분리공리

분리공리

$X$를 위상공간, $a,\,b\in X$라 하자. $a\neq b$일 때 어떤 열린집합이 존재해서 $a$를 포함하고 $b$를 포함하지 않거나 $b$를 포함하고 $a$를 포함하지 않으면, 이 위상공간 $X$를 $T_{0}$공간 또는 콜모고로프 공간(Kolmogorov space)이라고 한다.

$X=\{a,\,b\},\,\mathcal{T}=\{\emptyset,\,X,\,\{a\}\}$라 하자. 그러면 이 위상공간은 $T_{0}$공간이고 이러한 공간을 시어핀스키 공간(Sierpinski space)이라 한다.

7.1 $X$를 위상공간이라 하자. 다음의 명제는 서로 동치이다. (1) $X$는 $T_{0}$공간이다. (2) $a,\,b\in X,\,a\neq b$에 대하여 $a\notin\overline{\{b\}}$또는 $b\notin\overline{\{a\}}$이다. 증명 (1)$\Rightarrow$(2): $X$를 $T_{0}$공간이라 하고 $a,\,b\in X,\,a\neq b$라 하자. $T_{0}$공간의 정의에 의해 열린집합 $U$가 존재해서 $a\in U,\,b\notin U$또는 $b\in U,\,a\notin U$이다. $a\in U,\,b\notin U$이면 $b\in U^{c},\,a\notin U^{c}$이고 $U^{c}$는 닫힌집합이므로 $\overline{\{b\}}\subset U^{c}$이고 $a\notin\overline{\{b\}}$이다. 반대의 경우도 이와 같은 방법으로 증명할 수 있다. (2)$\Leftarrow$(1): $a,\,b\in X,\,a\neq b$에 대하여 $a\notin\overline{\{b\}}$일 때, $U=\overline{\{b\}}^{c}$라 하면 $U$는 열린집합이고 $a\in U,\,b\notin U$이므로 따라서 $X$는 $T_{0}$공간이다. 반대의 경우도 이와 같은 방법으로 증명할 수 있다. (QED)

$X$를 위상공간, $a,\,b\in X$라 하자. 열린집합 $G$와 $H$가 존재해서 $a\in G,\,b\in H$이고 $a\notin G,\,b\notin H$이면, $X$를 $T_{1}$공간 또는 쿠라토프스키 공간(Kuratowski space)이라 한다.

앞에서 다룬 시어핀스키 공간은 $T_{0}$공간이나 $T_{1}$공간은 아니고 여유한 위상은 $T_{1}$공간이다.

7.2 $X$를 위상공간이라 하자. 다음의 명제는 서로 동치이다. (1) $X$는 $T_{1}$공간이다. (2) 모든 $a\in X$에 대하여, $\{a\}$는 닫힌집합이다. 증명 (1)$\Rightarrow$(2): $X$를 $T_{1}$공간이라 하고 $a\in X$라 하자. $b\in\{a\}^{c}$를 선택하면 $a\neq b$이고 $T_{1}$공간의 정의에 의해 열린집합 $G$와 $H$가 존재해서 $a\in G,\,b\in H$이고 $a\notin H,\, b\notin G$이다. $a\in H^{c}$이므로 $\{a\}\subset H^{c}$이고 따라서 $b\in H\subset\{a\}^{c}$이다. 그러면 $\{a\}^{c}$는 열린집합이고 따라서 $\{a\}$는 닫힌집합이다. (2)$\Leftarrow$(1): $a,\,b\in X,\,a\neq b$라 하자. 그러면 가정에 의해 $\{a\}$와 $\{b\}$는 닫힌집합이다. 따라서 $\{a\}^{c}$와 $\{b\}^{c}$는 열린집합이고 $G=\{b\}^{c},\,H=\{a\}^{c}$라 하면 $a\in G,\,b\in H$이고 $a\notin H,\, b\notin G$이므로 따라서 $X$는 $T_{1}$공간이다. (QED)

$X$를 위상공간, $a,\,b\in X$라 하자. $a\neq b$일 때, 서로소인 열린집합 $G$와 $H$가 존재해서 $a\in G$이고 $b\in H$이면, $X$를 $T_{2}$공간 또는 하우스도르프 공간(Hausdorff space)이라 한다.

거리공간 $(X,\,d)$와 보통위상공간 $\mathbb{R},\,\mathcal{U}$는 $T_{2}$공간이다. 거리공간에서 $a,\,b\in X,\,a\neq b$라 하자. 그러면 $d(a,\,b)=\epsilon>0$이고 $$a\in B\left(a,\,\frac{\epsilon}{3}\right),\,b\in B\left(b,\,\frac{\epsilon}{3}\right),\,B\left(a,\,\frac{\epsilon}{3}\right)\cap B\left(b,\,\frac{\epsilon}{3}\right)=\emptyset$$ 이다. 다음으로 보통위상공간에서 $a,\,b\in\mathbb{R},\,a<b,\,\epsilon=\frac{b-a}{3}$라 하자. 그러면 $G=(a-\epsilon,\,a+\epsilon)$와 $H=(b-\epsilon,\,b+\epsilon)$는 열린집합이고 $a\in G,\,b\in H,\,G\cap H=\emptyset$이다.

7.3 $T_{2}$공간에서 수렴하는 수열의 극한은 유일하다. 증명: 위상공간 $X$를 $T_{2}$공간, $X$상의 수열 $\{a_{n}\}$이 서로 다른 두 점 $p$와 $q$로 동시에 수렴한다고 하자. 그러면 $T_{2}$공간의 정의에 의해 서로소인 두 열린집합 $G$와 $H$가 존재해서 $p\in G$이고 $q\in H$이다. 가정에 의해 $N_{1},\,N_{2}\in\mathbb{N}$이 존재해서 $m\geq N_{1}$일 때, $a_{m}\in G$이고 $n\geq N_{2}$일 때, $a_{n}\in H$이다. $N=\max\{N_{1},\,N_{2}\}$라 하면 $N\geq N_{1},\,N\geq N_{2}$이므로 $a_{N}\in G\cap H$가 되고 $G\cap H=\emptyset$이므로 이는 모순이다. 따라서 $T_{2}$공간에서 수렴하는 수열의 극한은 유일하다. (QED)

7.4 $X$를 위상공간이라 하자. 다음의 명제는 서로 동치이다. (1) $X$는 $T_{2}$공간이다. (2) 집합 $\Delta=\{(x,\,x)\,|\,x\in X\}$는 $X\times X$에서 닫힌집합이다. 증명 (1)$\Rightarrow$(2): $(a,\,b)\in\Delta^{c}$라 하자. 그러면 $a\neq b$이고 $a,\,b\in X$이다. $X$는 $T_{2}$공간이므로 서로소인 열린집합 $G$와 $H$가 존재해서 $a\in G,\,b\in H$이다. 따라서 $G\times H$와 $\Delta^{c}$는 서로소이고 $(a,\,b)\in G\times H\subset\Delta^{c}$이므로 $\Delta^{c}$는 열린집합이고 따라서 $\Delta$는 닫힌집합이다. (2)$\Leftarrow$(1): $a,\,b\in X,\,a\neq b$라 하자. 그러면 $(a,\,b)\in\Delta^{c}$이고 $\Delta^{c}$는 열린집합이므로 $X\times X$의 기저의 원소 $G\times H$가 존재해서 $(a,\,b)\in G\times H\subset\Delta^{c}$이다. $G$와 $H$는 $X$에서 열린집합이고 $a\in G,\,b\in H$이며 $G\times H\subset\Delta^{c}$이므로 $(G\times H)\cap\Delta=\emptyset$이고 $G\cap H=\emptyset$이다. 따라서 $X$는 $T_{2}$공간이다. (QED)

7.5 $X$를 임의의 위상공간, $Y$를 $T_{2}$공간이라 하고 함수 $f,\,g:\,X\,\rightarrow\,Y$를 연속함수라 하자. 그러면 (1) 집합 $\{x\,|\,f(x)=g(x)\}$는 $X$에서 닫힌집합이다. (2) $D$가 $X$에서 조밀한 집합이고 $f|_{D}=g|_{D}$이면, $f=g$이다. 증명 (1): 함수 $h:\,X\,\rightarrow\,Y\times Y$를 모든 $x\in X$에 대하여 $h(x)=(f(x),\,g(x))$로 정의하자. $Y$는 $T_{2}$공간이므로 7.4에 의해 집합 $\Delta=\{(y,\,y)\,|\,y\in Y\}$는 $Y\times Y$에서 닫힌집합이고 따라서 $h^{-1}[\Delta]=\{x\,|\,f(x)=g(x)\}$는 $X$에서 닫힌집합이다. (2) $D$가 $X$에서 조밀한 집합이고 $f|_{D}=g|_{D}$이면 $D\subset\{x\,|\,f(x)=g(x)\}$이고 (1)에 의해 $X=\overline{D}\subset\{x\,|\,f(x)=g(x)\}$이다. 따라서 $X=\{x\,|\,f(x)=g(x)\}$이므로 $f=g$이다. (QED)

$T_{2}$공간이면 $T_{1}$공간이고 $T_{1}$공간이면 $T_{0}$공간이다. (역은 성립하지 않음)

$X$를 위상공간이라 하고 $F$를 닫힌집합, $p\notin F$라 하자. 서로소인 열린집합 $G$와 $H$가 존재해서 $p\in G,\,F\subset H$이면, $X$를 정칙공간(regular space)이라 한다. 또한 정칙공간이고 $T_{1}$공간이면 $X$는 $T_{3}$공간이다.

$T_{3}$공간의 정의로부터 $T_{3}$공간이면 $T_{2}$공간이다.

$X=\{a,\,b,\,c\},\,\mathcal{T}=\{\emptyset,\,X\,\{a\},\,\{b,\,c\}\}$라 하자. 그러면 이 위상공간은 정칙공간이나 $T_{1}$공간이 아니므로 $T_{3}$공간도 아니다. 또한 $T_{2}$공간도 아니다.

거리공간의 경우 한 원소 집합은 폐집합이므로 $T_{1}$공간이고 5.5에 의해 정칙공간이다. 따라서 거리공간은 $T_{3}$공간이다. 또한 보통위상공간 $(\mathbb{R},\,\mathcal{U})$는 거리화가능하므로 $T_{3}$공간이다.

7.6 $X$를 위상공간이라 하자. 다음의 명제는 서로 동치이다. (1) $X$는 정칙공간이다. (2) $U$가 $X$에서 열린집합이고 $p\in U$이면, 열린집합 $G$가 존재해서 $p\in G\subset\overline{G}\subset U$이다. 증명 (1)$\Rightarrow$(2): $X$에서 $A$를 닫힌집합, $U$를 열린집합이라 하고 $A\subset U$라 하자. $F=U^{c}$라 하면 $F$는 닫힌집합이고 $p\notin F$이므로 정칙공간의 정의에 의해 서로소인 열린집합 $G$와 $H$가 존재해서 $p\in G,\,F\subset H$이다. $F=U^{c}\subset H$이므로 $p\in G\subset H^{c}\subset U$이고 $H^{c}$는 닫힌집합이므로 따라서 $p\in G\subset\overline{G}\subset U$이다. (2)$\Leftarrow$(1): $F$를 $X$에서 닫힌집합이라 하고 $p\notin F$라 하자. 그러면 $p\in F^{c}$이고 $F^{c}$는 열린집합이므로 가정에 의해 열린집합 $G$가 존재해서 $p\in G\subset\overline{G}\subset F^{c}$이다. $H=\overline{G}^{c}$라 하면 $H$는 열린집합이고 $\overline{G}\subset F^{c}$이므로 $F\subset\overline{G}^{c}=H$이고 $G\cap H=\emptyset$이다. 따라서 $X$는 정칙공간이다. (QED)

$X$를 위상공간이라 하자. 닫힌집합 $A,\,B$에 대하여 서로소인 열린집합 $G$와 $H$가 존재해서 $A\subset G,\,B\subset H$이면, 이 위상공간 $X$를 정규공간(normal space)이라 한다. 또한 정규공간이고 $T_{1}$공간이면 $T_{4}$공간이라고 한다.

거리공간과 보통위상공간 $(\mathbb{R},\,\mathcal{U})$는 정규공간이다.

7.7 $X$를 위상공간이라 하자. 다음의 명제는 서로 동치이다. (1) $X$는 정규공간이다. (2) $A$를 닫힌집합, $U$를 열린집합이라 하고 $A\subset U$라 하자. 그러면 열린집합 $G$가 존재해서 $A\subset G\subset\overline{G}\subset U$이다. 증명: (1)$\Rightarrow$(2): $A$를 닫힌집합, $U$를 열린집합이라 하고 $A\subset U$라 하자. 그러면 $A\cap U^{c}=\emptyset$이고 $U^{c}$는 닫힌집합이다. $X$는 정규공간이므로 서로소인 열린집합 $G,\,H$가 존재해서 $A\subset G,\,U^{c}\subset H$이다. 따라서 $A\subset G\subset H^{c}\subset U$이고 $H^{c}$는 닫힌집합이므로 따라서 $A\subset G\subset\overline{G}\subset H^{c}\subset U$이다. (2)$\Rightarrow$(1): $A,\,B$를 서로소인 닫힌집합이라 하자. $A\cap B=\emptyset$이므로 $A\subset B^{c}$이고 $B^{c}$는 열린집합이므로 가정에 의해 열린집합 $G$가 존재해서 $A\subset G\subset\overline{G}\subset B^{c}$이다. $\overline{G}^{c}=H$라 하면 $H$는 열린집합이고 $A\subset G,\,B\subset H=\overline{G}^{c},\,G\cap H=\emptyset$이다. 따라서 $X$는 정규공간이다. (QED)

$T_{4}$공간이면 $T_{3}$공간이고 $T_{3}$공간이면 $T_{2}$공간이다. (역은 성립하지 않음)

다음은 우리존의 보조정리(Urysohn's lemma)와 우리존의 거리화가능 정리(Urysohn's metrization theorem), 티체의 확장정리(Tietze's extension theorem)이다. 이 명제들은 증명없이 다루도록 하겠다.

7.8 (우리존의 보조정리, Urysohn's lemma) $X$를 정규공간이라 하자. $A$와 $B$가 $X$에서 서로소인 닫힌집합이면, 연속함수 $f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,1]$가 존재해서 $f[A]\subset\{0\},\,f[B]\subset\{1\}$이다.

7.9 (우리존의 거리화가능 정리, Urysohn's metrization theorem) 제 2 가산 $T_{4}$공간은 거리화가능 공간이다.

7.10 (티체의 확장정리, Tietze's extension theorem) $X$를 정규공간이라 하자. $A$가 $X$에서 닫힌집합이고 $f:\,A\,\rightarrow\,[a,\,b]$가 연속이면, 연속함수 $F:\,X\,\rightarrow\,[a,\,b]$가 존재해서 $F|_{A}=f$이다.

$X$를 위상공간, $F$를 닫힌집합, $p\notin F$라 하자. 연속함수 $f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,1]$가 존재해서 $f(p)=0,\,f[F]\subset\{1\}$이면, 이 위상공간 $X$를 완전정칙공간(completely regular space)이라 한다. 또한 $X$가 완전정칙공간이고 $T_{1}$공간일 때 이 위상공간 $X$를 $T_{3\frac{1}{2}}$공간 또는 티코노프공간(Tychonoff space)이라고 한다.

7.11 완전정칙공간은 정칙공간이다. 증명: $X$를 완전정칙공간, $F$를 닫힌집합, $p\notin F$라 하자. 연속함수 $f:\,X\,\rightarrow\,[0,\,1]$가 존재해서 $f(p)=0,\,f[F]\subset\{1\}$이다. $$G=f^{-1}\left[\left[0,\,\frac{1}{3}\right)\right],\,H=f^{-1}\left[\left(\frac{2}{3},\,1\right]\right]$$ 라 하면 $G,\,H$는 $X$에서 열린집합이고 $p\in G,\,F\subset H,\,G\cap H=\emptyset$이다. 정칙공간의 정의에 의해 따라서 $X$는 정칙공간이다. (QED)

참고자료
Real Analysis: Modern Techniques and Their Application, Folland, Wiley
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
위상수학의 기초, 이승온, 이석종, 교우사