[미분기하학] 10. 3차원 공간에서의 곡면, 조각

[미분기하학] 10. 3차원 공간에서의 곡면, 조각

\(\mathbb{R}^{3}\)상의 곡면은 \(\mathbb{R}^{3}\)의 부분집합이고 곡면은 매끄럽고 2차원이어야 한다.

좌표조각(coordinate patch) \(\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)은 \(\mathbb{R}^{2}\)의 열린집합 \(D\)에서 \(\mathbb{R}^{3}\)으로의 일대일 정칙사상이다.

좌표조각 \(\mathbf{x}\)의 상 \(\mathbf{x}[D]\)는 다음과 같이 \(\mathbb{R}^{3}\)의 매끄러운 2차원 부분집합이다.

곡면의 정칙성은 곡선이 매끄럽기 위한 기본 조건이고 일대일 조건은 \(\mathbf{x}[D]\)가 중복해서 대응하는 것을 방지하기 위해 포함되었다. 또한 문제가 어려워 지는 것을 방지하기 위해 역함수 \(\mathbf{x}^{-1}:\mathbf{x}[D]\,\rightarrow\,D\)가 연속인 적절한 조각(proper patch)을 이용해야 한다.

곡면 \(M\)의 임의의 충분히 작은 어떤 영역도 평면 \(\mathbb{R}^{2}\)와 닮았다고 하자. 이것을 "각 점 근방에서 \(M\)은 적절한 조각의 상으로 나타낼 수 있다(조각 \(\mathbf{x}\)의 상을 \(M\)에 놓인 조각이라고 한다)"고 할 수 있다. 

최종적인 정의를 얻기 위해 점 \(\mathbf{p}\)의 \(M\)안의 근방 \(\mathcal{N}\)을 \(\mathbf{p}\)에서의 유클리드 거리가 \(\epsilon>0\)보다 작은 \(M\)의 모든 점으로 구성된 것으로 정의하자. 

\(\mathbb{R}^{3}\)상의 곡면(surface) \(M\)이란 \(\mathbb{R}^{3}\)의 부분집합으로서 \(M\)의 임의의 점 \(\mathbf{p}\)에 대하여 상의 점 \(\mathbf{p}\)의 근방을 포함하는 \(M\)의 적절한 조각이 존재하는 것이다.

\(\mathbb{R}^{3}\)의 단위구 \(\Sigma:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)은 곡면이다. 정의에 의해 \(\Sigma\)는 원점에서 단위길이의 거리에 있는 점 즉$$\|\mathbf{p}\|=\sqrt{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}=1$$인 점 \(\mathbf{p}\)들의 집합이다. 이 구의 북극점 \((0,\,0,\,1)\)의 근방을 덮는 \(\Sigma\)의 적절한조각을 찾자. \(\Sigma\)의 윗부분(\(xy\)평면 위)의 각 점 \((q_{1},\,q_{2},\,q_{3})\)을 \(xy\)평면 위의 점 \((q_{1},\,q_{2},\,0)\)으로 사영하여 구면과 \(xy\)평면의 반지름이 1인 단위원판 \(D:\,x^{2}+y^{2}=1,\,z=0\)사이의 일대일 대응을 얻을 수 있다.

이 일대일 대응을 \(\mathbf{x}(u,\,v)=(u,\,v,\,\sqrt{1-u^{2}-v^{2}})\)로 나타낼 수 있다. \(\mathbf{x}\)가 정칙사상임을 보이기 위해 \(f=\sqrt{1-u^{2}-v^{2}}\)라 하고 야코비 행렬을 계산하면$$\begin{pmatrix}\frac{\partial u}{\partial u}&\frac{\partial v}{\partial u}&\frac{\partial f}{\partial u}\\ \frac{\partial u}{\partial v}&\frac{\partial v}{\partial v}&\frac{\partial f}{\partial v}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&\frac{\partial f}{\partial u}\\0&1&\frac{\partial f}{\partial v}\end{pmatrix}$$이 행렬의 각 행은 항상 일차독립이므로 각 점에서 이 행렬의 계수(rank)는 2이고 따라서 \(\mathbf{x}\)는 정칙이고 조각이다.

역함수 \(\mathbf{x}^{-1}:\,\mathbf{x}[D]\,\rightarrow\,D\)는 식 \(\mathbf{x}^{-1}(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=(p_{1},\,p_{2})\)이므로 연속이 되어 \(\mathbf{x}\)는 적절한 조각이고, \(\mathbf{x}\)는 \(\Sigma\)의 점 \(\mathbf{p}=(0,\,0,\,1)\)의 근방을 덮고 있다. 

비슷한 방법으로 \(\Sigma\)의 나머지 다섯 개의 좌표반구를 덮는 적절한 조각을 찾을 수 있고 따라서 \(\Sigma\)는 곡면이다. 

앞에서처럼 \(f\)가 \(\mathbb{R}^{2}\)의 열린집합 \(D\)에서 정의된 미분가능한 실함수이면, 다음과 같이 정의되는 함수 \(\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)$$\mathbf{x}(u,\,v)=(u,\,v,\,f(u,\,v))$$는 적절한 조각이고 이러한 형태의 조각을 몽주 조각(Monge patch)이라고 한다. 

단 하나의 적절한 조각의 상 \(M=\mathbf{x}[D]\)는 곡면의 정의를 만족하고, 이러한 \(M\)을 단순곡면(simple surface)이라고 한다. 

\(\mathbb{R}^{2}\)에서 정의된 곡면 \(M:\,z=f(x,\,y)\)의 미분가능한 실함수 \(f\)는 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 곡면 \(M\)을 결정한다. \(f\)의 그래프의 모든 점들의 집합 \(M\)은 몽주조각 \(\mathbf{x}(u,\,v)=(u,\,v,\,f(u,\,v))\)의 상이고, \(M\)은 단순곡면이다. 

\(g\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 미분가능한 실함수이고, \(c\in\mathbb{R}\)이라 하자. \(\mathbb{R}^{3}\)의 부분집합 \(M:g(x,\,y,\,z)=c\)가 곡면일 필요충분조건은 미분 \(dg\)가 \(M\)의 모든 점에서 0이 아닌 것이다. 

증명: \(M\)상의 점 \(\mathbf{p}\)에 대해 \(\mathbf{p}\)의 근방을 덮는 \(M\)의 적절한 조각을 찾아야 한다.

$$dg=\frac{\partial g}{\partial x}dx+\frac{\partial g}{\partial y}dy+\frac{\partial g}{\partial z}dz$$이므로 \(dg\)에 대한 가정은 \(\mathbf{p}\)에서 적어도 하나의 편미분이 0이 아닌 것, \(\displaystyle\frac{\partial g}{\partial z}(\mathbf{p})\neq0\)과 동치이다. 이 경우 \((p_{1},\,p_{2})\)의 근방 \(D\)에서 정의된 다음과 같은 미분가능한 실함수 \(h\)가 존재한다. 

(1) \(D\)의 각 점 \((u,\,v)\)에 대하여 점 \((u,\,v,\,h(u,\,v))\)는 \(M\) 위의 점이다. 즉 \(g(u,\,v,\,h(u,\,v))=c\). 

(2) \((u,\,v)\)가 \(D\)안에 있을 때 \((u,\,v,\,h(u,\,v))\)의 형태의 점은 \(M\)안에서 \(\mathbf{p}\)의 근방을 채운다. 

이것으로부터 \(\mathbf{x}(u,\,v)=(u,\,v,\,h(u,\,v))\)인 몽주조각 \(\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)은 곡면의 정의를 만족하고, \(\mathbf{p}\)는 \(M\)위의 임의의 점이므로 \(M\)은 곡면이다. 

\(M\)위에서 \(dg\neq0\)일 때만 \(M:g=c\)로 나타내고, 이것이 곡면일 때, \(M\)은 식 \(g=c\)에 의해 음함수적으로(implicitly)정의되었다고 한다. 

회전면(surface of revolution). \(C\)를 평면 \(P\subset\mathbb{R}^{3}\)에 놓인 곡선, \(A\)를 \(C\)와 만나지 않는 \(P\)에 놓인 직선이라 하자. 윤곽선(profile curve) \(C|)가 축 \(A\) 주위를 회전하면, \(\mathbb{R}^{3}\)에 놓인 회전면 \(M\)이 만들어진다. \(M\)이 곡면임을 확인하자. 

\(P\)를 좌표평면(\(xy\)평면), \(A\)를 좌표축(\(x\)축)이라 하자. \(C\)는 \(A\)를 만나지 않으므로 \(xy\)평면의 위쪽 반평면 \(y>0\)에 있다고 가정한다. \(C\)가 회전하면 각 점 \((q_{1},\,q_{2},\,0)\)은 \(M\)의 원의 점 \((q_{1},\,q_{2}\cos v,\,q_{2}\sin v),\,(0\leq v\leq2\pi)\)를 만들고, 거꾸로 점 \(\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\)가 \(M\)안에 있을 필요충분조건은 점 \(\overline{p}=(p_{1},\,\sqrt{p_{2}^{2}+p_{3}^{2}},\,0)\)이 \(C\)안에 있는 것이다.

윤곽선이 \(C:f(x,\,y)=c\)이면 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 함수 \(g\)를 \(g(x,\,y,\,z)=f(x,\,\sqrt{y^{2}+z^{2}})\)로 정의하자. 그러면 회전면은 \(M:g(x,\,y,\,z)=c\)임을 알 수 있고, \(M\)에서 \(dg\neq0\)이므로 \(M\)은 곡면이다. 

회전했을 때 \(C\)의 각 점에 의해 생성되는 \(M\)에 놓인 원을 \(M\)의 위도선(parallel), \(C\)가 회전할 때 생기는 다른 위치에 놓인 \(C\)를 \(M\)의 경도선(meridian)이라고 한다. 구면은 회전면이 아니고 구의 윤곽선은 회전축과 두 점에서 만나므로 두 개의 위도선이 한 점이 된다.

직사각형 띠 모양의 깡통 조각을 구부려서 다음과 같이 8자모양을 만들었다고 가정하자.

이렇게 만들어진 \(M\)은 곡면이 아닌데 위의 오른쪽 그림대로 축 \(A\)를 따라서 \(M\)은 평면 \(\mathbb{R}^{2}\)를 닮지 않고 두 개의 서로 만나는 평면을 닮았다. 이것을 수학적으로 나타내기 위해 \(D\)를 \(\mathbb{R}^{2}\)의 직사각형 \(-\pi<u<\pi\), \(0<v<1\)이라 하고 \(\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)를 \(\mathbf{x}(u,\,v)=(\sin u,\,\sin2u,\,v)\)라 정의하자. \(\mathbf{x}\)는 조각이나 상 \(M=\mathbf{x}[D]\)는 곡면이 아니다. \(M\)을 \(D\)로 되돌릴 때 \(\mathbf{x}^{-1}\) \(\mathbf{x}^{-1}\)는 축 \(A\)(\(\mathbb{R}^{3}\)의 \(z\)축)를 따라 찢어야 하므로 \(\mathbf{x}^{-1}\)는 불연속이다. 

앞에서 회전면은 곡면이었고, 다음 그림의 원환면(torus of revolution) \(T\)는 곡면이다.

원환면을 변형시켜서 다음과 같은 이중 원환면(double torus)을 만들 수 있다.

기존의 곡면에 손잡이(handle)와 관(tube)을 추가해서 만들 수 있다.      

\(\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)를 좌표조각이라고 하자. 함수 \((u,\,v)\,\rightarrow\,\mathbf{x}(u,\,v)\)에서 \(u\) 또는 \(v\)를 상수라고 하면 곡선이 생긴다. \(D\)안의 각 점 \((u_{0},\,v_{0})\)에 대해 곡선 \(u\,\rightarrow\,\mathbf{x}(u,\,v_{0})\)를 \(\mathbf{x}\)의 \(v=v_{0}\)의 \(u-\)매개곡선(parameter curve), \(v\,\rightarrow\,\mathbf{x}(u_{0},\,v)\)를 \(u=u_{0}\)의 \(v-\)매개곡선(parameter curve)이라고 부른다.

상 \(\mathbf{x}[D]\)는 \(D\)의 수평선과 수직선의 \(\mathbf{x}\)에 의한 상이 되는 두 집합의 곡선에 의해 덮이고, 각 집합의 곡선은 \(\mathbf{x}(D)\)의 각 점을 지난다. 

\(\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)가 조각이면, \(D\)의 각 점 \((u_{0},\,v_{0})\)에 대해 

(1) \(v=v_{0}\)에서 \(u-\)매개곡선의 \(u_{0}\)에서의 속도벡터는 \(\mathbf{x}_{u}(u_{0},\,v_{0})\)로 나타낸다. 

(2) \(u=u_{0}\)에서 \(v-\)매개곡선의 \(v_{0}\)에서의 속도벡터는 \(\mathbf{v}_{u}(u_{0},\,v_{0})\)로 나타낸다. 

벡터 \(\mathbf{x}_{u}(u_{0},\,v_{0})\), \(\mathbf{x}_{v}(u_{0},\,v_{0})\)를 \(\mathbf{x}\)의 \((u_{0},\,v_{0})\)에서의 편속도(partial velocity)라고 한다.

\(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v}\)는 \(D\)에서 정의된 함수로서 각 점 \((u_{0},\,v_{0})\)에서의 값이 \(\mathbf{x}(u_{0},\,v_{0})\)에서의 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터이다. 조각이 다음과 같이 주어지면$$\mathbf{x}(u,\,v)=(x_{1}(u,\,v),\,x_{2}(u,\,v),\,x_{3}(u,\,v))$$편속도함수는 다음과 같다.$$\mathbf{x}_{u}=\left(\frac{\partial x_{1}}{\partial u},\,\frac{\partial x_{2}}{\partial u},\,\frac{\partial f}{\partial x_{3}}\right)_{\mathbf{x}},\,\mathbf{x}_{v}=\left(\frac{\partial x_{1}}{\partial v},\,\frac{\partial x_{2}}{\partial v},\,\frac{\partial x_{3}}{\partial v}\right)_{\mathbf{x}}$$이다. 여기서 첨자 \(\mathbf{x}\)는 각각의 편속도의 작용점이 \(\mathbf{x}(u,\,v)\)임을 알려준다.

구면에서의 지리적 조각(geographical patch): \(\Sigma\)를 반지름이 \(r\)이고 중심이 \(\mathbb{R}^{3}\)의 원점인 구면이라고 하자. 경도 \(u(-\pi<u<\pi)\), 위도 \(\displaystyle v(-\frac{\pi}{2}<v<\frac{\pi}{2})\)인 \(\Sigma\)의 점 \(\mathbf{x}(u,\,v)\)인 유클리드 좌표는 다음과 같다.$$\mathbf{x}(u,\,v)=(r\cos v\cos u,\,r\cos v\sin u,\,r\sin v)$$

부등식에 의해 \(\mathbf{x}\)의 정의역 \(D\)에 의한 \(\mathbf{x}\)의 상 \(\mathbf{x}[D]\)는 북극점에서 남극점을 잇는 반원을 제외한 \(\Sigma\)전체이다. \(v=v_{0}\)에서 \(u-\)매개곡선은 위도가 \(v_{0}\)인 위도선, 즉 원이고, \(u=u_{0}\)에서 \(v-\)매개곡선은 경도가 \(u_{0}\)인 경도선, 즉 반원이다. \(\mathbf{x}\)의 편속도는 다음과 같고$$\begin{align*}\mathbf{x}_{u}(u,\,v)&=r(-\cos v\sin u,\,\cos v\cos u,\,0)\\ \mathbf{x}_{v}(u,\,v)&=r(-\sin v\cos u,\,-\sin v\sin u,\,\cos v)\end{align*}$$이고 반지름 \(r\)은 스칼라이다. \(\mathbf{x}_{u}\)는 항상 동쪽, \(\mathbf{x}_{v}\)는 항상 북쪽을 향한다.

상이 곡면 \(M\)에 놓인 정칙조각 \(\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)를 \(M\)의 영역 \(\mathbf{x}[D]\)의 매개화(parametrization)라고 한다. 

\(\mathbf{x}\)의 편속도 \(\mathbf{x}_{u}\)와 \(\mathbf{x}_{v}\)의 외적은 다음과 같고$$\mathbf{x}_{u}\times\mathbf{x}_{v}=\left|\begin{matrix}U_{1}&U_{2}&U_{3}\\ \frac{\partial x_{1}}{\partial u}&\frac{\partial x_{2}}{\partial u}&\frac{\partial x_{3}}{\partial u}\\ \frac{\partial x_{1}}{\partial v}&\frac{\partial x_{2}}{\partial v}&\frac{\partial x_{3}}{\partial v}\end{matrix}\right|$$의 아래 두 행이 각 점에서의 \(\mathbf{x}\)의 야코비 행렬을 만들고 따라서 \(\mathbf{x}\)가 정칙일 필요충분조건은 \(\mathbf{x}_{u}\times\mathbf{x}_{v}\)가 영벡터가 아닌 것과 동치이다. 또한 이것은 \(D\)의 각 점 \((u,\,v)\)에서 \(\mathbf{x}\)의 편속도벡터가 일차독립인 것과 동치이다. 

앞의 구면에서 구면은 \(g(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\)로 정의되므로 \(g(\mathbf{x})=r^{2}\) 임을 보여야 한다. \(\mathbf{x}\)의 좌표함수를 \(x,\,y,\,z\)에 대입하면$$\begin{align*}r^{-2}g(\mathbf{x})&=(\cos v\cos u)^{2}+(\cos v\sin u)^{2}+\sin^{2}u\\&=\cos^{2}u+\sin^{2}u\\&=1\end{align*}$$이고$$r^{2}\mathbf{x}_{u}\times\mathbf{x}_{v}=\cos u\cos^{2}v U_{1}+\sin u\cos^{2}vU_{2}+\cos v\sin vU_{3}$$이며 \(\displaystyle-\frac{\pi}{2}<v<\frac{\pi}{2}\)이므로 \(\cos v\neq0\)이고 \(\sin u\)와 \(\cos u\)는 동시에 0이 될 수 없으므로 \(\mathbf{x}_{u}\times\mathbf{x}_{v}\)는 \(D\)에서 영벡터가 아니다. 따라서 \(\mathbf{x}\)는 정칙이고 매개화이다. 만약 \(D\)를 무한한 띠 \(\displaystyle-\frac{\pi}{2}<v<\frac{\pi}{2}\)라 하면, \(\mathbf{x}\)는 극점 \((0,\,0,\,\pm1)\)을 제외한 구면 건체를 덮고, 또한 \(\mathbf{x}\)는 일대일이다. 

회전면의 매개화(parametrization of surface of revolution): \(M\)이 \(xy\)평면의 위쪽 반평면에 놓인 곡선 \(C\)를 \(x\)축을 중심으로 회전해 얻은 것이라고 하자. \(\alpha(u)=(g(u),\,h(u),\,0)\,(h(u)>0)\)를 \(C\)의 매개화라고 하면 매개화 \(\mathbf{x}\)는 다음과 같다.$$\mathbf{x}(u,\,v)=(g(u),\,h(u)\cos v,\,h(v)\sin v)$$

\(\mathbf{x}_{u}\)와 \(\mathbf{x}_{v}\)는 항상 일차독립이므로 \(\mathbf{x}\)는 \(M\)의 매개화이다. \(\mathbf{x}\)의 \(u-\)매개곡선은 \(M\)의 경도선(meridian)을 매개화하고, \(v-\)매개곡선은 위도선(parallel)을 매개화한다. 

원환면(torus of revolution) 윤곽선 \(C\)가 원일 때 원환면 \(T\)를 얻고, \(C\)를 \(zx\)평면의 반지름이 \(r\)이고 중심이 \((R,\,0,\,0)\)인 원이라 하자. \(C\)가 회전축과 만나지 않으려면 \(R>r\)이어야 하고, \(C\)의 매개화는 다음과 같다.$$\alpha(u)=(R+r\cos u,\,r\sin u)$$

회전면의 매개화로부터 \(g(u)=r\sin u\)이고, \(h(u)=R+r\cos u\)가 되며 다음의 매개화를 얻는다.$$\begin{align*}\mathbf{x}(u,\,v)&=(h(u)\cos v,\,h(u)\sin v,\,g(u))\\&=((R+r\cos u)\cos v,\,(R+r\cos u)\sin v,\,r\sin u)\end{align*}$$\(\mathbf{x}\)를 원환면의 보통매개화(usual parametrization)라고 하며 \(\mathbf{x}\)는 \(u\)와 \(v\)에 대해 주기가 \(2\pi\)인 주기함수이므로 다음이 성립한다.$$\mathbf{x}(u+2\pi,\,v+2\pi)=\mathbf{x}(u,\,v)$$

직선곡면(ruled surface)은 직선 \(L\)을 곡선 \(\beta\)를 따라 움직여서 얻어진 곡면이다. 생성 직선 \(L\)의 여러 가지 위치를 곡면의 모선(ruling)이라고 하고, 이러한 곡면은 항상 다음과 같은 매개화를 갖는다.$$\mathbf{x}(u,\,v)=\beta(u)+v\delta(u)$$여기서 \(\beta\)를 기저곡선(base curve), \(\delta\)를 직선 \(L\)을 따라 나타내는 \(\beta\)위의 벡터장으로 그려 나타내지만 방향곡선(director curve)이라고 한다.

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress