[미분기하학] 4. 프레네 공식

[미분기하학] 4. 프레네 공식  

\(\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)가 단위속력곡선이면, 임의의 \(s\in I\)에 대해 \(\|\beta'(s)\|=1\)이다. 이때 \(T=\beta'\)를 \(\beta\)위에서 정의된 단위접벡터장(unit tangent vector field)이라고 한다. \(T\)의 길이가 상수 1이므로 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 곡선이 휘는 정도를 미분 \(T'=\beta''\)으로 측정할 수 있다. \(T'=\beta''\)를 \(\beta\)의 곡률벡터장(curvature vector field)이라 한다. \(T\cdot T=1\)을 미분하면 \(2T\cdot T'=0\)이므로 \(T'\)은 항상 \(T\)와 직교한다. 즉 \(\beta\)와 수직이다. 

곡렬벡터장 \(T'\)의 길이는 \(\beta\)의 휘는 정도를 수학적으로 측정할 수 있게 해준다. 모든 \(s\in I\)에 대해 실함수 \(\chi(s)=\|T'(s)\|\)를 \(\beta\)의 곡률함수(curvature function)라고 한다. 그러면 \(\chi\geq0\)이고 \(\chi\)가 클수록 \(\beta\)는 더 많이 휜다.

이러한 곡선의 휘는 정도에 대한 분석을 계속 하기 위해 \(\chi>0\)이라 하자. 그러면 \(\beta\)위에서 정의된 단위벡터장 \(\displaystyle N=\frac{T'}{\|T'\|}=\frac{T'}{\chi}\)는 각 점에서 \(\beta\)가 위는 방향을 알려준다.

\(N\)을 \(\beta\)위에서 정의된 주법벡터장(principal normal vector field)이라고 한다.

\(\beta\)위에서 정의된 벡터장 \(B=T\times N\)를 \(\beta\)의 양법벡터장(binormal vector field)이라고 한다. 

\(\beta\)가 \(\chi>0\)인 \(\mathbb{R}^{3}\)에 놓인 단위속력곡선이라고 하자. 그러면 세 벡터장 \(T,\,N,\,B\)는 각 점에서의 단위벡터장이고 서로 직교한다. 이때 \(T,\,N,\,B\)를 프레네 틀장(Frenet frame field)이라고 한다. 

증명: 정의에 의해 \(\|T\|=1\)이다. \(\chi=\|T'\|>0\)이므로 \(\|N\|=\frac{\|T'\|}{\chi}=1\)이다. 앞에서 \(T\cdot T'=0\)이므로 \(T\cdot N=0\)이고, 외적의 성질에 의해 \(B\)는 \(T\)와 \(N\)과 직교한다. 

곡선 \(\beta\)의 기하학적 성질에 대한 연구가 성공할 수 있게 하는 단서는 자연틀장 \(U_{1},\,U_{2},\,U_{3}\)보다 가능한 한 프레네 틀장 \(T,\,N,\,B\)를 이용하는 것이다. \(\beta\)의 프레네 틀장은 \(\beta\)에 대한 정보가 있으나 자연틀장에는 없다. 

\(T=\beta'\)이므로 \(T'=\beta''=\chi N\)이다. \(B'\)는 \(N\)의 상수배이고 이를 보이기 위해 \(B'\cdot B=0\)이고 \(B'\cdot T=0\)임을 보이자. \(B\)는 단위벡터이므로 \(B\cdot B'=0\)이다. \(B\cdot T\)를 미분하면 \(B'\cdot T+B\cdot T'=0\)이고 따라서 다음이 성립한다.$$B'\cdot T=-B\cdot T'=-B\cdot\chi N=0$$그러므로 곡선 \(\beta\)의 비틀림 함수(torsion function) \(\tau\)를 \(B'=-\tau N\)을 만족하는 구간 \(I\)에서 정의된 실함수로 정의하자(여기서 (-)부호는 전통적 관습에 의해 붙여졌다). 곡률과 대조적으로 \(\tau\)에는 어떠한 제한이 없어서 \(I\)의 각 점에서 양, 음, 0의 값 모두를 취할 수 있다. 

프레네 공식(Frenet formula) \(\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)가 곡률이 \(\chi>0\), 비틀림이 \(\tau\)인 단위곡선이면 다음이 성립한다.$$\begin{matrix}T'=&&\chi N&\\N'=&-\chi T&&\tau B\\B'=&&-\tau N&\end{matrix}$$\(T'\)과 \(B'\)은 각각 곡률과 비틀림의 정의이므로 두 번째 식이 성립함을 보이면 된다. \(N'\)을 \(T,\,N,\,B\)를 통해 정규직교전개하면$$N'=(N'\cdot T)T+(N'\cdot N)N+(N'\cdot B)B$$이고 \(N\cdot T=0\)을 미분하면 \(N'\cdot T+N\cdot T'=0\)이므로$$N'\cdot T=-N\cdot T'=-N\cdot\chi N=-\chi$$이고 \(N\)이 단위벡터장이므로 \(N'\cdot N=0\)이며 다음이 성립한다.$$N'\cdot B=-N\cdot B'=-N\cdot(-\tau N)=\tau$$다음은 나선(helix)의 재매개화 표현이다.$$\beta(s)=\left(a\cos\frac{s}{c},\,a\sin\frac{s}{c},\,\frac{b}{c}s\right)\,(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\,a>0)$$이때$$T(s)=\beta'(s)=\left(-\frac{a}{c}\sin\frac{s}{c},\,\frac{a}{c}\cos\frac{s}{c},\,\frac{b}{c}\right)$$이므로$$\begin{align*}T'(s)&=\left(-\frac{a}{c^{2}}\cos\frac{s}{c},\,-\frac{a}{c^{2}}\sin\frac{s}{c},\,0\right)\\ \chi(s)&=\|T'(s)\|=\frac{a}{c^{2}}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}>0\end{align*}$$이다. \(T'=\chi N\)이므로 \(\displaystyle N(s)=\left(-\cos\frac{s}{c},\,-\sin\frac{s}{c},\,0\right)\)이다.

외적의 정의로부터$$B(s)=T(s)\times N(s)=\left(\frac{b}{c}\sin\frac{s}{c},\,-\frac{b}{c}\cos\frac{s}{c},\,\frac{a}{c}\right)$$이고,$$B'(s)=\left(\frac{b}{c^{2}}\cos\frac{s}{c},\,\frac{b}{c^{2}}\sin\frac{s}{c},\,0\right)=-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}N$$이므로 비틀림은 \(\displaystyle\tau(s)=\frac{b}{c^{2}}=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\)이고 상수이다. 

나선에서 \(b\,\rightarrow\,0\)이면, 나선은 원이 되고, 이때 곡률은 \(\displaystyle\tau=\frac{1}{a}\), 비틀림은 \(\tau=0\)이다.  

유클리드 공간은 점 \(\mathbf{p}\)에 대해 점 \((v_{1},\,v_{2},\,v_{3})\)과 \(\mathbf{p}\)에서의 접벡터 \((v_{1},\,v_{2},\,v_{3})_{\mathbf{p}}\)사이에 자연스러운 일대일 대응이 존재한다는 성질을 갖고 있다. 그러므로 동형사상에 의해 점을 접벡터로, 접벡터를 점으로 변환시킬 수 있다. 대응하는 대상들이 같은 유클리드 좌표계를 가지므로 이러한 변환이 스칼라곱, 합, 내적, 미분 또는 유클리드 좌표를 이용한 다른 연산에서 어떠한 영향을 주지 않는다. 

곡선 \(\beta\)에서 정의된 벡터장 \(Y=(y_{1},\,y_{2},\,y_{3})_{\beta}\)는 자신이 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 곡선 \((y_{1},\,y_{2},\,y_{3})\)이 되고, \(Y\)가 평행(유클리드 좌표함수가 상수)하면, \(Y\)는 \(\mathbb{R}^{3}\)의 단 하나의 점과 같다. \(\mathbb{R}^{3}\)에서 평면은 주어진 점에서 주어진 직선과 수직인 점 전체로 이루어진 것으로 표현된다. 이것을 벡터로 나타내면 \(\mathbf{p}\)를 지나고 \(\mathbf{q}\)에 수직인 평면은 \((\mathbf{r}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{q}=0\)을 만족하는 \(\mathbf{r}\in\mathbb{R}^{3}\)들로 이루어져 있다. \(\mathbf{q}\)를 아래의 그림처럼 \(\mathbf{p}\)의 접벡터로 볼 수 

점 \(\beta(0)\)근방의 단위속력곡선 \(\beta=(\beta_{1},\,\beta_{2},\,\beta_{3})\)를 고려하자. 작은 \(s\)에 대해 \(\beta_{i}(s)\)는 다음과 같이 테일러급수로 근사할 수 있다.$$\beta_{i}(s)\approx\beta_{i}(0)+\frac{d\beta_{i}}{ds}(0)s+\frac{d^{2}\beta_{i}}{ds^{2}}(0)s^{2}+\frac{d^{3}\beta_{i}}{ds^{3}}(0)\frac{s^{3}}{6}$$그러므로$$\beta(s)\approx\beta(0)+s\beta'(0)+\frac{s^{2}}{2}\beta''(0)+\frac{s^{3}}{6}\beta'''(0)$$이다. \(\beta'(0)=T_{0}\), \(\beta''(0)=\chi_{0}N_{0}\)이다(첨자는 \(s=0\)에서의 값이다). \(\chi_{0}\neq0\)이라 가정하자. 그러면$$\beta'''=(\chi N)'=\frac{d\chi}{ds}N+\chi N'$$이고 \(N'\)에 대한 프레네 공식에 의해$$\beta'''(0)=-\chi_{0}^{2}T_{0}+\frac{d\chi}{ds}(0)N_{0}+\chi_{0}\tau_{0}B_{0}$$이다. 앞에서 구한 결과들을 테일러 근사식에 대입하고 \(s\)에 대한 오름차순으로 정리하면 다음과 같다.$$\beta(s)\approx\beta(0)+sT_{0}+\chi_{0}\frac{s^{2}}{2}N_{0}+\chi_{0}\tau_{0}\frac{s^{3}}{6}B_{0}$$위 근사식의 우변을 \(\hat{\beta}(s)\)로 나타내면 \(s=0\)의 근방에서 \(\beta\)의 프레네 근사식(Frenet approximation)이라고 불리는 곡선 \(\hat{\beta}\)를 얻는다. 앞의 테일러 전개에서 0이 임의의 다른 수 \(s_{0}\)로 바뀌면, \(s\)는 \(s-s_{0}\)로 바뀐다. 

앞에서 구한 프레네 근사식에서 \(\hat{\beta}\)의 첫 항은 점 \(\beta(0)\)이다. 앞의 두 항은 \(\beta(0)\)에서 \(\beta\)의 접선 \(s\,\rightarrow\,\beta(0)+sT_{0}\)으로서 \(\beta(0)\)의 근처에서 \(\beta\)의 최적 선형근사이다. 앞의 세 항은 \(\beta(0)\)근처에서 \(\beta\)의 최적 이차 근사식인 포물선$$s\,\mapsto\,\beta(0)+sT_{0}+\chi_{0}\frac{s^{2}}{2}N_{0}$$이고, 이 포물선이 \(\beta(0)\)에서의 \(\beta\)의 접촉평면(osculating plane)이다. 이 포물선은 \(xy\)평면의 포물선 \(\displaystyle y=\chi_{0}\frac{s^{2}}{2}\)와 같은 모양을 하고 있고, 그것은 \(s=0\)일 때 \(\beta\)의 곡률 \(\chi_{0}\)에 의해 결정된다. \(\hat{\beta}\)의 가장 작은 항인 비틀림 \(\tau_{0}\)는 다음과 같이 \(\beta(0)\)에서의 접촉평면에 수직 방향에 대한 \(\beta\)의 운동을 조절한다.

단위속력곡선의 곡률이 항상 0이면, 직선이라고 추측할 수 있고, \(\chi=\|T'\|=\|\beta''\|\)이므로 \(\chi_{0}=0\)과 \(\beta'''=0\)은 동치이다.

\(\beta\)가 \(\chi>0\)인 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 단위속력곡선일 때, \(\beta\)가 평면곡선일 필요충분조건은 \(\tau=0\)이다.

증명:

(\(\Rightarrow\)): \(\beta\)를 평면곡선이라고 하자. 그러면 두 점 \(\mathbf{p},\,\mathbf{q}\)가 존재해서 모든 \(s\)에 대해 \((\beta(s)-\mathbf{p})\cdot\mathbf{q}=0\)이다. 이 식을 \(s\)에 대해 미분하면$$\beta'(s)\cdot\mathbf{q}=\beta''(s)\cdot\mathbf{q}=0$$이므로 \(\mathbb{q}\)는 항상 \(T=\beta'\)와 \(\displaystyle N=\frac{\beta''}{\chi}\)와 직교한다. \(B\)도 \(T\)와 \(N\)에 직교하고 \(B\)는 단위벡터이므로 \(\displaystyle B=\pm\frac{q}{\|\mathbf{q}\|}\)이다. 그러므로 \(B'=0\)이고 정의에 의해 \(\tau=0\)이다.

 (\(\Leftarrow\)): \(\tau=0\)이면 \(B'=0\)즉 \(B\)는 평행하고 \(\mathbb{R}^{3}\)의 한 점과 같다. \(\beta\)가 \(\beta(0)\)을 지나고 \(B\)에 수직인 평면에 놓여 있음을 보이자. \(f(s)=(\beta(s)-\beta(0))\cdot B\)라 하면$$\frac{df}{ds}=\beta'\cdot B=T\cdot B=0$$이고 \(f(0)=0\)이므로 \(f=0\)이다. 그러므로 모든 \(s\)에 대해 \((\beta(s)-\beta(0))\cdot B=0\)이고, 이것은 \(\beta\)가 \(\beta\)의 양법벡터(binormal)와 수직인 평면에 있음을 보여준다.

\(\beta\)가 곡률 \(\chi(>0)\)가 상수이고 비틀림 \(\tau\)가 0인 단위속력곡선이면 \(\beta\)는 반지름이 \(\displaystyle\frac{1}{\chi}\)인 원의 일부이다.

증명: \(\tau=0\)이므로 \(\beta\)는 평면곡선이다. \(\beta\)의 모든 점이 원의 증심이 될 점으로부터의 거리가 \(\displaystyle\frac{1}{\chi}\)임을 보이자. 곡선 \(\displaystyle\gamma=\beta+\frac{1}{\chi}N\)을 고려하자. \(\beta\)에 대한 가정과 프레네 공식에 의해$$\gamma'=\beta'+\frac{1}{\chi}N'=T+\frac{1}{\chi}(-\chi T)=0$$이다. 그러므로 곡선 \(\gamma\)는 상수이다. 즉 \(\displaystyle\beta(s)+\frac{1}{\chi}N(s)\)는 모든 \(s\)에 대해 같은 값(\(\mathbf{c}\))을 갖는다.

그리고 \(\mathbf{c}\)에서 \(\beta(s)\)까지의 거리는 다음과 같다.$$d(\mathbf{c},\,\beta(s))=\|\mathbf{c}-\beta(s)\|=\left\|\frac{1}{\chi}N(s)\right\|=\frac{1}{\chi}$$참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry, O'neil, AcademicPress