[미분기하학] 2. 유클리드 공간에서의 미적분학(2: 1차형식, 미분형식)

[미분기하학] 2. 유클리드 공간에서의 미적분학(2: 1차형식, 미분형식)

$\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 1차형식(1-form) $\phi$는 $\mathbb{R}^{3}$의 접벡터 전체의 집합에서 정의되고, 각 점에서 선형, 즉 임의의 실수 $a,\,b$와 $\mathbb{R}^{3}$의 한 점에서 접벡터 $\mathbf{v},\,\mathbf{w}$에 대해 다음이 성립하는 실함수이다. $$\phi(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})=a\phi(\mathbf{v})+b\phi(\mathbf{w})$$ 1차형식 $\phi$는 $\mathbb{R}^{3}$의 모든 접벡터 $\mathbf{v}$에 대해 실수값 $\phi(\mathbf{v})$를 갖는다. $\mathbb{R}^{3}$이 각 점 $\mathbf{p}$에 대해 함수 $\phi_{\mathbf{p}}:T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\,\rightarrow\,\mathbb{R}$는 선형이다. 따라서 각 점 $\mathbf{p}$에서 $\phi_{\mathbf{p}}$는 $T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3}$의 쌍대공간의 한 원소이다. 

1차형식 $\phi,\,\psi$의 합은 모든 접벡터 $\mathbf{v}$에 대해 다음과 같이 정의된다. $$(\phi+\psi)(\mathbf{v})=\phi(\mathbf{v})+\psi(\mathbf{v})$$ 마찬가지로 $f$가 $\mathbb{R}^{3}$에서의 실함수이고, $\phi$가 1차형식이면, $f\phi$는 모든 접벡터 $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}$에 대해 $(f\phi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=f(\mathbf{p})\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})$이다. 

벡터장 $V$에 대해 각 점 $\mathbf{p}$에서 $\phi(V)$의 값은 실수 $\phi(V(\mathbf{p}))$이고, $V$가 미분가능할 때 $\phi(V)$가 미분가능하면 $\phi$가 미분가능하다고 한다. 1차형식은 항상 미분가능하다고 가정한다.

함수 $f$와 $g$에 대해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\phi(fV+gW)&=f\phi(V)+g\phi(W)\\(f\phi+g\psi)(V)&=f\phi(V)+g\psi(V)\end{align*}$$ $f$가 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 미분가능한 실함수일 때, $f$의 미분(differential) $df$는 모든 접벡터 $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}$에 대해 $df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)$로 정의되는 1차형식이다. 

$\mathbb{R}^{3}$에서 자연좌표함수의 미분 $dx_{1},\,dx_{2},\,dx_{3}$를 이용해 다음이 성립함을 알 수 있다. $$dx_{i}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(x_{i})=\sum_{j=1}^{3}{v_{j}\frac{\partial x_{i}}{\partial j}(\mathbf{p})}=\sum_{j=1}^{3}{v_{j}\delta_{ij}}=v_{i}$$ 여기서 $\delta_{ij}$는 크로네커 델타(Kronecker delta)로 다음과 같이 정의된다. $$\delta_{ij}=\begin{cases}1&\,i=j\\0&\,i\neq j\end{cases}$$ 이 사실로부터 임의의 접벡터 $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}$에 대한 $dx_{i}$의 값은 그것의 벡터부분의 $i$번째 좌표이고, 그것의 작용점 $\mathbf{p}$의 영향을 받지 않는다. 

$dx_{i}$1차형식 이므로 1차형식 $\psi=f_{1}dx_{1}+f_{2}dx_{2}+f_{3}dx_{3}$에서 임의의 $f_{1},\,f_{2},\,f_{3}$에 대해 $\psi$는 1차형식이고, 임의의 접벡터 $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}$에서의 $\psi$의 값은 다음과 같다. $$\psi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})}=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}(\mathbf{p})dx_{i}(\mathbf{v})}=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}(\mathbf{p})v_{i}}$$ $\phi$가 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 1차형식이면, $\displaystyle\phi=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}}$이고 이때 함수 $f_{1},\,f_{2},\,f_{3}$을 $\phi$의 유클리드 좌표함수(Euclidean coordinate function)라고 한다. 

증명: 1차형식은 접벡터에서 정의된 함수이므로 $\phi$와 $\displaystyle\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}}$가 같을 필요충분조건은 모든 접벡터 $\displaystyle\mathbf{v}_{\mathbf{p}}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}U_{i}(\mathbf{p})}$에 대해 같은 값을 갖는 것이다. $$\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}(\mathbf{p})v_{i}}$$ 이고 $f_{i}=\phi(U_{i})$이므로 $$\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=\phi\left(\sum_{i=1}^{3}{v_{i}U_{i}(\mathbf{p})}\right)=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}\phi(U_{i}(\mathbf{p}))}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}f_{i}(\mathbf{p})}$$ 이다. 따라서 $\phi$와 $\displaystyle\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}}$는 모든 접벡터에서 같은 값을 갖는다.  

위의 정리로부터 다음의 결과를 얻는다.

$f$가 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 미분가능한 함수이면 $\displaystyle df=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}}$이다.

증명: 임의의 접벡터 $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}$에서 $\displaystyle\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}}=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{p})v_{i}}$이고, 이것은 $df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)$와 같다. 그러므로 $\displaystyle df=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}}$이다. 

위의 결과 또는 미분의 정의로부터 $d(f+g)=df+dg$이다. 

$\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 미분가능한 함수 $f,\,g$에 대해 다음이 성립한다. $$d(fg)=gdf+fdg$$ 증명: 다음으로부터 성립한다. $$\begin{align*}d(fg)&=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial(fg)}{\partial x_{i}}dx_{i}}=\sum_{i=1}^{3}{\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}g+\frac{\partial g}{\partial x_{i}}f\right)dx_{i}}\\&=g\left(\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}}\right)+f\left(\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial g}{\partial x_{i}}dx_{i}}\right)\end{align*}$$ $f:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$, $h:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 미분가능한 함수이면 합성함수 $h(f)$도 미분가능하고 $d(h(f))=h'(f)df$이다. 

증명: 연쇄법칙에 의해 $\displaystyle\frac{\partial(h(f))}{\partial x_{i}}=h'(f)\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$이므로 다음의 결과를 얻는다. $$d(h(f))=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial(h(f))}{\partial x_{i}}dx_{i}}=\sum_{i=1}^{3}{h'(f)\frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}}=h'(f)df$$ $f=(x^{2}-1)y+(y^{2}+2)z$에 대해 $$df=2xydx+(x^{2}+2yz-1)dy+(y^{2}+2)dz$$ 이므로 접벡터 $\mathbf{v}=(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})$을 이용하면 다음과 같다. $$\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)=df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=2p_{1}p_{2}v_{1}+(p_{1}^{2}+2p_{2}p_{3}-1)v_{2}+(p_{2}^{2}+2)v_{3}$$ $\mathbb{R}^{3}$에서의 미분형식은 실함수와 $\mathbb{R}^{3}$의 자연좌표함수의 미분인 $dx_{1}$, $dx_{2}$, $dx_{3}$을 더하거나 곱해 얻어지는 표현이고, 이 두 연산은 보통의 결합법칙과 분배법칙을 만족하나, 교환법칙을 만족하지 않는 대신 다음의 교대법칙(alternation rule)을 따른다. $$dx_{i}dx_{j}=-dx_{j}dx_{i}\,(1\leq i,\,j\leq3)$$ 교대법칙으로부터 중복되는 것은 0임을 알 수 있다. 실제로 $i=j$이면 $dx_{i}dx_{i}=-dx_{i}dx_{i}$가 성립하기 때문이다. 미분형식의 합의 각 항이 $p$개의 $dx_{i}$를 포함하면 그 형식을 $p$차형식($p$-form)이라 하고, 차수(degree) $p$를 갖는다고 한다. 이것을 $dx,\,dy,\,dz$를 이용해 표현하면 다음과 같다. 

0차형식: 미분가능한 함수 $f$

1차형식: $fdx+gdy+hdz$        

2차형식: $fdxdy+gdxdz+hdydz$

3차형식: $fdxdydz$

3차원 유클리드공간에서 $p>3$이면 교대법칙으로부터 $p$차형식은 모두 0이 된다. 교대법칙이 사용됨을 보이기 위해 형식의 곱을 쐐기기호(wedge notation) $\wedge$로 나타내고, $dx,\,dy,\,dz$의 곱만 포함되는 경우는 쐐기기호를 사용하지 않는다. 

예: $\phi=xdx-ydy$, $\psi=zdx+xdz$, $\theta=zdy$, $\eta=ydxdz+xdydz$라 하면 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\phi\wedge\psi&=(xdx-ydy)\wedge(zdx+xdz)\\&=xzdxdx+x^{2}dxdz-yzdydx-yxdydz\\&=yzdxdy+x^{2}dxdz-xydydz\\ \theta\wedge\phi\wedge\psi&=yz^{2}dydxdy+x^{2}zdydxdz-xyzdydydx\\&=-x^{2}zdxdydz\\ \phi\wedge\eta&=x^{2}dxdydz-y^{2}dydxdz=(x^{2}+y^{2})dxdydz\end{align*}$$ $\phi$와 $\psi$가 1차형식이면 $\phi\wedge\psi=-\psi\wedge\phi$이다. 

증명: $\displaystyle\phi=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}}$, $\displaystyle\psi=\sum_{j=1}^{3}{g_{j}dx_{j}}$라 하면 교대법칙에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$\phi\wedge\psi=\sum_{i,\,j=1}^{3}{f_{i}g_{j}dx_{i}dx_{j}}=-\sum_{i,\,j=1}^{3}{g_{j}f_{i}dx_{j}dx_{i}}=-\psi\wedge\phi$$ $\displaystyle\phi=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}}$가 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 1차형식이면, $\phi$의 외도함수(exterior derivative)는 2차형식 $\displaystyle d\phi=\sum_{i=1}^{3}{df_{i}\wedge dx_{i}}$이다. 

실제로 계산하면 $\phi=f_{1}dx_{1}+f_{2}dx_{2}+f_{3}dx_{3}$이므로 $$d\phi=\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\right)dx_{1}dx_{2}+\left(\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{3}}\right)dx_{1}dx_{3}+\left(\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{3}}\right)dx_{2}dx_{3}$$ 이다.

$\phi=xydx+x^{2}dz$일때 다음이 성립한다. $$\begin{align*}d\phi&=d(xy)\wedge dx+d(x^{2})\wedge dz\\&=(ydx+xdy)\wedge dx+2xdxdz\\&=-xdxdy+2xdxdz\end{align*}$$ $f,\,g$를 함수, $\phi,\,\psi$를 1차형식이라고 하면 다음이 성립한다.

(1) $d(fg)=(df)g+fdg$

(2) $d(f\phi)=df\wedge\phi+fd\phi$

(3) $d(\phi\wedge\psi)=d\phi\wedge\psi-\phi\wedge d\psi$

증명: 생략

함수 $F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}$에 대해 $f_{1},\,f_{2},\,...,\,f_{m}$을 $\mathbb{R}^{n}$의 임의의 점 $\mathbb{p}$에 대해 다음과 같은 실함수라고 하자. $$F(\mathbf{p})=(f_{1}(\mathbf{p}),\,f_{2}(\mathbf{p}),\,...,\,f_{m}(\mathbf{p}))$$ 이 함수를 $F$의 유클리드 좌표함수(Euclidean coordinate function)라 하고 $F=(f_{1},\,f_{2},\,...,\,f_{m})$로 나타낸다. 이때 좌표함수가 미분가능하면 $F$는 미분가능(differentiable)하다고 한다. 미분가능한 함수 $F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}$을 $\mathbb{R}^{n}$에서 $\mathbb{R}^{m}$으로의 사상(mapping)이라고 한다. $x_{1},\,...,\,x_{m}$이 $\mathbb{R}^{m}$의 좌표함수일 때 $F$의 좌표함수는 합성함수 $f_{i}=x_{i}(F)$이다. 

$F:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$을 $F=(x^{2},\,yz,\,xy)$라 하면 모든 $\mathbf{p}$에 대해 $$F(\mathbf{p})=(x(\mathbf{p})^{2},\,y(\mathbf{p})z(\mathbf{p}),\,x(\mathbf{p})y(\mathbf{p}))$$ 이고 $\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})$이므로 $$x_{1}(\mathbf{p})=p_{1},\,x_{2}(\mathbf{p})=p_{2},\,x_{3}(\mathbf{p})=p_{3}$$ 이다. 그러므로 $F(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=(p_{1}^{2},\,p_{2}p_{3},\,p_{1}p_{2})$이다. 

$\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}$이 $\mathbb{R}^{n}$의 곡선이고 $F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}$이 사상이면, 합성함수 $\beta=F(\alpha):I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}$는 $\mathbb{R}^{m}$상의 곡선이고 $F$에 의한 $\alpha$의 상(image)이라고 한다.

$F(x,\,y,\,z)=(x-y,\,x+y,\,2z)$라 하자. $\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})$에 대해 $F(\mathbf{p})=(p_{1}-p_{2},\,p_{1}+p_{2},\,2p_{3})$이고, $F$는 다음의 세 벡터에 의해 결정된다. $$\mathbf{u}_{1}=(1,\,0,\,0),\,\mathbf{u}_{2}=(0,\,1,\,0),\,\mathbf{u}_{3}=(0,\,0,\,1)$$ $F(x,\,y)=(x^{2}-y^{2},\,2xy)$라 하자. $\alpha(t)=(r\cos t,\,r\sin t)\,(0\leq t\leq2\pi)$에 대해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\beta(t)&=F(\alpha(t))=F(r\cos t,\,r\sin t)\\&=(r^{2}\cos^{2}t-r^{2}\sin^{2}t,\,2r^{2}\cos t\sin t)\\&=(r^{2}\cos2t,\,r^{2}\sin2t)\,(0\leq t\leq2\pi)\end{align*}$$

$x$근방에서 미분가능한 실함수 $f$를 선형함수 $\Delta y\,\rightarrow\,f'(x)\Delta x$로 근사시키듯이 $\mathbb{R}^{n}$은 점 $\mathbf{p}$근방의 직선 $\alpha(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{v}$로 채워지므로 $\mathbb{R}^{m}$도 $F(\mathbf{p})$에서 출발하는 곡선 $\beta(t)=F(\mathbf{p}+t\mathbf{v})$로 채워진다.

따라서 $\mathbf{p}$에서 사상 $F$를 초기속도 $\alpha'(0)=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}$를 초기속도 $\beta'(0)$으로 보내는 사상 $F_{*}$로 근사시킬 수 있다.

$F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}$를 사상이라고 하자. $\mathbf{v}$가 $\mathbf{p}$에서의 $\mathbb{R}^{n}$상의 접벡터일 때 $F_{*}(\mathbf{v})$를 곡선 $t\,\mapsto\,F(\mathbf{p}+t\mathbf{v})$의 초기속도라고 하자. 이때 함수 $F_{*}$는 $\mathbb{R}^{n}$의 접벡터를 $\mathbb{R}^{m}$의 접벡터로 보내고, 이것을 $F$의 접사상(tangent map)이라고 한다. 

$F=(f_{1},\,f_{2},\,...,\,f_{m})$을 $\mathbb{R}^{n}$에서 $\mathbb{R}^{m}$으로의 사상이라고 하자. $\mathbf{v}$가 $\mathbf{p}$에서 $\mathbb{R}^{n}$의 접벡터이면, $F(\mathbf{p})$에서 $$F_{*}(\mathbf{v})=(\mathbf{v}(f_{1}),\,...,\,\mathbf{v}(f_{m}))$$ 이다. 따라서 $F_{*}(\mathbf{v})$는 $F$의 좌표함수의 $\mathbf{v}$에 대한 도함수 $\mathbf{v}(f_{i})$에 의해 결정된다.

증명: $$\beta(t)=F(\mathbf{p}+t\mathbf{v})=(f_{1}(\mathbf{p}+t\mathbf{v}),\,f_{2}(\mathbf{p}+t\mathbf{v}),\,...,\,f_{m}(\mathbf{p}+t\mathbf{v}))$$ 이고 정의에 의해 $F_{*}(\mathbf{v})=\beta'(0)$이다. $$\frac{d}{dt}f_{i}(\mathbf{p}+t\mathbf{v})|_{t=0}=\mathbf{v}(f)$$ 이므로 $$F_{*}(\mathbf{v})=(\mathbf{v}(f_{1}),\,\mathbf{v}(f_{2}),\,...,\,\mathbf{v}(f_{m}))|_{\beta(0)}$$ 이고 따라서 $\beta(0)=F(\mathbf{p})$이다. 

$\mathbb{R}^{n}$의 고정된 점 $\mathbf{p}$에서의 접벡터 $\mathbf{v}$는 $F_{*}$에 의해 $F(\mathbf{p})$에서의 접벡터 $F_{*}(\mathbf{v})$로 사상되고, 따라서 $\mathbb{R}^{n}$의 각 점 $\mathbf{p}$에서 도함수 사상 $F_{*}$는 함수 $F_{*\mathbf{p}}:T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{n})\,\rightarrow\,T_{F(\mathbf{p})}(\mathbb{R}^{m})$를 만들고, 이것을 $\mathbf{p}$에서 $F$의 접사상이라고 한다. 

$F$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 $\mathbb{R}^{m}$으로의 사상일 때, $\mathbb{R}^{n}$의 각 점 $\mathbf{p}$에서 도함수 $F_{*\mathbf{p}}:T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{n})\,\rightarrow\,T_{F(\mathbf{p})}(\mathbb{R}^{m})$는 선형사상이다.

증명: $\mathbf{v},\,\mathbf{w}$를 $\mathbf{p}$에서의 접벡터라고 하자. 실수 $a,\,b$에 대해 다음이 성립하므로 $F_{*\mathbf{p}}$는 선형사상이다. $$F_{*\mathbf{p}}(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})=aF_{*\mathbf{p}}(\mathbf{v})+bF_{*\mathbf{p}}(\mathbf{w})$$ $F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}$를 사상이라고 하자. $\beta=F(\alpha)$가 $\mathbb{R}^{n}$위의 곡선 $\alpha$의 상이면, $\beta'=F_{*}(\alpha')$이다. 

증명: $F=(f_{1},\,f_{2},\,...,\,f_{n})$에 대해 다음이 성립하고 $$\beta=F(\alpha)=(f_{1}(\alpha),\,f_{2}(\alpha),\,...,\,f_{m}(\alpha))$$ 따라서 다음이 성립한다. $$F_{*}(\alpha')=(\alpha'(f_{1}),\,\alpha'(f_{2}),\,...,\,\alpha'(f_{m}))$$ $\displaystyle\alpha'(f_{i})=\frac{df_{i}(\alpha)}{dt}=\frac{d\beta_{i}}{dt}$이므로 다음의 결과를 얻는다. $$F_{*}(\alpha'(t))=\left(\frac{df_{1}(\alpha)}{dt}(t),\,\frac{df_{2}(\alpha)}{dt}(t),\,...,\,\frac{df_{m}(\alpha)}{dt}(t)\right)$$ $\{U_{j}\}_{1\leq j\leq n}$, $\{\overline{U}_{i}\}_{1\leq i\leq m}$ 을 각각 $\mathbb{R}^{n}$과 $\mathbb{R}^{m}$의 자연틀장이라고 하면 다음이 성립한다.

$F=(f_{1},\,f_{2},\,...,\,f_{m})$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 $\mathbb{R}^{m}$으로의 사상이면 $\displaystyle U_{i}(f_{j})=\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}$ 다음이 성립한다. $$F_{*}(U_{j}(\mathbf{p}))=\sum_{i=1}^{m}{\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(\mathbf{p})\overline{U}_{i}(F(\mathbf{p}))}\,(1\leq j\leq n)$$ 여기서의 행렬 $$\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(\mathbf{p})\,(1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n)$$ 을 $\mathbf{p}$에서의 $F$의 야코비 행렬(Jacobian matrix)이라 한다($m=n=1$이면, $\mathbf{p}$에서 $F$의 미분이다).

$\mathbb{R}^{n}$의 각 점 $\mathbf{p}$에서 접사상 $F_{*\mathbf{p}}$가 일대일일때, 사상 $F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}$을 정칙사상(regular mapping)이라고 한다. 

접사상은 선형변환이므로 다음의 조건들은 서로 동치이다.

(1) $F_{*\mathbf{p}}$는 일대일이다. 

(2) $F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=0$이면, $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}=0$이다. 

(3) $\mathbf{p}$에서의 $F$의 야코비 행렬의 계수(rank)가 $n$($F$의 정의역 $\mathbb{R}^{n}$의 차원)이다. 

벡터공간 $V$와 $W$의 차원이 같으면 선형사상 $T:V\,\rightarrow\,W$가 일대일일 필요충분조건은 전사이고, 따라서 이 두 조건은 각각 $T$가 선형동형사상이라는 것과 동치이고, 역사상을 갖는 사상을 미분동형사상(diffeomorphism)이라고 한다.

$F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}$에 대해 한 점 $\mathbb{p}\in\mathbb{R}^{n}$에서 $F_{*\mathbf{p}}$가 일대일이면, $\mathbf{p}$를 포함하는 열린집합 $U$가 존재해서 $F|_{U}$($F$의 $U$로의 제한사상)는 $U$에서 열린집합 $V$로의 미분동형사상이다. 

증명: 생략

이것은 제한사상 $U\,\mapsto\,V$가 역사상 $V\,\mapsto\,U$를 가짐을 주장하므로 역함수정리(inverse function theorem)라고 부른다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress