[미분기하학] 7. 연결형식, 구조방정식

[미분기하학] 7. 연결형식, 구조방정식

프레네 공식을 사용하는 이유는 \(T',\,N',\,B'\)이 무엇인지 알려주는 것보다 도함수를 \(T,\,N,\,B\)를 이용해 나타내었기 때문이다. 그래서 곡률과 비틀림을 정의할 수 있었다. 여기서 \(\mathbb{R}^{3}\)위의 임의의 틀장 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)에 대해 같은 작업을 할 것이다. 점 \(\mathbf{p}\)에서의 임의의 접벡터에 대한 공변도함수에서부터 시작하면$$\begin{align*}\nabla_{\mathbf{v}}E_{1}&=c_{11}E_{1}(\mathbf{p})+c_{12}E_{2}(\mathbf{p})+c_{13}E_{3}(\mathbf{p})\\ \nabla_{\mathbf{v}}E_{2}&=c_{21}E_{1}(\mathbf{p})+c_{22}E_{2}(\mathbf{p})+c_{23}E_{3}(\mathbf{p})\\ \nabla_{\mathbf{v}}E_{3}&=c_{31}E_{1}(\mathbf{p})+c_{32}E_{2}(\mathbf{p})+c_{33}E_{3}(\mathbf{p})\end{align*}$$이고 직교정규전개로부터 이 식의 계수는 다음과 같으며$$c_{ij}=\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})\,(1\leq i,\,j\leq3)$$이때 계수 \(c_{ij}\)는 특정 접벡터 \(\mathbf{v}\)에 의존하므로 다음과 같이 나타낸다.$$\omega_{ij}(\mathbf{v})=\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})\,(1\leq i,\,j\leq3)$$\(i,\,j\)에 대해 \(\omega_{ij}\)는 접벡터 전체에서 정의된 실함수이다.

\(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)을 \(\mathbb{R}^{3}\)의 틀장이라고 하자. 점 \(\mathbf{p}\)에서 \(\mathbb{R}^{3}\)의 각각의 접벡터 \(\mathbf{v}\)에 대해$$\omega_{ij}(\mathbf{v})=\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})\,(1\leq i,\,j\leq3)$$이라 하자. 그러면 각각의 \(\omega_{ij}\)는 1차형식이고 \(\omega_{ij}=-\omega_{ji}\)이다. 이들 1차형식을 틀장 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)의 연결형식(connection form)이라고 한다. 

증명: \(\omega_{ij}\)는 접벡터 위의 실함수이고, \(\omega_{ij}\)가 1차형식임을 보이기 위해서는 선형성만 확인하면 된다.$$\begin{align*}\omega_{ij}(a\mathbf{v}+b\mathbf{v})&=\nabla_{a\mathbf{v}+b\mathbf{w}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})\\&=(a\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}+b\nabla_{\mathbf{v}}E_{i})\cdot E_{j}(\mathbf{p})\\&=a\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})+b\nabla_{\mathbf{w}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})\\&=a\omega_{ij}(\mathbf{v})+b\omega_{ij}(\omega{w})\end{align*}$$\(\omega_{ij}=-\omega_{ji}\)를 보이기 위해 모든 접벡터 \(\mathbf{v}\)에 대해 \(\omega_{ij}(\mathbf{v})=-\omega_{ji}(\mathbf{v})\)가 성립함을 보이자. 틀장의 정의에 의해 \(E_{i}\cdot E_{j}=\delta_{ij}\)이고 크로네커 델타는 0또는 1을 값으로 가지므로 \(\mathbf{v}(\delta_{ij})=0\)이다. 그러므로$$0=\mathbf{v}(E_{i}\cdot E_{j})=\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})+E_{i}(\mathbf{p})\cdot\nabla_{\mathbf{v}}E_{j}(\mathbf{p})$$이다. 내적의 대칭성에 의해 마지막 항의 두 벡터는 서로 바뀔 수 있고, 따라서 식 \(0=\omega_{ij}(\mathbf{v})+\omega_{ji}(\mathbf{v})\)를 얻는다. 

\(\omega_{ij}(\mathbf{v})=\nabla_{\mathbf{v}}E_{i}\cdot E_{j}(\mathbf{p})\)는 \(\mathbf{p}\)가 \(\mathbf{v}\)방향으로 움직일 때 \(E_{i}\)가 \(E_{j}\)를 향해 회전하는 초기 비율을 나타낸다. 따라서 1차형식 \(\omega_{ij}\)는 \(\mathbb{R}^{3}\)의 모든 접벡터에 대한 정보를 담고 있다. 

\(\omega_{ij}\,(1\leq i,\,j\leq3)\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 틀장 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)의 연결형식이라 하자. 그러면 \(\mathbb{R}^{3}\)위의 임의의 벡터장 \(V\)에 대해 다음이 성립하고$$\nabla_{V}E_{i}=\sum_{j=1}^{3}{\omega_{ij}E_{j}}\,(1\leq i\leq 3)$$이고 이것을 틀장 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)의 연결방정식(connection equation)이라고 한다. 

증명: 고정된 \(i\)에 대해 등식의 양변은 벡터장이므로 각 점 \(\mathbf{p}\)에서 다음이 성립함을 보여야 한다.$$\nabla_{V(\mathbf{p})}E_{i}=\sum_{j=1}^{3}{\omega_{ij}(V(\mathbf{p}))E_{j}(\mathbf{p})}$$이 식은 연결형식의 정의에 의해 정규직교전개의 결과이다.

\(i=j\)일 때 \(\omega_{ii}=-\omega_{ii}\)이므로 \(\omega_{11}=\omega_{22}=\omega_{33}=0\)이고 반대칭조건은 \(1\leq i,\,j\leq3\)에 대한 9개의 1차형식 \(\omega_{ij}\)를 \(\omega_{12},\,\omega_{13},\,\omega_{23}\)으로 줄어드는 간편함을 준다. 연결형식 \(\omega_{ij}\)를 반대칭 1차형식 행렬의 성분으로 생각하는 것이 좋다.$$\omega=\begin{pmatrix}\omega_{11}&\omega_{12}&\omega_{13}\\ \omega_{21}&\omega_{22}&\omega_{23}\\ \omega_{31}&\omega_{32}&\omega_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\omega_{12}&\omega_{13}\\-\omega_{12}&0&\omega_{23}\\-\omega_{13}&-\omega_{23}&0\end{pmatrix}$$이것을 다음과 같이 연결방정식으로 나타낼 수 있고,$$\begin{matrix}\nabla_{V}E_{1}=&&\omega_{12}(V)E_{2}&+\omega_{13}(V)E_{3}\\ \nabla_{V}E_{2}=&-\omega_{12}(V)E_{1}&&\omega_{23}(V)E_{3}\\ \nabla_{V}E_{3}=&-\omega_{13}(V)E_{1}&-\omega_{23}(V)E_{2}&\end{matrix}$$다음은 프레네 공식이다.$$\begin{matrix}T'=&&\chi N&\\N'=&-\chi T&&\tau B\\B'=&&-\tau N&\end{matrix}$$프레네 공식에 \(\omega_{13}(V)E_{3}\)과 \(-\omega_{13}(V)E_{3}\)에 대응하는 항이 없는 이유는 \(T(\sim E_{1})\)가 주어진 후, 도함수 \(T'\)이 \(B(\sim E_{3})\)를 포함하지 않고 \(N(\sim E_{2})\)만의 상수배가 되도록 \(N\)을 선택했기 때문이다. 

프레네 공식의 계수는 곡률 \(\chi\)와 비틀림 \(\tau\), 틀장 \(T,\,N,\,B\)의 곡선을 따른 \(T\)방향으로만의 변화율을 측정하나 연결방정식의 계수는 \(\mathbb{R}^{3}\)의 임의의 벡터장에 대한 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)의 이런 측정을 가능하게 한다.      

\(\mathbb{R}^{3}\)위의 임의의 틀장 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)에 대해 정규직교전개를 이용해 자연틀장 \(U_{1},\,U_{2},\,U_{3}\)으로 나타내자.$$\begin{align*}E_{1}&=a_{11}U_{1}+a_{12}U_{2}+a_{13}U_{3}\\E_{2}&=a_{21}U_{1}+a_{22}U_{2}+a_{23}U_{3}\\E_{3}&=a_{31}U_{1}+a_{32}U_{2}+a_{33}U_{3}\end{align*}$$\(a_{ij}=E_{i}\cdot U_{j}\)는 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 실함수이고, 이 함수들을 성분으로 갖는 다음의 행렬을 틀장 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)의 자세행렬(attitude matrix)이라고 한다.$$A=(a_{ij})=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$각 점 \(\mathbf{p}\)에서 행렬 \(A(\mathbf{p})=(a_{ij}(\mathbf{p}))\)는 틀 \(E_{1}(\mathbf{p}),\,E_{2}(\mathbf{p}),\,E_{3}(\mathbf{p})\)의 자세행렬이고, 자세행렬은 직교행렬이므로 \(A^{T}=A^{-1}\)이다. 

\(A=(a_{ij})\)의 미분을 \(dA=(da_{ij})\)으로 정의하면 \(dA\)는 성분이 1차형식인 행렬이다. 

\(A=(a_{ij})\)가 자세행렬이고 \(\omega=(\omega_{ij})\)가 틀장 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)의 연결형식이면 \(\omega=dA^{T}A\)또는$$\omega_{ij}=\sum_{k=1}^{3}{a_{jk}da_{ik}}\,(1\leq i,\,j\leq3)$$이다.

기둥틀장의 자세행렬은$$A=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta&0\\-\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$이므로$$\omega=dA^{T}A=\begin{pmatrix}-\sin\theta d\theta&\cos\theta d\theta&0\\-\cos\theta d\theta&-\sin\theta d\theta&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&d\theta&0\\-d\theta&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$따라서 \(\omega_{12}=d\theta\)이고 나머지는 모두 0이다. 그러므로 기둥틀장의 연결방정식은 모든 벡터장 \(V\)에 대해 다음과 같다.$$\begin{align*}\nabla_{V}E_{1}&=d\theta(V)E_{2}=V(\theta)E_{2}\\ \nabla_{V}E_{2}&=-d\theta(V)E_{1}=-V(\theta)E_{1}\\ \nabla_{V}E_{3}&=0\end{align*}$$틀장도 1차형식으로 나타낼 수 있다.

\(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)이 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 틀장이면, 틀장의 쌍대 1차형식(dual 1-form) \(\theta_{1},\,\theta_{2},\,\theta_{3}\)은 점 \(\mathbf{p}\)에서 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터 \(\mathbf{v}\)에 대해$$\theta_{i}(\mathbf{v})=\mathbf{v}\cdot E_{i}(\mathbf{p})$$인 1차형식이다. 

\(\theta_{i}\)는 각 점에서의 접벡터에 대해 선형이므로 1차형식이고 \(\theta_{i}(E_{i})=\delta_{ij}\)이므로 각 점에서 \(\theta_{1},\,\theta_{2},\,\theta_{3}\)이 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)의 쌍대기저를 이룸을 알 수 있다. 자연틀장 \(U_{1},\,U_{2},\,U_{3}\)의 쌍대형식은 \(dx_{1},\,dx_{2},\,dx_{3}\)이고 접벡터 \(\mathbf{v}\)에 대해$$dx_{i}(\mathbf{v})=v_{i}=\mathbf{v}\cdot U_{i}(\mathbf{p})$$이므로 \(dx_{i}=\theta_{i}\)이다. 

\(\theta_{1},\,\theta_{2},\,\theta_{3}\)을 틀장 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)의 쌍대 1차형식이라 하자. 그러면 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 임의의 1차형식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\phi=\sum_{i=1}^{3}{\phi(E_{i})\theta_{i}}$$증명: 다음에 의해 성립한다.$$\begin{align*}\left(\sum_{i=1}^{3}{\phi(E_{i})\theta_{i}}\right)(V)&=\sum_{i=1}^{3}{\phi(E_{i})\theta_{i}(V)}\\&=\phi\left(\sum_{i=1}^{3}{\theta_{i}(V)E_{i}}\right)\\&=\phi(V)\end{align*}$$카르탕(Cartan)의 구조방정식 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)이 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 틀장이라 하고, 쌍대형식을 \(\theta_{1},\,\theta_{2},\,\theta_{3}\), 연결형식을 \(\omega_{ij}\,(1\leq i,\,j\leq3)\)라 하자. 이들 형식의 외도함수는 다음을 만족한다.

(1) 제1 구조방정식 \(\displaystyle d\theta=\sum_{j=1}^{3}{\omega_{ij}\wedge\theta_{j}}\)

(2) 제2 구조방정식 \(\displaystyle d\omega_{ij}=\sum_{k=1}^{3}{\omega_{ik}\wedge\omega_{kj}}\,(1\leq i,\,j\leq3)\)  

카르탕의 접근방법에서 근본적 대상은 각각의 형식이 아닌 형식을 성분으로 갖는 행렬이다. 틀장의 쌍대형식도 성분이 \(\theta_{i}\)인 \(3\times1\)행렬 \(\theta\)로 나타낼 수 있다. \(\mathbb{R}^{3}\)의 자연좌표 \(x_{i}\)를 성분으로 갖는 \(3\times1\)행렬을 \(\xi\)라 하면$$\theta=\begin{pmatrix}\theta_{1}\\ \theta_{2}\\ \theta_{3}\end{pmatrix},\,d\xi=\begin{pmatrix}dx_{1}\\dx_{2}\\dx_{3}\end{pmatrix}$$이고 따라서 식 \(\displaystyle\theta_{i}=\sum_{j=1}^{3}{a_{ij}dx_{j}}\)를 \(\theta=Ad\xi\)로 나타낼 수 있다. 여기서 각 성분끼리의 곱은 쐐기곱이고, 자세행렬 \(A\)는 직교행렬이므로 \(AA^{T}\)는 단위행렬이다.

제1 구조방정식의 증명: \(d^{2}=0\)이므로 \(d(d\xi)=0\)이고,$$d\theta=d(Ad\xi)=dA\cdot d\xi=dA^{T}A\cdot Ad\xi=\omega\theta$$이다. 이것을 성분으로 나타낸 것이 제1 구조방정식이다.

제2 구조방정식의 증명: 함수 \(f,\,g\)에 대해$$d(dfg)=d(gdf)=dg\wedge df=-df\wedge dg$$이고 등식 \((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)를 이용하면$$d\omega=d(dA^{T}A)=-dA\cdot dA^{T}=-dA^{T}A\cdot A^{T}dA^{T}=-\omega^{T}\omega=\omega\omega$$이다. 이것을 성분으로 나타낸 것이 제2 구조방정식이다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress