[미분기하학] 8. 등장사상, 방향

[미분기하학] 8. 등장사상, 방향

\(\mathbb{R}^{3}\)의 등장사상(isometry)은 \(\mathbb{R}^{3}\)의 모든 점 \(\mathbf{p},\,\mathbf{q}\)에 대해 다음을 만족하는 사상 \(F:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)이다.$$d(F(\mathbf{p}),\,F(\mathbf{q}))=d(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$*"isometry"는 등거리를 의미하지만 미분기하학에서는 "등장사상"이라는 용어로 사용된다. 따라서 미분기하학에서의 isometry를 등장사상이라고 할 것이다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)에서의 평행이동(translation)은 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 임의의 점 \(\mathbf{p}\)와 고정된 점 \(\mathbf{a}\)에 대해 \(T(\mathbf{p})=\mathbf{p}+\mathbf{a}\)로 정의되는 사상이고 다음과 같이 등장사상이 됨을 보일 수 있다.$$\begin{align*}d(T(\mathbf{p}),\,T(\mathbf{q}))&=d(\mathbf{p}+\mathbf{a},\,\mathbf{q}+\mathbf{a})\\&=\|(\mathbf{p}+\mathbf{a})-(\mathbf{q}+\mathbf{a})\|\\&=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|\\&=d(\mathbf{p},\,\mathbf{q})\end{align*}$$\(xy\)평면을 원점을 중심으로 \(\theta\)만큼 회전시켜 점 \((p_{1},\,p_{2})\)를 점 \((q_{1},\,q_{2})\)로 보내면 이 두 점 사이의 관계는 다음과 같다.$$\begin{align*}q_{1}&=p_{1}\cos\theta-p_{2}\sin\theta\\q_{2}&=p_{1}\sin\theta+p_{2}\cos\theta\end{align*}$$따라서 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 \(z\)축을 중심으로 각 \(\theta\)만큼 회전시키는 회전(rotation) \(C\)는 모든 점 \(\mathbf{p}\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$C(\mathbf{p})=C(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=(p_{1}\cos\theta-p_{2}\sin\theta,\,p_{1}\sin\theta+p_{2}\cos\theta,\,p_{3})$$분명히 \(C\)는 선형사상이고 등장사상이다.  

\(F\)와 \(G\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 등장사상이면, 합성사상 \(G\circ F\)도 등장사상이다.

증명: \(G\)가 등장사상이므로 \(d(G(F(\mathbf{p})),\,G(F(\mathbf{q})))=d(F(\mathbf{p}),\,F(\mathbf{q}))\)이고 \(F\)가 등장사상이므로 \(d(F(\mathbf{p}),\,F(\mathbf{q}))=d(\mathbf{p}-\mathbf{q})\)이다. 따라서 \(G\circ F\)는 등장사상이다. 

위 정리로부터 \(F\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 전단사이면, 역함수 \(F^{-1}\)를 갖고 \(FF^{-1}=F^{-1}F=I\)이며, 여기서 \(I\)는 \(\mathbb{R}^{3}\)의 항등사상으로 모든 \(\mathbb{R}^{3}\)의 점 \(\mathbf{p}\)에 대해 \(I(\mathbf{p})=\mathbf{p}\)이다. 

(1) \(S,\,T\)가 평행이동이면 \(S\circ T=T\circ S\)도 평행이동이다.

(2) \(T\)가 \(\mathbf{a}\)만큼의 평행이동이면, \(T^{-1}\)는 \(-\mathbf{a}\)만큼의 평행이동이다. 

(3) \(\mathbb{R}^{3}\)의 두 점 \(\mathbf{p},\,\mathbf{q}\)에 대해 \(T(\mathbf{p})=\mathbf{q}\)인 평행이동이 유일하게 존재한다.

(1), (2)는 분명하므로 (3)을 보이자. \(\mathbf{q}-\mathbf{p}\)만큼의 평행이동은 \(\mathbf{p}\)를 \(\mathbf{q}\)로 보낸다. \(T\)가 \(\mathbf{a}\)만큼의 평행이동이고 \(T(\mathbf{p})=\mathbf{q}\)이면 \(\mathbf{p}+\mathbf{a}=\mathbf{q}\)이므로 이 평행이동은 유일하게 존재하고 \(\mathbf{a}=\mathbf{q}-\mathbf{p}\)이다. 

다음은 위 정리의 (3)의 특별한 경우이다. \(T\)가 어떤 점에 대해 \(T(\mathbf{p})=\mathbf{p}\)이고 평행이동이면 \(T=I\)이다. 앞에서 다루었던 회전은 \(\mathbb{R}^{3}\)의 직교변환(orthogonal transformation)의 예이고, 직교변환은 선형변환 \(C:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)으로 다음과 같이 내적을 보존하는 것이다. 즉 모든 \(\mathbf{p},\,\mathbf{q}\)에 대해$$C(\mathbf{p})\cdot C(\mathbf{q})=\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}$$\(C\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)의 직교변환이면, \(\mathbb{R}^{3}\)의 등장사상이다. 

증명: 먼저 \(C\)가 노름을 보존함을 다음과 같이 보일 수 있다.$$\|C(\mathbf{p})\|^{2}=C(\mathbf{p})\cdot C(\mathbf{p})=\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}=\|\mathbf{p}\|^{2}$$이다. 그러면 모든 점 \(\mathbf{p}\)에 대해 \(\|C(\mathbf{p})\|=\|\mathbf{p}\|\)이고 \(C\)가 선형이므로 다음과 같이 등장사상임을 보일 수 있다. 모든 \(\mathbf{p},\,\mathbf{q}\)에 대해$$\begin{align*}d(C(\mathbf{p}),\,C(\mathbf{q}))&=\|C(\mathbf{p})-C(\mathbf{q})\|=\|C(\mathbf{p}-\mathbf{q})\|\\&=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|=d(\mathbf{p},\,\mathbf{q})\end{align*}$$다음은 앞 정리의 역이다.

\(F\)가 \(F(\mathbf{O})=\mathbf{O}\)인 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 등장사상이면, \(F\)는 직교변환이다. 

증명: 먼저 \(F\)가 내적을 보존함을 보이고 그 다음으로 \(F\)가 선형변환임을 보이자. 

유클리드 거리의 정의에 의해 점 \(\mathbf{p}\)의 노름 \(\|\mathbf{p}\|\)는 원점에서 점 \(\mathbf{p}\)까지의 유클리드 거리 \(d(\mathbf{O},\,\mathbf{p})\)이다. 가정에 의해 \(F\)는 유클리드 거리를 보존하고 \(F(\mathbf{O})=\mathbf{O}\)이다. 그러면$$\|F(\mathbf{p})\|=d(\mathbf{O},\,F(\mathbf{p}))=d(F(\mathbf{O}),\,F(\mathbf{p}))=d(\mathbf{O},\,\mathbf{p})=\|\mathbf{p}\|$$이고 따라서 \(F\)는 노름을 보존한다. 이제 극성화(polarization)에 의해 \(F\)가 내적도 보존함을 보일 것이다. \(F\)가 등장사상이므로 임의의 한 쌍의 점에 대해$$d(F(\mathbf{p}),\,F(\mathbf{q}))=d(\mathbf{p},\,\mathbf{q})$$이다. 따라서 \(\|F(\mathbf{p})-F(\mathbf{q})\|=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|\)이고, 노름의 정의에 의해$$(F(\mathbf{p})-F(\mathbf{q}))\cdot(F(\mathbf{p})-F(\mathbf{q}))=(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$이므로$$\|F(\mathbf{p})\|^{2}-2F(\mathbf{p})\cdot F(\mathbf{q})+\|F(\mathbf{q})\|^{2}=\|\mathbf{p}\|^{2}-2\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}+\|\mathbf{q}\|^{2}$$이다. \(F\)가 노름을 보존하므로 위 식에서 노름이 있는 항은 상쇄되어 \(F(\mathbf{p})\cdot F(\mathbf{q})=\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}\)이고 따라서 \(F\)는 내적을 보존한다. 

마지막으로 \(F\)가 선형임을 보이자.$$\mathbf{u}_{1}=(1,\,0,\,0),\,\mathbf{u}_{2}=(0,\,1,\,0),\,\mathbf{u}_{3}=(0,\,0,\,1)$$이라 하면 다음의 등식을 얻고$$\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=\sum_{i=1}^{3}{p_{i}\mathbf{u}_{i}}$$또한 \(\mathbf{u}_{1},\,\mathbf{u}_{2},\,\mathbf{u}_{3}\)은 정규직교이고, \(F\)가 내적을 보존하므로 \(F(\mathbf{u}_{1}),\,F(\mathbf{u}_{2}),\,F(\mathbf{u}_{3})\)도 정규직교이다. 그러면 정규직교전개를 하면$$F(\mathbf{p})=\sum_{i=1}^{3}{F(\mathbf{p})\cdot F(\mathbf{u}_{i})F(\mathbf{u}_{i})}$$이고$$F(\mathbf{p})\cdot\ F(\mathbf{u}_{i})=\mathbf{p}\cdot\mathbf{u}_{i}=p_{i}$$이므로 \(\displaystyle F(\mathbf{p})=\sum_{i=1}^{3}{p_{i}F(\mathbf{u}_{i})}\)이다. 이 등식을 이용해 다음의 선형조건이 성립함을 알 수 있다.$$F(a\mathbf{p}+b\mathbf{q})=aF(\mathbf{p})+bF(\mathbf{q})$$\(F\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)의 등장사상이면 평행이동 \(T\)와 직교변환 \(C\)가 유일하게 존재하여 \(F=T\circ C\)이다.

증명: \(T\)를 \(F(\mathbf{O})\)만큼의 평행이동이라 하자. \(T^{-1}\)는 \(-F(\mathbf{O})\)만큼의 평행이동이다. \(T^{-1}\circ F\)는 등장사상이고 다음이 성립한다.$$(T^{-1}\circ F)(\mathbf{O})=T^{-1}(F(\mathbf{O}))=F(\mathbf{O})-F(\mathbf{O})=\mathbf{O}$$이다. 그러면 \(T^{-1}\circ F\)는 \((T^{-1}\circ F)(\mathbf{O})=\mathbf{O}\)인 등장사상이므로 앞의 정리에 의해 직교변환, 즉 \(T^{-1}\circ F=C\)이다. 이 등식의 양변에 \(T\)를 합성하면 \(F=T\circ C\)를 얻는다. 

유일성을 보이기 위해 \(F\)가 평행이동 \(\overline{T}\)와 직교변환 \(\overline{C}\)에 대해 \(\overline{T}\circ\overline{C}\)로 나타내어진다고 하면 \(\overline{T}=T\), \(\overline{C}=C\)임을 보이면 된다. \(T\circ C=\overline{T}\circ\text{C}\)이므로 \(C=T^{-1}\circ\overline{T}\circ\overline{C}\)이고 \(C\)와 \(\overline{C}\)는 선형변환이므로 원점을 원점으로 보낸다. 그러므로 \((T^{-1}\circ\overline{T})(\mathbf{O})=\mathbf{O}\)이다. \(T^{-1}\circ\overline{T}\)는 평행이동이므로 \(T^{-1}\circ\overline{T}=I\), 즉 \(\overline{T}=T\)이다. 그러면 \(T\circ C=\overline{T}\circ\overline{C}=T\circ\overline{C}\)이고 이 식의 양변에 \(T^{-1}\)를 합성하면 \(C=\overline{C}\)도 얻는다.   

따라서 \(\mathbb{R}^{3}\)의 모든 등장사상은 직교변환에 이은 평행이동으로 유일하게 표현된다. 앞의 정리에서 \(F=T\circ C\)의 \(C\)를 \(F\)의 직교부분(orthogonal part), \(C\)를 \(F\)의 평행이동부분(translation part)이라고 한다. 이때 일반적으로 \(C\circ T\neq T\circ C\)임에 유의한다(함수의 합성은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다).  

선형대수학 이론으로부터 임의의 선형변환 \(C\)의 행렬은 다음과 같은 \(3\times3\)행렬 \(\{c_{ij}\}\)이다.$$C(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=\left(\sum_{j=1}^{3}{c_{1j}p_{j}},\,\sum_{j=1}^{3}{c_{2j}p_{j}},\,\sum_{j=1}^{3}{c_{3j}p_{j}}\right)$$따라서 열벡터로 나타내면 \(\mathbf{q}=C(\mathbf{p})\)는 다음과 같다.$$\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}$$선형대수학으로부터 \(\mathbb{R}^{3}\)의 선형변환이 직교(내적을 보존)일 필요충분조건은 그 행렬이 직교(전치행렬이 역행렬과 같다)이다.

앞의 정리의 분해 \(F=T\circ C\)로 돌아가서 \(T\)가 \(\mathbf{a}=(a_{1},\,a_{2},\,a_{3})\)만큼 평행이동하면$$F(\mathbf{p})=(T\circ C)(\mathbf{p})=\mathbf{a}+C(\mathbf{p})$$이고, \(C(\mathbf{p})\)에 대한 위의 식을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}$$임의의 사상 \(F:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)는 점 \(\mathbf{p}\)에서의 접벡터 \(\mathbf{v}\)를 \(F(\mathbf{p})\)에서의 접벡터 \(F_{*}(\mathbf{v})\)(접벡터와 점 사이의 구분을 위해 *표시를 했다)로 보내는 접사상 \(F_{*}\)를 가진다. 

\(F\)가 등장사상이면 그 사상은 매우 간단하다. 

\(F\)를 직교부분이 \(C\)인 \(\mathbb{R}^{3}\)의 등장사상이라고 하자. 그러면 \(\mathbb{R}^{3}\)의 모든 접벡터 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\) 에 대해 다음이 성립한다.$$F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=(C\mathbf{v})_{F(\mathbf{p})}$$\(F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\)를 얻으려면 먼저 접벡터 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)를 자연스럽게 대응되는 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 점 \(\mathbf{v}\)로 옮긴 후 \(F\)의 직교부분 \(C\)를 적용하고 점 \(C(\mathbf{v})\)를 대응하는 \(F(\mathbf{p})\)에서의 접벡터로 옮긴다.(아래 그림 참고)

그래서 \(\mathbb{R}^{3}\)의 점 \(\mathbf{p}\)에서의 모든 접벡터는 \(F_{*}\)에 의해 정확히 같은 방법으로 회전하고, 단지 새로운 작용점 \(F(\mathbf{p})\)만이 \(\mathbf{p}\)만이 \(\mathbf{p}\)에 의존한다. 

증명: \(F=T\circ C\)라 하자. \(T\)를 \(\mathbf{a}\)만큼의 평행이동이라고 하면 \(F(\mathbf{p})=\mathbf{a}+C(\mathbf{p})\)이다. \(T\)를 \(\mathbf{a}\)만큼의 평행이동이라고 하면 \(F(\mathbf{p})=\mathbf{a}+C(\mathbf{p})\)이다. \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터이면, \(F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\)는 곡선 \(t\,\mapsto\,F(\mathbf{p}+t\mathbf{v})\)의 초기속도이고, \(C\)의 선형성으로부터 다음이 성립하다.$$\begin{align*}F(\mathbf{p}+t\mathbf{v})&=(T\circ C)(\mathbf{p}+t\mathbf{v})=T(C(\mathbf{p})+tC(\mathbf{v}))\\&=\mathbf{a}+C(\mathbf{p})+tC(\mathbf{v})\\&=F(\mathbf{p})+tC(\mathbf{v})\end{align*}$$그러면 \(F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\)는 곡선 \(t\,\mapsto\,F(\mathbf{p})+tC(\mathbf{v})\)의 초기속도이고, 이것은 정확히 접벡터 \((C\mathbf{v})_{F(\mathbf{p})}\)이다. 

유클리드 좌표를 이용하여 위의 정리를 나타내면$$F_{*}\left(\sum_{j=1}^{3}{v_{j}U_{j}}\right)=\sum_{i,\,j=1}^{3}{C_{ij}v_{j}\overline{U}_{i}}$$이고 이때 \(C=(c_{ij})\)는 \(F\)의 직교부분, \(U_{i}\)는 \(\mathbf{p}\)에서 계산되었으며 \(\overline{U}_{i}\)는 \(F(\mathbf{p})\)에서 계산되었다. 

등장사상은 접벡터의 내적을 보존한다. 즉 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)와 \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\)가 같은 점에서의 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 접벡터이고 \(F\)가 등장사상이면 다음이 성립한다.$$F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\cdot F_{*}(\mathbf{w}_{\mathbf{p}})=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\cdot\mathbf{w}_{\mathbf{p}}$$증명: \(C\)를 \(F\)의 직교부분이라 하면 \(C\)는 직교변호나이므로 \(\mathbb{R}^{3}\)의 내적을 보존하고 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\cdot F_{*}(\mathbf{w}_{\mathbf{p}})&=(C(\mathbf{v}))_{F(\mathbf{p})}(C(\mathbf{w}))_{F(\mathbf{p})}\\&=C(\mathbf{v})\cdot C(\mathbf{w})=\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\\&=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\cdot\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\end{align*}$$내적이 보존되므로 노름이나 직교성이 보존된다. \(F\)가 등장사상이면 \(\|F_{*}(\mathbf{v})\|=\|\mathbf{v}\|\)이고 \(\mathbf{v}\)와 \(\mathbf{w}\)가 수직이면 \(F_{*}(\mathbf{v})\)와 \(F_{*}(\mathbf{w})\)도 수직이므로 틀도 보존된다. 즉 \(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)이 \(\mathbb{R}^{3}\)의 점 \(\mathbf{p}\)에서의 틀이면 \(F_{*}(\mathbf{e}_{1}),\,F_{*}(\mathbf{e}_{2}),\,F_{*}(\mathbf{e}_{3})\)도 \(F(\mathbf{p})\)에서의 틀이다.

\(\mathbb{R}^{3}\)위의 임의의 두 개의 틀, 예로 \(\mathbf{p}\)에서의 틀 \(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)와 점 \(\mathbf{q}\)에서의 틀 \(\mathbf{f}_{1},\,\mathbf{f}_{2},\,\mathbf{f}_{3}\)에 대해 \(F_{*}(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{f}_{i}\,(1\leq i\leq3)\)인 \(\mathbb{R}^{3}\)의 등장사상이 유일하게 존재한다. 

증명: 등장사상이 존재함을 보이자. \(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)과 \(\mathbf{f}_{1},\,\mathbf{f}_{2},\,\mathbf{f}_{3}\)을 두 개의 틀을 이루는 벡터에 대응하는 점이라 하자. \(C\)를 \(1\leq i\leq3\)에 대해 \(C(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{f}_{i}\)를 만족하는 \(\mathbb{R}^{3}\)의 유일한 선형변환이라 하자. \(C\)는 직교이고 \(T\)를 \(\mathbf{q}-C(\mathbf{p})\)만큼의 평행이동이라 할 때 등장사상 \(F=T\circ C\)가 틀 \(\mathbf{e}\)를 틀 \(\mathbf{f}\)로 보내는 등장사상임을 보이자. 먼저$$F(\mathbf{p})=T(C(\mathbf{p}))=\mathbf{q}-C(\mathbf{p})+C(\mathbf{p})=\mathbf{q}$$이고, \(1\leq i\leq3\)에 대해 다음을 얻는다.$$F_{*}(\mathbf{e}_{i})=(C(\mathbf{e}_{i}))_{F(\mathbf{p})}=(\mathbf{f}_{i})_{F(\mathbf{p})}=(\mathbf{f}_{i})_{\mathbf{q}}=\mathbf{f}_{i}$$유일성을 보이자. \(C\)는 등장사상의 유일한 직교부분이고, 평행이동부분도 \(C(\mathbf{p})\)를 \(\mathbf{q}\)로 옮겨야 하므로 유일하게 결정되므로 따라서 등장사상 \(F=T\circ C\)가 유일하게 결정된다.

틀 \(\mathbf{e}\)의 자세행렬 \(A\)는 \(\mathbf{e}_{i}\)의 유클리드 좌표를 \(i\)번째 행 \(a_{i1},\,a_{i2},\,a_{i3}\)으로 갖고, 틀 \(\mathbf{f}\)의 자세행렬 \(B\)에 대해서도 마찬가지이다. 이 정리에서의 \(C\)의 행렬은 \(B^{T}A\)이고, 이를 보이기 위해서 \(B^{T}A(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{f}_{i}\)임을 보이면 된다.$$\begin{align*}B^{T}A\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{22}\\a_{33}\end{pmatrix}&=B^{T}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{12}\\a_{33}\end{pmatrix}\\&=B^{T}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{21}&b_{31}\\b_{12}&b_{22}&b_{32}\\b_{13}&b_{23}&b_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}b_{11}\\b_{12}\\b_{13}\end{pmatrix}\end{align*}$$즉 \(B^{T}A(\mathbf{e}_{1})=\mathbf{f}_{1}\)이고 \(i=2,\,3\)의 경우도 비슷하다. 그러므로 \(C=B^{T}A\)이고 \(T\)는 \(\mathbf{q}-C(\mathbf{p})\)만큼 평행이동한다.

\(\mathbb{R}^{3}\)에서 각각의 틀 \(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)에 대해$$\mathbf{e}_{1}\cdot(\mathbf{e}_{2}\times\mathbf{e}_{3})=\pm1$$이다. 이 숫자가 \(+1\)이면, 틀 \(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)이 양의 방향(positively oriented), \(-1\)이면 음의 방향(negatively oriented)이라고 ㅎ나다.

직교행렬의 판별식(행렬식은) \(\pm1\)이므로 \(F\)의 직교부분이 \(C\)일 때, \(F\)의 부호를 \(C\)의 행렬식으로 정의하고 다음과 같이 나타낸다.$$\text{sgn}F=\det C$$\(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)이 \(\mathbb{R}^{3}\)의 어떤 점에서의 틀이고 \(F\)가 등장사상이면 다음이 성립한다.$$F_{*}(\mathbf{e}_{1})\cdot F_{*}(\mathbf{e}_{2})\times F_{*}(\mathbf{e}_{3})=(\text{sgn}F)\mathbf{e}_{1}\cdot\mathbf{e}_{2}\times\mathbf{e}_{3}$$증명: \(\displaystyle\mathbf{e}_{j}=\sum_{k=1}^{3}{a_{jk}U_{k}}\)이면, \(\displaystyle F_{*}(\mathbf{e}_{j})=\sum_{i,\,j=1}^{3}{c_{ik}a_{jk}\overline{U}_{i}}\)이고, 여기서 \(C=(c_{ij})\)는 \(F\)의 직교부분이다. 그러면 틀 \(F_{*}(\mathbf{e}_{1}),\,F_{*}(\mathbf{e}_{2}),\,F_{*}(\mathbf{e}_{3})\)의 자세행렬은 다음과 같다.$$\left(\sum_{k=1}^{3}{c_{ik}a_{jk}}\right)=\left(\sum_{k=1}^{3}{c_{ik}a_{kj}}\right)=CA^{T}$$틀의 삼중적은 자세행렬의 행렬식이고, 정의에 의해 \(\text{sgn}F=\det C\)이므로 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}F_{*}(\mathbf{e}_{1})\cdot F_{*}(\mathbf{e}_{2})\times F_{*}(\mathbf{e}_{3})&=\det CA^{T}=\det C\det A^{T}\\&=\det C\det A\\&=(\text{sgn}F)\mathbf{e}_{1}\cdot\mathbf{e}_{2}\times\mathbf{e}_{3}\end{align*}$$\(C\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)의 등장사상 \(F\)의 직교부분일 때

\(\text{sgn}F=\det C=+1\)이면 방향을 보존한다(orientation preserving)

\(\text{sgn}F=\det C=-1\)이면 방향을 거꾸로 한다(orientation reversing)

고 한다.  

(1) 평행이동의 직교부분은 항등사상 \(I\)이므로 \(\text{sgn}T=\det I=+1\)이고 방향을 보존한다. 

(2) 회전이동의 직교부분은 다음과 같고$$C=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$\(\text{sgn}C=\det C=+1\)이므로 방향을 보존한다.

(3) 반사(reflection) \(\mathbb{R}^{3}\)의 \(yz\)평면을 거울이라고 하자. \(yz\)평면을 향해 바라보면 점 \(\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\)이 점 \(R(\mathbf{p})=(-p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\)에 위치한 것으로 보인다.(아래 그림 참고)

이 사상의 직교부분은$$C=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$이고 \(\text{sgn}F=\det C=-1\)이므로 방향을 거꾸로 한다. 

\(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)이 \(\mathbb{R}^{3}\)의 한 점에서의 틀이라고 하자. \(\displaystyle\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}\mathbf{e}_{i}}\), \(\displaystyle\mathbf{w}=\sum_{i=1}^{3}{w_{i}\mathbf{e}_{i}}\)이면, 다음이 성립한다.$$\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\epsilon\left|\begin{matrix}\mathbf{e}_{1}&\mathbf{e}_{2}&\mathbf{e}_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{matrix}\right|\,(\epsilon=\mathbf{e}_{1}\cdot(\mathbf{e}_{2}\times\mathbf{e}_{3}))$$증명: 다음의 식을 계산함으로서 결과를 얻는다.$$\mathbf{v}\times\mathbf{w}=(v_{1}\mathbf{e}_{1}+v_{2}\mathbf{e}_{2}+v_{3}\mathbf{e}_{3})\times(w_{1}\mathbf{e}_{1}+w_{2}\mathbf{e}_{2}+w_{3}\mathbf{e}_{3})$$\(\mathbf{v}\)와 \(\mathbf{w}\)가 \(\mathbf{p}\)에서의 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 접벡터라 하자. \(F\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)의 등장사상이면 다음이 성립한다.$$F_{*}(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=(\text{sgn}F)F_{*}(\mathbf{v})\times F_{*}(\mathbf{w})$$증명: \(\displaystyle\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}U_{i}(\mathbf{p})}\), \(\displaystyle\mathbf{w}=\sum_{i=1}^{3}{w_{i}U_{i}(\mathbf{p})}\), \(\mathbf{e}_{i}=F_{*}(U_{i}(\mathbf{p}))\)라 하자. \(F_{*}\)가 선형이므로$$F_{*}(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}\mathbf{e}_{i}},\,F_{*}(\mathbf{w})=\sum_{i=1}^{3}{w_{i}\mathbf{e}_{i}}$$이고 앞 정리를 이용해 직접 계산하면 \(F_{*}(\mathbf{v})\times F_{*}(\mathbf{w})=\epsilon F_{*}(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\)이고$$\epsilon=\mathbf{e}_{1}\cdot\mathbf{e}_{2}\times\mathbf{e}_{3}=F_{*}(U_{1}(\mathbf{p}))\cdot F_{*}(U_{2}(\mathbf{p}))\times F_{*}(U_{3}(\mathbf{p}))$$이고 \(\epsilon=\text{sgn}F\)이다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress