[미분기하학] 3. 내적, 곡선

[미분기하학] 3. 내적, 곡선

$\mathbb{R}^{3}$의 두 점 $\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})$, $\mathbf{q}=(q_{1},\,q_{2},\,q_{3})$에 대해 내적(inner product)을 다음과 같이 정의한다. $$\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=p_{1}q_{2}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}$$ 다음은 내적이 갖는 성질이다.

$\mathbb{R}^{3}$의 임의의 점 $\mathbf{p},\,\mathbf{q},\,\mathbf{r}$와 실수 $a,\,b$에 대해

(1) 이중선형성: $$\begin{align*}(a\mathbf{p}+b\mathbf{q})\cdot\mathbf{r}&=a\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}+b\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}\\ \mathbf{r}\cdot(a\mathbf{p}+b\mathbf{q})&=a\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}+b\mathbf{r}\cdot\mathbf{q}\end{align*}$$ (2) 대칭성: $\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=\mathbf{q}\cdot\mathbf{p}$

(3) 양의 정부호성: $\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}\geq0$이고, $\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}=0$일 필요충분조건은 $\mathbf{p}=0$이다. 

점 $\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})$의 노름(norm)은 다음과 같이 정의되는 실수이다. $$\|\mathbf{p}\|=\sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}=\sqrt{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}$$ 노름은 $\mathbb{R}^{3}$에서의 실함수이고, 성질 $\|\mathbf{p}+\mathbf{q}\|\leq\|\mathbf{p}\|+\|\mathbf{q}\|$와 $\|a\mathbf{p}\|=|a|\|\mathbf{p}\|$($a$는 스칼라)를 만족한다. 

$\mathbb{R}^{3}$상의 두 점 $\mathbf{p}$와 $\mathbf{q}$의 유클리드 거리(Euclidean distance)는 다음과 같이 정의된다. $$d(\mathbf{p},\,\mathbf{q})=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|$$ 이때 $\mathbf{p}-\mathbf{q}=(p_{1}-q_{1},\,p_{2}-q_{2},\,p_{3}-q_{3})$이므로 다음의 결과를 얻는다. $$d(\mathbf{p},\,\mathbf{q})=\sqrt{(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}$$

유클리드 거리를 이용해 열린집합의 정의를 명확하게 정의할 수 있다. 

$\mathbb{R}^{3}$의 점 $\mathbb{p}$와 $\epsilon>0$에 대해 $\mathbb{R}^{3}$에서 $\mathbf{p}$의 $\epsilon-$근방(neighborhood) $N_{\epsilon}$을 $d(\mathbf{p},\,\mathbf{q})<\epsilon$인 $\mathbb{R}^{3}$의 점 $\mathbf{q}$전체의 집합이라 하자. $\mathcal{O}$의 각 점에서 $\mathcal{O}$에 완전히 포함되는 $\epsilon-$근방이 존재하면 $\mathcal{O}$는 열려있다(open)고 한다. 

$\mathbb{R}^{3}$의 점 $\mathbf{p}$에서의 접벡터 $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}$와 $\mathbf{w}_{\mathbf{p}}$의 내적은 실수 $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\cdot\mathbf{w}_{\mathbf{p}}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}$이다. 

정의에 의해 $\mathbb{R}^{3}$위의 원래 내적과 같은 성질을 갖는 내적을 접공간 $T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})$위에 줄 수 있고, 슈바르츠 부등식 $|\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}|\leq\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{w}\|$로부터 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$사이의 각 $\theta$의 코사인을 다음의 식으로 정의할 수 있다. $$\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{w}\|\cos\theta$$

따라서 두 벡터의 내적은 두 벡터의 길이의 곱에 사잇각의 코사인을 곱한 것이고, 각 $\theta$는 제한이 없으면 유일하게 결정되지 않는다. 특히 $\displaystyle\theta=\frac{\pi}{2}$이면, $\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=0$이고, 이러한 벡터 $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$는 직교(orthogonal)한다고 한다. 길이가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 한다. 

점 $\mathbf{p}$에서 서로 직교하는 $\mathbb{R}^{3}$의 세 개의 단위벡터 $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$의 집합을 $\mathbf{p}$에서의 틀(frame)이라고 한다. 

따라서 $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$이 서로 틀이 될 필요충분조건은 다음과 같다. $$\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}=\delta_{ij}=\begin{cases}1&\,i=j\\0&\,i\neq j\,\end{cases}\,(1\leq i,\,j\leq3)$$ $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$을 $\mathbb{R}^{3}$의 점 $\mathbf{p}$에서의 틀이라고 하자. $\mathbf{v}$가 $\mathbf{p}$에서의 $\mathbb{R}^{3}$의 접벡터이면 다음과 같다. $$\mathbf{v}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{1})\mathbf{e}_{1}+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{2})\mathbf{e}_{2}+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{3})\mathbf{e}_{3}$$

증명: $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$이 일차독립임을 보이기 위해 $\displaystyle\sum_{i=1}{3}{a_{i}\mathbf{e}_{i}}=0$이라 하자. $$0=\left(\sum_{i=1}^{3}{a_{i}\mathbf{e}_{i}}\right)\cdot\mathbf{e}_{j}=\sum_{i=1}^{3}{a_{i}\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}}=\sum_{i=1}^{3}a_{i}\delta_{ij}=a_{j}$$ 이므로 $a_{1}=a_{2}=a_{3}=0$이고 따라서 일차독립이다.

접공간 $T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})$은 $\mathbb{R}^{3}$과 선형동형이므로 차원이 3이고, $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$은 $T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})$의 기저이다. 그러므로 유일한 실수 $c_{1},\,c_{2},\,c_{3}$이 존재해서 $\displaystyle\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3}{c_{i}\mathbf{e}_{i}}$이고 $$\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{j}=\left(\sum_{i=1}^{3}{c_{i}\mathbf{e}_{i}}\right)\mathbf{e}_{j}=\sum_{i=1}^{3}{c_{i}\delta_{ij}}=c_{j}$$ 이므로 $\displaystyle\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3}{(\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{i})\mathbf{e}_{i}}$이다. 

이 정리는 틀(정규직교기저, orthonormal basis)에 대한 $\mathbf{v}$의 좌표를 구하기 위해서 $\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{3}$만 계산하면 됨을 보여준다. 이 과정을 틀 $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$을 통한 $\mathbf{v}$의 정규직교전개(orthonormal expansion)라고 한다. 

자연틀장 $U_{1}(\mathbf{p}),\,U_{2}(\mathbf{p}),\,U_{3}(\mathbf{p})$의 특별한 경우인 $\displaystyle\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}U_{i}(\mathbf{p})}$는 정규직교전개이고, 유클리드 좌표를 이용한 내적은 $\displaystyle\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}w_{i}}$이다. 만약 임의의 틀 $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$를 이용하면 벡터 $\mathbf{v}$는 이 틀에 대해 새로운 좌표 $a_{i}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{i}$를 가지나 내적은 간단한 공식 $\displaystyle\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\sum_{i=1}^{3}{a_{i}b_{i}}$로 주어지는데 그 이유는 다음과 같다. $$\begin{align*}\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}&=\left(\sum_{i=1}^{3}{a_{i}\mathbf{e}_{i}}\right)\left(\sum_{j=1}^{3}{b_{j}\mathbf{e}_{j}}\right)=\sum_{i,\,j=1}^{3}{a_{i}b_{j}\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}}\\&=\sum_{i,\,j=1}^{3}{a_{i}b_{j}\delta_{ij}}=\sum_{i=1}^{3}{a_{i}b_{i}}\end{align*}$$ $\mathbf{e}_{1},\,\mathbf{e}_{2},\,\mathbf{e}_{3}$을 $\mathbb{R}^{3}$에서 점 $\mathbf{p}$의 틀이라 하자. 세 벡터의 유클리드 좌표를 행으로 구성된 $3\times3$행렬 $A$를 틀의 자세행렬(attitude matrix)이라고 한다. 

구체적으로 $$\mathbf{e}_{1}=(a_{11},\,a_{12},\,a_{13})_{\mathbf{p}},\,\mathbf{e}_{2}=(a_{21},\,a_{22},\,a_{23})_{\mathbf{p}},\,\mathbf{e}_{3}=(a_{31},\,a_{32},\,a_{33})$$ 이라 하면 $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$ 이다. 이 행렬은 정규직교이고, 즉 $A$의 전치행렬 $A^{T}$에 대해 $AA^{T}=I$($I$는 단위행렬)이므로 따라서 $A$는 직교행렬(orthogonal matrix)이다. 

  

점 $\mathbf{p}$에서의 $\mathbb{R}^{3}$ 접벡터 $\mathbf{v},\,\mathbf{w}$의 외적(cross product)은 다음과 같이 정의된 접벡터이다. $$\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\left|\begin{matrix}U_{1}(\mathbf{p})&U_{2}(\mathbf{p})&U_{3}(\mathbf{p})\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{matrix}\right|$$ 행렬식의 성질로부터 외적 $\mathbf{v}\times\mathbf{w}$는 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$에 대해 선형(linear)이고, 교대법칙 $\mathbf{v}\times\mathbf{w}=-\mathbf{w}\times\mathbf{v}$을 만족하므로 $\mathbf{v}\times\mathbf{v}=0$이다. 

외적 $\mathbf{v}\times\mathbf{w}$는 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$에 동시에 직교하고 길이는 다음과 같다. $$\|\mathbf{v}\times\mathbf{w}\|^{2}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})(\mathbf{w}\cdot\mathbf{w})-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})^{2}$$ 증명: 생략

외적의 길이를 직관적으로 나타내면 $\|\mathbf{v}\times\mathbf{w}\|=\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{w}\|\sin\theta$이고, $\theta$는 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$의 사잇각 중 작은 값이다. $\mathbf{v},\,\mathbf{w}$에 수직인 $\mathbf{v}\times\mathbf{w}$의 방향은 다음과 같이 오른손 법칙으로 주어진다.

$\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$를 곡선이라고 하자. $t$에서 $\alpha$의 속력(speed)을 $v(t)=\|\alpha(t)\|$로 정의한다. $$\alpha'(t)=\left(\frac{d\alpha_{1}}{dt}(t),\,\frac{d\alpha_{2}}{dt}(t),\,\frac{d\alpha_{3}}{dt}(t)\right)$$ 이므로 $$v=\|\alpha'\|=\sqrt{\left(\frac{d\alpha_{1}}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{d\alpha_{2}}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{d\alpha_{3}}{dt}\right)^{2}}$$ 물리학에서 움직이는 한 점이 이동한 거리는 속력을 시간에 대해 적분한 것이므로 $t=a$에서 $t=b$까지의 호의 길이(arc length)는 다음과 같이 정의한다. $$\int_{a}^{b}{\|\alpha'(t)\|dt}$$ 곡선 $\alpha$를 닫힌구간 $[a,\,b]$로 제한한 $\sigma:[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$를 곡선단편(curve length)이라 하고 길이를 $L(\sigma)$로 나타낸다. $\sigma$는 곡선의 끝점인 $t=a$, $t=b$에서 잘 정의된다. 

곡선을 따른 궤적에만 관심이 있고, 그 궤적 위의 각각의 점에서의 속력은 불필요할 때, 단위속력(unit speed) $\|\beta'\|=1$을 갖는 곡선 $\beta$로 재매개화 하는 것이다. 그러면 $\beta$는 $\alpha$의 궤적을 따른 표준적 움직임을 나타낸다.

$\alpha$가 $\mathbb{R}^{3}$안의 정칙곡선이면, $\alpha$에 대한 단위속력을 갖는 재매개화 $\beta$가 존재한다. 

증명: $\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$의 한 점 $\alpha$를 고정하고 호의 길이함수 $\displaystyle s(t)=\int_{a}^{t}{\|\alpha'(u)\|du}$를 고려하자. $\alpha$는 정칙곡선이므로 $\displaystyle\frac{ds}{dt}=\frac{d\alpha}{dt}>0$이고 이것은 $s=s(t)$가 역함수 $t=t(s)$를 가짐을 뜻한다. $\displaystyle\frac{ds}{dt}=\left(\frac{dt}{ds}\right)^{-1}>0$이고, $\beta(s)=\alpha(t(s))$라 하면 $\beta$는 단위속력을 갖고, $$\beta'(s)=\frac{dt}{ds}(s)\alpha'(t(s))$$ 이므로 다음의 결과를 얻는다. $$\|\beta'(s)\|=\frac{dt}{ds}(s)\|\alpha'(t(s))\|=\frac{dt}{ds}(s)\frac{ds}{dt}(t(s))=1$$ 이 정리에서의 단위속력곡선 $\beta$를 호의 길이에 의한 재매개화(arc-length parametrization)라고 한다. 

나선 $\alpha(t)=(a\cos t,\,a\sin t,\,bt)$에 대해 $\alpha'(t)=(-a\sin t,\,a\cos t,\,b)$이므로 $$\|\alpha'(t)\|^{2}=\alpha'(t)\cdot\alpha'(t)=a^{2}\cos^{2}t+a^{2}\sin^{2}t+b^{2}=a^{2}+b^{2}$$ 이고 $\alpha$의 속력은 상수 $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$이다. 따라서 $t=0$에서부터 호의 길이는 $\displaystyle s(t)=\int_{0}^{t}{cdt}=ct$이므로 $\displaystyle t=\frac{s}{c}$이고 다음의 단위속력을 갖는 재매개화를 얻는다. $$\beta(s)=\alpha\left(\frac{s}{c}\right)=\left(a\cos\frac{s}{c},\,a\sin\frac{s}{c},\,\frac{b}{c}s\right)$$ 곡선 $\alpha$의 재매개화 $\alpha(h)$에 대해 $h'\geq0$이면 $\alpha(h)$가 방향을 보존한다(orientation-preserving)고 하고, $h'\leq0$이면 방향을 바꾼다(orientation-reversing)고 한다. 정칙곡선 $\alpha$에 대해 $\displaystyle\frac{ds}{dt}>0$이므로 단위속력에 의한 재매개화는 항상 방향을 보존한다. 

$\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$위에서 정의된 벡터장(vector field) $Y$는 $t\in I$에 대해 점 $\alpha(t)$에서의 $\mathbb{R}^{3}$의 접벡터 $Y(t)$를 대응시키는 함수이다. 

임의의 곡선 $\alpha$에 대해 속도 $\alpha'$은 이 정의를 만족하므로 이미 이 벡터장에 접한다. $\alpha'$과 달리 $\alpha$위에 정의된 임의의 벡터장은 $\alpha$에 접할 필요가 없고 임의의 방향으로 향할 수 있다.

곡선 위에 정의된 벡터장의 성질은 $\mathbb{R}^{3}$에서의 벡터장의 성질과 비슷하다. $Y$가 $\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$위의 벡터장이면, $t\in I$에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$Y(t)=(y_{1}(t),\,y_{2}(t),\,y_{3}(t))_{\alpha(t)}=\sum_{i=1}^{3}{y_{i}(t)U_{i}(\alpha(t))}$$ 이렇게 $Y$의 유클리드 좌표함수라 부르는 정의역이 $I$인 실함수 $y_{1},\,y_{2},\,y_{3}$이 정의되고, 이들은 항상 미분가능하고 가정한다. 합성함수 $U_{i}(\alpha(t))$는 $\alpha$위에서 정의된 벡터장이고, 혼동의 여지가 없다면 간단히 $U_{i}$로 나타낸다. 

곡선 $\alpha$위의 벡터장을 미분하려면 단순히 유클리드 좌표함수를 미분하면 되고, $\alpha$위의 새로운 벡터장을 얻게 된다. $\displaystyle Y=\sum_{i=1}^{3}{y_{i}U_{i}}$이면 $\displaystyle Y'(t)=\sum_{i=1}^{3}{\frac{dy_{i}}{dt}U_{i}}$이다.

속도벡터 $\alpha=(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3})$의 가속도(acceleration) $\alpha''$는 다음과 같은 $\alpha$위의 벡터장이다. $$\alpha''=\left(\frac{d^{2}\alpha_{1}}{dt^{2}},\,\frac{d^{2}\alpha_{2}}{dt^{2}},\,\frac{d^{2}\alpha_{3}}{dt^{2}}\right)_{\alpha}$$ 곡선 위의 벡터장 $Y,\,Z$와 실수 $a,\,b$에 대해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}(aY+bZ)'&=aY'+bZ'\\(fY)'&=\frac{df}{dt}Y+fY',\,(Y\cdot Z)'=Y'\cdot Z+Y\cdot Z'\end{align*}$$ $Y\cdot Z$가 상수이면 $Y'\cdot Z+Y\cdot Z'=0$이 성립한다.

접벡터는 벡터부분이 같으면 평행하다. 곡선 위에서 정의된 벡터장은 모든 접벡터에서의 값이 평행하면 평행(parallel)하다고 한다. 이 경우 공통 벡터부분이 $(c_{1},\,c_{2},\,c_{3})$이면 모든 $t$에 대해 다음이 성립한다. $$Y(t)=(c_{1},\,c_{2},\,c_{3})_{\alpha(t)}=\sum_{i=1}^{3}{c_{i}U_{i}}$$ 따라서 벡터장이 평행한 것은 유클리드 좌표함수가 상수인 것과 동치이다. 

곡선 $\alpha$가 상수일 필요충분조건은 속도가 0, 즉 $\alpha'=0$이고, 상수가 아닌 곡선 $\alpha$가 직선일 필요충분조건은 가속도가 0, 즉 $\alpha''=0$, 곡선 위의 벡터장 $Y$가 평행일 필요충분조건은 도함수가 0, 즉 $Y''=0$이다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry, O'neil, AcademicPress