[미분기하학] 7. 연결형식, 구조방정식

[미분기하학] 7. 연결형식, 구조방정식

프레네 공식을 사용하는 이유는 $T',\,N',\,B'$이 무엇인지 알려주는 것보다 도함수를 $T,\,N,\,B$를 이용해 나타내었기 때문이다. 그래서 곡률과 비틀림을 정의할 수 있었다. 여기서 $\mathbb{R}^{3}$위의 임의의 틀장 $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$에 대해 같은 작업을 할 것이다. 점 $\mathbf{p}$에서의 임의의 접벡터에 대한 공변도함수에서부터 시작하면 $$\begin{align*}\nabla_{\mathbf{v}}E_{1}&=c_{11}E_{1}(\mathbf{p})+c_{12}E_{2}(\mathbf{p})+c_{13}E_{3}(\mathbf{p})\\ \nabla_{\mathbf{v}}E_{2}&=c_{21}E_{1}(\mathbf{p})+c_{22}E_{2}(\mathbf{p})+c_{23}E_{3}(\mathbf{p})\\ \nabla_{\mathbf{v}}E_{3}&=c_{31}E_{1}(\mathbf{p})+c_{32}E_{2}(\mathbf{p})+c_{33}E_{3}(\mathbf{p})\end{align*}$$ 이고 직교정규전개로부터 이 식의 계수는 다음과 같으며 $$c_{ij}=\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})\,(1\leq i,\,j\leq3)$$ 이때 계수 $c_{ij}$는 특정 접벡터 $\mathbf{v}$에 의존하므로 다음과 같이 나타낸다. $$\omega_{ij}(\mathbf{v})=\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})\,(1\leq i,\,j\leq3)$$ $i,\,j$에 대해 $\omega_{ij}$는 접벡터 전체에서 정의된 실함수이다.

$E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$을 $\mathbb{R}^{3}$의 틀장이라고 하자. 점 $\mathbf{p}$에서 $\mathbb{R}^{3}$의 각각의 접벡터 $\mathbf{v}$에 대해 $$\omega_{ij}(\mathbf{v})=\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})\,(1\leq i,\,j\leq3)$$ 이라 하자. 그러면 각각의 $\omega_{ij}$는 1차형식이고 $\omega_{ij}=-\omega_{ji}$이다. 이들 1차형식을 틀장 $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$의 연결형식(connection form)이라고 한다. 

증명: $\omega_{ij}$는 접벡터 위의 실함수이고, $\omega_{ij}$가 1차형식임을 보이기 위해서는 선형성만 확인하면 된다. $$\begin{align*}\omega_{ij}(a\mathbf{v}+b\mathbf{v})&=\nabla_{a\mathbf{v}+b\mathbf{w}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})\\&=(a\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}+b\nabla_{\mathbf{v}}E_{i})\cdot E_{j}(\mathbf{p})\\&=a\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})+b\nabla_{\mathbf{w}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})\\&=a\omega_{ij}(\mathbf{v})+b\omega_{ij}(\omega{w})\end{align*}$$ $\omega_{ij}=-\omega_{ji}$를 보이기 위해 모든 접벡터 $\mathbf{v}$에 대해 $\omega_{ij}(\mathbf{v})=-\omega_{ji}(\mathbf{v})$가 성립함을 보이자. 틀장의 정의에 의해 $E_{i}\cdot E_{j}=\delta_{ij}$이고 크로네커 델타는 0또는 1을 값으로 가지므로 $\mathbf{v}(\delta_{ij})=0$이다. 그러므로 $$0=\mathbf{v}(E_{i}\cdot E_{j})=\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})+E_{i}(\mathbf{p})\cdot\nabla_{\mathbf{v}}E_{j}(\mathbf{p})$$ 이다. 내적의 대칭성에 의해 마지막 항의 두 벡터는 서로 바뀔 수 있고, 따라서 식 $0=\omega_{ij}(\mathbf{v})+\omega_{ji}(\mathbf{v})$를 얻는다. 

$\omega_{ij}(\mathbf{v})=\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})$는 $\mathbf{p}$가 $\mathbf{v}$방향으로 움직일 때 $E_{i}$가 $E_{j}$를 향해 회전하는 초기 비율을 나타낸다. 따라서 1차형식 $\omega_{ij}$는 $\mathbb{R}^{3}$의 모든 접벡터에 대한 정보를 담고 있다. 

$\omega_{ij}\,(1\leq i,\,j\leq3)$가 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 틀장 $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$의 연결형식이라 하자. 그러면 $\mathbb{R}^{3}$위의 임의의 벡터장 $V$에 대해 다음이 성립하고 $$\nabla_{V}E_{i}=\sum_{j=1}^{3}{\omega_{ij}E_{j}}\,(1\leq i\leq 3)$$ 이고 이것을 틀장 $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$의 연결방정식(connection equation)이라고 한다. 

증명: 고정된 $i$에 대해 등식의 양변은 벡터장이므로 각 점 $\mathbf{p}$에서 다음이 성립함을 보여야 한다. $$\nabla_{V(\mathbf{p})}E_{i}=\sum_{j=1}^{3}{\omega_{ij}(V(\mathbf{p}))E_{j}(\mathbf{p})}$$ 이 식은 연결형식의 정의에 의해 정규직교전개의 결과이다.

$i=j$일 때 $\omega_{ii}=-\omega_{ii}$이므로 $\omega_{11}=\omega_{22}=\omega_{33}=0$이고 반대칭조건은 $1\leq i,\,j\leq3$에 대한 9개의 1차형식 $\omega_{ij}$를 $\omega_{12},\,\omega_{13},\,\omega_{23}$으로 줄어드는 간편함을 준다. 연결형식 $\omega_{ij}$를 반대칭 1차형식 행렬의 성분으로 생각하는 것이 좋다. $$\omega=\begin{pmatrix}\omega_{11}&\omega_{12}&\omega_{13}\\ \omega_{21}&\omega_{22}&\omega_{23}\\ \omega_{31}&\omega_{32}&\omega_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\omega_{12}&\omega_{13}\\-\omega_{12}&0&\omega_{23}\\-\omega_{13}&-\omega_{23}&0\end{pmatrix}$$ 이것을 다음과 같이 연결방정식으로 나타낼 수 있고, $$\begin{matrix}\nabla_{V}E_{1}=&&\omega_{12}(V)E_{2}&+\omega_{13}(V)E_{3}\\ \nabla_{V}E_{2}=&-\omega_{12}(V)E_{1}&&\omega_{23}(V)E_{3}\\ \nabla_{V}E_{3}=&-\omega_{13}(V)E_{1}&-\omega_{23}(V)E_{2}&\end{matrix}$$ 다음은 프레네 공식이다. $$\begin{matrix}T'=&&\chi N&\\N'=&-\chi T&&\tau B\\B'=&&-\tau N&\end{matrix}$$ 프레네 공식에 $\omega_{13}(V)E_{3}$과 $-\omega_{13}(V)E_{3}$에 대응하는 항이 없는 이유는 $T(\sim E_{1})$가 주어진 후, 도함수 $T'$이 $B(\sim E_{3})$를 포함하지 않고 $N(\sim E_{2})$만의 상수배가 되도록 $N$을 선택했기 때문이다. 

프레네 공식의 계수는 곡률 $\chi$와 비틀림 $\tau$, 틀장 $T,\,N,\,B$의 곡선을 따른 $T$방향으로만의 변화율을 측정하나 연결방정식의 계수는 $\mathbb{R}^{3}$의 임의의 벡터장에 대한 $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$의 이런 측정을 가능하게 한다.      

$\mathbb{R}^{3}$위의 임의의 틀장 $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$에 대해 정규직교전개를 이용해 자연틀장 $U_{1},\,U_{2},\,U_{3}$으로 나타내자. $$\begin{align*}E_{1}&=a_{11}U_{1}+a_{12}U_{2}+a_{13}U_{3}\\E_{2}&=a_{21}U_{1}+a_{22}U_{2}+a_{23}U_{3}\\E_{3}&=a_{31}U_{1}+a_{32}U_{2}+a_{33}U_{3}\end{align*}$$ $a_{ij}=E_{i}\cdot U_{j}$는 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 실함수이고, 이 함수들을 성분으로 갖는 다음의 행렬을 틀장 $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$의 자세행렬(attitude matrix)이라고 한다. $$A=(a_{ij})=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$ 각 점 $\mathbf{p}$에서 행렬 $A(\mathbf{p})=(a_{ij}(\mathbf{p}))$는 틀 $E_{1}(\mathbf{p}),\,E_{2}(\mathbf{p}),\,E_{3}(\mathbf{p})$의 자세행렬이고, 자세행렬은 직교행렬이므로 $A^{T}=A^{-1}$이다. 

$A=(a_{ij})$의 미분을 $dA=(da_{ij})$으로 정의하면 $dA$는 성분이 1차형식인 행렬이다. 

$A=(a_{ij})$가 자세행렬이고 $\omega=(\omega_{ij})$가 틀장 $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$의 연결형식이면 $\omega=dA^{T}A$또는 $$\omega_{ij}=\sum_{k=1}^{3}{a_{jk}da_{ik}}\,(1\leq i,\,j\leq3)$$ 이다.

기둥틀장의 자세행렬은 $$A=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta&0\\-\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$ 이므로 $$\omega=dA^{T}A=\begin{pmatrix}-\sin\theta d\theta&\cos\theta d\theta&0\\-\cos\theta d\theta&-\sin\theta d\theta&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&d\theta&0\\-d\theta&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$ 따라서 $\omega_{12}=d\theta$이고 나머지는 모두 0이다. 그러므로 기둥틀장의 연결방정식은 모든 벡터장 $V$에 대해 다음과 같다. $$\begin{align*}\nabla_{V}E_{1}&=d\theta(V)E_{2}=V(\theta)E_{2}\\ \nabla_{V}E_{2}&=-d\theta(V)E_{1}=-V(\theta)E_{1}\\ \nabla_{V}E_{3}&=0\end{align*}$$ 틀장도 1차형식으로 나타낼 수 있다.

$E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$이 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 틀장이면, 틀장의 쌍대 1차형식(dual 1-form) $\theta_{1},\,\theta_{2},\,\theta_{3}$은 점 $\mathbf{p}$에서 $\mathbb{R}^{3}$의 접벡터 $\mathbf{v}$에 대해 $$\theta_{i}(\mathbf{v})=\mathbf{v}\cdot E_{i}(\mathbf{p})$$ 인 1차형식이다. 

$\theta_{i}$는 각 점에서의 접벡터에 대해 선형이므로 1차형식이고 $\theta_{i}(E_{i})=\delta_{ij}$이므로 각 점에서 $\theta_{1},\,\theta_{2},\,\theta_{3}$이 $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$의 쌍대기저를 이룸을 알 수 있다. 자연틀장 $U_{1},\,U_{2},\,U_{3}$의 쌍대형식은 $dx_{1},\,dx_{2},\,dx_{3}$이고 접벡터 $\mathbf{v}$에 대해 $$dx_{i}(\mathbf{v})=v_{i}=\mathbf{v}\cdot U_{i}(\mathbf{p})$$ 이므로 $dx_{i}=\theta_{i}$이다. 

$\theta_{1},\,\theta_{2},\,\theta_{3}$을 틀장 $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$의 쌍대 1차형식이라 하자. 그러면 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 임의의 1차형식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\phi=\sum_{i=1}^{3}{\phi(E_{i})\theta_{i}}$$ 증명: 다음에 의해 성립한다. $$\begin{align*}\left(\sum_{i=1}^{3}{\phi(E_{i})\theta_{i}}\right)(V)&=\sum_{i=1}^{3}{\phi(E_{i})\theta_{i}(V)}\\&=\phi\left(\sum_{i=1}^{3}{\theta_{i}(V)E_{i}}\right)\\&=\phi(V)\end{align*}$$ 카르탕(Cartan)의 구조방정식 $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$이 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 틀장이라 하고, 쌍대형식을 $\theta_{1},\,\theta_{2},\,\theta_{3}$, 연결형식을 $\omega_{ij}\,(1\leq i,\,j\leq3)$라 하자. 이들 형식의 외도함수는 다음을 만족한다.

(1) 제1 구조방정식 $\displaystyle d\theta=\sum_{j=1}^{3}{\omega_{ij}\wedge\theta_{j}}$

(2) 제2 구조방정식 $\displaystyle d\omega_{ij}=\sum_{k=1}^{3}{\omega_{ik}\wedge\omega_{kj}}\,(1\leq i,\,j\leq3)$  

카르탕의 접근방법에서 근본적 대상은 각각의 형식이 아닌 형식을 성분으로 갖는 행렬이다. 틀장의 쌍대형식도 성분이 $\theta_{i}$인 $3\times1$행렬 $\theta$로 나타낼 수 있다. $\mathbb{R}^{3}$의 자연좌표 $x_{i}$를 성분으로 갖는 $3\times1$행렬을 $\xi$라 하면 $$\theta=\begin{pmatrix}\theta_{1}\\ \theta_{2}\\ \theta_{3}\end{pmatrix},\,d\xi=\begin{pmatrix}dx_{1}\\dx_{2}\\dx_{3}\end{pmatrix}$$ 이고 따라서 식 $\displaystyle\theta_{i}=\sum_{j=1}^{3}{a_{ij}dx_{j}}$를 $\theta=Ad\xi$로 나타낼 수 있다. 여기서 각 성분끼리의 곱은 쐐기곱이고, 자세행렬 $A$는 직교행렬이므로 $AA^{T}$는 단위행렬이다.

제1 구조방정식의 증명: $d^{2}=0$이므로 $d(d\xi)=0$이고, $$d\theta=d(Ad\xi)=dA\cdot d\xi=dA^{T}A\cdot Ad\xi=\omega\theta$$ 이다. 이것을 성분으로 나타낸 것이 제1 구조방정식이다.

제2 구조방정식의 증명: 함수 $f,\,g$에 대해 $$d(dfg)=d(gdf)=dg\wedge df=-df\wedge dg$$ 이고 등식 $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$를 이용하면 $$d\omega=d(dA^{T}A)=-dA\cdot dA^{T}=-dA^{T}A\cdot A^{T}dA^{T}=-\omega^{T}\omega=\omega\omega$$ 이다. 이것을 성분으로 나타낸 것이 제2 구조방정식이다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress