[미분기하학] 12. 곡면의 사상, 적분

[미분기하학] 12. 곡면의 사상, 적분

함수의 모든 좌표표현이 미분가능하다고 하자.

한 곡면에서 다른 곡면으로의 함수 $F:M\,\rightarrow\,N$이 $M$상의 모든 조각 $\mathbf{x}$와 $N$상의 모든 조각 $\mathbf{y}$에 대해 합성함수 $\mathbf{y}^{-1}\circ F\circ\mathbf{x}$가 유클리드 공간에서 미분가능할 때, 그리고 $\mathbb{R}^{2}$의 열린집합에서 정의될 때, 함수 $F$를 미분가능하다고 하고, $F$를 곡면의 사상(mapping of surface)이라고 한다. 

함수 $\mathbf{y}^{-1}\circ F\circ\mathbf{x}$는 $F(\mathbf{x}(u,\,v))$가 $\mathbf{y}$상의 $D$의 모든 점 $(u,\,v)$에서 정의된다.

이 정의를 적용할 때 $M$과 $N$을 덮는 조각에 대해서만 확인하면 된다. 

$\Sigma$를 북극점과 남극점이 제거된 $\mathbb{R}^{3}$에 놓인(중심이 0인) 단위 구면이라 하고, $C$를 $xy$평면에 놓인 단위원 위에 세워진 원기둥면이라 하자. 

그러면 $C$는 구면과 적도를 따라 만나고 함수 $F:\Sigma\,\rightarrow\,C$를 다음과 같이 정의한다.

$\mathbf{p}$가 $\Sigma$의 점일 때, $z$축으로부터 $\mathbf{p}$를 지나 수직으로 나가는 직선을 그리고 $F(\mathbf{p})$를 다음과 같이 그 직선이 처음으로 $C$와 만나는 점이라 하자.

$F$가 사상임을 보이기 위해 $\Sigma$안에 지리적 조각 $\mathbf{x}(u,\,v)=(r\cos v\cos u,\,r\cos v\sin u,\,r\sin v)$를 이용하고 $C$에 대해서는 조각 $\mathbf{x}(u,\,v)=(\cos u,\,\sin u,\,v)$를 이용한다. 그러면 $F$의 정의에 의해 $$F(\mathbf{x}(u,\,v))=(\cos u,\,\sin u,\,\sin v)$$ 이고 $C$의 이 점은 $\mathbf{y}(u,\,\sin u)$이므로 따라서 $$F(\mathbf{x}(u,\,v))=\mathbf{y}(u,\,\sin v)$$ 이다. $\mathbf{y}^{-1}$를 등식의 양변에 적용하면 $(\mathbf{y}^{-1}\circ F\circ\mathbf{x})(u,\,v)=(u,\,\sin v)$가 되어 미분가능하다. 그러므로 $F$는 사상이다.

$\Sigma$를 $xy$평면의 원점 위에 놓인 단위구면이라 하자. 그러면 $\Sigma$의 중심은 $(0,\,0,\,1)$이다. $\Sigma$로부터 북극점 $\mathbf{n}=(0,\,0,\,2)$를 제거하고, 그 북극점에 광원이 있다고 하고 $\Sigma$의 각 점 $\mathbf{p}$에 대해 $P(\mathbf{p})$를 $xy$평면에서의 $\mathbf{p}$의 그림자라고 하자.

$xy$평면과 $\mathbb{R}^{2}$를 사상 $(p_{1},\,p_{2},\,0)\,\leftrightarrow\,(p_{1},\,p_{2})$에 의해 같다고 하자. 그러면 $\Sigma$에서 $\mathbb{R}^{2}$위로의 함수 $P$를 다음과 같이 정의할 수 있게 된다. $$P(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=\left(\frac{Rp_{1}}{r},\,\frac{Rp_{2}}{r}\right)$$ 여기서 $r$과 $R$은 각각 $\mathbf{p}$와 $P(\mathbf{p})$로부터 $z$축까지의 거리이고, 다음 그림의 닮은삼각형으로부터 $\displaystyle\frac{R}{2}=\frac{r}{2-p_{3}}$이므로

다음과 같이 된다. $$P(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=\left(\frac{2p_{1}}{2-p_{3}},\,\frac{2p_{2}}{2-p_{3}}\right)$$ $\mathbf{x}$가 $\Sigma$에 놓인 임의의 조각이면, 합성함수 $P\circ\mathbf{x}$는 유클리드공간에서 미분가능하고 $P:\Sigma\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}$는 사상이다. 이것을 구멍난 구 $\Sigma$의 평면 위로의 입체사영(stereographic projection)이라고 한다.

유클리드 공간에서처럼 곡면의 사상도 접사상을 갖는다. 

$F:M\,\rightarrow\,N$를 곡면의 사상이라고 하자. $F$의 접사상(tangent map) $F_{*}$를 $M$의 각각의 접벡터 $\mathbf{v}$에 $N$의 접벡터 $F_{*}(\mathbf{v})$를 대응시키는데, $\mathbf{v}$가 $M$안의 곡선 $\alpha$의 초기속도벡터이면, $F_{*}(\mathbf{v})$는 $N$ 위의 상곡선 $F(\alpha)$의 초기속도벡터이다.

뿐만 아니라 각 점 $\mathbf{p}$에서 접사상 $F_{*}$는 접평면 $T_{p}(M)$에서 접평면 $T_{F(p)}(N)$으로의 선형변환이다. 

사상 $F:M\,\rightarrow\,N$의 접사상은 편속도를 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,M$이 $M$의 매개화일 때, $\mathbf{y}$를 합성사상 $F(\mathbf{x}):D\,\rightarrow\,N$이라 하자. 분명히 $F$는 $\mathbf{x}$의 매개곡선을 $\mathbf{y}$의 대응하는 매개곡선으로 보내고, $F_{*}$를 곡선의 속도를 보존하기 때문에 다음을 얻는다. $$F_{*}(\mathbf{x}_{u})=\mathbf{y}_{u},\,F_{*}(\mathbf{x}_{v})=\mathbf{y}_{v}$$ $\mathbf{x}_{u}$와 $\mathbf{x}_{v}$가 $\mathbf{x}[D]$의 각 점에서 $M$의 접공간에 대한 기저를 이루기 때문에 이렇게 간단히 계산된 식이 $F_{*}$를 결정한다. 

$F$의 모든 접사상 $F_{*p}:T_{P}(M)\,\rightarrow\,T_{F(P)}(N)$이 일대일이면 $F$를 정칙(regular)이라고 한다. 이들 접평면은 차원이 같으므로 선형대수학으로부터 일대일 조건은 $F_{*}$가 선형동형사상이라는 것과 동치이다. 사상 $F:M\,\rightarrow\,N$이 역사상 $F^{-1}:N\,\rightarrow\,M$를 가지면 미분동형사상(diffeomorphism)이라고 한다. 미분동형사상 $F$를 $M$을 변형시켜 $N$을 만드는 것으로 볼 수 있고, $F$의 좌표표현 $\mathbf{y}^{-1}\circ F\circ\mathbf{x}$에 유클리드 공간에서의 역함수 정리를 적용함으로서 역함수정리를 확장할 수 있다.

$F:M\,\rightarrow\,N$를 곡면의 사상이라 하고, $F_{*P}:T_{P}(M)\,\rightarrow\,T_{F(P)}(N)$이 $M$의 어떤 점 $\mathbf{p}$에서의 선형동형사상이라고 하자. 그러면 $M$은 점 $\mathbf{p}$의 근방 $\mathcal{U}$가 존재해서 $F$의 $\mathcal{U}$에 대한 제한이 $N$의 $F(\mathbf{p})$의 근방 $\mathcal{V}$위로의 미분동형사상이다. 

이 정리로부터 얻을 수 있는 결론은 $M$에서 $N$ 위로의 일대일 정칙사상은 미분동형사상이라는 것이다. 이때 미분동형사상은 크기와 모양과는 관계가 없다.

(1) 평면 $\mathbb{R}^{2}$의 모든 열린 직사각형은 평면 전체와 미분동형이다. $\displaystyle R:-\frac{\pi}{2}<u,\,v<\frac{\pi}{2}$라 하자. 그러면 $F(u,\,v)=(\tan u,\,\tan v)$는 $R$에서 $\mathbb{R}^{2}$위로의 사상이다. $F$의 역사상 $F^{-1}(u_{1},\,v_{1})=(\tan^{-1}u_{1},\,\tan^{-1}v_{1})$은 $F$의 미분가능한 역사상이고 $F$는 미분동형사상이다. 

(2) 한 점이 제외된 구면 $\Sigma$는 평면 전체와 미분동형이다. 앞에서 다룬 입체사영으로부터 입체사영 $P$가 구멍난 구면 $\Sigma_{0}$로부터 평면 $\mathbb{R}^{2}$로의 일대일 사상임은 분명하다. 지리적 조각을 약간 변형하면 $\Sigma_{0}-\{0\}$의 조각 $$\mathbf{x}(u,\,v)=(\cos v\cos u,\,\cos v\sin u,\,1+\sin v)$$ 를 얻는다. $$\mathbf{y}(u,\,v)=P(\mathbf{x}(u,\,v))=\frac{2\cos v}{1-\sin v}(\cos u,\,\sin v)$$ 를 얻고 $P_{*}(\mathbf{x}_{u})=\mathbf{y}_{u}$, $P_{*}(\mathbf{x}_{v})=\mathbf{y}_{v}$이므로 $P_{*}$의 정칙성은 $\mathbf{y}_{u}$와 $\mathbf{y}_{v}$를 계싼함으로서 증명할 수 있고, $\mathbf{y}_{u},\,\mathbf{y}_{v}$는 직교하고 0이 아니므로 다음과 같이 1차독립이고 $P$는 미분동형사상이다.

미분형식은 임의의 사상에 의해 한 곡면에서 다른 곡면으로 옮겨진다. 실함수 $f$에 대해 $F:M\,\rightarrow\,N$이 곡면의 사상이고 $f$가 $M$에서 정의된 함수이면 $f$를 $N$위로 보내기는 어려우나 대신 $f$가 $N$에서 정의되면 문제는 간단해진다. $f$를 $M$위의 합성함수 $f(F)$로 끌어당기면 되고, 1차형식과 2차형식의 끌어당김(pullback)은 다음과 같다.

 

$F:M\,\rightarrow\,N$를 곡면의 사상이라고 하자. 

(1) $\phi$가 $N$위의 1차형식이면, $F^{*}(\phi)$는 $M$의 모든 접벡터 $\mathbf{v}$에 대해 $(F^{*}\phi)(\mathbf{v})=\phi(F_{*}\mathbf{v})$인 $M$위의 1차형식이라고 한다. 

(2) $\eta$가 $N$위의 2차형식이면, $F^{*}(\eta)$는 $M$위의 한 쌍의 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$에 대하여 $(F^{*}\eta)(\mathbf{v},\,\mathbf{w})=\eta(F_{*}(\mathbf{v}),\,F_{*}(\mathbf{w}))$인 $M$위의 2차형식이라고 한다.

함수 $f$를 0차형식으로 다룰 때 1차형식과 2차형식의 끌어당김의 기호와 맟추어서 $f(F)$대신 $F^{*}f$로 나타낸다. 형식의 핵심적 연산은 합, 쐐기곱, 외도함수이고, 이 연산들은 모두 사상에 의해 보존된다.  

  

$F:M\,\rightarrow\,N$가 곡면의 사상이고 $\xi$와 $\eta$를 $N$위의 형식이라고 하면 다음이 성립한다.

(1) $F^{*}(\xi+\eta)=F^{*}\xi+F^{*}\eta$ 

(2) $F^{*}(\xi\wedge\eta)=F^{*}\xi\wedge F^{*}\eta$ 

(3) $F^{*}(d\xi)=d(F^{*}\xi)$ 

증명: 생략

임의의 곡면 위에서의 적분이론을 확립하기 위해서는 미분형식이 필요하다. 적분은 유클리드 공간에서만 일어나므로 곡면 위의 형식을 먼저 유클리드 공간으로 변환할 필요가 있다.

1차원일 경우 $\alpha:[a,\,b]\,\rightarrow\,M$을 곡면 $M$위에서의 곡선단편이라 하자. $M$위의 1차형식 $\phi$를 구간 $[a,\,b]$로 끌어당긴 $\alpha^{*}\phi$는 $f(t)dt$이고 다음이 성립한다. $$f(t)=(\alpha^{*}\phi)(U_{1}(t))=\phi(\alpha_{*}(U_{1}(t)))=\phi(\alpha'(t))$$ 따라서 다음의 결과를 얻는다. 

$\phi$를 $M$위의 1차형식, $\alpha:[a,\,b]\,\rightarrow\,M$를 1차원 단편이라 하자.

그러면 $\alpha$위에서의 $\phi$의 적분은 다음과 같다. $$\int_{\alpha}{\phi}=\int_{[a,\,b]}{\alpha^{*}\phi}=\int_{a}^{b}{\phi(\alpha'(t))dt}$$ 공학 및 물리학에서 이 적분을 선적분(line integral)이라고 한다. 곡면 위의 벡터장 $V$를 힘장(force field)이라고 하자. $\alpha(t)$가 시각 $t$에서의 위치를 나타내고 $\alpha:[a,\,b]\,\rightarrow\,M$은 입자의 움직임을 나타낸다고 하자. $\alpha$가 $\mathbf{p}=\alpha(a)$에서 $\mathbf{q}=\alpha(b)$까지 움직이는데 필요한 일(work)의 총량 $W$를 구하자. 충분히 작은 $\Delta t$에 대해 $\alpha(t)$에서 $\alpha(t+\Delta t)$까지 곡선 $\alpha$의 궤적은 근사적으로 $\Delta t\alpha'(t)$로 나타낼 수 있다.

움직이는 점은 힘의 $\alpha$의 접성분, 즉 $\displaystyle V(\alpha)\cdot\frac{\alpha'}{\|\alpha'\|}=\|V(\alpha)\|\cdot\cos\theta$의 영향을 받는다. 

시간 $\Delta t$동안 힘에 대해 한 일은 근사적으로 힘 $\displaystyle V(\alpha'(t))\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|}$에 거리 $\|\alpha'(t)\|\Delta t$를 곱한 것이다. 이것을 전체 시간 구간의 분할점에 대해 합하고 극한을 취하면 다음을 얻는다. $$W=\int_{a}^{b}{V(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)dt}$$ 이것을 간단히 나타내기 위해서 $\mathbf{p}$에서의 접벡터 $\mathbf{w}$에 대해 $\phi(\mathbf{w})=\mathbf{w}\cdot V(\mathbf{p})$인 쌍대 1차형식 $\phi$를 도입하면 $\displaystyle W=\int_{\alpha}{\phi}$로 나타낼 수 있다. 

선적분 개념은 모든 미분형식과 같이, 곡면 $M$이 유클리드 공간 똔느 다양체로 바뀌어도 잘 적용된다. 적분되는 1차형식이 함수의 미분이면, 미적분학의 기본정리에 의해 다음과 같은 일반화를 얻는다.

$f$를 $M$위의 함수라 하고 $\alpha:[a,\,b]\,\rightarrow\,M$을 $\mathbf{p}=\alpha(a)$, $\mathbf{q}=\alpha(b)$로의 $M$ 안의 1차원 단편이라 하면 다음이 성립한다. $$\int_{\alpha}{df}=f(\mathbf{q})-f(\mathbf{p})$$ 증명: 정의에 의해 $\displaystyle\int_{\alpha}{df}=\int_{a}^{b}{df(\alpha')dt}$이다. 그런데 $$df(\alpha')=\alpha'(f)=\frac{d}{dt}(f\alpha)$$ 이므로 미적분학의 기본정리에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$\int_{\alpha}{df}=\int_{a}^{b}{\frac{d}{dt}(f\alpha)dt}=f(\alpha(b))-f(\alpha(a))=f(\mathbf{q})-f(\mathbf{p})$$ 그러므로 적분 $\displaystyle\int_{\alpha}{df}$는 경로에 무관하고 그 값은 $\mathbf{p}$에서 $\mathbf{q}$로의 모든 곡선에 대해서 같다. 따라서 $\alpha(a)=\alpha(b)$인 모든 닫힌곡선에 대해 그 적분값은 0이다. 

$\alpha$위에서 $df$의 적분은 $f$의 경계 $\mathbf{q}-\mathbf{p}$위에서 $f$의 적분, 즉 $f(\mathbf{q})-f(\mathbf{p})$와 같다. 

$\mathbb{R}^{2}$의 닫힌 직사각형 $R:a\leq u\leq b,\,c\leq v\leq d(=[a,\,b]\times[c,\,d])$를 2차원 구간으로 생각하자. 그러면 $M$상의 2차원 단편(2-segment)은 닫힌 사각형에서 미분가능한 사상 $\mathbf{x}:R\,\rightarrow\,M$이다.

1차원 단편에서와 같이 미분가능성을 $R$을 포함하는 더 큰 열린집합에서 정의된 것으로 $\mathbf{x}$를 미분가능하게 확장할 수 있음을 뜻한다. 

$\eta$가 $M$위의 2차형식이면, $\eta$의 끌어당김 $\mathbf{x}^{*}\eta$는 좌표표현이 $kdudv$이고 $$h=(\mathbf{x}^{*}\eta)(U_{1},\,U_{2})=\eta(\mathbf{x}_{*}U_{1},\,\mathbf{x}_{*}U_{2})=\eta(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})$$ 이다. 앞에서 적분을 정의했듯이 다음과 같이 2차형식의 적분을 정의할 수 있다.

$\eta$가 $M$위의 2차형식이고, $\mathbf{x}:R\,\rightarrow\,M$를 2차원 단편이라고 하자. 그러면 $\mathbf{x}$위에서 $\eta$의 적분은 다음과 같다. $$\iint_{\mathbf{x}}{\eta}=\iint_{R}{\mathbf{x}^{*}\eta}=\int_{a}^{b}{\int_{c}^{d}{\eta(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})du}dv}$$ $R$을 닫힌 사각형 $a\leq u\leq b,\,c\leq v\leq d$, $\mathbf{x}:R\,\rightarrow\,M$을 $M$상의 2차원 단편이라 하자.

$\mathbf{x}$의 모서리 곡선(또는 모서리)은 다음과 같은 1차원 단편 $\alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\delta$를 의미한다. $$\begin{align*}\alpha(u)&=\mathbf{x}(u,\,c)\\ \beta(v)&=\mathbf{x}(b,\,v)\\ \gamma(u)&=\mathbf{x}(u,\,d)\\ \delta(v)&=\mathbf{x}(a,\,v)\end{align*}$$ 2차원 단편 $\mathbf{x}$의 경계(boundary) $\partial\mathbf{x}$는 $\partial\mathbf{x}=\alpha+\beta-\gamma-\delta$로 나타낼 수 있고, 이들 네 선분은 $\mathbf{x}:R\,\rightarrow\,M$을 사각형 $R$을 구성하는 경계의 네 선분 위에서만 생각하여 얻을 수 있다. 여기서 $\gamma,\,\delta$앞의 (-)부호는 $R$의 둘레를 동일한 방향으로 돌기 위해서 방향이 반대여야 하기 때문에 붙은 것이다.

$\phi$가 $M$위의 1차형식이면, $\mathbf{x}$의 경계에서 $\phi$의 적분은 다음과 같이 정의된다. $$\in_{\partial\mathbf{x}}{\phi}=\int_{\alpha}{\phi}+\int_{\beta}{\phi}-\int_{\gamma}{\phi}-\int_{\delta}{\phi}$$ 스토크스 정리(Stokes's theorem) $\phi$가 $M$에서의 1차형식이고 $\mathbf{x}\,\rightarrow\,M$가 2차원 단편이면 다음이 성립한다. $$\\int_{\mathbf{x}}{d\phi}=\int_{\partial{x}}{\phi}$$ 증명: 다음의 식에서 $$\iint_{R}{(d\phi)(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})dudv}=\iint_{R}{\left(\frac{\partial}{\partial u}(\phi(\mathbf{x}_{u}))-\frac{\partial}{\partial v}(\phi(\mathbf{x}_{u}))\right)dudv}$$ $f=\phi(\mathbf{x}_{u}),\,g=\phi(\mathbf{x}_{v})$라 하면 다음이 성립하고 $$\iint_{\mathbf{x}}{d\phi}=\iint_{R}{\frac{\partial g}{\partial u}dudv}-\iint_{R}{\frac{\partial f}{\partial v}dudv}$$ 이들 중적분을 반복적분으로 보자. 사각형 $R$이 $a\leq u\leq b$, $c\leq v\leq d$일 때 먼저 $u$에 대해 적분하자. $\displaystyle I(u)=\int_{a}^{b}{\frac{\partial g}{\partial u}(u,\,v)du}$라 하면 다음이 성립한다. $$\iint_{R}{\frac{\partial g}{\partial u}dudv}=\int_{c}^{d}{I(v)dv}$$ $I(v)$를 정의하는 편적분에서 $v$는 상수이고 피적분함수는 $u$에 대한 미분이다. 미적분학의 기본정리를 이용해 $I(v)=g(b,\,v)-g(a,\,v)$를 얻는다.

따라서 $$\iint_{R}{\frac{\partial g}{\partial u}dudv}=\int_{c}^{d}{g(b,\,v)dv}-\int_{c}^{d}{g(a,\,v)dv}$$ 이고 $g(b,\,v)=\phi(\mathbf{x}_{v}(b,\,v))$, $\mathbf{x}_{v}(b,\,v)$는 $\partial\mathbf{x}$의 오른쪽 곡선 $\beta$의 속도 $\beta'(v)$이고 따라서 다음이 성립한다. $$\int_{c}^{d}{g(b,\,v)dv}=\int_{c}^{d}{\phi(\beta'(v))dv}=\int_{\beta}{\phi}$$ 같은 방법으로 $$\int_{c}^{d}{g(a,\,v)dv}=\int_{c}^{d}{\phi(\delta'(v))dv}=\int_{\delta}{\phi}$$ 이므로 다음을 얻는다. $$\iint_{R}{\frac{\partial g}{\partial u}dudv}=\int_{\beta}{\phi}-\int_{\delta}{\phi}$$ 같은 방법으로 다음을 얻고 $$\iint_{R}{\frac{\partial f}{\partial v}dudv}=\int{\gamma}_{\phi}-\int_{\alpha}{\phi}$$ 따라서 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\iint_{\mathbf{x}}{d\phi}=\left\{\int_{\beta}{\phi}-\int_{\delta}{\phi}\right\}-\left\{\int_{\gamma}{\phi}-\int_{\alpha}{\phi}\right\}=\int_{\partial\mathbf{x}}{\phi}$$ 선적분 $\displaystyle\int_{\alpha}{\phi}$는 $\alpha$의 재매개화에 변하지 않고, 중요한 것은 $\alpha$의 방향이다.

$\alpha(h):[a,\,b]\,\rightarrow\,M$가 곡선 단편 $\alpha:[c,\,d]\,\rightarrow\,M$의 $h:[a,\,b]\,\rightarrow\,[c,\,d]$에 의한 재매개화일 때, $M$위의 임의의 1차형식 $\phi$에 대하여 다음과 같다.

(1) $h$가 방향을 보존할 때, 즉 $h(a)=c$, $h(b)=d$일 때, $\displaystyle\int_{\alpha(h)}{\phi}=\int_{\alpha}{\phi}$

(2) $h$가 방향을 거꾸로 할 때, 즉 $h(a)=d$, $h(b)=c$일 때, $\displaystyle\int_{\alpha(h)}{\phi}=-\int_{\alpha}{\phi}$

증명: $\alpha(h)$의 속도는 $\displaystyle\alpha(h)'=\frac{dh}{dt}\alpha'(h)$이므로 다음이 성립한다. $$\int_{\alpha(h)}{\phi}=\int_{a}^{b}{\phi(\alpha(h)')dt}=\int_{a}^{b}{\phi(\alpha(h)')\frac{dh}{dt}dt}$$ 위의 마지막 식을 치환적분으로 풀면 $h$가 방향을 보존할 때 $$\int_{\alpha(h)}{\phi}=\int_{c}^{d}{\phi(\alpha')du}=\int_{\alpha}{\phi}$$ 이고 방향을 거꾸로 할 때 $$\int_{\alpha(h)}{\phi}=\int_{c}^{d}{\phi(\alpha')du}=-\int_{c}^{d}{\phi(\alpha')du}=-\int_{\alpha}{\phi}$$ 참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress