[미분기하학] 5. 임의 속력곡선

[미분기하학] 5. 임의 속력곡선

단위속력을 갖지 않는 정칙곡선 \(\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)에 대해 \(s\)가 \(\alpha\)의 호의 길이함수이면 모든 \(t\)에 대해 \(\alpha(t)=\overline{\alpha}(s(t))\) 또는 \(\alpha=\overline{\alpha}(s)\)이다.

\(\overline{\chi}>0\), \(\overline{\tau},\,\overline{T},\,\overline{N},\,\overline{B}\)가 \(\overline{\alpha}\)에 대해 정의되면 \(\alpha\)에 대해 다음과 같이 정의한다. 

곡률함수: \(\chi=\overline{\chi}(s)\)

비틀림함수: \(\tau=\overline{\tau}(s)\) 

단위접벡터장: \(T=\overline{T}(s)\) 

주법벡터장: \(N=\overline{N}(s)\) 

양법벡터장: \(B=\overline{B}(s)\) 

일반적으로 \(\chi\)와 \(\overline{\chi}\)는 다른 구간에서 정의된 다른 함수이나 점 \(\alpha(t)=\overline{\alpha}(s(t))\)에서 \(\chi(t)\)와 \(\overline{\chi}(s(t))\)는 정의에 의해 같으므로 이것은 \(\alpha\)와 \(\overline{\alpha}\)의 공통궤적의 휘는 정도를 동일하게 기술한다. 

\(\alpha\)가 \(\chi>0\)인 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 정칙곡선이면 다음이 성립한다.$$\begin{matrix}T'=&&\chi v N&\\N'=&-\chi vT&&\tau vB\\B'=&&-\tau vN&\end{matrix}$$증명: \(\overline{\alpha}\)를 \(\alpha\)의 단위속력 재매개화라 하자. \(s\)가 \(\alpha\)의 호의 길이함수이면 \(T=\overline{T}(s)\)이고, 연쇄법칙에 의해 \(\displaystyle T'=T'(s)\frac{ds}{dt}\)이다. 프레네 공식에 의해 \(\overline{T}'=\overline{\chi}\overline{N}\)이고 이 등식에 함수 \(s\)를 대입하면 다음이 성립한다.$$\overline{T}'(s)=\overline{\chi}(s)\overline{N}(s)=\chi N$$\(\displaystyle\frac{ds}{dt}\)는 \(\alpha\)의 속력함수 \(v\)이므로 앞의 두 식들을 결합하면 \(T'=\chi vN\)을 얻는다.

*\(T'\)을 \(\displaystyle\frac{dT}{dt}\)로 나타내지만 \(\overline{T}'\) 또는 \(\overline{T}'(s)\)는 \(\displaystyle\frac{dT}{ds}\)로 나타낸다.  이 기호를 통해 연쇄법칙 \(\displaystyle\frac{dT}{dt}=\frac{dT}{ds}\frac{ds}{dt}\), 프레네 공식 \(\displaystyle\frac{dT}{ds}=\chi N\)을 결합해 \(\displaystyle\frac{dT}{dt}=\chi vN\)을 얻는다.

\(\beta'\cdot\beta'\)가 상수이므로 \((\beta'\cdot\beta')'=2\beta'\cdot\beta''=0\)과 동치임로 상수 속력곡선에 대해서만 가속도와 속도가 직교한다. 일반적인 경우, 속도와 가속도를 프레네 틀장을 이용해 나타내어 분석한다.

\(\alpha\)가 속력함수 \(v\)를 갖는 정칙곡선이면, \(\alpha\)의 속도와 가속도는 다음과 같다.$$\alpha'=vT,\,\alpha''=\frac{dv}{dt}T+\chi v^{2}N$$증명: \(s\)가 \(\alpha\)의 호의 길이함수이면, \(\alpha=\overline{\alpha}(s)\)이므로, 다음의 결과들을 얻는다.$$\begin{align*}\alpha'&=\overline{\alpha}'(s)\frac{ds}{dt}=v\overline{T}(s)=vT\\ \alpha''&=\frac{dv}{dt}T+vT'=\frac{dv}{dt}T+\chi v^{2}N\end{align*}$$\(\alpha''\)의 접성분 \(\displaystyle\frac{dv}{dt}T\)는 \(\alpha'\)의 길이(\(\alpha\)의 속력)의 변화율을 측정하고, 법성분 \(\chi v^{2}N\)은 \(\alpha'\)의 방향의 변화율을 측정한다. 

\(\alpha\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 정칙곡선이면 다음이 성립한다.$$\begin{align*}T&=\frac{\alpha'}{\|\alpha'\|},\,N=B\times T,\,\chi=\frac{\|\alpha'\times\alpha''\|}{\|\alpha'\|^{3}}\\B&=\frac{\alpha'\times\alpha''}{\|\alpha'\times\alpha''\|},\,\tau=\frac{(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''}{\|\alpha'\times\alpha''\|^{2}}\end{align*}$$참고: \(\mathbf{u}=(u_{1},\,u_{2},\,u_{3})\), \(\mathbf{v}=(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})\), \(w=(w_{1},\,w_{2},\,w_{3})\)일 때$$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\left|\begin{matrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{matrix}\right|$$증명: \(v=\|\alpha'\|>0\)이므로 \(\displaystyle T=\frac{\alpha'}{\|\alpha'\|}\)는 \(\alpha'=vT\)와 동치이고 앞의 정리와 \(T\times T=0\)이므로 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}\alpha'\times\alpha''&=(vT)\times\left(\frac{dv}{dt}T+\chi v^{2}N\right)\\&=v\frac{dv}{dt}T\times T+\chi v^{3}T\times N\\&=\chi v^{3}B\end{align*}$$위 식에 노름을 취하면 \(\|B\|=1\), \(\chi\geq0\), \(v>0\)이므로 \(\|\alpha'\times\alpha''\|=\|\chi v^{3}B\|=\chi v^{3}\)이다. 이 식으로부터 정칙곡선에 대해 \(\|\alpha'\times\alpha''\|>0\)과 \(\chi>0\)은 동치이다. 그러므로$$B=\frac{\alpha'\times\alpha''}{\chi v^{3}}=\frac{\alpha'\times\alpha''}{\|\alpha'\times\alpha''\|}$$이고, \(N=B\times T\)는 임의의 프레네 틀장에 대해 성립한다.

\(\alpha'\times\alpha''=\chi v^{3}B\)가 성립하고 \(0=T\cdot B=N\cdot B\)이므로 다음의 식이 성립하고.$$\begin{align*}\alpha'''&=\left(\frac{dv}{dt}+\chi v^{2}N\right)'\\&=\chi v^{2}N'+\cdots\\&=\chi v^{2}+\cdots\\&=\chi v^{3}\tau B+\cdots\end{align*}$$이다. 그러면 \((\alpha'\times\alpha'')=\cdot\alpha'''=\chi^{2}v^{6}\chi\tau\)이고 \(\|\alpha'\times\alpha''\|=\chi v^{3}\)이므로 \(\tau\)에 대한 공식을 얻는다.  

곡선 \(\alpha(t)=(3t-t^{3},\,3t^{2},\,3t+t^{3})\)에 대해$$\alpha'(t)=(3-3t^{2},\,6t,\,3+3t^{2}),\,\alpha''(t)=(-6t,\,6,\,6t),\,\alpha'''(t)=(-6,\,0,\,6)$$이고$$\alpha'\times\alpha''=\left|\begin{matrix}U_{1}&U_{2}&U_{3}\\3-3t^{2}&6t&3+3t^{2}\\-6t&6&6t\end{matrix}\right|=18(t^{2}-1,\,-2t,\,t^{2}+1)$$이므로 다음을 얻는다.$$\begin{align*}T&=\frac{(1-t^{2},\,2t,\,1+t^{2})}{\sqrt{2}(1+t^{2})}\\N&=\frac{(-2t,\,1-t^{2},\,0)}{1+t^{2}}\\B&=\frac{(t^{2}-1,\,-2t,\,t^{2}+1)}{\sqrt{2}(1+t^{2})}\\ \chi&=\tau=\frac{1}{3(t^{2}+1)}\end{align*}$$단위 속력곡선 \(\beta\)의 구면상(spherical image)은 \(T=\beta'\)과 같은 유클리드 좌표를 갖는 곡선 \(\sigma\approx T\)이고, 기하학적으로 \(\mathbb{R}^{3}\)의 원점으로 이동시킴으로써 얻어진다.

따라서 \(\sigma\)는 단위구면 위에 놓여있고, \(\sigma\)의 움직임은 \(\beta\)의 휨을 나타낸다. 그 예로 \(\beta\)가 나선이면,$$\sigma(s)=\left(-\frac{a}{c}\sin\frac{s}{c},\,\frac{a}{c}\cos\frac{s}{c},\,\frac{b}{c}\right)$$이고 이 나선의 구면상은 평면 \(\displaystyle z=\frac{b}{c}\)에 의해 잘린 단위구의 원 위에 있다.

곡선 \(\beta\)가 단위속력을 갖더라도 \(\sigma\)는 단위속력을 갖지 않을 수 있다. \(\sigma=T\)이므로 \(\sigma'=T'=\chi N\)이고 \(\sigma\)의 속력은 \(\beta\)의 곡률 \(\chi\)와 같다.$$\begin{align*}\sigma''&=(\chi N)'=\frac{d\chi}{ds}N+\chi N'=-\chi^{2}T+\frac{d\chi}{ds}N+\chi\tau B\\ \sigma'\times\sigma''&=-\chi^{3}N\times T+\chi^{2}\tau N\times B=\chi^{2}(\chi B+\tau T)\end{align*}$$이고 구면상 \(\sigma\)의 곡률은$$\chi_{\sigma}=\frac{\|\sigma'\times\sigma''\|}{v^{3}}=\frac{\sqrt{\chi^{2}+\tau^{2}}}{\xi}=\sqrt{1+\left(\frac{\tau}{\chi}\right)^{2}}\geq1$$이므로 이 값은 원래 곡선 \(\beta\)의 비틀림과 곡률에만 의존한다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)상의 정칙곡선 \(\alpha\)의 단위접벡터장 \(T\)가 어떤 고정된 벡터 \(\mathbf{u}\)와 상수각 \(\theta\)을 이루면, 즉 모든 \(T(t)\cdot\mathbf{u}=\cos\theta\)이면, 기둥나선(cylinderical helix)이라고 한다. 

\(T\cdot\mathbf{u}=\cos\theta\)라고 하자. \(\beta\)위의 기준점을 \(\beta(0)\)으로 잡으면$$h(s)=(\beta(s)-\beta(0))\cdot\mathbf{u}$$는 \(\beta\)가 \(\beta(0)\)에서 출발해서 \(\mathbf{u}\)방향으로 얼마나 상승했는가를 알려준다.

이때$$\frac{dh}{ds}=\beta'\cdot\mathbf{u}=T\cdot\mathbf{u}=\cos\theta$$이므로 \(\beta\)는 호의 길이에 대해 상수 비율로 상승하고 \(h(s)=s\cos\theta\)이며, 호의 길이 \(s\)에 대해 \(h(t)=s(t)\cos\theta\) 이다.

\(\beta\)의 각 점을 지나고 \(\mathbf{u}\)방향인 직선을 그려 다음과 같이 \(\beta\)가 각각의 직선(또는 원소)과 상수 각도를 이루며 움직이는 기둥곡선 \(C\)를 만들 수 있다.

\(\chi>0\)인 정칙곡선이 기둥나선일 필요충분조건은 \(\displaystyle\frac{\tau}{\chi}\)가 상수이다.

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(\alpha\)가 단위속력을 갖는 경우에 대해서만 고려하면 충분하다. \(\alpha\)가 \(T\cdot\mathbf{u}=\cos\theta\)인 기둥나선이면 다음이 성립한다.$$0=(T\cdot\mathbf{u})'=T'\cdot\mathbf{u}=\chi N\cdot\mathbf{u}$$\(\chi>0\)이므로 \(N\cdot\mathbf{u}=0\)이고 각각의 \(s\)에 대해 \(\mathbf{u}\)는 \(T(s)\)와 \(B(s)\)에 의해 결정되는 평면 위에 있다. 정규직교전개를 하면 \(\mathbf{u}=\cos\theta T+\sin\theta B\)이고 미분한 후 프레네 공식을 적용하면$$0=(\chi\cos\theta-\tau\sin\theta)N$$이므로 \(\tau\sin\theta=\chi\cos\theta\)이고 \(\displaystyle\frac{\tau}{\chi}=\cot\theta\)는 상수이다. 

(\(\Leftarrow\)): \(\displaystyle\frac{\tau}{\chi}\)가 상수라 가정하고 \(\displaystyle\frac{\tau}{\chi}=\cot\theta\)라 하자.$$U=\cos\theta T+\sin\theta B$$이면$$U'=(\chi\cos\theta-\tau\sin\theta)N=0$$이고 벡터장 \(U\)는 \(T\cdot\mathbf{u}=\cos\theta\)인 단위벡터 \(\mathbf{u}\)를 결정하고 따라서 \(\alpha\)는 기둥나선이다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)의 정칙곡선에 대한 단순한 가정으로부터

\(\chi=0\,\Leftrightarrow\) 직선

\(\tau=0\,\Leftrightarrow\) 평면곡선    

\(\chi(상수)>0,\,\tau=0\,\Leftrightarrow\) 원

\(\chi(상수)>0,\,\tau(상수)>0\,\Leftrightarrow\) 원기둥 나선

\(\displaystyle\frac{\tau}{\chi}(상수)>0\,\Leftrightarrow\) 기둥 나선

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress