[미분기하학] 8. 등장사상, 방향

[미분기하학] 8. 등장사상, 방향

$\mathbb{R}^{3}$의 등장사상(isometry)은 $\mathbb{R}^{3}$의 모든 점 $\mathbf{p},\,\mathbf{q}$에 대해 다음을 만족하는 사상 $F:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$이다. $$d(F(\mathbf{p}),\,F(\mathbf{q}))=d(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$ *"isometry"는 등거리를 의미하지만 미분기하학에서는 "등장사상"이라는 용어로 사용된다. 따라서 미분기하학에서의 isometry를 등장사상이라고 할 것이다. 

$\mathbb{R}^{3}$에서의 평행이동(translation)은 $\mathbb{R}^{3}$에서의 임의의 점 $\mathbf{p}$와 고정된 점 $\mathbf{a}$에 대해 $T(\mathbf{p})=\mathbf{p}+\mathbf{a}$로 정의되는 사상이고 다음과 같이 등장사상이 됨을 보일 수 있다. $$\begin{align*}d(T(\mathbf{p}),\,T(\mathbf{q}))&=d(\mathbf{p}+\mathbf{a},\,\mathbf{q}+\mathbf{a})\\&=\|(\mathbf{p}+\mathbf{a})-(\mathbf{q}+\mathbf{a})\|\\&=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|\\&=d(\mathbf{p},\,\mathbf{q})\end{align*}$$ $xy$평면을 원점을 중심으로 $\theta$만큼 회전시켜 점 $(p_{1},\,p_{2})$를 점 $(q_{1},\,q_{2})$로 보내면 이 두 점 사이의 관계는 다음과 같다. $$\begin{align*}q_{1}&=p_{1}\cos\theta-p_{2}\sin\theta\\q_{2}&=p_{1}\sin\theta+p_{2}\cos\theta\end{align*}$$ 따라서 $\mathbb{R}^{3}$에서 $z$축을 중심으로 각 $\theta$만큼 회전시키는 회전(rotation) $C$는 모든 점 $\mathbf{p}$에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$C(\mathbf{p})=C(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=(p_{1}\cos\theta-p_{2}\sin\theta,\,p_{1}\sin\theta+p_{2}\cos\theta,\,p_{3})$$ 분명히 $C$는 선형사상이고 등장사상이다.  

$F$와 $G$가 $\mathbb{R}^{3}$상의 등장사상이면, 합성사상 $G\circ F$도 등장사상이다.

증명: $G$가 등장사상이므로 $d(G(F(\mathbf{p})),\,G(F(\mathbf{q})))=d(F(\mathbf{p}),\,F(\mathbf{q}))$이고 $F$가 등장사상이므로 $d(F(\mathbf{p}),\,F(\mathbf{q}))=d(\mathbf{p}-\mathbf{q})$이다. 따라서 $G\circ F$는 등장사상이다. 

위 정리로부터 $F$가 $\mathbb{R}^{3}$에서의 전단사이면, 역함수 $F^{-1}$를 갖고 $FF^{-1}=F^{-1}F=I$이며, 여기서 $I$는 $\mathbb{R}^{3}$의 항등사상으로 모든 $\mathbb{R}^{3}$의 점 $\mathbf{p}$에 대해 $I(\mathbf{p})=\mathbf{p}$이다. 

(1) $S,\,T$가 평행이동이면 $S\circ T=T\circ S$도 평행이동이다.

(2) $T$가 $\mathbf{a}$만큼의 평행이동이면, $T^{-1}$는 $-\mathbf{a}$만큼의 평행이동이다. 

(3) $\mathbb{R}^{3}$의 두 점 $\mathbf{p},\,\mathbf{q}$에 대해 $T(\mathbf{p})=\mathbf{q}$인 평행이동이 유일하게 존재한다.

(1), (2)는 분명하므로 (3)을 보이자. $\mathbf{q}-\mathbf{p}$만큼의 평행이동은 $\mathbf{p}$를 $\mathbf{q}$로 보낸다. $T$가 $\mathbf{a}$만큼의 평행이동이고 $T(\mathbf{p})=\mathbf{q}$이면 $\mathbf{p}+\mathbf{a}=\mathbf{q}$이므로 이 평행이동은 유일하게 존재하고 $\mathbf{a}=\mathbf{q}-\mathbf{p}$이다. 

다음은 위 정리의 (3)의 특별한 경우이다. $T$가 어떤 점에 대해 $T(\mathbf{p})=\mathbf{p}$이고 평행이동이면 $T=I$이다. 앞에서 다루었던 회전은 $\mathbb{R}^{3}$의 직교변환(orthogonal transformation)의 예이고, 직교변환은 선형변환 $C:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$으로 다음과 같이 내적을 보존하는 것이다. 즉 모든 $\mathbf{p},\,\mathbf{q}$에 대해 $$C(\mathbf{p})\cdot C(\mathbf{q})=\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}$$ $C$가 $\mathbb{R}^{3}$의 직교변환이면, $\mathbb{R}^{3}$의 등장사상이다. 

증명: 먼저 $C$가 노름을 보존함을 다음과 같이 보일 수 있다. $$\|C(\mathbf{p})\|^{2}=C(\mathbf{p})\cdot C(\mathbf{p})=\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}=\|\mathbf{p}\|^{2}$$ 이다. 그러면 모든 점 $\mathbf{p}$에 대해 $\|C(\mathbf{p})\|=\|\mathbf{p}\|$이고 $C$가 선형이므로 다음과 같이 등장사상임을 보일 수 있다. 모든 $\mathbf{p},\,\mathbf{q}$에 대해 $$\begin{align*}d(C(\mathbf{p}),\,C(\mathbf{q}))&=\|C(\mathbf{p})-C(\mathbf{q})\|=\|C(\mathbf{p}-\mathbf{q})\|\\&=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|=d(\mathbf{p},\,\mathbf{q})\end{align*}$$ 다음은 앞 정리의 역이다.

$F$가 $F(\mathbf{O})=\mathbf{O}$인 $\mathbb{R}^{3}$상의 등장사상이면, $F$는 직교변환이다. 

증명: 먼저 $F$가 내적을 보존함을 보이고 그 다음으로 $F$가 선형변환임을 보이자. 

유클리드 거리의 정의에 의해 점 $\mathbf{p}$의 노름 $\|\mathbf{p}\|$는 원점에서 점 $\mathbf{p}$까지의 유클리드 거리 $d(\mathbf{O},\,\mathbf{p})$이다. 가정에 의해 $F$는 유클리드 거리를 보존하고 $F(\mathbf{O})=\mathbf{O}$이다. 그러면 $$\|F(\mathbf{p})\|=d(\mathbf{O},\,F(\mathbf{p}))=d(F(\mathbf{O}),\,F(\mathbf{p}))=d(\mathbf{O},\,\mathbf{p})=\|\mathbf{p}\|$$ 이고 따라서 $F$는 노름을 보존한다. 이제 극성화(polarization)에 의해 $F$가 내적도 보존함을 보일 것이다. $F$가 등장사상이므로 임의의 한 쌍의 점에 대해 $$d(F(\mathbf{p}),\,F(\mathbf{q}))=d(\mathbf{p},\,\mathbf{q})$$ 이다. 따라서 $\|F(\mathbf{p})-F(\mathbf{q})\|=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|$이고, 노름의 정의에 의해 $$(F(\mathbf{p})-F(\mathbf{q}))\cdot(F(\mathbf{p})-F(\mathbf{q}))=(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$ 이므로 $$\|F(\mathbf{p})\|^{2}-2F(\mathbf{p})\cdot F(\mathbf{q})+\|F(\mathbf{q})\|^{2}=\|\mathbf{p}\|^{2}-2\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}+\|\mathbf{q}\|^{2}$$ 이다. $F$가 노름을 보존하므로 위 식에서 노름이 있는 항은 상쇄되어 $F(\mathbf{p})\cdot F(\mathbf{q})=\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}$이고 따라서 $F$는 내적을 보존한다. 

마지막으로 $F$가 선형임을 보이자. $$\mathbf{u}_{1}=(1,\,0,\,0),\,\mathbf{u}_{2}=(0,\,1,\,0),\,\mathbf{u}_{3}=(0,\,0,\,1)$$ 이라 하면 다음의 등식을 얻고 $$\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=\sum_{i=1}^{3}{p_{i}\mathbf{u}_{i}}$$ 또한 $\mathbf{u}_{1},\,\mathbf{u}_{2},\,\mathbf{u}_{3}$은 정규직교이고, $F$가 내적을 보존하므로 $F(\mathbf{u}_{1}),\,F(\mathbf{u}_{2}),\,F(\mathbf{u}_{3})$도 정규직교이다. 그러면 정규직교전개를 하면 $$F(\mathbf{p})=\sum_{i=1}^{3}{F(\mathbf{p})\cdot F(\mathbf{u}_{i})F(\mathbf{u}_{i})}$$ 이고 $$F(\mathbf{p})\cdot\ F(\mathbf{u}_{i})=\mathbf{p}\cdot\mathbf{u}_{i}=p_{i}$$ 이므로 $\displaystyle F(\mathbf{p})=\sum_{i=1}^{3}{p_{i}F(\mathbf{u}_{i})}$이다. 이 등식을 이용해 다음의 선형조건이 성립함을 알 수 있다. $$F(a\mathbf{p}+b\mathbf{q})=aF(\mathbf{p})+bF(\mathbf{q})$$ $F$가 $\mathbb{R}^{3}$의 등장사상이면 평행이동 $T$와 직교변환 $C$가 유일하게 존재하여 $F=T\circ C$이다.

증명: $T$를 $F(\mathbf{O})$만큼의 평행이동이라 하자. $T^{-1}$는 $-F(\mathbf{O})$만큼의 평행이동이다. $T^{-1}\circ F$는 등장사상이고 다음이 성립한다. $$(T^{-1}\circ F)(\mathbf{O})=T^{-1}(F(\mathbf{O}))=F(\mathbf{O})-F(\mathbf{O})=\mathbf{O}$$ 이다. 그러면 $T^{-1}\circ F$는 $(T^{-1}\circ F)(\mathbf{O})=\mathbf{O}$인 등장사상이므로 앞의 정리에 의해 직교변환, 즉 $T^{-1}\circ F=C$이다. 이 등식의 양변에 $T$를 합성하면 $F=T\circ C$를 얻는다. 

유일성을 보이기 위해 $F$가 평행이동 $\overline{T}$와 직교변환 $\overline{C}$에 대해 $\overline{T}\circ\overline{C}$로 나타내어진다고 하면 $\overline{T}=T$, $\overline{C}=C$임을 보이면 된다. $T\circ C=\overline{T}\circ\text{C}$이므로 $C=T^{-1}\circ\overline{T}\circ\overline{C}$이고 $C$와 $\overline{C}$는 선형변환이므로 원점을 원점으로 보낸다. 그러므로 $(T^{-1}\circ\overline{T})(\mathbf{O})=\mathbf{O}$이다. $T^{-1}\circ\overline{T}$는 평행이동이므로 $T^{-1}\circ\overline{T}=I$, 즉 $\overline{T}=T$이다. 그러면 $T\circ C=\overline{T}\circ\overline{C}=T\circ\overline{C}$이고 이 식의 양변에 $T^{-1}$를 합성하면 $C=\overline{C}$도 얻는다.   

따라서 $\mathbb{R}^{3}$의 모든 등장사상은 직교변환에 이은 평행이동으로 유일하게 표현된다. 앞의 정리에서 $F=T\circ C$의 $C$를 $F$의 직교부분(orthogonal part), $C$를 $F$의 평행이동부분(translation part)이라고 한다. 이때 일반적으로 $C\circ T\neq T\circ C$임에 유의한다(함수의 합성은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다).  

선형대수학 이론으로부터 임의의 선형변환 $C$의 행렬은 다음과 같은 $3\times3$행렬 $\{c_{ij}\}$이다. $$C(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=\left(\sum_{j=1}^{3}{c_{1j}p_{j}},\,\sum_{j=1}^{3}{c_{2j}p_{j}},\,\sum_{j=1}^{3}{c_{3j}p_{j}}\right)$$ 따라서 열벡터로 나타내면 $\mathbf{q}=C(\mathbf{p})$는 다음과 같다. $$\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}$$ 선형대수학으로부터 $\mathbb{R}^{3}$의 선형변환이 직교(내적을 보존)일 필요충분조건은 그 행렬이 직교(전치행렬이 역행렬과 같다)이다.

앞의 정리의 분해 $F=T\circ C$로 돌아가서 $T$가 $\mathbf{a}=(a_{1},\,a_{2},\,a_{3})$만큼 평행이동하면 $$F(\mathbf{p})=(T\circ C)(\mathbf{p})=\mathbf{a}+C(\mathbf{p})$$ 이고, $C(\mathbf{p})$에 대한 위의 식을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}$$ 임의의 사상 $F:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$는 점 $\mathbf{p}$에서의 접벡터 $\mathbf{v}$를 $F(\mathbf{p})$에서의 접벡터 $F_{*}(\mathbf{v})$(접벡터와 점 사이의 구분을 위해 *표시를 했다)로 보내는 접사상 $F_{*}$를 가진다. 

$F$가 등장사상이면 그 사상은 매우 간단하다. 

$F$를 직교부분이 $C$인 $\mathbb{R}^{3}$의 등장사상이라고 하자. 그러면 $\mathbb{R}^{3}$의 모든 접벡터 $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=(C\mathbf{v})_{F(\mathbf{p})}$$ $F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})$를 얻으려면 먼저 접벡터 $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}$를 자연스럽게 대응되는 $\mathbb{R}^{3}$상의 점 $\mathbf{v}$로 옮긴 후 $F$의 직교부분 $C$를 적용하고 점 $C(\mathbf{v})$를 대응하는 $F(\mathbf{p})$에서의 접벡터로 옮긴다.(아래 그림 참고)

그래서 $\mathbb{R}^{3}$의 점 $\mathbf{p}$에서의 모든 접벡터는 $F_{*}$에 의해 정확히 같은 방법으로 회전하고, 단지 새로운 작용점 $F(\mathbf{p})$만이 $\mathbf{p}$만이 $\mathbf{p}$에 의존한다. 

증명: $F=T\circ C$라 하자. $T$를 $\mathbf{a}$만큼의 평행이동이라고 하면 $F(\mathbf{p})=\mathbf{a}+C(\mathbf{p})$이다. $T$를 $\mathbf{a}$만큼의 평행이동이라고 하면 $F(\mathbf{p})=\mathbf{a}+C(\mathbf{p})$이다. $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}$가 $\mathbb{R}^{3}$의 접벡터이면, $F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})$는 곡선 $t\,\mapsto\,F(\mathbf{p}+t\mathbf{v})$의 초기속도이고, $C$의 선형성으로부터 다음이 성립하다. $$\begin{align*}F(\mathbf{p}+t\mathbf{v})&=(T\circ C)(\mathbf{p}+t\mathbf{v})=T(C(\mathbf{p})+tC(\mathbf{v}))\\&=\mathbf{a}+C(\mathbf{p})+tC(\mathbf{v})\\&=F(\mathbf{p})+tC(\mathbf{v})\end{align*}$$ 그러면 $F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})$는 곡선 $t\,\mapsto\,F(\mathbf{p})+tC(\mathbf{v})$의 초기속도이고, 이것은 정확히 접벡터 $(C\mathbf{v})_{F(\mathbf{p})}$이다. 

유클리드 좌표를 이용하여 위의 정리를 나타내면 $$F_{*}\left(\sum_{j=1}^{3}{v_{j}U_{j}}\right)=\sum_{i,\,j=1}^{3}{C_{ij}v_{j}\overline{U}_{i}}$$ 이고 이때 $C=(c_{ij})$는 $F$의 직교부분, $U_{i}$는 $\mathbf{p}$에서 계산되었으며 $\overline{U}_{i}$는 $F(\mathbf{p})$에서 계산되었다. 

등장사상은 접벡터의 내적을 보존한다. 즉 $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}$와 $\mathbf{w}_{\mathbf{p}}$가 같은 점에서의 $\mathbb{R}^{3}$에서의 접벡터이고 $F$가 등장사상이면 다음이 성립한다. $$F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\cdot F_{*}(\mathbf{w}_{\mathbf{p}})=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\cdot\mathbf{w}_{\mathbf{p}}$$ 증명: $C$를 $F$의 직교부분이라 하면 $C$는 직교변호나이므로 $\mathbb{R}^{3}$의 내적을 보존하고 다음의 결과를 얻는다. $$\begin{align*}F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\cdot F_{*}(\mathbf{w}_{\mathbf{p}})&=(C(\mathbf{v}))_{F(\mathbf{p})}(C(\mathbf{w}))_{F(\mathbf{p})}\\&=C(\mathbf{v})\cdot C(\mathbf{w})=\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\\&=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\cdot\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\end{align*}$$ 내적이 보존되므로 노름이나 직교성이 보존된다. $F$가 등장사상이면 $\|F_{*}(\mathbf{v})\|=\|\mathbf{v}\|$이고 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 수직이면 $F_{*}(\mathbf{v})$와 $F_{*}(\mathbf{w})$도 수직이므로 틀도 보존된다. 즉 $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$이 $\mathbb{R}^{3}$의 점 $\mathbf{p}$에서의 틀이면 $F_{*}(\mathbf{e}_{1}),\,F_{*}(\mathbf{e}_{2}),\,F_{*}(\mathbf{e}_{3})$도 $F(\mathbf{p})$에서의 틀이다.

$\mathbb{R}^{3}$위의 임의의 두 개의 틀, 예로 $\mathbf{p}$에서의 틀 $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$와 점 $\mathbf{q}$에서의 틀 $\mathbf{f}_{1},\,\mathbf{f}_{2},\,\mathbf{f}_{3}$에 대해 $F_{*}(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{f}_{i}\,(1\leq i\leq3)$인 $\mathbb{R}^{3}$의 등장사상이 유일하게 존재한다. 

증명: 등장사상이 존재함을 보이자. $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$과 $\mathbf{f}_{1},\,\mathbf{f}_{2},\,\mathbf{f}_{3}$을 두 개의 틀을 이루는 벡터에 대응하는 점이라 하자. $C$를 $1\leq i\leq3$에 대해 $C(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{f}_{i}$를 만족하는 $\mathbb{R}^{3}$의 유일한 선형변환이라 하자. $C$는 직교이고 $T$를 $\mathbf{q}-C(\mathbf{p})$만큼의 평행이동이라 할 때 등장사상 $F=T\circ C$가 틀 $\mathbf{e}$를 틀 $\mathbf{f}$로 보내는 등장사상임을 보이자. 먼저 $$F(\mathbf{p})=T(C(\mathbf{p}))=\mathbf{q}-C(\mathbf{p})+C(\mathbf{p})=\mathbf{q}$$ 이고, $1\leq i\leq3$에 대해 다음을 얻는다. $$F_{*}(\mathbf{e}_{i})=(C(\mathbf{e}_{i}))_{F(\mathbf{p})}=(\mathbf{f}_{i})_{F(\mathbf{p})}=(\mathbf{f}_{i})_{\mathbf{q}}=\mathbf{f}_{i}$$ 유일성을 보이자. $C$는 등장사상의 유일한 직교부분이고, 평행이동부분도 $C(\mathbf{p})$를 $\mathbf{q}$로 옮겨야 하므로 유일하게 결정되므로 따라서 등장사상 $F=T\circ C$가 유일하게 결정된다.

틀 $\mathbf{e}$의 자세행렬 $A$는 $\mathbf{e}_{i}$의 유클리드 좌표를 $i$번째 행 $a_{i1},\,a_{i2},\,a_{i3}$으로 갖고, 틀 $\mathbf{f}$의 자세행렬 $B$에 대해서도 마찬가지이다. 이 정리에서의 $C$의 행렬은 $B^{T}A$이고, 이를 보이기 위해서 $B^{T}A(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{f}_{i}$임을 보이면 된다. $$\begin{align*}B^{T}A\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{22}\\a_{33}\end{pmatrix}&=B^{T}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{12}\\a_{33}\end{pmatrix}\\&=B^{T}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{21}&b_{31}\\b_{12}&b_{22}&b_{32}\\b_{13}&b_{23}&b_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}b_{11}\\b_{12}\\b_{13}\end{pmatrix}\end{align*}$$ 즉 $B^{T}A(\mathbf{e}_{1})=\mathbf{f}_{1}$이고 $i=2,\,3$의 경우도 비슷하다. 그러므로 $C=B^{T}A$이고 $T$는 $\mathbf{q}-C(\mathbf{p})$만큼 평행이동한다.

$\mathbb{R}^{3}$에서 각각의 틀 $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$에 대해 $$\mathbf{e}_{1}\cdot(\mathbf{e}_{2}\times\mathbf{e}_{3})=\pm1$$ 이다. 이 숫자가 $+1$이면, 틀 $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$이 양의 방향(positively oriented), $-1$이면 음의 방향(negatively oriented)이라고 ㅎ나다.

직교행렬의 판별식(행렬식은) $\pm1$이므로 $F$의 직교부분이 $C$일 때, $F$의 부호를 $C$의 행렬식으로 정의하고 다음과 같이 나타낸다. $$\text{sgn}F=\det C$$ $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$이 $\mathbb{R}^{3}$의 어떤 점에서의 틀이고 $F$가 등장사상이면 다음이 성립한다. $$F_{*}(\mathbf{e}_{1})\cdot F_{*}(\mathbf{e}_{2})\times F_{*}(\mathbf{e}_{3})=(\text{sgn}F)\mathbf{e}_{1}\cdot\mathbf{e}_{2}\times\mathbf{e}_{3}$$ 증명: $\displaystyle\mathbf{e}_{j}=\sum_{k=1}^{3}{a_{jk}U_{k}}$이면, $\displaystyle F_{*}(\mathbf{e}_{j})=\sum_{i,\,j=1}^{3}{c_{ik}a_{jk}\overline{U}_{i}}$이고, 여기서 $C=(c_{ij})$는 $F$의 직교부분이다. 그러면 틀 $F_{*}(\mathbf{e}_{1}),\,F_{*}(\mathbf{e}_{2}),\,F_{*}(\mathbf{e}_{3})$의 자세행렬은 다음과 같다. $$\left(\sum_{k=1}^{3}{c_{ik}a_{jk}}\right)=\left(\sum_{k=1}^{3}{c_{ik}a_{kj}}\right)=CA^{T}$$ 틀의 삼중적은 자세행렬의 행렬식이고, 정의에 의해 $\text{sgn}F=\det C$이므로 다음의 결과를 얻는다. $$\begin{align*}F_{*}(\mathbf{e}_{1})\cdot F_{*}(\mathbf{e}_{2})\times F_{*}(\mathbf{e}_{3})&=\det CA^{T}=\det C\det A^{T}\\&=\det C\det A\\&=(\text{sgn}F)\mathbf{e}_{1}\cdot\mathbf{e}_{2}\times\mathbf{e}_{3}\end{align*}$$ $C$가 $\mathbb{R}^{3}$의 등장사상 $F$의 직교부분일 때

$\text{sgn}F=\det C=+1$이면 방향을 보존한다(orientation preserving)

$\text{sgn}F=\det C=-1$이면 방향을 거꾸로 한다(orientation reversing)

고 한다.  

(1) 평행이동의 직교부분은 항등사상 $I$이므로 $\text{sgn}T=\det I=+1$이고 방향을 보존한다. 

(2) 회전이동의 직교부분은 다음과 같고 $$C=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$ $\text{sgn}C=\det C=+1$이므로 방향을 보존한다.

(3) 반사(reflection) $\mathbb{R}^{3}$의 $yz$평면을 거울이라고 하자. $yz$평면을 향해 바라보면 점 $\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})$이 점 $R(\mathbf{p})=(-p_{1},\,p_{2},\,p_{3})$에 위치한 것으로 보인다.(아래 그림 참고)

이 사상의 직교부분은 $$C=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$ 이고 $\text{sgn}F=\det C=-1$이므로 방향을 거꾸로 한다. 

$\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$이 $\mathbb{R}^{3}$의 한 점에서의 틀이라고 하자. $\displaystyle\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}\mathbf{e}_{i}}$, $\displaystyle\mathbf{w}=\sum_{i=1}^{3}{w_{i}\mathbf{e}_{i}}$이면, 다음이 성립한다. $$\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\epsilon\left|\begin{matrix}\mathbf{e}_{1}&\mathbf{e}_{2}&\mathbf{e}_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{matrix}\right|\,(\epsilon=\mathbf{e}_{1}\cdot(\mathbf{e}_{2}\times\mathbf{e}_{3}))$$ 증명: 다음의 식을 계산함으로서 결과를 얻는다. $$\mathbf{v}\times\mathbf{w}=(v_{1}\mathbf{e}_{1}+v_{2}\mathbf{e}_{2}+v_{3}\mathbf{e}_{3})\times(w_{1}\mathbf{e}_{1}+w_{2}\mathbf{e}_{2}+w_{3}\mathbf{e}_{3})$$ $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 $\mathbf{p}$에서의 $\mathbb{R}^{3}$에서의 접벡터라 하자. $F$가 $\mathbb{R}^{3}$의 등장사상이면 다음이 성립한다. $$F_{*}(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=(\text{sgn}F)F_{*}(\mathbf{v})\times F_{*}(\mathbf{w})$$ 증명: $\displaystyle\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}U_{i}(\mathbf{p})}$, $\displaystyle\mathbf{w}=\sum_{i=1}^{3}{w_{i}U_{i}(\mathbf{p})}$, $\mathbf{e}_{i}=F_{*}(U_{i}(\mathbf{p}))$라 하자. $F_{*}$가 선형이므로 $$F_{*}(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}\mathbf{e}_{i}},\,F_{*}(\mathbf{w})=\sum_{i=1}^{3}{w_{i}\mathbf{e}_{i}}$$ 이고 앞 정리를 이용해 직접 계산하면 $F_{*}(\mathbf{v})\times F_{*}(\mathbf{w})=\epsilon F_{*}(\mathbf{v}\times\mathbf{w})$이고 $$\epsilon=\mathbf{e}_{1}\cdot\mathbf{e}_{2}\times\mathbf{e}_{3}=F_{*}(U_{1}(\mathbf{p}))\cdot F_{*}(U_{2}(\mathbf{p}))\times F_{*}(U_{3}(\mathbf{p}))$$ 이고 $\epsilon=\text{sgn}F$이다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress