[미분기하학] 9. 유클리드 기하학, 곡선의 합동

[미분기하학] 9. 유클리드 기하학, 곡선의 합동

다음은 삼각형의 기하학적 성질의 정의이다.

한 삼각형을 다른 삼각형으로 보내는 등장사상이 존재하면 이 두 삼각형의 기하학적 성질은 정확히 같다.

이 명제는 증명을 할 수 없다.

일반적으로 유클리드 기하학(Euclidean geometry)을 유클리드 공간의 등장사상에 의해 보존되는 개념으로 정의할 수 있다. 실제로 "유클리드 기하학"은 등장사상에 의해 보존되는 개념에 대해서만 부여되는 것이고 임의의 사상이나 역사상을 갖는 제한적인 유형의 함수(미분동형사상)에 대한 것은 아니다.

\(\mathbb{R}^{3}\)상의 곡선 \(\alpha=(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3})\)에 대해$$\alpha'=\left(\frac{d\alpha_{1}}{dt},\,\frac{d\alpha_{2}}{dt},\,\frac{d\alpha_{3}}{dt}\right),\,\alpha''=\left(\frac{d^{2}\alpha_{1}}{dt^{2}},\,\frac{d^{2}\alpha_{2}}{dt^{2}},\,\frac{d^{2}\alpha_{3}}{dt^{3}}\right)$$이고 속도는 임의의 사상 \(F:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)에 의해 다음과 같이 보존된다.$$F_{*}(U_{j}(\mathbf{p}))=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(\mathbf{p})\overline{U}_{i}(F(\mathbf{p}))}\,\left(1\leq j\leq3,\,U_{i}(f_{j})=\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}\right)$$즉 \(\beta=F(\alpha)\)이면 \(\beta'=F(\alpha')\)이다. 반면에 가속도는 임의의 사상에 의해 보장되지 않는다. 실제로 가속도는 등장사상에 의해 보존된다. 

이러한 이유로 속도개념은 유클리드 공간의 미적분학인 반면 가속도 개념은 유클리드 기하학이다. 

\(Y\)가 \(\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)위의 벡터장이고, \(F:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)가 임의의 사상이면 \(\overline{Y}=F_{*}(Y)\)는 상곡선 \(\overline{\alpha}=F(\alpha)\)위의 벡터장이다. \(I\)의 각각의 \(t\)에 대해 \(Y(t)\)는 점 \(\alpha(t)\)에서의 \(\mathbb{R}^{3}\)에 대한 접벡터이고 \(\overline{Y}(t)=F_{*}(Y(t))\)는 점 \(F(\alpha(t))=\overline{\alpha}(t)\)에서의 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터이다.

등장사상은 벡터장의 미분을 보존한다.

\(Y\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에 놓인 곡선 \(\alpha\)에서 정의된 벡터장이고 \(F\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 등장사상이라고 하자. 그러면 \(\overline{Y}=F_{*}(Y)\)는 \(\overline{\alpha}=F(\alpha)\)위의 벡터장이고 \(\overline{Y}'=F_{*}(Y')\)이다.

증명:  \(\displaystyle Y'=\sum_{j=1}^{3}{\frac{dy_{j}}{dt}U_{j}}\)이므로 \(\displaystyle F_{*}(Y')=\sum_{i=1}^{3}{c_{ij}\frac{dy_{j}}{dt}\overline{U}_{i}}\)이다. \(\displaystyle\overline{Y}=F_{*}(Y)=\sum_{j=1}^{3}{c_{ij}y_{j}\overline{U}_{i}}\)이고 정의에 의해 등장사상 \(F\)의 직교부분에 대한 행렬의 원소 \(c_{ij}\)가 상수이므로$$\overline{Y}'=\sum_{j=1}^{3}{\frac{d}{dt}(c_{ij}y_{j})\overline{U}_{i}}=\sum_{j=1}^{3}{c_{ij}\frac{dy_{j}}{dt}\overline{U}_{i}}$$이므로 \(F_{*}(Y')=\overline{Y}'\)이다. 

앞에서 등장사상이 가속도를 보존한다고 주장했다. 즉 \(F\)가 등장사상이고 \(\overline{\alpha}=F(\alpha)\)이면 \(\overline{\alpha}''=F_{*}(\alpha'')\)이다. \(Y=\alpha'\)이라 하면 \(\overline{Y}=\overline{\alpha}'\)이고 다음이 성립한다.$$\overline{\alpha}''=\overline{Y}'=F_{*}(Y')=F_{*}(\alpha'')$$\(\beta\)가 양의 곡률을 갖는 \(\mathbb{R}^{3}\)의 단위속력곡선이고, \(\overline{\beta}=F(\beta)\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)의 등장사상에 의한 상곡선이라고 하면 다음이 성립한다.$$\begin{matrix}\overline{\chi}=\chi&\overline{T}=F_{*}(T)\\ \overline{\tau}=(\text{sgn}F)\tau&\overline{N}=F_{*}(N)\\ \overline{B}=(\text{sgn}F)F_{*}(B)&(\text{sgn}F=\pm1)\end{matrix}$$증명: \(\|\overline{\beta}'\|=\|F_{*}(\beta')\|=\|\beta'\|=1\)이므로 \(\overline{\beta}\)도 단위속력곡선이다. 그러면$$\overline{T}=\overline{\beta}'=F_{*}(\beta')=F_{*}(T)$$이고, \(F_{*}\)가 가속도와 노름을 보존하므로 곡률의 정의로부터 다음이 성립한다.$$\overline{\chi}=\|\overline{\beta}''\|=\|F_{*}(\beta'')\|=\|\beta''\|=\chi$$프레네 틀을 얻기 위해 가정 \(\chi>0\)을 이용한다. 정의에 의해 \(\displaystyle N=\frac{\beta''}{\chi}\)이고 앞의 결과로부터 다음을 얻는다.$$\overline{N}=\frac{\overline{\beta}''}{\overline{\chi}}=\frac{F_{*}(\beta'')}{\chi}=F_{*}\left(\frac{\beta''}{\chi}\right)=F_{*}(N)$$\(B\)와 \(\tau\)의 경우를 증명하자. \(B=T\times N\)이므로$$\overline{B}=\overline{T}\times\overline{N}=F_{*}(T)\times F_{*}(N)=(\text{sgn}F)F_{*}(T\times N)=(\text{sgn}F)F_{*}(B)$$이고 비틀림의 정의는 \(\tau=-B'\cdot N=B\cdot N'\)이다. 그러므로 다음을 얻는다.$$\overline{\tau}=\overline{B}\cdot\overline{N}'=(\text{sgn}F)F_{*}(B)\cdot F_{*}(N')=(\text{sgn}F)B\cdot N'=(\text{sgn}F)\tau$$\(F(\beta)\)에 대한 비틀림의 식에 있는 부호는 곡선의 꼬임의 방향을 측정한다. \(F\)가 방향을 거꾸로 하면 \(\overline{\tau}=-\tau\)는 상곡선 \(F(\beta)\)의 꼬임이 \(\beta\)의 꼬임과 정반대임을 보여준다.

\(\beta\)가 다음과 같은 단위속력나선이라고 하자.$$\beta(s)=\left(\cos\frac{s}{c},\,\sin\frac{s}{c},\,\frac{s}{c}\right)\,(a=b=1,\,c=\sqrt{2})$$\(R\)을 \(xy\)평면에 대한 반사라고 하면 \(R\)은 등장사상 \(R(x,\,y,\,z)=(x,\,y,\,-z)\)이고 상곡선 \(\overline{\beta}=R(\beta)\)는 원래 곡선의 거울상$$\overline{\beta}(s)=\left(\cos\frac{s}{c},\,\sin\frac{s}{c},\,-\frac{s}{c}\right)$$이다.

 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 등장사상 \(F\)가 존재해서 \(\beta=F(\alpha)\)일때, 즉 \(I\)상의 모든 \(t\)에 대해 \(\beta(t)=F(\alpha(t))\)일 때 두 곡선 \(\alpha,\,\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)이 합동(congruent)이라고 한다. 

직관적으로 말하자면 합동인 곡선은 공간에서의 위치를 제외하면 같다. 이것은 동일한 모양의 길을 따라 동일한 속도로의 이동을 나타낸다. 

예를들어 나선 \(\alpha(t)=(\cos t,\,\sin t,\,t)\)는 \(z\)축 주위를 휘감고, 같은 방법으로 나선 \(\beta(t)=(t,\,\cos t,\,\sin t)\)는 \(x\)축 주위를 귀함는다. 이 두 곡선은 \(F(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=(p_{3},\,p_{1},\,p_{2})\)로 정의되는 등장사상 \(F\)에 대하여 \(F(\alpha)=\beta\)이므로 합동이다. 

주어진 곡선 \(\alpha,\,\beta\)가 합동인지 판별하기 위해 \(\alpha\)를 \(\beta\)로 보내는 등장사상이 존재하는지 단번에 알기는 어렵다. 

평행이동에 의해 합동이 되는 곡선을 평행(parallel)하다고 한다. 즉, 곡선 \(\alpha,\,\beta\)가 평행일 필요충분조건은 모든 \(s\in I\)에 대해 \(\beta(s)=\alpha(s)+\mathbf{p}\)     

모든 \(s\in I\)에 대하여 속도벡터 \(\alpha'(s)\)와 \(\beta'(s)\)가 평행하면 두 곡선 \(\alpha,\,\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)은 평행하다. 이 경우 \(I\)의 어떤 점 \(s_{0}\)에 대해 \(\alpha(s_{0})=\beta(s_{0})\)이면 \(\alpha=\beta\)이다. 

증명: 정의에 의해 \(\alpha'(s)\)와 \(\beta'(s)\)가 평행하면 이들은 같은 유클리드 좌표를 갖는다. 그래서 \(\alpha_{i}\)와 \(\beta_{i}\)가 각각 \(\alpha\)와 \(\beta\)의 유클리드 좌표함수일 때 \(\displaystyle\frac{d\alpha_{i}}{dt}(s)=\frac{d\beta_{i}}{dt}(s),\,(1\leq i\leq3)\)이다. 미적분학으로부터 상수 \(p_{i}\)가 존재해서 \(\beta_{i}=\alpha_{i}+p_{i}\)이므로 \(\beta=\alpha+\mathbf{p}\)이고 \(\alpha(s_{0})=\beta(s_{0})\)이면 \(\mathbf{p}=\mathbf{O}\)이므로 \(\alpha=\beta\)이다. 

\(\alpha,\,\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)은 단위속력곡선이고 \(\chi_{\alpha}=\chi_{\beta}\), \(\tau_{\alpha}=\pm\tau_{\beta}\)이면 \(\alpha\)와 \(\beta\)는 합동이다.  

증명: 다음과 같이 두 단계로 나누어 증명한다.

(1) \(\alpha\)를 알맞게 선택한 합동인 곡선 \(F(\alpha)\)로 대치한다.

(2) \(F(\alpha)=\beta\)임을 보인다.(아래 그림 참고)

(1): 구간 \(I\)에서 한 점, \(\mathbf{O}\)를 고정한다. \(\tau_{\alpha}=\tau_{\beta}\)이면, \(F\)를 \(\alpha(0)\)에서의 \(\alpha\)의 프레네 틀 \(T_{\alpha}(0),\,N_{\alpha}(0),\,B_{\alpha}(0)\)을 \(\beta(0)\)에서의 \(\beta\)의 프레네 틀 \(T_{\beta}(0),\,N_{\beta}(0),\,B_{\beta}(0)\)으로 보내주는 (방향을 보존하는) 등장사상이라 하자. \(\overline{\alpha}=F(\alpha)\)의 프레네 장을 \(\overline{\chi},\,\overline{\tau},\,\overline{T},\,\overline{N},\,\overline{B}\)로 나타내면 다음을 얻는다.$$\begin{matrix}\overline{\alpha}(0)=\beta(0)&\overline{T}(0)=T_{\beta}(0)\\ \overline{\chi}=\chi_{\beta}&\overline{N}(0)=N_{\beta}(0)\\ \overline{\tau}=\tau_{\beta}&\overline{B}(0)=B_{\beta}(0)\end{matrix}$$반면에 \(\tau_{\alpha}=-\tau_{\beta}\)이면 \(F\)를 \(\alpha(0)\)에서의 \(\alpha\)의 프레네 틀 \(T_{\alpha}(0),\,N_{\alpha}(0),\,B_{\alpha}(0)\)을 \(\beta(0)\)에서의 \(\beta\)의 틀 \(T_{\beta}(0),\,N_{\beta}(0),\,-B_{\beta}(0)\)으로 보내는(방향을 거꾸로 하는) 등장사상이라고 하자(프레네 틀의 방향은 항상 양의 방향이다). 그러면 앞에서 얻은 식들이 \(\overline{\alpha}=F(\alpha)\)와 \(\beta\)에 대해서도 성립한다.

(2)를 보이기 위해 \(\overline{T}=T_{\beta}\)임을 보이자. 즉 \(\overline{\alpha}=F(\alpha)\)와 \(\beta\)의 단위접벡터가 각각의 점에서 평행함을 보인다. 그러면 \(\overline{\alpha}(0)=\beta(0)\)이므로 앞의 정리에 의해 \(F(\alpha)=\beta\)이다. 구간 \(I\)위에서의 실함수$$f=\overline{T}\cdot T_{\beta}+\overline{N}\cdot N_{\beta}+\overline{B}\cdot B_{\beta}$$를 생각하자. \(f\)의 식은 모두 단위벡터장들로 구성되어있으므로 슈바르츠 부등식에 의해 \(\overline{T}\cdot T_{\beta}\leq1\)이고 \(\overline{T}\cdot T_{\beta}=1\)일 필요충분조건은 \(\overline{T}=T_{\beta}\)이다. \(f\)의 나머지 두 항에 대해서도 비슷한 성질이 성립하므로 \(f\)의 값이 상수 3임을 보이면 된다. \(f\)를 미분하면 다음과 같고$$f'=\overline{T}'\cdot T_{\beta}+\overline{T}\cdot T'_{\beta}+\overline{N}'\cdot N_{\beta}+\overline{N}\cdot N'_{\beta}+\overline{B}'\cdot B_{\beta}+\overline{B}\cdot B_{\beta}'$$이 식에 프레네 공식을 대입하고 \(\overline{\chi}=\chi\), \(\overline{\tau}=\tau\)를 이용해 얻은 8개 항은 쌍으로 상쇄되어 \(f'=0\)이므로 \(f=3\)이다. 

따라서 단위속력곡선은 \(\mathbb{R}^{3}\)에 놓이는 위치를 무시하면 곡률과 비틀림에 의해 결정된다. 위의 정리의 증명은 \(\alpha\)와 \(\beta\)가 합동임을 보이는 것 이상으로 \(\alpha\)를 \(\beta\)로 보내는 등장사상을 구체적으로 어떻게 계산하는지를 보여준다. 

다음과 같은 단위속력곡선$$\alpha(s)=\left(\cos\frac{s}{c},\,\sin\frac{s}{c},\,\frac{s}{c}\right),\,\beta(s)=\left(\cos\frac{s}{c},\,\sin\frac{s}{c},\,-\frac{s}{c}\right)$$를 고려하자. \(\alpha\)와 \(\beta\)는 곡률이 \(\displaystyle\chi_{\alpha}=\frac{1}{2}=\chi_{\beta}\)로 같지만 비틀림은 \(\displaystyle\tau_{\alpha}=\frac{1}{2}=-\tau_{\beta}\)로 부호가 다르다. 정리에 의하면 향을 거꾸로 하는 등장사상 \(F\)를 통해 합동임을 추측할 수 있다. \(F\)가 프레네 틀$$T_{\alpha}(0)=(0,\,a,\,a),\,N_{\alpha}(0)=(-1,\,0,\,0),\,B_{\alpha}(0)=(0,\,-a,\,a)$$를 틀$$T_{\beta}(0)=(0,\,a,\,-a),\,N_{\beta}(0)=(-1,\,0,\,0),\,-B_{\beta}(0)=(0,\,-a,\,-a)$$로 보내야 함을 알 수 있다. 여기서 \(\displaystyle a=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)이고 (-)부호로 인해 방향이 바뀐다. 

등장사상 \(F\)는 직교부분이 \(B^{T}A\)이고 이때 \(A\)와 \(B\)는 각각 위의 두 틀의 자세행렬이다. \(\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}\)이므로$$C=\begin{pmatrix}0&-1&0\\a&0&-a\\-a&0&-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&a&a\\-1&0&0\\0&-a&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$이다. 이 두 틀은 같은 작용점 \(\alpha(0)=\beta(0)=(1,\,0,\,0)\)을 갖는다. \(C\)는 이 점을 움직이지 않으므로 \(F\)의 평행이동부분은 항등사상이고, 반사 \(F=C\)가 \(\alpha\)를 \(\beta\)로 보낸다.

유클리드 기하학의 관점으로 보면 \(\mathbb{R}^{3}\)에 놓인 두 곡선이 \(\mathbb{R}^{3}\)의 등장사상에 의해 일치할 수 있으면 동일한 것이다. 나선은 \(z\)축 주위로 휘감는 곡선만이 아닌 특정한 나선과 합동인 어떠한 곡선도 나선이다. 

\(\alpha\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 단위속력곡선이라고 하자. 그러면 \(\alpha\)가 나선일 필요충분조건은 곡률과 비틀림이 0이 아닌 상수인 것이다. 

증명: (\(\Rightarrow\)): \(a>0\)이고 \(b\neq0\)인 모든 \(b\)에 대해 \(\beta_{a,\,b}\)를 다음과 같은 나선이라고 하자.$$\beta(s)=\left(a\cos\frac{s}{c},\,a\sin\frac{s}{c},\,\frac{b}{c}s\right)\,(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}})$$\(\alpha\)와 \(\beta_{a,\,b}\)가 합동이면(필요하면 \(b\)의 부호를 바꾼다) 등장사상이 방향을 보존한다고 가정할 수 있고, \(\alpha\)의 곡률과 비틀림은 다음과 같다.$$\chi=\frac{a}{a^{2}+b^{2}},\,\tau=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}$$(\(\Leftarrow\)): \(\alpha\)가 0이 아닌 상수 \(\chi,\,\tau\)를 갖는다고 가정하고 앞의 식을 풀면$$a=\frac{\chi}{\chi^{2}+\tau^{2}},\,b=\frac{\tau}{\chi^{2}+\tau^{2}}$$이므로 \(\alpha\)와 \(\beta_{a,\,b}\)는 같은 곡률과 비틀림을 갖고 따라서 합동이다. 

지금까지의 결과는 단위속력이라는 조건을 요구했으나 이 제한조건을 다음과 같이 약화시킬 수 있다. 

\(\alpha,\,\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)가 임의속력곡선이라고 하자.$$v_{\alpha}=v_{\beta}>0,\,\chi_{\alpha}=\chi_{\beta}>0,\,\tau_{\alpha}=\pm\tau_{\beta}$$이면 곡선 \(\alpha\)와 \(\beta\)는 합동이다. 

양의 곡률을 갖는 정칙곡선에 대해서만 프레네 틀장을 일반적으로 정의할 수 있으므로, 곡선의 이론은 이러한 곡선에 대해서만 적용된다. 그렇지만 \(\mathbb{R}^{3}\)에 놓인 임의의 곡선 \(\alpha\)도 \(\alpha\)위의 임의의 틀장, 즉 각 점에서 직교하는 \(\alpha\)위의 세 단위벡터장 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)을 이용하여 연구할 수 있다. 

\(\alpha,\,\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)를 임의의 곡선이라 하고, \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)을 \(\alpha\)위에 정의된 틀장, \(F_{1},\,F_{2},\,F_{3}\)를 \(\beta\)위에 정의된 틀장이라고 하자.

(1) \(\alpha'\cdot E_{i}=\beta'\cdot F_{i}\,(1\leq i\leq3)\)         

(2) \(E_{i}'\cdot E_{j}=F_{i}'\cdot F_{j}\,(1\leq i,\,j\leq3)\)

이면 \(\alpha\)와 \(\beta\)는 합동이다. 모든 \(t_{0}\in I\)에 대하여 \(F\)가 각각의 \(E_{i}(t_{0})\)를 \(F_{i}(t_{0})\)로 보내는 유일한 유클리드 등장사상이면 \(F(\alpha)=\beta\)이다.

증명: \(F\)를 등장사상이라 하자. \(F_{*}\)가 내적을 보존하므로, \(1\leq i\leq3\)에 대해 벡터장 \(\overline{E}_{i}=F_{*}(E_{i})\)는 \(\overline{\alpha}=F(\alpha)\)위의 벡터장을 이룬다. \(F_{*}\)가 곡선의 속도와 벡터장의 미분을 보존하므로 (1)에 의해 다음의 식을 얻는다.$$\overline{\alpha}(t_{0})=\beta(t_{0}),\,\overline{\alpha}'\cdot\overline{E_{i}}=\beta'\cdot F_{i},\,1\leq i\leq3$$마찬가지로 조건 (2)에 의해 다음의 식을 얻는다.$$\overline{E}_{i}(t_{0})=F_{i}(t_{0}),\,\overline{E}'_{i}\cdot\overline{E}_{j}=F'_{i}\cdot F_{j},\,1\leq i,\,j\leq3$$을 얻는다. 마지막 등식으로부터 동일한 계수함수 \(a_{ij}\)를 얻는 다음과 같은 정규직교전개를 얻는다.$$\overline{E}'_{i}=\sum_{i,\,j=1}^{3}{a_{ij}\overline{E}_{j}},\,F_{i}'=\sum_{i,\,j=1}^{3}{a_{ij}\overline{F}_{j}}$$\(a_{ij}+a_{ji}=0\)이므로 \(a_{ii}=0\)이고 \(\displaystyle f=\sum_{i=1}^{3}{\overline{E}_{i}\cdot F_{i}}\)라 하자. \(f=3\)임을 보이자. \(f(t_{0})=3\)이고$$f'=\sum_{i=1}^{3}{(E_{i}'\cdot F_{i}+E_{i}\cdot F_{i}')}=\sum_{i,\,j=1}^{3}{(a_{ij}+a_{ji})\overline{E}_{j}\cdot F_{i}}=0$$이므로 따라서 \(\overline{E}_{i}\cdot F_{i}=1\), 즉 \(\overline{E}_{i}\)와 \(F_{i}\)가 각 점에서 평행하고 앞에서 \(\overline{\alpha}'\cdot\overline{E}_{i}=\beta'\cdot F_{i}\,(1\leq i\leq3)\)이므로 다음이 성립한다.$$\overline{\alpha}'=\sum_{i=1}^{3}{(\overline{\alpha}'\cdot\overline{E}_{i})\overline{E}_{i}},\,\overline{\beta}'=\sum_{i=1}^{3}{(\overline{\beta}'\cdot F_{i})F_{i}}$$\(\alpha(t_{0})=\beta(t_{0})\)이므로 \(F(\alpha)=\overline{\alpha}=\beta\)를 얻는다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress