \(T_{0}\)공간이라 하고 \(a,\,b\in X,\,a\neq b\)라 하자. \(T_{0}\)공간의 정의에 의해 열린집합 \(U\)가 존재해서 \(a\in U,\,b\notin U\)또는 \(b\in U,\,a\notin U\)이다. \(a\in U,\,b\notin U\)이면 \(b\in U^{c},\,a\notin U^{c}\)이고 \(U^{c}\)는 닫힌집합이므로 \(\overline{\{b\}}\subset U^{c}\)이고 \(a\notin\overline{\{b\}}\)이다. 반대의 경우도 이와 같은 방법으로 증명할 수 있다. (2)\(\Leftarrow\)(1): \(a,\,b\in X,\,a\neq b\)에 대하여 \(a\notin\overline{\{b\}}\)일 때, \(U=\overline{\{b\}}^{c}\)라 하면 \(U\)는 열린집합이고 \(a\in U,\,b\notin U\)이므로 따라서 \(X\)는 \(T_{0}\)공간이다. 반대의 경우도 이와 같은 방법으로 증명할 수 있다. (QED) |
\(X\)를 위상공간, \(a,\,b\in X\)라 하자. 열린집합 \(G\)와 \(H\)가 존재해서 \(a\in G,\,b\in H\)이고 \(a\notin G,\,b\notin H\)이면, \(X\)를 \(T_{1}\)공간 또는 쿠라토프스키 공간(Kuratowski space)이라 한다.
앞에서 다룬 시어핀스키 공간은 \(T_{0}\)공간이나 \(T_{1}\)공간은 아니고 여유한 위상은 \(T_{1}\)공간이다.
7.2 \(X\)를 위상공간이라 하자. 다음의 명제는 서로 동치이다. (1) \(X\)는 \(T_{1}\)공간이다. (2) 모든 \(a\in X\)에 대하여, \(\{a\}\)는 닫힌집합이다. 증명 (1)\(\Rightarrow\)(2): \(X\)를 \(T_{1}\)공간이라 하고 \(a\in X\)라 하자. \(b\in\{a\}^{c}\)를 선택하면 \(a\neq b\)이고 \(T_{1}\)공간의 정의에 의해 열린집합 \(G\)와 \(H\)가 존재해서 \(a\in G,\,b\in H\)이고 \(a\notin H,\, b\notin G\)이다. \(a\in H^{c}\)이므로 \(\{a\}\subset H^{c}\)이고 따라서 \(b\in H\subset\{a\}^{c}\)이다. 그러면 \(\{a\}^{c}\)는 열린집합이고 따라서 \(\{a\}\)는 닫힌집합이다. (2)\(\Leftarrow\)(1): \(a,\,b\in X,\,a\neq b\)라 하자. 그러면 가정에 의해 \(\{a\}\)와 \(\{b\}\)는 닫힌집합이다. 따라서 \(\{a\}^{c}\)와 \(\{b\}^{c}\)는 열린집합이고 \(G=\{b\}^{c},\,H=\{a\}^{c}\)라 하면 \(a\in G,\,b\in H\)이고 \(a\notin H,\, b\notin G\)이므로 따라서 \(X\)는 \(T_{1}\)공간이다. (QED) |
\(X\)를 위상공간, \(a,\,b\in X\)라 하자. \(a\neq b\)일 때, 서로소인 열린집합 \(G\)와 \(H\)가 존재해서 \(a\in G\)이고 \(b\in H\)이면, \(X\)를 \(T_{2}\)공간 또는 하우스도르프 공간(Hausdorff space)이라 한다.
거리공간 \((X,\,d)\)와 보통위상공간 \(\mathbb{R},\,\mathcal{U}\)는 \(T_{2}\)공간이다. 거리공간에서 \(a,\,b\in X,\,a\neq b\)라 하자. 그러면 \(d(a,\,b)=\epsilon>0\)이고$$a\in B\left(a,\,\frac{\epsilon}{3}\right),\,b\in B\left(b,\,\frac{\epsilon}{3}\right),\,B\left(a,\,\frac{\epsilon}{3}\right)\cap B\left(b,\,\frac{\epsilon}{3}\right)=\emptyset$$이다. 다음으로 보통위상공간에서 \(a,\,b\in\mathbb{R},\,a<b,\,\epsilon=\frac{b-a}{3}\)라 하자. 그러면 \(G=(a-\epsilon,\,a+\epsilon)\)와 \(H=(b-\epsilon,\,b+\epsilon)\)는 열린집합이고 \(a\in G,\,b\in H,\,G\cap H=\emptyset\)이다.
7.3 \(T_{2}\)공간에서 수렴하는 수열의 극한은 유일하다. 증명: 위상공간 \(X\)를 \(T_{2}\)공간, \(X\)상의 수열 \(\{a_{n}\}\)이 서로 다른 두 점 \(p\)와 \(q\)로 동시에 수렴한다고 하자. 그러면 \(T_{2}\)공간의 정의에 의해 서로소인 두 열린집합 \(G\)와 \(H\)가 존재해서 \(p\in G\)이고 \(q\in H\)이다. 가정에 의해 \(N_{1},\,N_{2}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(m\geq N_{1}\)일 때, \(a_{m}\in G\)이고 \(n\geq N_{2}\)일 때, \(a_{n}\in H\)이다. \(N=\max\{N_{1},\,N_{2}\}\)라 하면 \(N\geq N_{1},\,N\geq N_{2}\)이므로 \(a_{N}\in G\cap H\)가 되고 \(G\cap H=\emptyset\)이므로 이는 모순이다. 따라서 \(T_{2}\)공간에서 수렴하는 수열의 극한은 유일하다. (QED) |
7.4 \(X\)를 위상공간이라 하자. 다음의 명제는 서로 동치이다. (1) \(X\)는 \(T_{2}\)공간이다. (2) 집합 \(\Delta=\{(x,\,x)\,|\,x\in X\}\)는 \(X\times X\)에서 닫힌집합이다. 증명 (1)\(\Rightarrow\)(2): \((a,\,b)\in\Delta^{c}\)라 하자. 그러면 \(a\neq b\)이고 \(a,\,b\in X\)이다. \(X\)는 \(T_{2}\)공간이므로 서로소인 열린집합 \(G\)와 \(H\)가 존재해서 \(a\in G,\,b\in H\)이다. 따라서 \(G\times H\)와 \(\Delta^{c}\)는 서로소이고 \((a,\,b)\in G\times H\subset\Delta^{c}\)이므로 \(\Delta^{c}\)는 열린집합이고 따라서 \(\Delta\)는 닫힌집합이다. (2)\(\Leftarrow\)(1): \(a,\,b\in X,\,a\neq b\)라 하자. 그러면 \((a,\,b)\in\Delta^{c}\)이고 \(\Delta^{c}\)는 열린집합이므로 \(X\times X\)의 기저의 원소 \(G\times H\)가 존재해서 \((a,\,b)\in G\times H\subset\Delta^{c}\)이다. \(G\)와 \(H\)는 \(X\)에서 열린집합이고 \(a\in G,\,b\in H\)이며 \(G\times H\subset\Delta^{c}\)이므로 \((G\times H)\cap\Delta=\emptyset\)이고 \(G\cap H=\emptyset\)이다. 따라서 \(X\)는 \(T_{2}\)공간이다. (QED) |
7.5 \(X\)를 임의의 위상공간, \(Y\)를 \(T_{2}\)공간이라 하고 함수 \(f,\,g:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 연속함수라 하자. 그러면 (1) 집합 \(\{x\,|\,f(x)=g(x)\}\)는 \(X\)에서 닫힌집합이다. (2) \(D\)가 \(X\)에서 조밀한 집합이고 \(f|_{D}=g|_{D}\)이면, \(f=g\)이다. 증명 (1): 함수 \(h:\,X\,\rightarrow\,Y\times Y\)를 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(h(x)=(f(x),\,g(x))\)로 정의하자. \(Y\)는 \(T_{2}\)공간이므로 7.4에 의해 집합 \(\Delta=\{(y,\,y)\,|\,y\in Y\}\)는 \(Y\times Y\)에서 닫힌집합이고 따라서 \(h^{-1}[\Delta]=\{x\,|\,f(x)=g(x)\}\)는 \(X\)에서 닫힌집합이다. (2) \(D\)가 \(X\)에서 조밀한 집합이고 \(f|_{D}=g|_{D}\)이면 \(D\subset\{x\,|\,f(x)=g(x)\}\)이고 (1)에 의해 \(X=\overline{D}\subset\{x\,|\,f(x)=g(x)\}\)이다. 따라서 \(X=\{x\,|\,f(x)=g(x)\}\)이므로 \(f=g\)이다. (QED) |
\(T_{2}\)공간이면 \(T_{1}\)공간이고 \(T_{1}\)공간이면 \(T_{0}\)공간이다. (역은 성립하지 않음)
\(X\)를 위상공간이라 하고 \(F\)를 닫힌집합, \(p\notin F\)라 하자. 서로소인 열린집합 \(G\)와 \(H\)가 존재해서 \(p\in G,\,F\subset H\)이면, \(X\)를 정칙공간(regular space)이라 한다. 또한 정칙공간이고 \(T_{1}\)공간이면 \(X\)는 \(T_{3}\)공간이다.
\(T_{3}\)공간의 정의로부터 \(T_{3}\)공간이면 \(T_{2}\)공간이다.
\(X=\{a,\,b,\,c\},\,\mathcal{T}=\{\emptyset,\,X\,\{a\},\,\{b,\,c\}\}\)라 하자. 그러면 이 위상공간은 정칙공간이나 \(T_{1}\)공간이 아니므로 \(T_{3}\)공간도 아니다. 또한 \(T_{2}\)공간도 아니다.
거리공간의 경우 한 원소 집합은 폐집합이므로 \(T_{1}\)공간이고 5.5에 의해 정칙공간이다. 따라서 거리공간은 \(T_{3}\)공간이다. 또한 보통위상공간 \((\mathbb{R},\,\mathcal{U})\)는 거리화가능하므로 \(T_{3}\)공간이다.
7.6 \(X\)를 위상공간이라 하자. 다음의 명제는 서로 동치이다. (1) \(X\)는 정칙공간이다. (2) \(U\)가 \(X\)에서 열린집합이고 \(p\in U\)이면, 열린집합 \(G\)가 존재해서 \(p\in G\subset\overline{G}\subset U\)이다. 증명 (1)\(\Rightarrow\)(2): \(X\)에서 \(A\)를 닫힌집합, \(U\)를 열린집합이라 하고 \(A\subset U\)라 하자. \(F=U^{c}\)라 하면 \(F\)는 닫힌집합이고 \(p\notin F\)이므로 정칙공간의 정의에 의해 서로소인 열린집합 \(G\)와 \(H\)가 존재해서 \(p\in G,\,F\subset H\)이다. \(F=U^{c}\subset H\)이므로 \(p\in G\subset H^{c}\subset U\)이고 \(H^{c}\)는 닫힌집합이므로 따라서 \(p\in G\subset\overline{G}\subset U\)이다. (2)\(\Leftarrow\)(1): \(F\)를 \(X\)에서 닫힌집합이라 하고 \(p\notin F\)라 하자. 그러면 \(p\in F^{c}\)이고 \(F^{c}\)는 열린집합이므로 가정에 의해 열린집합 \(G\)가 존재해서 \(p\in G\subset\overline{G}\subset F^{c}\)이다. \(H=\overline{G}^{c}\)라 하면 \(H\)는 열린집합이고 \(\overline{G}\subset F^{c}\)이므로 \(F\subset\overline{G}^{c}=H\)이고 \(G\cap H=\emptyset\)이다. 따라서 \(X\)는 정칙공간이다. (QED) |
\(X\)를 위상공간이라 하자. 닫힌집합 \(A,\,B\)에 대하여 서로소인 열린집합 \(G\)와 \(H\)가 존재해서 \(A\subset G,\,B\subset H\)이면, 이 위상공간 \(X\)를 정규공간(normal space)이라 한다. 또한 정규공간이고 \(T_{1}\)공간이면 \(T_{4}\)공간이라고 한다.
거리공간과 보통위상공간 \((\mathbb{R},\,\mathcal{U})\)는 정규공간이다.
7.7 \(X\)를 위상공간이라 하자. 다음의 명제는 서로 동치이다. (1) \(X\)는 정규공간이다. (2) \(A\)를 닫힌집합, \(U\)를 열린집합이라 하고 \(A\subset U\)라 하자. 그러면 열린집합 \(G\)가 존재해서 \(A\subset G\subset\overline{G}\subset U\)이다. 증명: (1)\(\Rightarrow\)(2): \(A\)를 닫힌집합, \(U\)를 열린집합이라 하고 \(A\subset U\)라 하자. 그러면 \(A\cap U^{c}=\emptyset\)이고 \(U^{c}\)는 닫힌집합이다. \(X\)는 정규공간이므로 서로소인 열린집합 \(G,\,H\)가 존재해서 \(A\subset G,\,U^{c}\subset H\)이다. 따라서 \(A\subset G\subset H^{c}\subset U\)이고 \(H^{c}\)는 닫힌집합이므로 따라서 \(A\subset G\subset\overline{G}\subset H^{c}\subset U\)이다. (2)\(\Rightarrow\)(1): \(A,\,B\)를 서로소인 닫힌집합이라 하자. \(A\cap B=\emptyset\)이므로 \(A\subset B^{c}\)이고 \(B^{c}\)는 열린집합이므로 가정에 의해 열린집합 \(G\)가 존재해서 \(A\subset G\subset\overline{G}\subset B^{c}\)이다. \(\overline{G}^{c}=H\)라 하면 \(H\)는 열린집합이고 \(A\subset G,\,B\subset H=\overline{G}^{c},\,G\cap H=\emptyset\)이다. 따라서 \(X\)는 정규공간이다. (QED) |
\(T_{4}\)공간이면 \(T_{3}\)공간이고 \(T_{3}\)공간이면 \(T_{2}\)공간이다. (역은 성립하지 않음)
다음은 우리존의 보조정리(Urysohn's lemma)와 우리존의 거리화가능 정리(Urysohn's metrization theorem), 티체의 확장정리(Tietze's extension theorem)이다. 이 명제들은 증명없이 다루도록 하겠다.
7.8 (우리존의 보조정리, Urysohn's lemma) \(X\)를 정규공간이라 하자. \(A\)와 \(B\)가 \(X\)에서 서로소인 닫힌집합이면, 연속함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,1]\)가 존재해서 \(f[A]\subset\{0\},\,f[B]\subset\{1\}\)이다. |
7.9 (우리존의 거리화가능 정리, Urysohn's metrization theorem) 제 2 가산 \(T_{4}\)공간은 거리화가능 공간이다. |
7.10 (티체의 확장정리, Tietze's extension theorem) \(X\)를 정규공간이라 하자. \(A\)가 \(X\)에서 닫힌집합이고 \(f:\,A\,\rightarrow\,[a,\,b]\)가 연속이면, 연속함수 \(F:\,X\,\rightarrow\,[a,\,b]\)가 존재해서 \(F|_{A}=f\)이다. |
\(X\)를 위상공간, \(F\)를 닫힌집합, \(p\notin F\)라 하자. 연속함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,1]\)가 존재해서 \(f(p)=0,\,f[F]\subset\{1\}\)이면, 이 위상공간 \(X\)를 완전정칙공간(completely regular space)이라 한다. 또한 \(X\)가 완전정칙공간이고 \(T_{1}\)공간일 때 이 위상공간 \(X\)를 \(T_{3\frac{1}{2}}\)공간 또는 티코노프공간(Tychonoff space)이라고 한다.
7.11 완전정칙공간은 정칙공간이다. 증명: \(X\)를 완전정칙공간, \(F\)를 닫힌집합, \(p\notin F\)라 하자. 연속함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,1]\)가 존재해서 \(f(p)=0,\,f[F]\subset\{1\}\)이다.$$G=f^{-1}\left[\left[0,\,\frac{1}{3}\right)\right],\,H=f^{-1}\left[\left(\frac{2}{3},\,1\right]\right]$$라 하면 \(G,\,H\)는 \(X\)에서 열린집합이고 \(p\in G,\,F\subset H,\,G\cap H=\emptyset\)이다. 정칙공간의 정의에 의해 따라서 \(X\)는 정칙공간이다. (QED) |
참고자료
Real Analysis: Modern Techniques and Their Application, Folland, Wiley
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
위상수학의 기초, 이승온, 이석종, 교우사
