[미분기하학] 11. 미분가능한 함수, 접벡터, 곡면의 미분형식

[미분기하학] 11. 미분가능한 함수, 접벡터, 곡면의 미분형식

$f$를 곡면 $M$에서 정의된 실함수, $\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,M$를 좌표조각이면, 합성함수 $f(\mathbf{x})(=f\circ\mathbf{x})$를 $f$의 좌표표현(coordinate expression)이라고 한다. 이것은 보통의 실함수 $(u,\,v)\,\rightarrow\,f(\mathbf{x}(u,\,v))$이고, $f$의 모든 좌표표현이 유클리드 공간에서 미분가능하면 $f$는 미분가능하다고 한다. 

함수 $F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,M$에 대하여 $M$에 놓인 조각 $\mathbf{x}$로부터 $F$에 대한 좌표표현 $\mathbf{x}^{-1}(F)$를 얻을 수 있다. 이 합성함수는 $F(\mathbf{p})$가 $\mathbf{x}[D]$에 있는 $\mathbb{R}^{n}$의 점 $\mathbf{p}$로 구성된 집합 $\mathcal{O}$에서만 정의되어 있다. 또한 모든 좌표표현이 유클리드 공간에서 미분가능하면 $F$가 미분가능하다고 정의한다. 이때 $\mathcal{O}$는 $\mathbb{R}^{n}$의 열린집합이어야 하고 따라서 $\mathbf{x}^{-1}(F):\mathcal{O}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}$의 미분가능성이 잘 정의된다. 특히 곡면 $M$위에 놓인 곡선 $\alpha:I\,\rightarrow\,M$은 $I$에서 $M$으로의 미분가능한 함수이다. 

곡선 $\alpha:I\,\rightarrow\,M$의 궤적이 단 하나의 조각 $\mathbf{x}$의 상 $\mathbf{x}[D]$안에 놓여 있으면, 모든 $t$에 대하여 $\alpha(t)=\mathbf{x}(a_{1}(t),\,a_{2}(t))$ 또는 함수 기호로 $\alpha=\mathbf{x}(a_{1},\,a_{2})$가 되는 $I$에서 정의된 미분가능한 함수 $a_{1},\,a_{2}$가 유일하게 존재한다.

증명: 정의에 의해 좌표표현 $\alpha:I\,\rightarrow\,D$는 미분가능하다. 이것은 궤적이 $\mathbf{x}$의 정의역에 있는 $\mathbb{R}^{2}$상의 곡선이다. $a_{1},\,a_{2}$가 $\mathbf{x}^{-1}\alpha$의 유클리드 좌표함수이면 $$\alpha=\mathbf{x}\circ\mathbf{x}^{-1}\circ\alpha=\mathbf{x}(a_{1},\,a_{2})$$ 이다. 만약 $\alpha=\mathbf{x}(b_{1},\,b_{2})$이면 $$(a_{1},\,a_{2})=\mathbf{x}^{-1}\alpha=\mathbf{x}^{-1}\mathbf{x}(b_{1},\,b_{2})=(b_{1},\,b_{2})$$ 이므로 $a_{1},\,a_{2}$는 위의 성질을 만족하는 유일한 함수이다. 

이 정리에서의 함수 $a_{1},\,a_{2}$를 조각 $\mathbf{x}$에 대한 곡선 $\alpha$의 좌표함수(coordinate function)라고 한다. 

임의의 조각 $\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,M$에 대하여 영역 $D$를 $M$안의 지역 $\mathbf{x}[D]$의 지도(map)라고 생각할 수 있다. 함수 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{x}^{-1}$는 $\mathbf{x}[D]$안의 대상과 $D$안의 대상 사이의 일대일 대응관계를 준다. $\mathbf{x}[D]$에 놓인 곡선 $\alpha$가 배의 항로를 나타내면 좌표곡선 $(a_{1},\,a_{2})$는 지도 $D$에서의 항로를 그려준다.

$M$을 $\mathbb{R}^{3}$상의 곡면이라고 하자. $F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$의 상이 $M$에 놓이는(미분가능한) 사상이면 $M$으로의 $F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,M$으로 보아도 미분가능하다.

증명: 생략(학부 수준에서 증명불가)

조각은 $\mathbb{R}^{2}$의 열린집합에서 $\mathbb{R}^{3}$으로의 미분가능한 함수이므로 조각은 $M$으로의 미분가능한 함수이다. 그 좌표표현은 모두 미분가능하고 따라서 조각은 매끄럽게 겹친다. 

$\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$가 상이 겹치는 $\mathbb{R}^{3}$에 놓인 곡면 $M$의 조각이면, 합성함수 $\mathbf{x}^{-1}\mathbf{y}$와 $\mathbf{y}^{-1}\mathbf{x}$는 $\mathbb{R}^{2}$의 열린집합에서 정의된 미분가능한 사상이다. 

함수 $\mathbf{y}^{-1}\mathbf{x}$는 $\mathbf{x}(u,\,v)$가 $\mathbf{y}$의 상 $\mathbf{y}[E]$ 안에 있는 $D$안의 점 $(u,\,v)$에 대해서만 정의된다.

$\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$가 $M$에 놓인 겹치는 조각이면, $\mathbf{x}^{-1}\mathbf{y}$의 정의역 상의 모든 점 $(u,\,v)$에 대하여 $$\mathbf{y}(u,\,v)=\mathbf{x}(\overline{u}(u,\,v),\,\overline{v}(u,\,v))$$ 인 미분가능한 함수 $\overline{u}$와 $\overline{v}$가 유일하게 존재하고, 이것을 $\mathbf{y}=\mathbf{x}(\overline{u},\,\overline{v})$로 나타낸다.

이 정리는 미분가능성에 대한 증명을 쉽게 해준다. $f$가 $M$에서 정의된 실함수이면, 모든 좌표표현 $f(\mathbf{x})$가 유클리드 공간에서 미분가능하다는 것을 보이는 대신 단지 $M$ 전체를 덮는 조각 $\mathbf{x}$에 대해서만 하면 충분하다. 

임의의 조각 $\mathbf{y}$에 대하여 $f\circ\mathbf{x}$와 $\mathbf{x}^{-1}\circ\mathbf{y}$가 미분가능하면 $f\circ\mathbf{x}\circ\mathbf{x}^{-1}\circ\mathbf{y}$가 미분가능하다. 이 함수는 일반적으로 $f\circ\mathbf{y}$가 아닌데 정의역이 작기 때문이다. 그러나 $M$을 덮는 조각 $\mathbf{x}$가 충분히 있기 때문에 그런 함수들은 $f\circ\mathbf{y}$ $f\circ\mathbf{y}$전체를 구성하게 되고, 이렇게 미분가능성이 증명된다. 

$\mathbf{p}$를 $\mathbb{R}^{3}$에 놓인 곡면 $M$의 한 점이라 하자. $\mathbf{p}$에서의 $\mathbb{R}^{3}$의 접벡터 $\mathbf{v}$가 $M$에 놓인 어떤 곡선의 속도벡터일 때 $\mathbf{v}$가 $\mathbf{p}$에서 $M$에 접한다고 한다.

점 $\mathbf{p}$에서 $M$의 접벡터 전체의 집합을 $\mathbf{p}$에서의 $M$의 접평면(tangent plane)이라 하고 $T_{\mathbf{p}}(M)$으로 나타낸다. 

다음의 결과는 $M$의 각 점 $\mathbf{p}$에서 접평면 $T_{\mathbf{p}}(M)$이 실제로 접공간 $T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})$의 2차원 부분벡터공간임을 보여준다. 

$\mathbf{p}$를 $\mathbb{R}^{3}$에 놓인 곡면 $M$의 한 점이라 하고, $\mathbf{x}$를 $\mathbf{x}(u_{0},\,v_{0})=\mathbf{p}$인 $M$에 놓인 조각이라 하자. $\mathbf{p}$에서 $\mathbb{R}^{3}$의 접벡터 $\mathbf{v}$가 $M$에 접할 필요충분조건은 $\mathbf{v}$가 $\mathbf{x}_{u}(u_{0},\,v_{0})$와 $\mathbf{x}_{v}(u_{0},\,v_{0})$의 일차결합으로 나타내어지는 것이다.

증명: 편속도는 항상 일차독립이므로 $\mathbf{x}(D)$의 각 점에서 $M$의 접평면에 대한 기저를 이룬다.

($\Rightarrow$): $\mathbf{v}$가 $\mathbf{p}$에서 $M$에 접한다고 가정하면 $\alpha(0)=\mathbf{p}$이고 $\alpha'(0)=\mathbf{v}$인 $M$에 놓인 곡선 $\alpha$가 존재한다. $\alpha=\mathbf{x}(a_{1},\,a_{2})$로 나타낼 수 있고 따라서 연쇄법칙에 의해 다음이 성립한다. $$\alpha'=\mathbf{x}_{u}(a_{1},\,a_{2})\frac{da_{1}}{dt}+\mathbf{x}_{v}(a_{1},\,a_{2})\frac{da_{2}}{dt}$$ $\alpha(0)=\mathbf{p}=\mathbf{x}(u_{0},\,v_{0})$이므로 $a_{1}(0)=u_{0}$, $a_{2}(0)=v_{0}$이고 $t=0$에서 계산하면 다음과 같다. $$\mathbf{v}=\alpha'(0)=\frac{da_{1}}{dt}(0)\cdot\mathbf{x}_{u}(u_{0},\,v_{0})+\frac{da_{2}}{dt}\cdot\mathbf{x}_{v}(u_{0},\,v_{0})$$ ($\Leftarrow$): $\mathbb{R}^{3}$의 접벡터 $\mathbf{v}$가 다음과 같다고 하자. $$\mathbf{v}=c_{1}\mathbf{x}_{u}(u_{0},\,v_{0})+c_{2}\mathbf{x}_{v}(u_{0},\,v_{0})$$ $\mathbf{v}$는 곡선 $t\,\mapsto\,\mathbf{x}(u_{0}+tc_{1},\,v_{0}+tc_{2})$의 $t=0$에서의 속도벡터이고 따라서 $\mathbf{v}$는 $\mathbf{p}$에서 $M$에 접한다. 

$\mathbb{R}^{3}$에 놓인 곡면 $M$에서 정의된 유클리드 벡터장 $Z$는 $M$의 각 점 $\mathbf{p}$에 대하여 $\mathbb{R}^{3}$의 접벡터 $Z(\mathbf{p})$를 대응시키는 함수이다.      

벡터 $V(\mathbf{p})$가 $\mathbf{p}$에서 $M$에 접하는 유클리드 벡터장 $V$를 $M$위의 접벡터장(tangent vector field)이라고 한다.

이 벡터장은 $M$전체에서 정의되지 않고 $M$에 놓인 어떤 영역에서만 정의되기도 한다. 그리고 보통 미분가능성을 가정한다. 

$\mathbf{p}$에서 $M$의 유클리드 벡터 $\mathbf{z}$가 접평면 $T_{\mathbf{p}}(M)$에 수직이면, 즉 $\mathbf{p}$에서의 $M$의 모든 접벡터에 수직이면 $M$의 법벡터(normal vector)라고 한다. 각각의 벡터 $Z(\mathbf{p})$가 의 법벡터이면 $M$에서 정의된 유클리드 벡터장 $Z$를 $M$위의 법벡터장(normal vector field)이라고 한다. 

$T_{\mathbf{p}}(M)$이 $T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})$의 2차원 부분공간이므로 $\mathbf{p}$에서 $M$의 법(수직)방향은 하나이다. $\mathbf{p}$에서 모든 법벡터 $Z$는 동일 직선위에 있고, $Z$가 영벡터가 아니면 $T_{\mathbf{p}}(M)$은 $T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})$의 벡터들 중 $Z$에 수직인 벡터들로 구성되어 있다.

$M:g=c$가 $\mathbb{R}^{3}$상의 곡면이면, 그래디언트(gradient) 벡터장 $\displaystyle\nabla g=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial g}{\partial x_{i}}U_{i}}$는 $M$상의 점에서만 생각했을 때 전체 곡면 $M$에서 정의된 영이 아닌 법벡터장이다. 

증명: 음함수로 주어진 경우 $\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x_{i}}$는 $M$의 모든 점에서 동시에 0일 수 없으므로 $\nabla g\neq$는 영벡터가 아니다. $\mathbf{p}$에서 $M$의 모든 접벡터 $\mathbf{v}$에 대해 $(\nabla g)(\mathbf{p})\cdot\mathbf{v}=0$임을 보여야 한다. $\alpha$가 $M$위의 곡선이면 $g(\alpha)=g(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3})=c$이고 연쇄법칙에 의해 다음이 성립한다. $$\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial g}{\partial x_{i}}(\alpha)\cdot\frac{\partial \alpha_{i}}{\partial t}}(t)=0$$ $\alpha(0)=\mathbf{p}$에서 $\alpha$가 초기속도 $\alpha'(0)=\mathbf{v}=(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})$을 갖도록 고르면 다음의 결과를 얻는다. $$0=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial g}{\partial x_{i}}(\alpha(0))\frac{\partial\alpha_{i}}{\partial t}(0)}=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial g}{\partial x_{i}}(\mathbf{p})v_{i}}=(\nabla g)(\mathbf{p})\cdot\mathbf{v}=0$$ 구면 $\Sigma:\,g(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r^{2}$위의 벡터장에 대해 알아보자. $\displaystyle X=\frac{1}{2}\nabla g=\sum_{i=1}^{3}{x_{i}U_{i}}$는 $\Sigma$에서 정의된 법벡터장이다.

$\mathbf{v}$를 $\mathbf{p}$에서 $M$의 접벡터라 하고, $f$를 $M$에서 정의된 미분가능한 실함수라고 하자. $\mathbf{v}$에 대한 $f$의 도함수 $\mathbf{v}(f)$는 초기속도 $\mathbf{v}$를 갖는 $M$에 놓인 모든 곡선 $\alpha$에 대하여 공통값 $\displaystyle\frac{d}{dt}(f\circ\alpha)(0)$이다. 

곡면과 유클리드 공간은 일반적인 개념인 다양체(manifold)의 특별한 경우이다. 모든 다양체는 실직선 위의 미적분학을 일반화한 미적분학을 적용할 수 있다. 

$\mathbb{R}^{3}$에서와 같이 곡면 $M$위의 0차형식 $f$는 단순히 $M$위에서 정의된 실함수이고, $M$의 1차형식 $\phi$는 $M$의 접벡터에서 정의되고 각 점에서 선형인 실함수이다. 여기서 2차형식을 정의하려고 하는데 2차형식은 1차형식을 2차원으로 일반화한 것이다. 하나의 접벡터가 아닌 한 쌍의 접벡터에서 정의된 실함수이다.

곡면 $M$위의 2차형식 $\eta$는 $M$의 접벡터의 모든 순서쌍 $(\mathbf{v},\,\mathbf{w})$위에서 정의된 다음을 만족하는 순서쌍이다.

(1) $\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{w})$는 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$에 대하여 선형이다. 

(2) $\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{w})=-\eta(\mathbf{w},\,\mathbf{v})$ 

곡면은 2차원이기 때문에, $p>2$일 때 모든 $p$차형식은 0이다. 

1차형식은 벡터장 $V$위에서 계산하고, 2차형식 $\eta$는 한 쌍의 벡터장 $V,\,W$위에서 계산해 $M$위의 실함수 $\eta(V,\,W)$를 위 정의의 교대법칙 (2)는 모든 접벡터 $v$에 대해 $\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{v})=0$을 뜻하고, 또한 2차형식이 다음과 같이 행렬식과 관계가 있다.   

$\eta$가 곡면 $M$위의 2차형식이라 하고, $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 $M$의 어떤 점에서의 접벡터라고 하면 다음이 성립한다. $$\eta(a\mathbf{v}+b\mathbf{w},\,c\mathbf{v}+d\mathbf{w})=\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{w})$$ 증명: $\eta$가 첫 번째 변수에 대해 선형이므로 한 쌍의 접벡터 $a\mathbf{v}+b\mathbf{w}$, $c\mathbf{v}+d\mathbf{w}$위에서의 값은 다음과 같다. $$a\eta(\mathbf{v},\,c\mathbf{v}+d\mathbf{w})+b\eta(\mathbf{w},\,c\mathbf{v}+d\mathbf{w})$$ $\eta$의 두 번째 변수에 대한 선형성으로부터 $$ac\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{v})+ad\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{w})+bc\eta(\mathbf{w},\,\mathbf{v})+bd\eta(\mathbf{w},\,\mathbf{w})$$ 을 얻고, 교대법칙에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$\eta(a\mathbf{v}+b\mathbf{w},\,c\mathbf{v}+d\mathbf{w})=(ad-bc)\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{w})$$ $p$차형식과 $q$차형식의 쐐기곱은 항상 $(p+q)$차형식이다. $p=0$이거나 $q=0$이면 쐐기곱은 함수에 의한 일반적인 곱이고, 곡면 위에서 $p+q>2$이면 그 쐐기곱은 항상 0이다. 그러므로 $p=q=1$인 경우에 대한 정의만 필요하다. 

$\phi$와 $\psi$가 곡면 위의 1차형식이면 쐐기곱 $\phi\wedge\psi$는 $M$의 한 쌍의 모든 접벡터 $\mathbf{v},\,\mathbf{w}$에 대해 다음을 만족하는 $M$상의 2차형식이다. $$(\phi\wedge\psi)(\mathbf{v},\,\mathbf{w})=\phi(\mathbf{v})\psi(\mathbf{w})-\phi(\mathbf{w})\psi(\mathbf{v})$$ $\phi\wedge\psi$는 한 쌍의 모든 접벡터에서 정의된 실함수이고, 2차형식의 조건을 만족하므로 $M$위의 2차형식이다. 쐐기곱은 교환법칙을 제외한 대수적 성질을 만족한다. 일반적으로 $\xi$가 $p$차형식이고 $\eta$가 $q$차형식이면, $\xi\wedge\eta=(-1)^{pq}\eta\wedge\xi$가 성립한다. 1차형식간의 곱일 경우 (-)부호가 발생하고 이때 $\phi\wedge\psi=-\psi\wedge\phi$이다. 

곡면 위에서 0차형식(함수) $f$에 대하여 외도함수는 $df(\mathbf{v})=\mathbf{v}(f)$인 1차형식 $df$이고, $p$차형식의 외도함수는 $p+1$차형식이다.  그러므로 1차형식 $\phi$의 외도함수만 정의하면 된다.

$\phi$를 곡면 $M$위의 1차형식이라 하자. 그러면 $\phi$의 외도함수(exterior derivative) $d\phi$는 $M$의 모든 조각 $\mathbf{x}$에 대하여 다음을 만족하는 2차형식이다. $$d\phi(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})=\frac{\partial}{\partial u}(\phi(\mathbf{x}_{u}))-\frac{\partial}{\partial v}(\phi(\mathbf{x}_{u}))$$ 이 정의는 아직 완전한 정의가 아니다. 이 정의는 $M$상의 각각의 조각 $\mathbf{x}$에서 정의된 형식 $d_{\mathbf{x}}\phi$이고, 두 조각이 겹치는 영역에서 형식 $d_{\mathbf{x}}\phi$와 $d_{\mathbf{y}}\phi$가 같다는 것을 증명해야 하고, 이 둘이 같아야 $M$위의 형식 $d\phi$를 얻은 것이 된다. 

$\phi$가 $M$위의 1차형식이라고 하자. $\mathbf{x},\,\mathbf{y}$가 $M$상의 조각이면 $\mathbf{x}[D]\cap\mathbf{y}[E]$에서 $d_{\mathbf{x}}\phi=d_{\mathbf{y}}\phi$이다.

증명: 각 점에서 $\mathbf{y}_{u}$와 $\mathbf{y}_{v}$는 1차독립이므로 다음이 성립함을 보이면 된다. $$(d_{\mathbf{y}}\phi)(\mathbf{y}_{u},\,\mathbf{y}_{v})=(d_{\mathbf{x}}\phi)(\mathbf{y}_{u},\,\mathbf{y}_{v})$$ $\mathbf{y}=\mathbf{x}(\overline{u},\,\overline{v})$라 하면 연쇄법칙에 의해 다음이 성립하고 $$\mathbf{y}_{u}=\frac{\partial\overline{u}}{\partial u}\mathbf{x}_{u}+\frac{\partial\overline{v}}{\partial u}\mathbf{x}_{v},\,\mathbf{y}_{v}=\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}+\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}$$ 이때 $\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v}$는 $(\overline{u},\,\overline{v})$에서 계산된 것이고 $J$가 야코비안 $\displaystyle\frac{\partial\overline{u}}{\partial u}\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}-\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}\frac{\partial\overline{v}}{\partial u}$일 때 다음이 성립하고 $$(d_{\mathbf{x}}\phi)(\mathbf{y}_{u},\,\mathbf{y}_{v})=J(d_{\mathbf{x}}\phi)(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})$$ 이고 등식 $d_{\mathbf{y}}\phi(\mathbf{y}_{u},\,\mathbf{y}_{v})=d_{\mathbf{x}}(\mathbf{y}_{u},\,\mathbf{y}_{v})$를 증명하기 위해 필요한 등식은 다음과 같다. $$\frac{\partial}{\partial u}(\phi(\mathbf{y}_{v}))-\frac{\partial}{v}(\phi(\mathbf{y}_{u}))=J\left\{\frac{\partial}{\partial\overline{u}}(\phi(\mathbf{x}_{v}))-\frac{\partial}{\partial\overline{v}}(\phi(\mathbf{x}_{u}))\right\}$$ 여기서 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial u}(\phi\mathbf{y}_{u})$만 계산하면 되는데 $u,\,v$를 바꾸어 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial v}\phi(\mathbf{y}_{u})$를 얻을 수 있고, 위 식에서 두 도함수를 뺌을서 $u$와 $v$를 바꿀 수 있는 항들을 상쇄할 수 있기 때문이다. $$\phi(\mathbf{y}_{v})=\phi(\mathbf{x}_{u})\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}+\phi(\mathbf{x}_{v})\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}$$ 이고 연쇄법칙에 의해 $$\frac{\partial}{\partial u}\phi(\mathbf{y}_{v})=\frac{\partial}{\partial u}\phi(\mathbf{x}_{u})\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}+\frac{\partial}{\partial u}\phi(\mathbf{x}_{v})\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}+\cdots$$ 이고 두 개의 대칭적 항을 버렸다. 그러면 다음의 식을 얻고 $$\frac{\partial}{\partial u}\phi(\mathbf{y}_{u})=\left(\frac{\partial}{\partial\overline{v}}\phi(\mathbf{x}_{u})+\frac{\partial\overline{u}}{\partial u}+\cdots\right)\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}+\left(\frac{\partial}{\partial\overline{u}}\phi(\mathbf{x}_{v})\frac{\partial\overline{u}}{\partial u}+\cdots\right)\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}$$ 이 식을 이용해 원하는 결과를 얻는다.

$f$가 $M$에서 정의된 실함수이면 $d(df)=0$이다. 

증명: $\psi=df$라고 하자. $M$상의 임의의 조각 $\mathbf{x}$에 대해 $d\psi(\mathbf{u},\,\mathbf{v})=0$임을 보이면 된다. 다음이 성립하므로 $$\psi(\mathbf{x}_{u})=df(\mathbf{x}_{u})=\mathbf{x}_{u}(f)=\frac{\partial}{\partial u}(f(\mathbf{x})),\,\psi(\mathbf{x}_{v})=\frac{\partial}{\partial v}f(\mathbf{x})$$ 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$d\psi(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})=\frac{\partial}{\partial u}\psi(\mathbf{x}_{v})-\frac{\partial}{\partial v}\psi(\mathbf{x}_{u})=\frac{\partial^{2}}{\partial u\partial v}f(\mathbf{x})-\frac{\partial^{2}}{\partial v\partial u}f(\mathbf{x})=0$$ $\mathbf{x}$가 좌표조각일 때

(1) $\mathbf{x}[D]$위의 1차형식에 대하여 $\phi=\psi$일 필요충분조건은 $\phi(\mathbf{x}_{u})=\psi(\mathbf{x}_{u})$이고 $\phi(\mathbf{x}_{v})=\psi(\mathbf{x}_{v})$이다.  

(2) $\mathbf{x}[D]$위의 2차형식에 대하여 $\mu=\nu$일 필요충분조건은 $\mu(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})=\nu(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})$이다. 

$u_{1}=u,\,u_{2}=v$를 자연좌표함수, $U_{1},\,U_{2}$를 자연틀장이라 하자. $f$를 함수, $\phi$를 1차형식, $\eta$를 2차형식이라고 하면 다음이 성립한다. 

(1) $\phi=f_{1}du_{1}+f_{2}du_{2}\,(f_{i}=\phi(U_{i}))$ 

(2) $\eta=gdu_{1}du_{2}\,(g=\eta(U_{1},\,U_{2}))$

(3) $\psi=g_{1}du_{1}+g_{2}du_{2}$이고 $\phi$가 (1)일 때, $\phi\wedge\psi=(f_{1}g_{2}-f_{2}g_{1})du_{1}du_{2}$ 

(4) $\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial u_{1}}du_{1}+\frac{\partial f}{\partial u_{2}}du_{2}$ 

(5) $\phi$가 (1)일 때, $\displaystyle d\phi=\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial u_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial u_{2}}\right)du_{1}du_{2}$

실직선 $\mathbb{R}$의 경우 자연틀장은 하나의 단위벡터장 $U_{1}$이고 $\displaystyle U_{1}(f)=\frac{df}{dt}$이다. $p>0$인 모든 $p$차형식은 0이고, $\phi$가 1차형식이면 $\phi=\phi(U_{1})dt$이다. 

형식 $\phi$에 대하여 $d\phi=0$일 때 $\phi$는 닫혀있다(closed)고 하고, 어떤 형식 $\xi$에 대해 $\phi=d\xi$이면 완전하다(exact)고 한다. 

$d$를 두 번 작용하면 항상 0이므로 모든 완전한 형식은 닫혀있다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress