[미분기하학] 11. 미분가능한 함수, 접벡터, 곡면의 미분형식

[미분기하학] 11. 미분가능한 함수, 접벡터, 곡면의 미분형식

\(f\)를 곡면 \(M\)에서 정의된 실함수, \(\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,M\)를 좌표조각이면, 합성함수 \(f(\mathbf{x})(=f\circ\mathbf{x})\)를 \(f\)의 좌표표현(coordinate expression)이라고 한다. 이것은 보통의 실함수 \((u,\,v)\,\rightarrow\,f(\mathbf{x}(u,\,v))\)이고, \(f\)의 모든 좌표표현이 유클리드 공간에서 미분가능하면 \(f\)는 미분가능하다고 한다. 

함수 \(F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,M\)에 대하여 \(M\)에 놓인 조각 \(\mathbf{x}\)로부터 \(F\)에 대한 좌표표현 \(\mathbf{x}^{-1}(F)\)를 얻을 수 있다. 이 합성함수는 \(F(\mathbf{p})\)가 \(\mathbf{x}[D]\)에 있는 \(\mathbb{R}^{n}\)의 점 \(\mathbf{p}\)로 구성된 집합 \(\mathcal{O}\)에서만 정의되어 있다. 또한 모든 좌표표현이 유클리드 공간에서 미분가능하면 \(F\)가 미분가능하다고 정의한다. 이때 \(\mathcal{O}\)는 \(\mathbb{R}^{n}\)의 열린집합이어야 하고 따라서 \(\mathbf{x}^{-1}(F):\mathcal{O}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}\)의 미분가능성이 잘 정의된다. 특히 곡면 \(M\)위에 놓인 곡선 \(\alpha:I\,\rightarrow\,M\)은 \(I\)에서 \(M\)으로의 미분가능한 함수이다. 

곡선 \(\alpha:I\,\rightarrow\,M\)의 궤적이 단 하나의 조각 \(\mathbf{x}\)의 상 \(\mathbf{x}[D]\)안에 놓여 있으면, 모든 \(t\)에 대하여 \(\alpha(t)=\mathbf{x}(a_{1}(t),\,a_{2}(t))\) 또는 함수 기호로 \(\alpha=\mathbf{x}(a_{1},\,a_{2})\)가 되는 \(I\)에서 정의된 미분가능한 함수 \(a_{1},\,a_{2}\)가 유일하게 존재한다.

증명: 정의에 의해 좌표표현 \(\alpha:I\,\rightarrow\,D\)는 미분가능하다. 이것은 궤적이 \(\mathbf{x}\)의 정의역에 있는 \(\mathbb{R}^{2}\)상의 곡선이다. \(a_{1},\,a_{2}\)가 \(\mathbf{x}^{-1}\alpha\)의 유클리드 좌표함수이면$$\alpha=\mathbf{x}\circ\mathbf{x}^{-1}\circ\alpha=\mathbf{x}(a_{1},\,a_{2})$$이다. 만약 \(\alpha=\mathbf{x}(b_{1},\,b_{2})\)이면$$(a_{1},\,a_{2})=\mathbf{x}^{-1}\alpha=\mathbf{x}^{-1}\mathbf{x}(b_{1},\,b_{2})=(b_{1},\,b_{2})$$이므로 \(a_{1},\,a_{2}\)는 위의 성질을 만족하는 유일한 함수이다. 

이 정리에서의 함수 \(a_{1},\,a_{2}\)를 조각 \(\mathbf{x}\)에 대한 곡선 \(\alpha\)의 좌표함수(coordinate function)라고 한다. 

임의의 조각 \(\mathbf{x}:D\,\rightarrow\,M\)에 대하여 영역 \(D\)를 \(M\)안의 지역 \(\mathbf{x}[D]\)의 지도(map)라고 생각할 수 있다. 함수 \(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{x}^{-1}\)는 \(\mathbf{x}[D]\)안의 대상과 \(D\)안의 대상 사이의 일대일 대응관계를 준다. \(\mathbf{x}[D]\)에 놓인 곡선 \(\alpha\)가 배의 항로를 나타내면 좌표곡선 \((a_{1},\,a_{2})\)는 지도 \(D\)에서의 항로를 그려준다.

\(M\)을 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 곡면이라고 하자. \(F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)의 상이 \(M\)에 놓이는(미분가능한) 사상이면 \(M\)으로의 \(F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,M\)으로 보아도 미분가능하다.

증명: 생략(학부 수준에서 증명불가)

조각은 \(\mathbb{R}^{2}\)의 열린집합에서 \(\mathbb{R}^{3}\)으로의 미분가능한 함수이므로 조각은 \(M\)으로의 미분가능한 함수이다. 그 좌표표현은 모두 미분가능하고 따라서 조각은 매끄럽게 겹친다. 

\(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\)가 상이 겹치는 \(\mathbb{R}^{3}\)에 놓인 곡면 \(M\)의 조각이면, 합성함수 \(\mathbf{x}^{-1}\mathbf{y}\)와 \(\mathbf{y}^{-1}\mathbf{x}\)는 \(\mathbb{R}^{2}\)의 열린집합에서 정의된 미분가능한 사상이다. 

함수 \(\mathbf{y}^{-1}\mathbf{x}\)는 \(\mathbf{x}(u,\,v)\)가 \(\mathbf{y}\)의 상 \(\mathbf{y}[E]\) 안에 있는 \(D\)안의 점 \((u,\,v)\)에 대해서만 정의된다.

\(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\)가 \(M\)에 놓인 겹치는 조각이면, \(\mathbf{x}^{-1}\mathbf{y}\)의 정의역 상의 모든 점 \((u,\,v)\)에 대하여$$\mathbf{y}(u,\,v)=\mathbf{x}(\overline{u}(u,\,v),\,\overline{v}(u,\,v))$$인 미분가능한 함수 \(\overline{u}\)와 \(\overline{v}\)가 유일하게 존재하고, 이것을 \(\mathbf{y}=\mathbf{x}(\overline{u},\,\overline{v})\)로 나타낸다.

이 정리는 미분가능성에 대한 증명을 쉽게 해준다. \(f\)가 \(M\)에서 정의된 실함수이면, 모든 좌표표현 \(f(\mathbf{x})\)가 유클리드 공간에서 미분가능하다는 것을 보이는 대신 단지 \(M\) 전체를 덮는 조각 \(\mathbf{x}\)에 대해서만 하면 충분하다. 

임의의 조각 \(\mathbf{y}\)에 대하여 \(f\circ\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{x}^{-1}\circ\mathbf{y}\)가 미분가능하면 \(f\circ\mathbf{x}\circ\mathbf{x}^{-1}\circ\mathbf{y}\)가 미분가능하다. 이 함수는 일반적으로 \(f\circ\mathbf{y}\)가 아닌데 정의역이 작기 때문이다. 그러나 \(M\)을 덮는 조각 \(\mathbf{x}\)가 충분히 있기 때문에 그런 함수들은 \(f\circ\mathbf{y}\) \(f\circ\mathbf{y}\)전체를 구성하게 되고, 이렇게 미분가능성이 증명된다. 

\(\mathbf{p}\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)에 놓인 곡면 \(M\)의 한 점이라 하자. \(\mathbf{p}\)에서의 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터 \(\mathbf{v}\)가 \(M\)에 놓인 어떤 곡선의 속도벡터일 때 \(\mathbf{v}\)가 \(\mathbf{p}\)에서 \(M\)에 접한다고 한다.

점 \(\mathbf{p}\)에서 \(M\)의 접벡터 전체의 집합을 \(\mathbf{p}\)에서의 \(M\)의 접평면(tangent plane)이라 하고 \(T_{\mathbf{p}}(M)\)으로 나타낸다. 

다음의 결과는 \(M\)의 각 점 \(\mathbf{p}\)에서 접평면 \(T_{\mathbf{p}}(M)\)이 실제로 접공간 \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\)의 2차원 부분벡터공간임을 보여준다. 

\(\mathbf{p}\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)에 놓인 곡면 \(M\)의 한 점이라 하고, \(\mathbf{x}\)를 \(\mathbf{x}(u_{0},\,v_{0})=\mathbf{p}\)인 \(M\)에 놓인 조각이라 하자. \(\mathbf{p}\)에서 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터 \(\mathbf{v}\)가 \(M\)에 접할 필요충분조건은 \(\mathbf{v}\)가 \(\mathbf{x}_{u}(u_{0},\,v_{0})\)와 \(\mathbf{x}_{v}(u_{0},\,v_{0})\)의 일차결합으로 나타내어지는 것이다.

증명: 편속도는 항상 일차독립이므로 \(\mathbf{x}(D)\)의 각 점에서 \(M\)의 접평면에 대한 기저를 이룬다.

(\(\Rightarrow\)): \(\mathbf{v}\)가 \(\mathbf{p}\)에서 \(M\)에 접한다고 가정하면 \(\alpha(0)=\mathbf{p}\)이고 \(\alpha'(0)=\mathbf{v}\)인 \(M\)에 놓인 곡선 \(\alpha\)가 존재한다. \(\alpha=\mathbf{x}(a_{1},\,a_{2})\)로 나타낼 수 있고 따라서 연쇄법칙에 의해 다음이 성립한다.$$\alpha'=\mathbf{x}_{u}(a_{1},\,a_{2})\frac{da_{1}}{dt}+\mathbf{x}_{v}(a_{1},\,a_{2})\frac{da_{2}}{dt}$$\(\alpha(0)=\mathbf{p}=\mathbf{x}(u_{0},\,v_{0})\)이므로 \(a_{1}(0)=u_{0}\), \(a_{2}(0)=v_{0}\)이고 \(t=0\)에서 계산하면 다음과 같다.$$\mathbf{v}=\alpha'(0)=\frac{da_{1}}{dt}(0)\cdot\mathbf{x}_{u}(u_{0},\,v_{0})+\frac{da_{2}}{dt}\cdot\mathbf{x}_{v}(u_{0},\,v_{0})$$(\(\Leftarrow\)): \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터 \(\mathbf{v}\)가 다음과 같다고 하자.$$\mathbf{v}=c_{1}\mathbf{x}_{u}(u_{0},\,v_{0})+c_{2}\mathbf{x}_{v}(u_{0},\,v_{0})$$\(\mathbf{v}\)는 곡선 \(t\,\mapsto\,\mathbf{x}(u_{0}+tc_{1},\,v_{0}+tc_{2})\)의 \(t=0\)에서의 속도벡터이고 따라서 \(\mathbf{v}\)는 \(\mathbf{p}\)에서 \(M\)에 접한다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)에 놓인 곡면 \(M\)에서 정의된 유클리드 벡터장 \(Z\)는 \(M\)의 각 점 \(\mathbf{p}\)에 대하여 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터 \(Z(\mathbf{p})\)를 대응시키는 함수이다.      

벡터 \(V(\mathbf{p})\)가 \(\mathbf{p}\)에서 \(M\)에 접하는 유클리드 벡터장 \(V\)를 \(M\)위의 접벡터장(tangent vector field)이라고 한다.

이 벡터장은 \(M\)전체에서 정의되지 않고 \(M\)에 놓인 어떤 영역에서만 정의되기도 한다. 그리고 보통 미분가능성을 가정한다. 

\(\mathbf{p}\)에서 \(M\)의 유클리드 벡터 \(\mathbf{z}\)가 접평면 \(T_{\mathbf{p}}(M)\)에 수직이면, 즉 \(\mathbf{p}\)에서의 \(M\)의 모든 접벡터에 수직이면 \(M\)의 법벡터(normal vector)라고 한다. 각각의 벡터 \(Z(\mathbf{p})\)가 \(\)의 법벡터이면 \(M\)에서 정의된 유클리드 벡터장 \(Z\)를 \(M\)위의 법벡터장(normal vector field)이라고 한다. 

\(T_{\mathbf{p}}(M)\)이 \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\)의 2차원 부분공간이므로 \(\mathbf{p}\)에서 \(M\)의 법(수직)방향은 하나이다. \(\mathbf{p}\)에서 모든 법벡터 \(Z\)는 동일 직선위에 있고, \(Z\)가 영벡터가 아니면 \(T_{\mathbf{p}}(M)\)은 \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\)의 벡터들 중 \(Z\)에 수직인 벡터들로 구성되어 있다.

\(M:g=c\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 곡면이면, 그래디언트(gradient) 벡터장 \(\displaystyle\nabla g=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial g}{\partial x_{i}}U_{i}}\)는 \(M\)상의 점에서만 생각했을 때 전체 곡면 \(M\)에서 정의된 영이 아닌 법벡터장이다. 

증명: 음함수로 주어진 경우 \(\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x_{i}}\)는 \(M\)의 모든 점에서 동시에 0일 수 없으므로 \(\nabla g\neq\)는 영벡터가 아니다. \(\mathbf{p}\)에서 \(M\)의 모든 접벡터 \(\mathbf{v}\)에 대해 \((\nabla g)(\mathbf{p})\cdot\mathbf{v}=0\)임을 보여야 한다. \(\alpha\)가 \(M\)위의 곡선이면 \(g(\alpha)=g(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3})=c\)이고 연쇄법칙에 의해 다음이 성립한다.$$\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial g}{\partial x_{i}}(\alpha)\cdot\frac{\partial \alpha_{i}}{\partial t}}(t)=0$$\(\alpha(0)=\mathbf{p}\)에서 \(\alpha\)가 초기속도 \(\alpha'(0)=\mathbf{v}=(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})\)을 갖도록 고르면 다음의 결과를 얻는다.$$0=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial g}{\partial x_{i}}(\alpha(0))\frac{\partial\alpha_{i}}{\partial t}(0)}=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial g}{\partial x_{i}}(\mathbf{p})v_{i}}=(\nabla g)(\mathbf{p})\cdot\mathbf{v}=0$$구면 \(\Sigma:\,g(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r^{2}\)위의 벡터장에 대해 알아보자. \(\displaystyle X=\frac{1}{2}\nabla g=\sum_{i=1}^{3}{x_{i}U_{i}}\)는 \(\Sigma\)에서 정의된 법벡터장이다.

\(\mathbf{v}\)를 \(\mathbf{p}\)에서 \(M\)의 접벡터라 하고, \(f\)를 \(M\)에서 정의된 미분가능한 실함수라고 하자. \(\mathbf{v}\)에 대한 \(f\)의 도함수 \(\mathbf{v}(f)\)는 초기속도 \(\mathbf{v}\)를 갖는 \(M\)에 놓인 모든 곡선 \(\alpha\)에 대하여 공통값 \(\displaystyle\frac{d}{dt}(f\circ\alpha)(0)\)이다. 

곡면과 유클리드 공간은 일반적인 개념인 다양체(manifold)의 특별한 경우이다. 모든 다양체는 실직선 위의 미적분학을 일반화한 미적분학을 적용할 수 있다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)에서와 같이 곡면 \(M\)위의 0차형식 \(f\)는 단순히 \(M\)위에서 정의된 실함수이고, \(M\)의 1차형식 \(\phi\)는 \(M\)의 접벡터에서 정의되고 각 점에서 선형인 실함수이다. 여기서 2차형식을 정의하려고 하는데 2차형식은 1차형식을 2차원으로 일반화한 것이다. 하나의 접벡터가 아닌 한 쌍의 접벡터에서 정의된 실함수이다.

곡면 \(M\)위의 2차형식 \(\eta\)는 \(M\)의 접벡터의 모든 순서쌍 \((\mathbf{v},\,\mathbf{w})\)위에서 정의된 다음을 만족하는 순서쌍이다.

(1) \(\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{w})\)는 \(\mathbf{v}\)와 \(\mathbf{w}\)에 대하여 선형이다. 

(2) \(\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{w})=-\eta(\mathbf{w},\,\mathbf{v})\) 

곡면은 2차원이기 때문에, \(p>2\)일 때 모든 \(p\)차형식은 0이다. 

1차형식은 벡터장 \(V\)위에서 계산하고, 2차형식 \(\eta\)는 한 쌍의 벡터장 \(V,\,W\)위에서 계산해 \(M\)위의 실함수 \(\eta(V,\,W)\)를 위 정의의 교대법칙 (2)는 모든 접벡터 \(v\)에 대해 \(\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{v})=0\)을 뜻하고, 또한 2차형식이 다음과 같이 행렬식과 관계가 있다.   

\(\eta\)가 곡면 \(M\)위의 2차형식이라 하고, \(\mathbf{v}\)와 \(\mathbf{w}\)가 \(M\)의 어떤 점에서의 접벡터라고 하면 다음이 성립한다.$$\eta(a\mathbf{v}+b\mathbf{w},\,c\mathbf{v}+d\mathbf{w})=\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{w})$$증명: \(\eta\)가 첫 번째 변수에 대해 선형이므로 한 쌍의 접벡터 \(a\mathbf{v}+b\mathbf{w}\), \(c\mathbf{v}+d\mathbf{w}\)위에서의 값은 다음과 같다.$$a\eta(\mathbf{v},\,c\mathbf{v}+d\mathbf{w})+b\eta(\mathbf{w},\,c\mathbf{v}+d\mathbf{w})$$\(\eta\)의 두 번째 변수에 대한 선형성으로부터$$ac\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{v})+ad\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{w})+bc\eta(\mathbf{w},\,\mathbf{v})+bd\eta(\mathbf{w},\,\mathbf{w})$$을 얻고, 교대법칙에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\eta(a\mathbf{v}+b\mathbf{w},\,c\mathbf{v}+d\mathbf{w})=(ad-bc)\eta(\mathbf{v},\,\mathbf{w})$$\(p\)차형식과 \(q\)차형식의 쐐기곱은 항상 \((p+q)\)차형식이다. \(p=0\)이거나 \(q=0\)이면 쐐기곱은 함수에 의한 일반적인 곱이고, 곡면 위에서 \(p+q>2\)이면 그 쐐기곱은 항상 0이다. 그러므로 \(p=q=1\)인 경우에 대한 정의만 필요하다. 

\(\phi\)와 \(\psi\)가 곡면 위의 1차형식이면 쐐기곱 \(\phi\wedge\psi\)는 \(M\)의 한 쌍의 모든 접벡터 \(\mathbf{v},\,\mathbf{w}\)에 대해 다음을 만족하는 \(M\)상의 2차형식이다.$$(\phi\wedge\psi)(\mathbf{v},\,\mathbf{w})=\phi(\mathbf{v})\psi(\mathbf{w})-\phi(\mathbf{w})\psi(\mathbf{v})$$\(\phi\wedge\psi\)는 한 쌍의 모든 접벡터에서 정의된 실함수이고, 2차형식의 조건을 만족하므로 \(M\)위의 2차형식이다. 쐐기곱은 교환법칙을 제외한 대수적 성질을 만족한다. 일반적으로 \(\xi\)가 \(p\)차형식이고 \(\eta\)가 \(q\)차형식이면, \(\xi\wedge\eta=(-1)^{pq}\eta\wedge\xi\)가 성립한다. 1차형식간의 곱일 경우 (-)부호가 발생하고 이때 \(\phi\wedge\psi=-\psi\wedge\phi\)이다. 

곡면 위에서 0차형식(함수) \(f\)에 대하여 외도함수는 \(df(\mathbf{v})=\mathbf{v}(f)\)인 1차형식 \(df\)이고, \(p\)차형식의 외도함수는 \(p+1\)차형식이다.  그러므로 1차형식 \(\phi\)의 외도함수만 정의하면 된다.

\(\phi\)를 곡면 \(M\)위의 1차형식이라 하자. 그러면 \(\phi\)의 외도함수(exterior derivative) \(d\phi\)는 \(M\)의 모든 조각 \(\mathbf{x}\)에 대하여 다음을 만족하는 2차형식이다.$$d\phi(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})=\frac{\partial}{\partial u}(\phi(\mathbf{x}_{u}))-\frac{\partial}{\partial v}(\phi(\mathbf{x}_{u}))$$이 정의는 아직 완전한 정의가 아니다. 이 정의는 \(M\)상의 각각의 조각 \(\mathbf{x}\)에서 정의된 형식 \(d_{\mathbf{x}}\phi\)이고, 두 조각이 겹치는 영역에서 형식 \(d_{\mathbf{x}}\phi\)와 \(d_{\mathbf{y}}\phi\)가 같다는 것을 증명해야 하고, 이 둘이 같아야 \(M\)위의 형식 \(d\phi\)를 얻은 것이 된다. 

\(\phi\)가 \(M\)위의 1차형식이라고 하자. \(\mathbf{x},\,\mathbf{y}\)가 \(M\)상의 조각이면 \(\mathbf{x}[D]\cap\mathbf{y}[E]\)에서 \(d_{\mathbf{x}}\phi=d_{\mathbf{y}}\phi\)이다.

증명: 각 점에서 \(\mathbf{y}_{u}\)와 \(\mathbf{y}_{v}\)는 1차독립이므로 다음이 성립함을 보이면 된다.$$(d_{\mathbf{y}}\phi)(\mathbf{y}_{u},\,\mathbf{y}_{v})=(d_{\mathbf{x}}\phi)(\mathbf{y}_{u},\,\mathbf{y}_{v})$$\(\mathbf{y}=\mathbf{x}(\overline{u},\,\overline{v})\)라 하면 연쇄법칙에 의해 다음이 성립하고$$\mathbf{y}_{u}=\frac{\partial\overline{u}}{\partial u}\mathbf{x}_{u}+\frac{\partial\overline{v}}{\partial u}\mathbf{x}_{v},\,\mathbf{y}_{v}=\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}+\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}$$이때 \(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v}\)는 \((\overline{u},\,\overline{v})\)에서 계산된 것이고 \(J\)가 야코비안 \(\displaystyle\frac{\partial\overline{u}}{\partial u}\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}-\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}\frac{\partial\overline{v}}{\partial u}\)일 때 다음이 성립하고$$(d_{\mathbf{x}}\phi)(\mathbf{y}_{u},\,\mathbf{y}_{v})=J(d_{\mathbf{x}}\phi)(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})$$이고 등식 \(d_{\mathbf{y}}\phi(\mathbf{y}_{u},\,\mathbf{y}_{v})=d_{\mathbf{x}}(\mathbf{y}_{u},\,\mathbf{y}_{v})\)를 증명하기 위해 필요한 등식은 다음과 같다.$$\frac{\partial}{\partial u}(\phi(\mathbf{y}_{v}))-\frac{\partial}{v}(\phi(\mathbf{y}_{u}))=J\left\{\frac{\partial}{\partial\overline{u}}(\phi(\mathbf{x}_{v}))-\frac{\partial}{\partial\overline{v}}(\phi(\mathbf{x}_{u}))\right\}$$여기서 \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial u}(\phi\mathbf{y}_{u})\)만 계산하면 되는데 \(u,\,v\)를 바꾸어 \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial v}\phi(\mathbf{y}_{u})\)를 얻을 수 있고, 위 식에서 두 도함수를 뺌을서 \(u\)와 \(v\)를 바꿀 수 있는 항들을 상쇄할 수 있기 때문이다.$$\phi(\mathbf{y}_{v})=\phi(\mathbf{x}_{u})\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}+\phi(\mathbf{x}_{v})\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}$$이고 연쇄법칙에 의해$$\frac{\partial}{\partial u}\phi(\mathbf{y}_{v})=\frac{\partial}{\partial u}\phi(\mathbf{x}_{u})\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}+\frac{\partial}{\partial u}\phi(\mathbf{x}_{v})\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}+\cdots$$이고 두 개의 대칭적 항을 버렸다. 그러면 다음의 식을 얻고$$\frac{\partial}{\partial u}\phi(\mathbf{y}_{u})=\left(\frac{\partial}{\partial\overline{v}}\phi(\mathbf{x}_{u})+\frac{\partial\overline{u}}{\partial u}+\cdots\right)\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}+\left(\frac{\partial}{\partial\overline{u}}\phi(\mathbf{x}_{v})\frac{\partial\overline{u}}{\partial u}+\cdots\right)\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}$$이 식을 이용해 원하는 결과를 얻는다.

\(f\)가 \(M\)에서 정의된 실함수이면 \(d(df)=0\)이다. 

증명: \(\psi=df\)라고 하자. \(M\)상의 임의의 조각 \(\mathbf{x}\)에 대해 \(d\psi(\mathbf{u},\,\mathbf{v})=0\)임을 보이면 된다. 다음이 성립하므로$$\psi(\mathbf{x}_{u})=df(\mathbf{x}_{u})=\mathbf{x}_{u}(f)=\frac{\partial}{\partial u}(f(\mathbf{x})),\,\psi(\mathbf{x}_{v})=\frac{\partial}{\partial v}f(\mathbf{x})$$다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$d\psi(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})=\frac{\partial}{\partial u}\psi(\mathbf{x}_{v})-\frac{\partial}{\partial v}\psi(\mathbf{x}_{u})=\frac{\partial^{2}}{\partial u\partial v}f(\mathbf{x})-\frac{\partial^{2}}{\partial v\partial u}f(\mathbf{x})=0$$\(\mathbf{x}\)가 좌표조각일 때

(1) \(\mathbf{x}[D]\)위의 1차형식에 대하여 \(\phi=\psi\)일 필요충분조건은 \(\phi(\mathbf{x}_{u})=\psi(\mathbf{x}_{u})\)이고 \(\phi(\mathbf{x}_{v})=\psi(\mathbf{x}_{v})\)이다.  

(2) \(\mathbf{x}[D]\)위의 2차형식에 대하여 \(\mu=\nu\)일 필요충분조건은 \(\mu(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})=\nu(\mathbf{x}_{u},\,\mathbf{x}_{v})\)이다. 

\(u_{1}=u,\,u_{2}=v\)를 자연좌표함수, \(U_{1},\,U_{2}\)를 자연틀장이라 하자. \(f\)를 함수, \(\phi\)를 1차형식, \(\eta\)를 2차형식이라고 하면 다음이 성립한다. 

(1) \(\phi=f_{1}du_{1}+f_{2}du_{2}\,(f_{i}=\phi(U_{i}))\) 

(2) \(\eta=gdu_{1}du_{2}\,(g=\eta(U_{1},\,U_{2}))\)

(3) \(\psi=g_{1}du_{1}+g_{2}du_{2}\)이고 \(\phi\)가 (1)일 때, \(\phi\wedge\psi=(f_{1}g_{2}-f_{2}g_{1})du_{1}du_{2}\) 

(4) \(\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial u_{1}}du_{1}+\frac{\partial f}{\partial u_{2}}du_{2}\) 

(5) \(\phi\)가 (1)일 때, \(\displaystyle d\phi=\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial u_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial u_{2}}\right)du_{1}du_{2}\)

실직선 \(\mathbb{R}\)의 경우 자연틀장은 하나의 단위벡터장 \(U_{1}\)이고 \(\displaystyle U_{1}(f)=\frac{df}{dt}\)이다. \(p>0\)인 모든 \(p\)차형식은 0이고, \(\phi\)가 1차형식이면 \(\phi=\phi(U_{1})dt\)이다. 

형식 \(\phi\)에 대하여 \(d\phi=0\)일 때 \(\phi\)는 닫혀있다(closed)고 하고, 어떤 형식 \(\xi\)에 대해 \(\phi=d\xi\)이면 완전하다(exact)고 한다. 

\(d\)를 두 번 작용하면 항상 0이므로 모든 완전한 형식은 닫혀있다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress