[미분기하학] 12. 곡면의 사상, 적분

[미분기하학] 12. 곡면의 사상, 적분

함수의 모든 좌표표현이 미분가능하다고 하자.

한 곡면에서 다른 곡면으로의 함수 \(F:M\,\rightarrow\,N\)이 \(M\)상의 모든 조각 \(\mathbf{x}\)와 \(N\)상의 모든 조각 \(\mathbf{y}\)에 대해 합성함수 \(\mathbf{y}^{-1}\circ F\circ\mathbf{x}\)가 유클리드 공간에서 미분가능할 때, 그리고 \(\mathbb{R}^{2}\)의 열린집합에서 정의될 때, 함수 \(F\)를 미분가능하다고 하고, \(F\)를 곡면의 사상(mapping of surface)이라고 한다. 

함수 \(\mathbf{y}^{-1}\circ F\circ\mathbf{x}\)는 \(F(\mathbf{x}(u,\,v))\)가 \(\mathbf{y}\)상의 \(D\)의 모든 점 \((u,\,v)\)에서 정의된다.

이 정의를 적용할 때 \(M\)과 \(N\)을 덮는 조각에 대해서만 확인하면 된다. 

\(\Sigma\)를 북극점과 남극점이 제거된 \(\mathbb{R}^{3}\)에 놓인(중심이 0인) 단위 구면이라 하고, \(C\)를 \(xy\)평면에 놓인 단위원 위에 세워진 원기둥면이라 하자. 

그러면 \(C\)는 구면과 적도를 따라 만나고 함수 \(F:\Sigma\,\rightarrow\,C\)를 다음과 같이 정의한다.

\(\mathbf{p}\)가 \(\Sigma\)의 점일 때, \(z\)축으로부터 \(\mathbf{p}\)를 지나 수직으로 나가는 직선을 그리고 \(F(\mathbf{p})\)를 다음과 같이 그 직선이 처음으로 \(C\)와 만나는 점이라 하자.

\(F\)가 사상임을 보이기 위해 \(\Sigma\)안에 지리적 조각 \(\mathbf{x}(u,\,v)=(r\cos v\cos u,\,r\cos v\sin u,\,r\sin v)\)를 이용하고 \(C\)에 대해서는 조각 \(\mathbf{x}(u,\,v)=(\cos u,\,\sin u,\,v)\)를 이용한다. 그러면 \(F\)의 정의에 의해$$F(\mathbf{x}(u,\,v))=(\cos u,\,\sin u,\,\sin v)$$이고 \(C\)의 이 점은 \(\mathbf{y}(u,\,\sin u)\)이므로 따라서$$F(\mathbf{x}(u,\,v))=\mathbf{y}(u,\,\sin v)$$이다. \(\mathbf{y}^{-1}\)를 등식의 양변에 적용하면 \((\mathbf{y}^{-1}\circ F\circ\mathbf{x})(u,\,v)=(u,\,\sin v)\)가 되어 미분가능하다. 그러므로 \(F\)는 사상이다.

\(\Sigma\)를 \(xy\)평면의 원점 위에 놓인 단위구면이라 하자. 그러면 \(\Sigma\)의 중심은 \((0,\,0,\,1)\)이다. \(\Sigma\)로부터 북극점 \(\mathbf{n}=(0,\,0,\,2)\)를 제거하고, 그 북극점에 광원이 있다고 하고 \(\Sigma\)의 각 점 \(\mathbf{p}\)에 대해 \(P(\mathbf{p})\)를 \(xy\)평면에서의 \(\mathbf{p}\)의 그림자라고 하자.

\(xy\)평면과 \(\mathbb{R}^{2}\)를 사상 \((p_{1},\,p_{2},\,0)\,\leftrightarrow\,(p_{1},\,p_{2})\)에 의해 같다고 하자. 그러면 \(\Sigma\)에서 \(\mathbb{R}^{2}\)위로의 함수 \(P\)를 다음과 같이 정의할 수 있게 된다.$$P(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=\left(\frac{Rp_{1}}{r},\,\frac{Rp_{2}}{r}\right)$$여기서 \(r\)과 \(R\)은 각각 \(\mathbf{p}\)와 \(P(\mathbf{p})\)로부터 \(z\)축까지의 거리이고, 다음 그림의 닮은삼각형으로부터 \(\displaystyle\frac{R}{2}=\frac{r}{2-p_{3}}\)이므로

다음과 같이 된다.$$P(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=\left(\frac{2p_{1}}{2-p_{3}},\,\frac{2p_{2}}{2-p_{3}}\right)$$\(\mathbf{x}\)가 \(\Sigma\)에 놓인 임의의 조각이면, 합성함수 \(P\circ\mathbf{x}\)는 유클리드공간에서 미분가능하고 \(P:\Sigma\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}\)는 사상이다. 이것을 구멍난 구 \(\Sigma\)의 평면 위로의 입체사영(stereographic projection)이라고 한다.

유클리드 공간에서처럼 곡면의 사상도 접사상을 갖는다. 

\(F:M\,\rightarrow\,N\)를 곡면의 사상이라고 하자. \(F\)의 접사상(tangent map) \(F_{*}\)를 \(M\)의 각각의 접벡터 \(\mathbf{v}\)에 \(N\)의 접벡터 \(F_{*}(\mathbf{v})\)를 대응시키는데, \(\mathbf{v}\)가 \(M\)안의 곡선 \(\alpha\)의 초기속도벡터이면, \(F_{*}(\mathbf{v})\)는 \(N\) 위의 상곡선 \(F(\alpha)\)의 초기속도벡터이다.

뿐만 아니라 각 점 \(\mathbf{p}\)에서 접사상 \(F_{*}\)는 접평면 \(T_{p}(M)\)에서 접평면 \(T_{F(p)}(N)\)으로의 선형변환이다. 

사상 \(F:M\,\rightarrow\,N\)의 접사상은 편속도를 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다.

\(\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,M\)이 \(M\)의 매개화일 때, \(\mathbf{y}\)를 합성사상 \(F(\mathbf{x}):D\,\rightarrow\,N\)이라 하자. 분명히 \(F\)는 \(\mathbf{x}\)의 매개곡선을 \(\mathbf{y}\)의 대응하는 매개곡선으로 보내고, \(F_{*}\)를 곡선의 속도를 보존하기 때문에 다음을 얻는다.$$F_{*}(\mathbf{x}_{u})=\mathbf{y}_{u},\,F_{*}(\mathbf{x}_{v})=\mathbf{y}_{v}$$\(\mathbf{x}_{u}\)와 \(\mathbf{x}_{v}\)가 \(\mathbf{x}[D]\)의 각 점에서 \(M\)의 접공간에 대한 기저를 이루기 때문에 이렇게 간단히 계산된 식이 \(F_{*}\)를 결정한다. 

\(F\)의 모든 접사상 \(F_{*p}:T_{P}(M)\,\rightarrow\,T_{F(P)}(N)\)이 일대일이면 \(F\)를 정칙(regular)이라고 한다. 이들 접평면은 차원이 같으므로 선형대수학으로부터 일대일 조건은 \(F_{*}\)가 선형동형사상이라는 것과 동치이다. 사상 \(F:M\,\rightarrow\,N\)이 역사상 \(F^{-1}:N\,\rightarrow\,M\)를 가지면 미분동형사상(diffeomorphism)이라고 한다. 미분동형사상 \(F\)를 \(M\)을 변형시켜 \(N\)을 만드는 것으로 볼 수 있고, \(F\)의 좌표표현 \(\mathbf{y}^{-1}\circ F\circ\mathbf{x}\)에 유클리드 공간에서의 역함수 정리를 적용함으로서 역함수정리를 확장할 수 있다.

\(F:M\,\rightarrow\,N\)를 곡면의 사상이라 하고, \(F_{*P}:T_{P}(M)\,\rightarrow\,T_{F(P)}(N)\)이 \(M\)의 어떤 점 \(\mathbf{p}\)에서의 선형동형사상이라고 하자. 그러면 \(M\)은 점 \(\mathbf{p}\)의 근방 \(\mathcal{U}\)가 존재해서 \(F\)의 \(\mathcal{U}\)에 대한 제한이 \(N\)의 \(F(\mathbf{p})\)의 근방 \(\mathcal{V}\)위로의 미분동형사상이다. 

이 정리로부터 얻을 수 있는 결론은 \(M\)에서 \(N\) 위로의 일대일 정칙사상은 미분동형사상이라는 것이다. 이때 미분동형사상은 크기와 모양과는 관계가 없다.

(1) 평면 \(\mathbb{R}^{2}\)의 모든 열린 직사각형은 평면 전체와 미분동형이다. \(\displaystyle R:-\frac{\pi}{2}<u,\,v<\frac{\pi}{2}\)라 하자. 그러면 \(F(u,\,v)=(\tan u,\,\tan v)\)는 \(R\)에서 \(\mathbb{R}^{2}\)위로의 사상이다. \(F\)의 역사상 \(F^{-1}(u_{1},\,v_{1})=(\tan^{-1}u_{1},\,\tan^{-1}v_{1})\)은 \(F\)의 미분가능한 역사상이고 \(F\)는 미분동형사상이다. 

(2) 한 점이 제외된 구면 \(\Sigma\)는 평면 전체와 미분동형이다. 앞에서 다룬 입체사영으로부터 입체사영 \(P\)가 구멍난 구면 \(\Sigma_{0}\)로부터 평면 \(\mathbb{R}^{2}\)로의 일대일 사상임은 분명하다. 지리적 조각을 약간 변형하면 \(\Sigma_{0}-\{0\}\)의 조각$$\mathbf{x}(u,\,v)=(\cos v\cos u,\,\cos v\sin u,\,1+\sin v)$$를 얻는다.$$\mathbf{y}(u,\,v)=P(\mathbf{x}(u,\,v))=\frac{2\cos v}{1-\sin v}(\cos u,\,\sin v)$$를 얻고 \(P_{*}(\mathbf{x}_{u})=\mathbf{y}_{u}\), \(P_{*}(\mathbf{x}_{v})=\mathbf{y}_{v}\)이므로 \(P_{*}\)의 정칙성은 \(\mathbf{y}_{u}\)와 \(\mathbf{y}_{v}\)를 계싼함으로서 증명할 수 있고, \(\mathbf{y}_{u},\,\mathbf{y}_{v}\)는 직교하고 0이 아니므로 다음과 같이 1차독립이고 \(P\)는 미분동형사상이다.

미분형식은 임의의 사상에 의해 한 곡면에서 다른 곡면으로 옮겨진다. 실함수 \(f\)에 대해 \(F:M\,\rightarrow\,N\)이 곡면의 사상이고 \(f\)가 \(M\)에서 정의된 함수이면 \(f\)를 \(N\)위로 보내기는 어려우나 대신 \(f\)가 \(N\)에서 정의되면 문제는 간단해진다. \(f\)를 \(M\)위의 합성함수 \(f(F)\)로 끌어당기면 되고, 1차형식과 2차형식의 끌어당김(pullback)은 다음과 같다.

 

\(F:M\,\rightarrow\,N\)를 곡면의 사상이라고 하자. 

(1) \(\phi\)가 \(N\)위의 1차형식이면, \(F^{*}(\phi)\)는 \(M\)의 모든 접벡터 \(\mathbf{v}\)에 대해 \((F^{*}\phi)(\mathbf{v})=\phi(F_{*}\mathbf{v})\)인 \(M\)위의 1차형식이라고 한다. 

(2) \(\eta\)가 \(N\)위의 2차형식이면, \(F^{*}(\eta)\)는 \(M\)위의 한 쌍의 \(\mathbf{v}\)와 \(\mathbf{w}\)에 대하여 \((F^{*}\eta)(\mathbf{v},\,\mathbf{w})=\eta(F_{*}(\mathbf{v}),\,F_{*}(\mathbf{w}))\)인 \(M\)위의 2차형식이라고 한다.

함수 \(f\)를 0차형식으로 다룰 때 1차형식과 2차형식의 끌어당김의 기호와 맟추어서 \(f(F)\)대신 \(F^{*}f\)로 나타낸다. 형식의 핵심적 연산은 합, 쐐기곱, 외도함수이고, 이 연산들은 모두 사상에 의해 보존된다.  

  

\(F:M\,\rightarrow\,N\)가 곡면의 사상이고 \(\xi\)와 \(\eta\)를 \(N\)위의 형식이라고 하면 다음이 성립한다.

(1) \(F^{*}(\xi+\eta)=F^{*}\xi+F^{*}\eta\) 

(2) \(F^{*}(\xi\wedge\eta)=F^{*}\xi\wedge F^{*}\eta\) 

(3) \(F^{*}(d\xi)=d(F^{*}\xi)\) 

증명: 생략

임의의 곡면 위에서의 적분이론을 확립하기 위해서는 미분형식이 필요하다. 적분은 유클리드 공간에서만 일어나므로 곡면 위의 형식을 먼저 유클리드 공간으로 변환할 필요가 있다.

1차원일 경우 \(\alpha:[a,\,b]\,\rightarrow\,M\)을 곡면 \(M\)위에서의 곡선단편이라 하자. \(M\)위의 1차형식 \(\phi\)를 구간 \([a,\,b]\)로 끌어당긴 \(\alpha^{*}\phi\)는 \(f(t)dt\)이고 다음이 성립한다.$$f(t)=(\alpha^{*}\phi)(U_{1}(t))=\phi(\alpha_{*}(U_{1}(t)))=\phi(\alpha'(t))$$따라서 다음의 결과를 얻는다. 

\(\phi\)를 \(M\)위의 1차형식, \(\alpha:[a,\,b]\,\rightarrow\,M\)를 1차원 단편이라 하자.

그러면 \(\alpha\)위에서의 \(\phi\)의 적분은 다음과 같다.$$\int_{\alpha}{\phi}=\int_{[a,\,b]}{\alpha^{*}\phi}=\int_{a}^{b}{\phi(\alpha'(t))dt}$$공학 및 물리학에서 이 적분을 선적분(line integral)이라고 한다. 곡면 위의 벡터장 \(V\)를 힘장(force field)이라고 하자. \(\alpha(t)\)가 시각 \(t\)에서의 위치를 나타내고 \(\alpha:[a,\,b]\,\rightarrow\,M\)은 입자의 움직임을 나타낸다고 하자. \(\alpha\)가 \(\mathbf{p}=\alpha(a)\)에서 \(\mathbf{q}=\alpha(b)\)까지 움직이는데 필요한 일(work)의 총량 \(W\)를 구하자. 충분히 작은 \(\Delta t\)에 대해 \(\alpha(t)\)에서 \(\alpha(t+\Delta t)\)까지 곡선 \(\alpha\)의 궤적은 근사적으로 \(\Delta t\alpha'(t)\)로 나타낼 수 있다.

움직이는 점은 힘의 \(\alpha\)의 접성분, 즉 \(\displaystyle V(\alpha)\cdot\frac{\alpha'}{\|\alpha'\|}=\|V(\alpha)\|\cdot\cos\theta\)의 영향을 받는다. 

시간 \(\Delta t\)동안 힘에 대해 한 일은 근사적으로 힘 \(\displaystyle V(\alpha'(t))\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|}\)에 거리 \(\|\alpha'(t)\|\Delta t\)를 곱한 것이다. 이것을 전체 시간 구간의 분할점에 대해 합하고 극한을 취하면 다음을 얻는다.$$W=\int_{a}^{b}{V(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)dt}$$이것을 간단히 나타내기 위해서 \(\mathbf{p}\)에서의 접벡터 \(\mathbf{w}\)에 대해 \(\phi(\mathbf{w})=\mathbf{w}\cdot V(\mathbf{p})\)인 쌍대 1차형식 \(\phi\)를 도입하면 \(\displaystyle W=\int_{\alpha}{\phi}\)로 나타낼 수 있다. 

선적분 개념은 모든 미분형식과 같이, 곡면 \(M\)이 유클리드 공간 똔느 다양체로 바뀌어도 잘 적용된다. 적분되는 1차형식이 함수의 미분이면, 미적분학의 기본정리에 의해 다음과 같은 일반화를 얻는다.

\(f\)를 \(M\)위의 함수라 하고 \(\alpha:[a,\,b]\,\rightarrow\,M\)을 \(\mathbf{p}=\alpha(a)\), \(\mathbf{q}=\alpha(b)\)로의 \(M\) 안의 1차원 단편이라 하면 다음이 성립한다.$$\int_{\alpha}{df}=f(\mathbf{q})-f(\mathbf{p})$$증명: 정의에 의해 \(\displaystyle\int_{\alpha}{df}=\int_{a}^{b}{df(\alpha')dt}\)이다. 그런데$$df(\alpha')=\alpha'(f)=\frac{d}{dt}(f\alpha)$$이므로 미적분학의 기본정리에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\int_{\alpha}{df}=\int_{a}^{b}{\frac{d}{dt}(f\alpha)dt}=f(\alpha(b))-f(\alpha(a))=f(\mathbf{q})-f(\mathbf{p})$$그러므로 적분 \(\displaystyle\int_{\alpha}{df}\)는 경로에 무관하고 그 값은 \(\mathbf{p}\)에서 \(\mathbf{q}\)로의 모든 곡선에 대해서 같다. 따라서 \(\alpha(a)=\alpha(b)\)인 모든 닫힌곡선에 대해 그 적분값은 0이다. 

\(\alpha\)위에서 \(df\)의 적분은 \(f\)의 경계 \(\mathbf{q}-\mathbf{p}\)위에서 \(f\)의 적분, 즉 \(f(\mathbf{q})-f(\mathbf{p})\)와 같다. 

\(\mathbb{R}^{2}\)의 닫힌 직사각형 \(R:a\leq u\leq b,\,c\leq v\leq d(=[a,\,b]\times[c,\,d])\)를 2차원 구간으로 생각하자. 그러면 \(M\)상의 2차원 단편(2-segment)은 닫힌 사각형에서 미분가능한 사상 \(\mathbf{x}:R\,\rightarrow\,M\)이다.

1차원 단편에서와 같이 미분가능성을 \(R\)을 포함하는 더 큰 열린집합에서 정의된 것으로 \(\mathbf{x}\)를 미분가능하게 확장할 수 있음을 뜻한다. 

\(\eta\)가 \(M\)위의 2차형식이면, \(\eta\)의 끌어당김 \(\mathbf{x}^{*}\eta\)는 좌표표현이 \(kdudv\)이고$$h=(\mathbf{x}^{*}\eta)(U_{1},\,U_{2})=\eta(\mathbf{x}_{*}U_{1},\,\mathbf{x}_{*}U_{2})=\eta(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})$$이다. 앞에서 적분을 정의했듯이 다음과 같이 2차형식의 적분을 정의할 수 있다.

\(\eta\)가 \(M\)위의 2차형식이고, \(\mathbf{x}:R\,\rightarrow\,M\)를 2차원 단편이라고 하자. 그러면 \(\mathbf{x}\)위에서 \(\eta\)의 적분은 다음과 같다.$$\iint_{\mathbf{x}}{\eta}=\iint_{R}{\mathbf{x}^{*}\eta}=\int_{a}^{b}{\int_{c}^{d}{\eta(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})du}dv}$$\(R\)을 닫힌 사각형 \(a\leq u\leq b,\,c\leq v\leq d\), \(\mathbf{x}:R\,\rightarrow\,M\)을 \(M\)상의 2차원 단편이라 하자.

\(\mathbf{x}\)의 모서리 곡선(또는 모서리)은 다음과 같은 1차원 단편 \(\alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\delta\)를 의미한다.$$\begin{align*}\alpha(u)&=\mathbf{x}(u,\,c)\\ \beta(v)&=\mathbf{x}(b,\,v)\\ \gamma(u)&=\mathbf{x}(u,\,d)\\ \delta(v)&=\mathbf{x}(a,\,v)\end{align*}$$2차원 단편 \(\mathbf{x}\)의 경계(boundary) \(\partial\mathbf{x}\)는 \(\partial\mathbf{x}=\alpha+\beta-\gamma-\delta\)로 나타낼 수 있고, 이들 네 선분은 \(\mathbf{x}:R\,\rightarrow\,M\)을 사각형 \(R\)을 구성하는 경계의 네 선분 위에서만 생각하여 얻을 수 있다. 여기서 \(\gamma,\,\delta\)앞의 (-)부호는 \(R\)의 둘레를 동일한 방향으로 돌기 위해서 방향이 반대여야 하기 때문에 붙은 것이다.

\(\phi\)가 \(M\)위의 1차형식이면, \(\mathbf{x}\)의 경계에서 \(\phi\)의 적분은 다음과 같이 정의된다.$$\in_{\partial\mathbf{x}}{\phi}=\int_{\alpha}{\phi}+\int_{\beta}{\phi}-\int_{\gamma}{\phi}-\int_{\delta}{\phi}$$스토크스 정리(Stokes's theorem) \(\phi\)가 \(M\)에서의 1차형식이고 \(\mathbf{x}\,\rightarrow\,M\)가 2차원 단편이면 다음이 성립한다.$$\\int_{\mathbf{x}}{d\phi}=\int_{\partial{x}}{\phi}$$증명: 다음의 식에서$$\iint_{R}{(d\phi)(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})dudv}=\iint_{R}{\left(\frac{\partial}{\partial u}(\phi(\mathbf{x}_{u}))-\frac{\partial}{\partial v}(\phi(\mathbf{x}_{u}))\right)dudv}$$\(f=\phi(\mathbf{x}_{u}),\,g=\phi(\mathbf{x}_{v})\)라 하면 다음이 성립하고$$\iint_{\mathbf{x}}{d\phi}=\iint_{R}{\frac{\partial g}{\partial u}dudv}-\iint_{R}{\frac{\partial f}{\partial v}dudv}$$이들 중적분을 반복적분으로 보자. 사각형 \(R\)이 \(a\leq u\leq b\), \(c\leq v\leq d\)일 때 먼저 \(u\)에 대해 적분하자. \(\displaystyle I(u)=\int_{a}^{b}{\frac{\partial g}{\partial u}(u,\,v)du}\)라 하면 다음이 성립한다.$$\iint_{R}{\frac{\partial g}{\partial u}dudv}=\int_{c}^{d}{I(v)dv}$$\(I(v)\)를 정의하는 편적분에서 \(v\)는 상수이고 피적분함수는 \(u\)에 대한 미분이다. 미적분학의 기본정리를 이용해 \(I(v)=g(b,\,v)-g(a,\,v)\)를 얻는다.

따라서$$\iint_{R}{\frac{\partial g}{\partial u}dudv}=\int_{c}^{d}{g(b,\,v)dv}-\int_{c}^{d}{g(a,\,v)dv}$$이고 \(g(b,\,v)=\phi(\mathbf{x}_{v}(b,\,v))\), \(\mathbf{x}_{v}(b,\,v)\)는 \(\partial\mathbf{x}\)의 오른쪽 곡선 \(\beta\)의 속도 \(\beta'(v)\)이고 따라서 다음이 성립한다.$$\int_{c}^{d}{g(b,\,v)dv}=\int_{c}^{d}{\phi(\beta'(v))dv}=\int_{\beta}{\phi}$$같은 방법으로 $$\int_{c}^{d}{g(a,\,v)dv}=\int_{c}^{d}{\phi(\delta'(v))dv}=\int_{\delta}{\phi}$$이므로 다음을 얻는다.$$\iint_{R}{\frac{\partial g}{\partial u}dudv}=\int_{\beta}{\phi}-\int_{\delta}{\phi}$$같은 방법으로 다음을 얻고$$\iint_{R}{\frac{\partial f}{\partial v}dudv}=\int{\gamma}_{\phi}-\int_{\alpha}{\phi}$$따라서 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\iint_{\mathbf{x}}{d\phi}=\left\{\int_{\beta}{\phi}-\int_{\delta}{\phi}\right\}-\left\{\int_{\gamma}{\phi}-\int_{\alpha}{\phi}\right\}=\int_{\partial\mathbf{x}}{\phi}$$선적분 \(\displaystyle\int_{\alpha}{\phi}\)는 \(\alpha\)의 재매개화에 변하지 않고, 중요한 것은 \(\alpha\)의 방향이다.

\(\alpha(h):[a,\,b]\,\rightarrow\,M\)가 곡선 단편 \(\alpha:[c,\,d]\,\rightarrow\,M\)의 \(h:[a,\,b]\,\rightarrow\,[c,\,d]\)에 의한 재매개화일 때, \(M\)위의 임의의 1차형식 \(\phi\)에 대하여 다음과 같다.

(1) \(h\)가 방향을 보존할 때, 즉 \(h(a)=c\), \(h(b)=d\)일 때, \(\displaystyle\int_{\alpha(h)}{\phi}=\int_{\alpha}{\phi}\)

(2) \(h\)가 방향을 거꾸로 할 때, 즉 \(h(a)=d\), \(h(b)=c\)일 때, \(\displaystyle\int_{\alpha(h)}{\phi}=-\int_{\alpha}{\phi}\)

증명: \(\alpha(h)\)의 속도는 \(\displaystyle\alpha(h)'=\frac{dh}{dt}\alpha'(h)\)이므로 다음이 성립한다.$$\int_{\alpha(h)}{\phi}=\int_{a}^{b}{\phi(\alpha(h)')dt}=\int_{a}^{b}{\phi(\alpha(h)')\frac{dh}{dt}dt}$$위의 마지막 식을 치환적분으로 풀면 \(h\)가 방향을 보존할 때$$\int_{\alpha(h)}{\phi}=\int_{c}^{d}{\phi(\alpha')du}=\int_{\alpha}{\phi}$$이고 방향을 거꾸로 할 때$$\int_{\alpha(h)}{\phi}=\int_{c}^{d}{\phi(\alpha')du}=-\int_{c}^{d}{\phi(\alpha')du}=-\int_{\alpha}{\phi}$$참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress