[미분기하학] 3. 내적, 곡선

[미분기하학] 3. 내적, 곡선

\(\mathbb{R}^{3}\)의 두 점 \(\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\), \(\mathbf{q}=(q_{1},\,q_{2},\,q_{3})\)에 대해 내적(inner product)을 다음과 같이 정의한다.$$\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=p_{1}q_{2}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}$$다음은 내적이 갖는 성질이다.

\(\mathbb{R}^{3}\)의 임의의 점 \(\mathbf{p},\,\mathbf{q},\,\mathbf{r}\)와 실수 \(a,\,b\)에 대해

(1) 이중선형성:$$\begin{align*}(a\mathbf{p}+b\mathbf{q})\cdot\mathbf{r}&=a\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}+b\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}\\ \mathbf{r}\cdot(a\mathbf{p}+b\mathbf{q})&=a\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}+b\mathbf{r}\cdot\mathbf{q}\end{align*}$$(2) 대칭성: \(\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=\mathbf{q}\cdot\mathbf{p}\)

(3) 양의 정부호성: \(\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}\geq0\)이고, \(\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}=0\)일 필요충분조건은 \(\mathbf{p}=0\)이다. 

점 \(\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\)의 노름(norm)은 다음과 같이 정의되는 실수이다.$$\|\mathbf{p}\|=\sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}=\sqrt{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}$$노름은 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 실함수이고, 성질 \(\|\mathbf{p}+\mathbf{q}\|\leq\|\mathbf{p}\|+\|\mathbf{q}\|\)와 \(\|a\mathbf{p}\|=|a|\|\mathbf{p}\|\)(\(a\)는 스칼라)를 만족한다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)상의 두 점 \(\mathbf{p}\)와 \(\mathbf{q}\)의 유클리드 거리(Euclidean distance)는 다음과 같이 정의된다.$$d(\mathbf{p},\,\mathbf{q})=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|$$이때 \(\mathbf{p}-\mathbf{q}=(p_{1}-q_{1},\,p_{2}-q_{2},\,p_{3}-q_{3})\)이므로 다음의 결과를 얻는다.$$d(\mathbf{p},\,\mathbf{q})=\sqrt{(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}$$

유클리드 거리를 이용해 열린집합의 정의를 명확하게 정의할 수 있다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)의 점 \(\mathbb{p}\)와 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 \(\mathbf{p}\)의 \(\epsilon-\)근방(neighborhood) \(N_{\epsilon}\)을 \(d(\mathbf{p},\,\mathbf{q})<\epsilon\)인 \(\mathbb{R}^{3}\)의 점 \(\mathbf{q}\)전체의 집합이라 하자. \(\mathcal{O}\)의 각 점에서 \(\mathcal{O}\)에 완전히 포함되는 \(\epsilon-\)근방이 존재하면 \(\mathcal{O}\)는 열려있다(open)고 한다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)의 점 \(\mathbf{p}\)에서의 접벡터 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)와 \(\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\)의 내적은 실수 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\cdot\mathbf{w}_{\mathbf{p}}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\)이다. 

정의에 의해 \(\mathbb{R}^{3}\)위의 원래 내적과 같은 성질을 갖는 내적을 접공간 \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\)위에 줄 수 있고, 슈바르츠 부등식 \(|\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}|\leq\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{w}\|\)로부터 \(\mathbf{v}\)와 \(\mathbf{w}\)사이의 각 \(\theta\)의 코사인을 다음의 식으로 정의할 수 있다.$$\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{w}\|\cos\theta$$

따라서 두 벡터의 내적은 두 벡터의 길이의 곱에 사잇각의 코사인을 곱한 것이고, 각 \(\theta\)는 제한이 없으면 유일하게 결정되지 않는다. 특히 \(\displaystyle\theta=\frac{\pi}{2}\)이면, \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=0\)이고, 이러한 벡터 \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\)는 직교(orthogonal)한다고 한다. 길이가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 한다. 

점 \(\mathbf{p}\)에서 서로 직교하는 \(\mathbb{R}^{3}\)의 세 개의 단위벡터 \(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)의 집합을 \(\mathbf{p}\)에서의 틀(frame)이라고 한다. 

따라서 \(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)이 서로 틀이 될 필요충분조건은 다음과 같다.$$\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}=\delta_{ij}=\begin{cases}1&\,i=j\\0&\,i\neq j\,\end{cases}\,(1\leq i,\,j\leq3)$$\(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)을 \(\mathbb{R}^{3}\)의 점 \(\mathbf{p}\)에서의 틀이라고 하자. \(\mathbf{v}\)가 \(\mathbf{p}\)에서의 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터이면 다음과 같다.$$\mathbf{v}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{1})\mathbf{e}_{1}+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{2})\mathbf{e}_{2}+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{3})\mathbf{e}_{3}$$

증명: \(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)이 일차독립임을 보이기 위해 \(\displaystyle\sum_{i=1}{3}{a_{i}\mathbf{e}_{i}}=0\)이라 하자.$$0=\left(\sum_{i=1}^{3}{a_{i}\mathbf{e}_{i}}\right)\cdot\mathbf{e}_{j}=\sum_{i=1}^{3}{a_{i}\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}}=\sum_{i=1}^{3}a_{i}\delta_{ij}=a_{j}$$이므로 \(a_{1}=a_{2}=a_{3}=0\)이고 따라서 일차독립이다.

접공간 \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\)은 \(\mathbb{R}^{3}\)과 선형동형이므로 차원이 3이고, \(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)은 \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\)의 기저이다. 그러므로 유일한 실수 \(c_{1},\,c_{2},\,c_{3}\)이 존재해서 \(\displaystyle\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3}{c_{i}\mathbf{e}_{i}}\)이고$$\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{j}=\left(\sum_{i=1}^{3}{c_{i}\mathbf{e}_{i}}\right)\mathbf{e}_{j}=\sum_{i=1}^{3}{c_{i}\delta_{ij}}=c_{j}$$이므로 \(\displaystyle\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3}{(\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{i})\mathbf{e}_{i}}\)이다. 

이 정리는 틀(정규직교기저, orthonormal basis)에 대한 \(\mathbf{v}\)의 좌표를 구하기 위해서 \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{3}\)만 계산하면 됨을 보여준다. 이 과정을 틀 \(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)을 통한 \(\mathbf{v}\)의 정규직교전개(orthonormal expansion)라고 한다. 

자연틀장 \(U_{1}(\mathbf{p}),\,U_{2}(\mathbf{p}),\,U_{3}(\mathbf{p})\)의 특별한 경우인 \(\displaystyle\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}U_{i}(\mathbf{p})}\)는 정규직교전개이고, 유클리드 좌표를 이용한 내적은 \(\displaystyle\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}w_{i}}\)이다. 만약 임의의 틀 \(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)를 이용하면 벡터 \(\mathbf{v}\)는 이 틀에 대해 새로운 좌표 \(a_{i}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{i}\)를 가지나 내적은 간단한 공식 \(\displaystyle\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\sum_{i=1}^{3}{a_{i}b_{i}}\)로 주어지는데 그 이유는 다음과 같다.$$\begin{align*}\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}&=\left(\sum_{i=1}^{3}{a_{i}\mathbf{e}_{i}}\right)\left(\sum_{j=1}^{3}{b_{j}\mathbf{e}_{j}}\right)=\sum_{i,\,j=1}^{3}{a_{i}b_{j}\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}}\\&=\sum_{i,\,j=1}^{3}{a_{i}b_{j}\delta_{ij}}=\sum_{i=1}^{3}{a_{i}b_{i}}\end{align*}$$\(\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}\)을 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 점 \(\mathbf{p}\)의 틀이라 하자. 세 벡터의 유클리드 좌표를 행으로 구성된 \(3\times3\)행렬 \(A\)를 틀의 자세행렬(attitude matrix)이라고 한다. 

구체적으로$$\mathbf{e}_{1}=(a_{11},\,a_{12},\,a_{13})_{\mathbf{p}},\,\mathbf{e}_{2}=(a_{21},\,a_{22},\,a_{23})_{\mathbf{p}},\,\mathbf{e}_{3}=(a_{31},\,a_{32},\,a_{33})$$이라 하면$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$이다. 이 행렬은 정규직교이고, 즉 \(A\)의 전치행렬 \(A^{T}\)에 대해 \(AA^{T}=I\)(\(I\)는 단위행렬)이므로 따라서 \(A\)는 직교행렬(orthogonal matrix)이다. 

  

점 \(\mathbf{p}\)에서의 \(\mathbb{R}^{3}\) 접벡터 \(\mathbf{v},\,\mathbf{w}\)의 외적(cross product)은 다음과 같이 정의된 접벡터이다.$$\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\left|\begin{matrix}U_{1}(\mathbf{p})&U_{2}(\mathbf{p})&U_{3}(\mathbf{p})\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{matrix}\right|$$행렬식의 성질로부터 외적 \(\mathbf{v}\times\mathbf{w}\)는 \(\mathbf{v}\)와 \(\mathbf{w}\)에 대해 선형(linear)이고, 교대법칙 \(\mathbf{v}\times\mathbf{w}=-\mathbf{w}\times\mathbf{v}\)을 만족하므로 \(\mathbf{v}\times\mathbf{v}=0\)이다. 

외적 \(\mathbf{v}\times\mathbf{w}\)는 \(\mathbf{v}\)와 \(\mathbf{w}\)에 동시에 직교하고 길이는 다음과 같다.$$\|\mathbf{v}\times\mathbf{w}\|^{2}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})(\mathbf{w}\cdot\mathbf{w})-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})^{2}$$증명: 생략

외적의 길이를 직관적으로 나타내면 \(\|\mathbf{v}\times\mathbf{w}\|=\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{w}\|\sin\theta\)이고, \(\theta\)는 \(\mathbf{v}\)와 \(\mathbf{w}\)의 사잇각 중 작은 값이다. \(\mathbf{v},\,\mathbf{w}\)에 수직인 \(\mathbf{v}\times\mathbf{w}\)의 방향은 다음과 같이 오른손 법칙으로 주어진다.

\(\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)를 곡선이라고 하자. \(t\)에서 \(\alpha\)의 속력(speed)을 \(v(t)=\|\alpha(t)\|\)로 정의한다.$$\alpha'(t)=\left(\frac{d\alpha_{1}}{dt}(t),\,\frac{d\alpha_{2}}{dt}(t),\,\frac{d\alpha_{3}}{dt}(t)\right)$$이므로$$v=\|\alpha'\|=\sqrt{\left(\frac{d\alpha_{1}}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{d\alpha_{2}}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{d\alpha_{3}}{dt}\right)^{2}}$$물리학에서 움직이는 한 점이 이동한 거리는 속력을 시간에 대해 적분한 것이므로 \(t=a\)에서 \(t=b\)까지의 호의 길이(arc length)는 다음과 같이 정의한다.$$\int_{a}^{b}{\|\alpha'(t)\|dt}$$곡선 \(\alpha\)를 닫힌구간 \([a,\,b]\)로 제한한 \(\sigma:[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)를 곡선단편(curve length)이라 하고 길이를 \(L(\sigma)\)로 나타낸다. \(\sigma\)는 곡선의 끝점인 \(t=a\), \(t=b\)에서 잘 정의된다. 

곡선을 따른 궤적에만 관심이 있고, 그 궤적 위의 각각의 점에서의 속력은 불필요할 때, 단위속력(unit speed) \(\|\beta'\|=1\)을 갖는 곡선 \(\beta\)로 재매개화 하는 것이다. 그러면 \(\beta\)는 \(\alpha\)의 궤적을 따른 표준적 움직임을 나타낸다.

\(\alpha\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)안의 정칙곡선이면, \(\alpha\)에 대한 단위속력을 갖는 재매개화 \(\beta\)가 존재한다. 

증명: \(\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)의 한 점 \(\alpha\)를 고정하고 호의 길이함수 \(\displaystyle s(t)=\int_{a}^{t}{\|\alpha'(u)\|du}\)를 고려하자. \(\alpha\)는 정칙곡선이므로 \(\displaystyle\frac{ds}{dt}=\frac{d\alpha}{dt}>0\)이고 이것은 \(s=s(t)\)가 역함수 \(t=t(s)\)를 가짐을 뜻한다. \(\displaystyle\frac{ds}{dt}=\left(\frac{dt}{ds}\right)^{-1}>0\)이고, \(\beta(s)=\alpha(t(s))\)라 하면 \(\beta\)는 단위속력을 갖고,$$\beta'(s)=\frac{dt}{ds}(s)\alpha'(t(s))$$이므로 다음의 결과를 얻는다.$$\|\beta'(s)\|=\frac{dt}{ds}(s)\|\alpha'(t(s))\|=\frac{dt}{ds}(s)\frac{ds}{dt}(t(s))=1$$이 정리에서의 단위속력곡선 \(\beta\)를 호의 길이에 의한 재매개화(arc-length parametrization)라고 한다. 

나선 \(\alpha(t)=(a\cos t,\,a\sin t,\,bt)\)에 대해 \(\alpha'(t)=(-a\sin t,\,a\cos t,\,b)\)이므로$$\|\alpha'(t)\|^{2}=\alpha'(t)\cdot\alpha'(t)=a^{2}\cos^{2}t+a^{2}\sin^{2}t+b^{2}=a^{2}+b^{2}$$이고 \(\alpha\)의 속력은 상수 \(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)이다. 따라서 \(t=0\)에서부터 호의 길이는 \(\displaystyle s(t)=\int_{0}^{t}{cdt}=ct\)이므로 \(\displaystyle t=\frac{s}{c}\)이고 다음의 단위속력을 갖는 재매개화를 얻는다.$$\beta(s)=\alpha\left(\frac{s}{c}\right)=\left(a\cos\frac{s}{c},\,a\sin\frac{s}{c},\,\frac{b}{c}s\right)$$곡선 \(\alpha\)의 재매개화 \(\alpha(h)\)에 대해 \(h'\geq0\)이면 \(\alpha(h)\)가 방향을 보존한다(orientation-preserving)고 하고, \(h'\leq0\)이면 방향을 바꾼다(orientation-reversing)고 한다. 정칙곡선 \(\alpha\)에 대해 \(\displaystyle\frac{ds}{dt}>0\)이므로 단위속력에 의한 재매개화는 항상 방향을 보존한다. 

\(\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)위에서 정의된 벡터장(vector field) \(Y\)는 \(t\in I\)에 대해 점 \(\alpha(t)\)에서의 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터 \(Y(t)\)를 대응시키는 함수이다. 

임의의 곡선 \(\alpha\)에 대해 속도 \(\alpha'\)은 이 정의를 만족하므로 이미 이 벡터장에 접한다. \(\alpha'\)과 달리 \(\alpha\)위에 정의된 임의의 벡터장은 \(\alpha\)에 접할 필요가 없고 임의의 방향으로 향할 수 있다.

곡선 위에 정의된 벡터장의 성질은 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 벡터장의 성질과 비슷하다. \(Y\)가 \(\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)위의 벡터장이면, \(t\in I\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$Y(t)=(y_{1}(t),\,y_{2}(t),\,y_{3}(t))_{\alpha(t)}=\sum_{i=1}^{3}{y_{i}(t)U_{i}(\alpha(t))}$$이렇게 \(Y\)의 유클리드 좌표함수라 부르는 정의역이 \(I\)인 실함수 \(y_{1},\,y_{2},\,y_{3}\)이 정의되고, 이들은 항상 미분가능하고 가정한다. 합성함수 \(U_{i}(\alpha(t))\)는 \(\alpha\)위에서 정의된 벡터장이고, 혼동의 여지가 없다면 간단히 \(U_{i}\)로 나타낸다. 

곡선 \(\alpha\)위의 벡터장을 미분하려면 단순히 유클리드 좌표함수를 미분하면 되고, \(\alpha\)위의 새로운 벡터장을 얻게 된다. \(\displaystyle Y=\sum_{i=1}^{3}{y_{i}U_{i}}\)이면 \(\displaystyle Y'(t)=\sum_{i=1}^{3}{\frac{dy_{i}}{dt}U_{i}}\)이다.

속도벡터 \(\alpha=(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3})\)의 가속도(acceleration) \(\alpha''\)는 다음과 같은 \(\alpha\)위의 벡터장이다.$$\alpha''=\left(\frac{d^{2}\alpha_{1}}{dt^{2}},\,\frac{d^{2}\alpha_{2}}{dt^{2}},\,\frac{d^{2}\alpha_{3}}{dt^{2}}\right)_{\alpha}$$곡선 위의 벡터장 \(Y,\,Z\)와 실수 \(a,\,b\)에 대해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}(aY+bZ)'&=aY'+bZ'\\(fY)'&=\frac{df}{dt}Y+fY',\,(Y\cdot Z)'=Y'\cdot Z+Y\cdot Z'\end{align*}$$\(Y\cdot Z\)가 상수이면 \(Y'\cdot Z+Y\cdot Z'=0\)이 성립한다.

접벡터는 벡터부분이 같으면 평행하다. 곡선 위에서 정의된 벡터장은 모든 접벡터에서의 값이 평행하면 평행(parallel)하다고 한다. 이 경우 공통 벡터부분이 \((c_{1},\,c_{2},\,c_{3})\)이면 모든 \(t\)에 대해 다음이 성립한다.$$Y(t)=(c_{1},\,c_{2},\,c_{3})_{\alpha(t)}=\sum_{i=1}^{3}{c_{i}U_{i}}$$따라서 벡터장이 평행한 것은 유클리드 좌표함수가 상수인 것과 동치이다. 

곡선 \(\alpha\)가 상수일 필요충분조건은 속도가 0, 즉 \(\alpha'=0\)이고, 상수가 아닌 곡선 \(\alpha\)가 직선일 필요충분조건은 가속도가 0, 즉 \(\alpha''=0\), 곡선 위의 벡터장 \(Y\)가 평행일 필요충분조건은 도함수가 0, 즉 \(Y''=0\)이다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry, O'neil, AcademicPress