[미분기하학] 9. 유클리드 기하학, 곡선의 합동

[미분기하학] 9. 유클리드 기하학, 곡선의 합동

다음은 삼각형의 기하학적 성질의 정의이다.

한 삼각형을 다른 삼각형으로 보내는 등장사상이 존재하면 이 두 삼각형의 기하학적 성질은 정확히 같다.

이 명제는 증명을 할 수 없다.

일반적으로 유클리드 기하학(Euclidean geometry)을 유클리드 공간의 등장사상에 의해 보존되는 개념으로 정의할 수 있다. 실제로 "유클리드 기하학"은 등장사상에 의해 보존되는 개념에 대해서만 부여되는 것이고 임의의 사상이나 역사상을 갖는 제한적인 유형의 함수(미분동형사상)에 대한 것은 아니다.

$\mathbb{R}^{3}$상의 곡선 $\alpha=(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3})$에 대해 $$\alpha'=\left(\frac{d\alpha_{1}}{dt},\,\frac{d\alpha_{2}}{dt},\,\frac{d\alpha_{3}}{dt}\right),\,\alpha''=\left(\frac{d^{2}\alpha_{1}}{dt^{2}},\,\frac{d^{2}\alpha_{2}}{dt^{2}},\,\frac{d^{2}\alpha_{3}}{dt^{3}}\right)$$ 이고 속도는 임의의 사상 $F:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$에 의해 다음과 같이 보존된다. $$F_{*}(U_{j}(\mathbf{p}))=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(\mathbf{p})\overline{U}_{i}(F(\mathbf{p}))}\,\left(1\leq j\leq3,\,U_{i}(f_{j})=\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}\right)$$ 즉 $\beta=F(\alpha)$이면 $\beta'=F(\alpha')$이다. 반면에 가속도는 임의의 사상에 의해 보장되지 않는다. 실제로 가속도는 등장사상에 의해 보존된다. 

이러한 이유로 속도개념은 유클리드 공간의 미적분학인 반면 가속도 개념은 유클리드 기하학이다. 

$Y$가 $\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$위의 벡터장이고, $F:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$가 임의의 사상이면 $\overline{Y}=F_{*}(Y)$는 상곡선 $\overline{\alpha}=F(\alpha)$위의 벡터장이다. $I$의 각각의 $t$에 대해 $Y(t)$는 점 $\alpha(t)$에서의 $\mathbb{R}^{3}$에 대한 접벡터이고 $\overline{Y}(t)=F_{*}(Y(t))$는 점 $F(\alpha(t))=\overline{\alpha}(t)$에서의 $\mathbb{R}^{3}$의 접벡터이다.

등장사상은 벡터장의 미분을 보존한다.

$Y$가 $\mathbb{R}^{3}$에 놓인 곡선 $\alpha$에서 정의된 벡터장이고 $F$가 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 등장사상이라고 하자. 그러면 $\overline{Y}=F_{*}(Y)$는 $\overline{\alpha}=F(\alpha)$위의 벡터장이고 $\overline{Y}'=F_{*}(Y')$이다.

증명:  $\displaystyle Y'=\sum_{j=1}^{3}{\frac{dy_{j}}{dt}U_{j}}$이므로 $\displaystyle F_{*}(Y')=\sum_{i=1}^{3}{c_{ij}\frac{dy_{j}}{dt}\overline{U}_{i}}$이다. $\displaystyle\overline{Y}=F_{*}(Y)=\sum_{j=1}^{3}{c_{ij}y_{j}\overline{U}_{i}}$이고 정의에 의해 등장사상 $F$의 직교부분에 대한 행렬의 원소 $c_{ij}$가 상수이므로 $$\overline{Y}'=\sum_{j=1}^{3}{\frac{d}{dt}(c_{ij}y_{j})\overline{U}_{i}}=\sum_{j=1}^{3}{c_{ij}\frac{dy_{j}}{dt}\overline{U}_{i}}$$ 이므로 $F_{*}(Y')=\overline{Y}'$이다. 

앞에서 등장사상이 가속도를 보존한다고 주장했다. 즉 $F$가 등장사상이고 $\overline{\alpha}=F(\alpha)$이면 $\overline{\alpha}''=F_{*}(\alpha'')$이다. $Y=\alpha'$이라 하면 $\overline{Y}=\overline{\alpha}'$이고 다음이 성립한다. $$\overline{\alpha}''=\overline{Y}'=F_{*}(Y')=F_{*}(\alpha'')$$ $\beta$가 양의 곡률을 갖는 $\mathbb{R}^{3}$의 단위속력곡선이고, $\overline{\beta}=F(\beta)$가 $\mathbb{R}^{3}$의 등장사상에 의한 상곡선이라고 하면 다음이 성립한다. $$\begin{matrix}\overline{\chi}=\chi&\overline{T}=F_{*}(T)\\ \overline{\tau}=(\text{sgn}F)\tau&\overline{N}=F_{*}(N)\\ \overline{B}=(\text{sgn}F)F_{*}(B)&(\text{sgn}F=\pm1)\end{matrix}$$ 증명: $\|\overline{\beta}'\|=\|F_{*}(\beta')\|=\|\beta'\|=1$이므로 $\overline{\beta}$도 단위속력곡선이다. 그러면 $$\overline{T}=\overline{\beta}'=F_{*}(\beta')=F_{*}(T)$$ 이고, $F_{*}$가 가속도와 노름을 보존하므로 곡률의 정의로부터 다음이 성립한다. $$\overline{\chi}=\|\overline{\beta}''\|=\|F_{*}(\beta'')\|=\|\beta''\|=\chi$$ 프레네 틀을 얻기 위해 가정 $\chi>0$을 이용한다. 정의에 의해 $\displaystyle N=\frac{\beta''}{\chi}$이고 앞의 결과로부터 다음을 얻는다. $$\overline{N}=\frac{\overline{\beta}''}{\overline{\chi}}=\frac{F_{*}(\beta'')}{\chi}=F_{*}\left(\frac{\beta''}{\chi}\right)=F_{*}(N)$$ $B$와 $\tau$의 경우를 증명하자. $B=T\times N$이므로 $$\overline{B}=\overline{T}\times\overline{N}=F_{*}(T)\times F_{*}(N)=(\text{sgn}F)F_{*}(T\times N)=(\text{sgn}F)F_{*}(B)$$ 이고 비틀림의 정의는 $\tau=-B'\cdot N=B\cdot N'$이다. 그러므로 다음을 얻는다. $$\overline{\tau}=\overline{B}\cdot\overline{N}'=(\text{sgn}F)F_{*}(B)\cdot F_{*}(N')=(\text{sgn}F)B\cdot N'=(\text{sgn}F)\tau$$ $F(\beta)$에 대한 비틀림의 식에 있는 부호는 곡선의 꼬임의 방향을 측정한다. $F$가 방향을 거꾸로 하면 $\overline{\tau}=-\tau$는 상곡선 $F(\beta)$의 꼬임이 $\beta$의 꼬임과 정반대임을 보여준다.

$\beta$가 다음과 같은 단위속력나선이라고 하자. $$\beta(s)=\left(\cos\frac{s}{c},\,\sin\frac{s}{c},\,\frac{s}{c}\right)\,(a=b=1,\,c=\sqrt{2})$$ $R$을 $xy$평면에 대한 반사라고 하면 $R$은 등장사상 $R(x,\,y,\,z)=(x,\,y,\,-z)$이고 상곡선 $\overline{\beta}=R(\beta)$는 원래 곡선의 거울상 $$\overline{\beta}(s)=\left(\cos\frac{s}{c},\,\sin\frac{s}{c},\,-\frac{s}{c}\right)$$ 이다.

 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 등장사상 $F$가 존재해서 $\beta=F(\alpha)$일때, 즉 $I$상의 모든 $t$에 대해 $\beta(t)=F(\alpha(t))$일 때 두 곡선 $\alpha,\,\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$이 합동(congruent)이라고 한다. 

직관적으로 말하자면 합동인 곡선은 공간에서의 위치를 제외하면 같다. 이것은 동일한 모양의 길을 따라 동일한 속도로의 이동을 나타낸다. 

예를들어 나선 $\alpha(t)=(\cos t,\,\sin t,\,t)$는 $z$축 주위를 휘감고, 같은 방법으로 나선 $\beta(t)=(t,\,\cos t,\,\sin t)$는 $x$축 주위를 귀함는다. 이 두 곡선은 $F(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=(p_{3},\,p_{1},\,p_{2})$로 정의되는 등장사상 $F$에 대하여 $F(\alpha)=\beta$이므로 합동이다. 

주어진 곡선 $\alpha,\,\beta$가 합동인지 판별하기 위해 $\alpha$를 $\beta$로 보내는 등장사상이 존재하는지 단번에 알기는 어렵다. 

평행이동에 의해 합동이 되는 곡선을 평행(parallel)하다고 한다. 즉, 곡선 $\alpha,\,\beta$가 평행일 필요충분조건은 모든 $s\in I$에 대해 $\beta(s)=\alpha(s)+\mathbf{p}$     

모든 $s\in I$에 대하여 속도벡터 $\alpha'(s)$와 $\beta'(s)$가 평행하면 두 곡선 $\alpha,\,\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$은 평행하다. 이 경우 $I$의 어떤 점 $s_{0}$에 대해 $\alpha(s_{0})=\beta(s_{0})$이면 $\alpha=\beta$이다. 

증명: 정의에 의해 $\alpha'(s)$와 $\beta'(s)$가 평행하면 이들은 같은 유클리드 좌표를 갖는다. 그래서 $\alpha_{i}$와 $\beta_{i}$가 각각 $\alpha$와 $\beta$의 유클리드 좌표함수일 때 $\displaystyle\frac{d\alpha_{i}}{dt}(s)=\frac{d\beta_{i}}{dt}(s),\,(1\leq i\leq3)$이다. 미적분학으로부터 상수 $p_{i}$가 존재해서 $\beta_{i}=\alpha_{i}+p_{i}$이므로 $\beta=\alpha+\mathbf{p}$이고 $\alpha(s_{0})=\beta(s_{0})$이면 $\mathbf{p}=\mathbf{O}$이므로 $\alpha=\beta$이다. 

$\alpha,\,\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$은 단위속력곡선이고 $\chi_{\alpha}=\chi_{\beta}$, $\tau_{\alpha}=\pm\tau_{\beta}$이면 $\alpha$와 $\beta$는 합동이다.  

증명: 다음과 같이 두 단계로 나누어 증명한다.

(1) $\alpha$를 알맞게 선택한 합동인 곡선 $F(\alpha)$로 대치한다.

(2) $F(\alpha)=\beta$임을 보인다.(아래 그림 참고)

(1): 구간 $I$에서 한 점, $\mathbf{O}$를 고정한다. $\tau_{\alpha}=\tau_{\beta}$이면, $F$를 $\alpha(0)$에서의 $\alpha$의 프레네 틀 $T_{\alpha}(0),\,N_{\alpha}(0),\,B_{\alpha}(0)$을 $\beta(0)$에서의 $\beta$의 프레네 틀 $T_{\beta}(0),\,N_{\beta}(0),\,B_{\beta}(0)$으로 보내주는 (방향을 보존하는) 등장사상이라 하자. $\overline{\alpha}=F(\alpha)$의 프레네 장을 $\overline{\chi},\,\overline{\tau},\,\overline{T},\,\overline{N},\,\overline{B}$로 나타내면 다음을 얻는다. $$\begin{matrix}\overline{\alpha}(0)=\beta(0)&\overline{T}(0)=T_{\beta}(0)\\ \overline{\chi}=\chi_{\beta}&\overline{N}(0)=N_{\beta}(0)\\ \overline{\tau}=\tau_{\beta}&\overline{B}(0)=B_{\beta}(0)\end{matrix}$$ 반면에 $\tau_{\alpha}=-\tau_{\beta}$이면 $F$를 $\alpha(0)$에서의 $\alpha$의 프레네 틀 $T_{\alpha}(0),\,N_{\alpha}(0),\,B_{\alpha}(0)$을 $\beta(0)$에서의 $\beta$의 틀 $T_{\beta}(0),\,N_{\beta}(0),\,-B_{\beta}(0)$으로 보내는(방향을 거꾸로 하는) 등장사상이라고 하자(프레네 틀의 방향은 항상 양의 방향이다). 그러면 앞에서 얻은 식들이 $\overline{\alpha}=F(\alpha)$와 $\beta$에 대해서도 성립한다.

(2)를 보이기 위해 $\overline{T}=T_{\beta}$임을 보이자. 즉 $\overline{\alpha}=F(\alpha)$와 $\beta$의 단위접벡터가 각각의 점에서 평행함을 보인다. 그러면 $\overline{\alpha}(0)=\beta(0)$이므로 앞의 정리에 의해 $F(\alpha)=\beta$이다. 구간 $I$위에서의 실함수 $$f=\overline{T}\cdot T_{\beta}+\overline{N}\cdot N_{\beta}+\overline{B}\cdot B_{\beta}$$ 를 생각하자. $f$의 식은 모두 단위벡터장들로 구성되어있으므로 슈바르츠 부등식에 의해 $\overline{T}\cdot T_{\beta}\leq1$이고 $\overline{T}\cdot T_{\beta}=1$일 필요충분조건은 $\overline{T}=T_{\beta}$이다. $f$의 나머지 두 항에 대해서도 비슷한 성질이 성립하므로 $f$의 값이 상수 3임을 보이면 된다. $f$를 미분하면 다음과 같고 $$f'=\overline{T}'\cdot T_{\beta}+\overline{T}\cdot T'_{\beta}+\overline{N}'\cdot N_{\beta}+\overline{N}\cdot N'_{\beta}+\overline{B}'\cdot B_{\beta}+\overline{B}\cdot B_{\beta}'$$ 이 식에 프레네 공식을 대입하고 $\overline{\chi}=\chi$, $\overline{\tau}=\tau$를 이용해 얻은 8개 항은 쌍으로 상쇄되어 $f'=0$이므로 $f=3$이다. 

따라서 단위속력곡선은 $\mathbb{R}^{3}$에 놓이는 위치를 무시하면 곡률과 비틀림에 의해 결정된다. 위의 정리의 증명은 $\alpha$와 $\beta$가 합동임을 보이는 것 이상으로 $\alpha$를 $\beta$로 보내는 등장사상을 구체적으로 어떻게 계산하는지를 보여준다. 

다음과 같은 단위속력곡선 $$\alpha(s)=\left(\cos\frac{s}{c},\,\sin\frac{s}{c},\,\frac{s}{c}\right),\,\beta(s)=\left(\cos\frac{s}{c},\,\sin\frac{s}{c},\,-\frac{s}{c}\right)$$ 를 고려하자. $\alpha$와 $\beta$는 곡률이 $\displaystyle\chi_{\alpha}=\frac{1}{2}=\chi_{\beta}$로 같지만 비틀림은 $\displaystyle\tau_{\alpha}=\frac{1}{2}=-\tau_{\beta}$로 부호가 다르다. 정리에 의하면 향을 거꾸로 하는 등장사상 $F$를 통해 합동임을 추측할 수 있다. $F$가 프레네 틀 $$T_{\alpha}(0)=(0,\,a,\,a),\,N_{\alpha}(0)=(-1,\,0,\,0),\,B_{\alpha}(0)=(0,\,-a,\,a)$$ 를 틀 $$T_{\beta}(0)=(0,\,a,\,-a),\,N_{\beta}(0)=(-1,\,0,\,0),\,-B_{\beta}(0)=(0,\,-a,\,-a)$$ 로 보내야 함을 알 수 있다. 여기서 $\displaystyle a=-\frac{1}{\sqrt{2}}$이고 (-)부호로 인해 방향이 바뀐다. 

등장사상 $F$는 직교부분이 $B^{T}A$이고 이때 $A$와 $B$는 각각 위의 두 틀의 자세행렬이다. $\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$이므로 $$C=\begin{pmatrix}0&-1&0\\a&0&-a\\-a&0&-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&a&a\\-1&0&0\\0&-a&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$ 이다. 이 두 틀은 같은 작용점 $\alpha(0)=\beta(0)=(1,\,0,\,0)$을 갖는다. $C$는 이 점을 움직이지 않으므로 $F$의 평행이동부분은 항등사상이고, 반사 $F=C$가 $\alpha$를 $\beta$로 보낸다.

유클리드 기하학의 관점으로 보면 $\mathbb{R}^{3}$에 놓인 두 곡선이 $\mathbb{R}^{3}$의 등장사상에 의해 일치할 수 있으면 동일한 것이다. 나선은 $z$축 주위로 휘감는 곡선만이 아닌 특정한 나선과 합동인 어떠한 곡선도 나선이다. 

$\alpha$를 $\mathbb{R}^{3}$상의 단위속력곡선이라고 하자. 그러면 $\alpha$가 나선일 필요충분조건은 곡률과 비틀림이 0이 아닌 상수인 것이다. 

증명: ($\Rightarrow$): $a>0$이고 $b\neq0$인 모든 $b$에 대해 $\beta_{a,\,b}$를 다음과 같은 나선이라고 하자. $$\beta(s)=\left(a\cos\frac{s}{c},\,a\sin\frac{s}{c},\,\frac{b}{c}s\right)\,(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}})$$ $\alpha$와 $\beta_{a,\,b}$가 합동이면(필요하면 $b$의 부호를 바꾼다) 등장사상이 방향을 보존한다고 가정할 수 있고, $\alpha$의 곡률과 비틀림은 다음과 같다. $$\chi=\frac{a}{a^{2}+b^{2}},\,\tau=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}$$ ($\Leftarrow$): $\alpha$가 0이 아닌 상수 $\chi,\,\tau$를 갖는다고 가정하고 앞의 식을 풀면 $$a=\frac{\chi}{\chi^{2}+\tau^{2}},\,b=\frac{\tau}{\chi^{2}+\tau^{2}}$$ 이므로 $\alpha$와 $\beta_{a,\,b}$는 같은 곡률과 비틀림을 갖고 따라서 합동이다. 

지금까지의 결과는 단위속력이라는 조건을 요구했으나 이 제한조건을 다음과 같이 약화시킬 수 있다. 

$\alpha,\,\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$가 임의속력곡선이라고 하자. $$v_{\alpha}=v_{\beta}>0,\,\chi_{\alpha}=\chi_{\beta}>0,\,\tau_{\alpha}=\pm\tau_{\beta}$$ 이면 곡선 $\alpha$와 $\beta$는 합동이다. 

양의 곡률을 갖는 정칙곡선에 대해서만 프레네 틀장을 일반적으로 정의할 수 있으므로, 곡선의 이론은 이러한 곡선에 대해서만 적용된다. 그렇지만 $\mathbb{R}^{3}$에 놓인 임의의 곡선 $\alpha$도 $\alpha$위의 임의의 틀장, 즉 각 점에서 직교하는 $\alpha$위의 세 단위벡터장 $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$을 이용하여 연구할 수 있다. 

$\alpha,\,\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$를 임의의 곡선이라 하고, $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$을 $\alpha$위에 정의된 틀장, $F_{1},\,F_{2},\,F_{3}$를 $\beta$위에 정의된 틀장이라고 하자.

(1) $\alpha'\cdot E_{i}=\beta'\cdot F_{i}\,(1\leq i\leq3)$         

(2) $E_{i}'\cdot E_{j}=F_{i}'\cdot F_{j}\,(1\leq i,\,j\leq3)$

이면 $\alpha$와 $\beta$는 합동이다. 모든 $t_{0}\in I$에 대하여 $F$가 각각의 $E_{i}(t_{0})$를 $F_{i}(t_{0})$로 보내는 유일한 유클리드 등장사상이면 $F(\alpha)=\beta$이다.

증명: $F$를 등장사상이라 하자. $F_{*}$가 내적을 보존하므로, $1\leq i\leq3$에 대해 벡터장 $\overline{E}_{i}=F_{*}(E_{i})$는 $\overline{\alpha}=F(\alpha)$위의 벡터장을 이룬다. $F_{*}$가 곡선의 속도와 벡터장의 미분을 보존하므로 (1)에 의해 다음의 식을 얻는다. $$\overline{\alpha}(t_{0})=\beta(t_{0}),\,\overline{\alpha}'\cdot\overline{E_{i}}=\beta'\cdot F_{i},\,1\leq i\leq3$$ 마찬가지로 조건 (2)에 의해 다음의 식을 얻는다. $$\overline{E}_{i}(t_{0})=F_{i}(t_{0}),\,\overline{E}'_{i}\cdot\overline{E}_{j}=F'_{i}\cdot F_{j},\,1\leq i,\,j\leq3$$ 을 얻는다. 마지막 등식으로부터 동일한 계수함수 $a_{ij}$를 얻는 다음과 같은 정규직교전개를 얻는다. $$\overline{E}'_{i}=\sum_{i,\,j=1}^{3}{a_{ij}\overline{E}_{j}},\,F_{i}'=\sum_{i,\,j=1}^{3}{a_{ij}\overline{F}_{j}}$$ $a_{ij}+a_{ji}=0$이므로 $a_{ii}=0$이고 $\displaystyle f=\sum_{i=1}^{3}{\overline{E}_{i}\cdot F_{i}}$라 하자. $f=3$임을 보이자. $f(t_{0})=3$이고 $$f'=\sum_{i=1}^{3}{(E_{i}'\cdot F_{i}+E_{i}\cdot F_{i}')}=\sum_{i,\,j=1}^{3}{(a_{ij}+a_{ji})\overline{E}_{j}\cdot F_{i}}=0$$ 이므로 따라서 $\overline{E}_{i}\cdot F_{i}=1$, 즉 $\overline{E}_{i}$와 $F_{i}$가 각 점에서 평행하고 앞에서 $\overline{\alpha}'\cdot\overline{E}_{i}=\beta'\cdot F_{i}\,(1\leq i\leq3)$이므로 다음이 성립한다. $$\overline{\alpha}'=\sum_{i=1}^{3}{(\overline{\alpha}'\cdot\overline{E}_{i})\overline{E}_{i}},\,\overline{\beta}'=\sum_{i=1}^{3}{(\overline{\beta}'\cdot F_{i})F_{i}}$$ $\alpha(t_{0})=\beta(t_{0})$이므로 $F(\alpha)=\overline{\alpha}=\beta$를 얻는다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress