[미분기하학] 4. 프레네 공식

[미분기하학] 4. 프레네 공식  

$\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$가 단위속력곡선이면, 임의의 $s\in I$에 대해 $\|\beta'(s)\|=1$이다. 이때 $T=\beta'$를 $\beta$위에서 정의된 단위접벡터장(unit tangent vector field)이라고 한다. $T$의 길이가 상수 1이므로 $\mathbb{R}^{3}$에서 곡선이 휘는 정도를 미분 $T'=\beta''$으로 측정할 수 있다. $T'=\beta''$를 $\beta$의 곡률벡터장(curvature vector field)이라 한다. $T\cdot T=1$을 미분하면 $2T\cdot T'=0$이므로 $T'$은 항상 $T$와 직교한다. 즉 $\beta$와 수직이다. 

곡렬벡터장 $T'$의 길이는 $\beta$의 휘는 정도를 수학적으로 측정할 수 있게 해준다. 모든 $s\in I$에 대해 실함수 $\chi(s)=\|T'(s)\|$를 $\beta$의 곡률함수(curvature function)라고 한다. 그러면 $\chi\geq0$이고 $\chi$가 클수록 $\beta$는 더 많이 휜다.

이러한 곡선의 휘는 정도에 대한 분석을 계속 하기 위해 $\chi>0$이라 하자. 그러면 $\beta$위에서 정의된 단위벡터장 $\displaystyle N=\frac{T'}{\|T'\|}=\frac{T'}{\chi}$는 각 점에서 $\beta$가 위는 방향을 알려준다.

$N$을 $\beta$위에서 정의된 주법벡터장(principal normal vector field)이라고 한다.

$\beta$위에서 정의된 벡터장 $B=T\times N$를 $\beta$의 양법벡터장(binormal vector field)이라고 한다. 

$\beta$가 $\chi>0$인 $\mathbb{R}^{3}$에 놓인 단위속력곡선이라고 하자. 그러면 세 벡터장 $T,\,N,\,B$는 각 점에서의 단위벡터장이고 서로 직교한다. 이때 $T,\,N,\,B$를 프레네 틀장(Frenet frame field)이라고 한다. 

증명: 정의에 의해 $\|T\|=1$이다. $\chi=\|T'\|>0$이므로 $\|N\|=\frac{\|T'\|}{\chi}=1$이다. 앞에서 $T\cdot T'=0$이므로 $T\cdot N=0$이고, 외적의 성질에 의해 $B$는 $T$와 $N$과 직교한다. 

곡선 $\beta$의 기하학적 성질에 대한 연구가 성공할 수 있게 하는 단서는 자연틀장 $U_{1},\,U_{2},\,U_{3}$보다 가능한 한 프레네 틀장 $T,\,N,\,B$를 이용하는 것이다. $\beta$의 프레네 틀장은 $\beta$에 대한 정보가 있으나 자연틀장에는 없다. 

$T=\beta'$이므로 $T'=\beta''=\chi N$이다. $B'$는 $N$의 상수배이고 이를 보이기 위해 $B'\cdot B=0$이고 $B'\cdot T=0$임을 보이자. $B$는 단위벡터이므로 $B\cdot B'=0$이다. $B\cdot T$를 미분하면 $B'\cdot T+B\cdot T'=0$이고 따라서 다음이 성립한다. $$B'\cdot T=-B\cdot T'=-B\cdot\chi N=0$$ 그러므로 곡선 $\beta$의 비틀림 함수(torsion function) $\tau$를 $B'=-\tau N$을 만족하는 구간 $I$에서 정의된 실함수로 정의하자(여기서 (-)부호는 전통적 관습에 의해 붙여졌다). 곡률과 대조적으로 $\tau$에는 어떠한 제한이 없어서 $I$의 각 점에서 양, 음, 0의 값 모두를 취할 수 있다. 

프레네 공식(Frenet formula) $\beta:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$가 곡률이 $\chi>0$, 비틀림이 $\tau$인 단위곡선이면 다음이 성립한다. $$\begin{matrix}T'=&&\chi N&\\N'=&-\chi T&&\tau B\\B'=&&-\tau N&\end{matrix}$$ $T'$과 $B'$은 각각 곡률과 비틀림의 정의이므로 두 번째 식이 성립함을 보이면 된다. $N'$을 $T,\,N,\,B$를 통해 정규직교전개하면 $$N'=(N'\cdot T)T+(N'\cdot N)N+(N'\cdot B)B$$ 이고 $N\cdot T=0$을 미분하면 $N'\cdot T+N\cdot T'=0$이므로 $$N'\cdot T=-N\cdot T'=-N\cdot\chi N=-\chi$$ 이고 $N$이 단위벡터장이므로 $N'\cdot N=0$이며 다음이 성립한다. $$N'\cdot B=-N\cdot B'=-N\cdot(-\tau N)=\tau$$ 다음은 나선(helix)의 재매개화 표현이다. $$\beta(s)=\left(a\cos\frac{s}{c},\,a\sin\frac{s}{c},\,\frac{b}{c}s\right)\,(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\,a>0)$$ 이때 $$T(s)=\beta'(s)=\left(-\frac{a}{c}\sin\frac{s}{c},\,\frac{a}{c}\cos\frac{s}{c},\,\frac{b}{c}\right)$$ 이므로 $$\begin{align*}T'(s)&=\left(-\frac{a}{c^{2}}\cos\frac{s}{c},\,-\frac{a}{c^{2}}\sin\frac{s}{c},\,0\right)\\ \chi(s)&=\|T'(s)\|=\frac{a}{c^{2}}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}>0\end{align*}$$ 이다. $T'=\chi N$이므로 $\displaystyle N(s)=\left(-\cos\frac{s}{c},\,-\sin\frac{s}{c},\,0\right)$이다.

외적의 정의로부터 $$B(s)=T(s)\times N(s)=\left(\frac{b}{c}\sin\frac{s}{c},\,-\frac{b}{c}\cos\frac{s}{c},\,\frac{a}{c}\right)$$ 이고, $$B'(s)=\left(\frac{b}{c^{2}}\cos\frac{s}{c},\,\frac{b}{c^{2}}\sin\frac{s}{c},\,0\right)=-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}N$$ 이므로 비틀림은 $\displaystyle\tau(s)=\frac{b}{c^{2}}=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}$이고 상수이다. 

나선에서 $b\,\rightarrow\,0$이면, 나선은 원이 되고, 이때 곡률은 $\displaystyle\tau=\frac{1}{a}$, 비틀림은 $\tau=0$이다.  

유클리드 공간은 점 $\mathbf{p}$에 대해 점 $(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})$과 $\mathbf{p}$에서의 접벡터 $(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})_{\mathbf{p}}$사이에 자연스러운 일대일 대응이 존재한다는 성질을 갖고 있다. 그러므로 동형사상에 의해 점을 접벡터로, 접벡터를 점으로 변환시킬 수 있다. 대응하는 대상들이 같은 유클리드 좌표계를 가지므로 이러한 변환이 스칼라곱, 합, 내적, 미분 또는 유클리드 좌표를 이용한 다른 연산에서 어떠한 영향을 주지 않는다. 

곡선 $\beta$에서 정의된 벡터장 $Y=(y_{1},\,y_{2},\,y_{3})_{\beta}$는 자신이 $\mathbb{R}^{3}$상의 곡선 $(y_{1},\,y_{2},\,y_{3})$이 되고, $Y$가 평행(유클리드 좌표함수가 상수)하면, $Y$는 $\mathbb{R}^{3}$의 단 하나의 점과 같다. $\mathbb{R}^{3}$에서 평면은 주어진 점에서 주어진 직선과 수직인 점 전체로 이루어진 것으로 표현된다. 이것을 벡터로 나타내면 $\mathbf{p}$를 지나고 $\mathbf{q}$에 수직인 평면은 $(\mathbf{r}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{q}=0$을 만족하는 $\mathbf{r}\in\mathbb{R}^{3}$들로 이루어져 있다. $\mathbf{q}$를 아래의 그림처럼 $\mathbf{p}$의 접벡터로 볼 수 

점 $\beta(0)$근방의 단위속력곡선 $\beta=(\beta_{1},\,\beta_{2},\,\beta_{3})$를 고려하자. 작은 $s$에 대해 $\beta_{i}(s)$는 다음과 같이 테일러급수로 근사할 수 있다. $$\beta_{i}(s)\approx\beta_{i}(0)+\frac{d\beta_{i}}{ds}(0)s+\frac{d^{2}\beta_{i}}{ds^{2}}(0)s^{2}+\frac{d^{3}\beta_{i}}{ds^{3}}(0)\frac{s^{3}}{6}$$ 그러므로 $$\beta(s)\approx\beta(0)+s\beta'(0)+\frac{s^{2}}{2}\beta''(0)+\frac{s^{3}}{6}\beta'''(0)$$ 이다. $\beta'(0)=T_{0}$, $\beta''(0)=\chi_{0}N_{0}$이다(첨자는 $s=0$에서의 값이다). $\chi_{0}\neq0$이라 가정하자. 그러면 $$\beta'''=(\chi N)'=\frac{d\chi}{ds}N+\chi N'$$ 이고 $N'$에 대한 프레네 공식에 의해 $$\beta'''(0)=-\chi_{0}^{2}T_{0}+\frac{d\chi}{ds}(0)N_{0}+\chi_{0}\tau_{0}B_{0}$$ 이다. 앞에서 구한 결과들을 테일러 근사식에 대입하고 $s$에 대한 오름차순으로 정리하면 다음과 같다. $$\beta(s)\approx\beta(0)+sT_{0}+\chi_{0}\frac{s^{2}}{2}N_{0}+\chi_{0}\tau_{0}\frac{s^{3}}{6}B_{0}$$ 위 근사식의 우변을 $\hat{\beta}(s)$로 나타내면 $s=0$의 근방에서 $\beta$의 프레네 근사식(Frenet approximation)이라고 불리는 곡선 $\hat{\beta}$를 얻는다. 앞의 테일러 전개에서 0이 임의의 다른 수 $s_{0}$로 바뀌면, $s$는 $s-s_{0}$로 바뀐다. 

앞에서 구한 프레네 근사식에서 $\hat{\beta}$의 첫 항은 점 $\beta(0)$이다. 앞의 두 항은 $\beta(0)$에서 $\beta$의 접선 $s\,\rightarrow\,\beta(0)+sT_{0}$으로서 $\beta(0)$의 근처에서 $\beta$의 최적 선형근사이다. 앞의 세 항은 $\beta(0)$근처에서 $\beta$의 최적 이차 근사식인 포물선 $$s\,\mapsto\,\beta(0)+sT_{0}+\chi_{0}\frac{s^{2}}{2}N_{0}$$ 이고, 이 포물선이 $\beta(0)$에서의 $\beta$의 접촉평면(osculating plane)이다. 이 포물선은 $xy$평면의 포물선 $\displaystyle y=\chi_{0}\frac{s^{2}}{2}$와 같은 모양을 하고 있고, 그것은 $s=0$일 때 $\beta$의 곡률 $\chi_{0}$에 의해 결정된다. $\hat{\beta}$의 가장 작은 항인 비틀림 $\tau_{0}$는 다음과 같이 $\beta(0)$에서의 접촉평면에 수직 방향에 대한 $\beta$의 운동을 조절한다.

단위속력곡선의 곡률이 항상 0이면, 직선이라고 추측할 수 있고, $\chi=\|T'\|=\|\beta''\|$이므로 $\chi_{0}=0$과 $\beta'''=0$은 동치이다.

$\beta$가 $\chi>0$인 $\mathbb{R}^{3}$상의 단위속력곡선일 때, $\beta$가 평면곡선일 필요충분조건은 $\tau=0$이다.

증명:

($\Rightarrow$): $\beta$를 평면곡선이라고 하자. 그러면 두 점 $\mathbf{p},\,\mathbf{q}$가 존재해서 모든 $s$에 대해 $(\beta(s)-\mathbf{p})\cdot\mathbf{q}=0$이다. 이 식을 $s$에 대해 미분하면 $$\beta'(s)\cdot\mathbf{q}=\beta''(s)\cdot\mathbf{q}=0$$ 이므로 $\mathbb{q}$는 항상 $T=\beta'$와 $\displaystyle N=\frac{\beta''}{\chi}$와 직교한다. $B$도 $T$와 $N$에 직교하고 $B$는 단위벡터이므로 $\displaystyle B=\pm\frac{q}{\|\mathbf{q}\|}$이다. 그러므로 $B'=0$이고 정의에 의해 $\tau=0$이다.

 ($\Leftarrow$): $\tau=0$이면 $B'=0$즉 $B$는 평행하고 $\mathbb{R}^{3}$의 한 점과 같다. $\beta$가 $\beta(0)$을 지나고 $B$에 수직인 평면에 놓여 있음을 보이자. $f(s)=(\beta(s)-\beta(0))\cdot B$라 하면 $$\frac{df}{ds}=\beta'\cdot B=T\cdot B=0$$ 이고 $f(0)=0$이므로 $f=0$이다. 그러므로 모든 $s$에 대해 $(\beta(s)-\beta(0))\cdot B=0$이고, 이것은 $\beta$가 $\beta$의 양법벡터(binormal)와 수직인 평면에 있음을 보여준다.

$\beta$가 곡률 $\chi(>0)$가 상수이고 비틀림 $\tau$가 0인 단위속력곡선이면 $\beta$는 반지름이 $\displaystyle\frac{1}{\chi}$인 원의 일부이다.

증명: $\tau=0$이므로 $\beta$는 평면곡선이다. $\beta$의 모든 점이 원의 증심이 될 점으로부터의 거리가 $\displaystyle\frac{1}{\chi}$임을 보이자. 곡선 $\displaystyle\gamma=\beta+\frac{1}{\chi}N$을 고려하자. $\beta$에 대한 가정과 프레네 공식에 의해 $$\gamma'=\beta'+\frac{1}{\chi}N'=T+\frac{1}{\chi}(-\chi T)=0$$ 이다. 그러므로 곡선 $\gamma$는 상수이다. 즉 $\displaystyle\beta(s)+\frac{1}{\chi}N(s)$는 모든 $s$에 대해 같은 값($\mathbf{c}$)을 갖는다.

그리고 $\mathbf{c}$에서 $\beta(s)$까지의 거리는 다음과 같다. $$d(\mathbf{c},\,\beta(s))=\|\mathbf{c}-\beta(s)\|=\left\|\frac{1}{\chi}N(s)\right\|=\frac{1}{\chi}$$ 참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry, O'neil, AcademicPress