[미분기하학] 2. 유클리드 공간에서의 미적분학(2: 1차형식, 미분형식)

[미분기하학] 2. 유클리드 공간에서의 미적분학(2: 1차형식, 미분형식)

\(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 1차형식(1-form) \(\phi\)는 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터 전체의 집합에서 정의되고, 각 점에서 선형, 즉 임의의 실수 \(a,\,b\)와 \(\mathbb{R}^{3}\)의 한 점에서 접벡터 \(\mathbf{v},\,\mathbf{w}\)에 대해 다음이 성립하는 실함수이다.$$\phi(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})=a\phi(\mathbf{v})+b\phi(\mathbf{w})$$1차형식 \(\phi\)는 \(\mathbb{R}^{3}\)의 모든 접벡터 \(\mathbf{v}\)에 대해 실수값 \(\phi(\mathbf{v})\)를 갖는다. \(\mathbb{R}^{3}\)이 각 점 \(\mathbf{p}\)에 대해 함수 \(\phi_{\mathbf{p}}:T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)는 선형이다. 따라서 각 점 \(\mathbf{p}\)에서 \(\phi_{\mathbf{p}}\)는 \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3}\)의 쌍대공간의 한 원소이다. 

1차형식 \(\phi,\,\psi\)의 합은 모든 접벡터 \(\mathbf{v}\)에 대해 다음과 같이 정의된다.$$(\phi+\psi)(\mathbf{v})=\phi(\mathbf{v})+\psi(\mathbf{v})$$마찬가지로 \(f\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 실함수이고, \(\phi\)가 1차형식이면, \(f\phi\)는 모든 접벡터 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)에 대해 \((f\phi)(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=f(\mathbf{p})\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})\)이다. 

벡터장 \(V\)에 대해 각 점 \(\mathbf{p}\)에서 \(\phi(V)\)의 값은 실수 \(\phi(V(\mathbf{p}))\)이고, \(V\)가 미분가능할 때 \(\phi(V)\)가 미분가능하면 \(\phi\)가 미분가능하다고 한다. 1차형식은 항상 미분가능하다고 가정한다.

함수 \(f\)와 \(g\)에 대해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\phi(fV+gW)&=f\phi(V)+g\phi(W)\\(f\phi+g\psi)(V)&=f\phi(V)+g\psi(V)\end{align*}$$\(f\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 미분가능한 실함수일 때, \(f\)의 미분(differential) \(df\)는 모든 접벡터 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)에 대해 \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)\)로 정의되는 1차형식이다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)에서 자연좌표함수의 미분 \(dx_{1},\,dx_{2},\,dx_{3}\)를 이용해 다음이 성립함을 알 수 있다.$$dx_{i}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(x_{i})=\sum_{j=1}^{3}{v_{j}\frac{\partial x_{i}}{\partial j}(\mathbf{p})}=\sum_{j=1}^{3}{v_{j}\delta_{ij}}=v_{i}$$여기서 \(\delta_{ij}\)는 크로네커 델타(Kronecker delta)로 다음과 같이 정의된다.$$\delta_{ij}=\begin{cases}1&\,i=j\\0&\,i\neq j\end{cases}$$이 사실로부터 임의의 접벡터 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)에 대한 \(dx_{i}\)의 값은 그것의 벡터부분의 \(i\)번째 좌표이고, 그것의 작용점 \(\mathbf{p}\)의 영향을 받지 않는다. 

\(dx_{i}\)1차형식 이므로 1차형식 \(\psi=f_{1}dx_{1}+f_{2}dx_{2}+f_{3}dx_{3}\)에서 임의의 \(f_{1},\,f_{2},\,f_{3}\)에 대해 \(\psi\)는 1차형식이고, 임의의 접벡터 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)에서의 \(\psi\)의 값은 다음과 같다.$$\psi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})}=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}(\mathbf{p})dx_{i}(\mathbf{v})}=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}(\mathbf{p})v_{i}}$$\(\phi\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 1차형식이면, \(\displaystyle\phi=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}}\)이고 이때 함수 \(f_{1},\,f_{2},\,f_{3}\)을 \(\phi\)의 유클리드 좌표함수(Euclidean coordinate function)라고 한다. 

증명: 1차형식은 접벡터에서 정의된 함수이므로 \(\phi\)와 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}}\)가 같을 필요충분조건은 모든 접벡터 \(\displaystyle\mathbf{v}_{\mathbf{p}}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}U_{i}(\mathbf{p})}\)에 대해 같은 값을 갖는 것이다.$$\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}(\mathbf{p})v_{i}}$$이고 \(f_{i}=\phi(U_{i})\)이므로$$\phi(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=\phi\left(\sum_{i=1}^{3}{v_{i}U_{i}(\mathbf{p})}\right)=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}\phi(U_{i}(\mathbf{p}))}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}f_{i}(\mathbf{p})}$$이다. 따라서 \(\phi\)와 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}}\)는 모든 접벡터에서 같은 값을 갖는다.  

위의 정리로부터 다음의 결과를 얻는다.

\(f\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 미분가능한 함수이면 \(\displaystyle df=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}}\)이다.

증명: 임의의 접벡터 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)에서 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}}=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{p})v_{i}}\)이고, 이것은 \(df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)\)와 같다. 그러므로 \(\displaystyle df=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}}\)이다. 

위의 결과 또는 미분의 정의로부터 \(d(f+g)=df+dg\)이다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 미분가능한 함수 \(f,\,g\)에 대해 다음이 성립한다.$$d(fg)=gdf+fdg$$증명: 다음으로부터 성립한다.$$\begin{align*}d(fg)&=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial(fg)}{\partial x_{i}}dx_{i}}=\sum_{i=1}^{3}{\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}g+\frac{\partial g}{\partial x_{i}}f\right)dx_{i}}\\&=g\left(\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}}\right)+f\left(\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial g}{\partial x_{i}}dx_{i}}\right)\end{align*}$$\(f:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\), \(h:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 미분가능한 함수이면 합성함수 \(h(f)\)도 미분가능하고 \(d(h(f))=h'(f)df\)이다. 

증명: 연쇄법칙에 의해 \(\displaystyle\frac{\partial(h(f))}{\partial x_{i}}=h'(f)\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\)이므로 다음의 결과를 얻는다.$$d(h(f))=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial(h(f))}{\partial x_{i}}dx_{i}}=\sum_{i=1}^{3}{h'(f)\frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}}=h'(f)df$$\(f=(x^{2}-1)y+(y^{2}+2)z\)에 대해$$df=2xydx+(x^{2}+2yz-1)dy+(y^{2}+2)dz$$이므로 접벡터 \(\mathbf{v}=(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})\)을 이용하면 다음과 같다.$$\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)=df(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=2p_{1}p_{2}v_{1}+(p_{1}^{2}+2p_{2}p_{3}-1)v_{2}+(p_{2}^{2}+2)v_{3}$$\(\mathbb{R}^{3}\)에서의 미분형식은 실함수와 \(\mathbb{R}^{3}\)의 자연좌표함수의 미분인 \(dx_{1}\), \(dx_{2}\), \(dx_{3}\)을 더하거나 곱해 얻어지는 표현이고, 이 두 연산은 보통의 결합법칙과 분배법칙을 만족하나, 교환법칙을 만족하지 않는 대신 다음의 교대법칙(alternation rule)을 따른다.$$dx_{i}dx_{j}=-dx_{j}dx_{i}\,(1\leq i,\,j\leq3)$$교대법칙으로부터 중복되는 것은 0임을 알 수 있다. 실제로 \(i=j\)이면 \(dx_{i}dx_{i}=-dx_{i}dx_{i}\)가 성립하기 때문이다. 미분형식의 합의 각 항이 \(p\)개의 \(dx_{i}\)를 포함하면 그 형식을 \(p\)차형식(\(p\)-form)이라 하고, 차수(degree) \(p\)를 갖는다고 한다. 이것을 \(dx,\,dy,\,dz\)를 이용해 표현하면 다음과 같다. 

0차형식: 미분가능한 함수 \(f\)

1차형식: \(fdx+gdy+hdz\)        

2차형식: \(fdxdy+gdxdz+hdydz\)

3차형식: \(fdxdydz\)

3차원 유클리드공간에서 \(p>3\)이면 교대법칙으로부터 \(p\)차형식은 모두 0이 된다. 교대법칙이 사용됨을 보이기 위해 형식의 곱을 쐐기기호(wedge notation) \(\wedge\)로 나타내고, \(dx,\,dy,\,dz\)의 곱만 포함되는 경우는 쐐기기호를 사용하지 않는다. 

예: \(\phi=xdx-ydy\), \(\psi=zdx+xdz\), \(\theta=zdy\), \(\eta=ydxdz+xdydz\)라 하면 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\phi\wedge\psi&=(xdx-ydy)\wedge(zdx+xdz)\\&=xzdxdx+x^{2}dxdz-yzdydx-yxdydz\\&=yzdxdy+x^{2}dxdz-xydydz\\ \theta\wedge\phi\wedge\psi&=yz^{2}dydxdy+x^{2}zdydxdz-xyzdydydx\\&=-x^{2}zdxdydz\\ \phi\wedge\eta&=x^{2}dxdydz-y^{2}dydxdz=(x^{2}+y^{2})dxdydz\end{align*}$$\(\phi\)와 \(\psi\)가 1차형식이면 \(\phi\wedge\psi=-\psi\wedge\phi\)이다. 

증명: \(\displaystyle\phi=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}}\), \(\displaystyle\psi=\sum_{j=1}^{3}{g_{j}dx_{j}}\)라 하면 교대법칙에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\phi\wedge\psi=\sum_{i,\,j=1}^{3}{f_{i}g_{j}dx_{i}dx_{j}}=-\sum_{i,\,j=1}^{3}{g_{j}f_{i}dx_{j}dx_{i}}=-\psi\wedge\phi$$\(\displaystyle\phi=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}dx_{i}}\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 1차형식이면, \(\phi\)의 외도함수(exterior derivative)는 2차형식 \(\displaystyle d\phi=\sum_{i=1}^{3}{df_{i}\wedge dx_{i}}\)이다. 

실제로 계산하면 \(\phi=f_{1}dx_{1}+f_{2}dx_{2}+f_{3}dx_{3}\)이므로$$d\phi=\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\right)dx_{1}dx_{2}+\left(\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{3}}\right)dx_{1}dx_{3}+\left(\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{3}}\right)dx_{2}dx_{3}$$이다.

\(\phi=xydx+x^{2}dz\)일때 다음이 성립한다.$$\begin{align*}d\phi&=d(xy)\wedge dx+d(x^{2})\wedge dz\\&=(ydx+xdy)\wedge dx+2xdxdz\\&=-xdxdy+2xdxdz\end{align*}$$\(f,\,g\)를 함수, \(\phi,\,\psi\)를 1차형식이라고 하면 다음이 성립한다.

(1) \(d(fg)=(df)g+fdg\)

(2) \(d(f\phi)=df\wedge\phi+fd\phi\)

(3) \(d(\phi\wedge\psi)=d\phi\wedge\psi-\phi\wedge d\psi\)

증명: 생략

함수 \(F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}\)에 대해 \(f_{1},\,f_{2},\,...,\,f_{m}\)을 \(\mathbb{R}^{n}\)의 임의의 점 \(\mathbb{p}\)에 대해 다음과 같은 실함수라고 하자.$$F(\mathbf{p})=(f_{1}(\mathbf{p}),\,f_{2}(\mathbf{p}),\,...,\,f_{m}(\mathbf{p}))$$이 함수를 \(F\)의 유클리드 좌표함수(Euclidean coordinate function)라 하고 \(F=(f_{1},\,f_{2},\,...,\,f_{m})\)로 나타낸다. 이때 좌표함수가 미분가능하면 \(F\)는 미분가능(differentiable)하다고 한다. 미분가능한 함수 \(F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}\)을 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 \(\mathbb{R}^{m}\)으로의 사상(mapping)이라고 한다. \(x_{1},\,...,\,x_{m}\)이 \(\mathbb{R}^{m}\)의 좌표함수일 때 \(F\)의 좌표함수는 합성함수 \(f_{i}=x_{i}(F)\)이다. 

\(F:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)을 \(F=(x^{2},\,yz,\,xy)\)라 하면 모든 \(\mathbf{p}\)에 대해$$F(\mathbf{p})=(x(\mathbf{p})^{2},\,y(\mathbf{p})z(\mathbf{p}),\,x(\mathbf{p})y(\mathbf{p}))$$이고 \(\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\)이므로$$x_{1}(\mathbf{p})=p_{1},\,x_{2}(\mathbf{p})=p_{2},\,x_{3}(\mathbf{p})=p_{3}$$이다. 그러므로 \(F(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=(p_{1}^{2},\,p_{2}p_{3},\,p_{1}p_{2})\)이다. 

\(\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}\)이 \(\mathbb{R}^{n}\)의 곡선이고 \(F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}\)이 사상이면, 합성함수 \(\beta=F(\alpha):I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}\)는 \(\mathbb{R}^{m}\)상의 곡선이고 \(F\)에 의한 \(\alpha\)의 상(image)이라고 한다.

\(F(x,\,y,\,z)=(x-y,\,x+y,\,2z)\)라 하자. \(\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\)에 대해 \(F(\mathbf{p})=(p_{1}-p_{2},\,p_{1}+p_{2},\,2p_{3})\)이고, \(F\)는 다음의 세 벡터에 의해 결정된다.$$\mathbf{u}_{1}=(1,\,0,\,0),\,\mathbf{u}_{2}=(0,\,1,\,0),\,\mathbf{u}_{3}=(0,\,0,\,1)$$\(F(x,\,y)=(x^{2}-y^{2},\,2xy)\)라 하자. \(\alpha(t)=(r\cos t,\,r\sin t)\,(0\leq t\leq2\pi)\)에 대해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\beta(t)&=F(\alpha(t))=F(r\cos t,\,r\sin t)\\&=(r^{2}\cos^{2}t-r^{2}\sin^{2}t,\,2r^{2}\cos t\sin t)\\&=(r^{2}\cos2t,\,r^{2}\sin2t)\,(0\leq t\leq2\pi)\end{align*}$$

\(x\)근방에서 미분가능한 실함수 \(f\)를 선형함수 \(\Delta y\,\rightarrow\,f'(x)\Delta x\)로 근사시키듯이 \(\mathbb{R}^{n}\)은 점 \(\mathbf{p}\)근방의 직선 \(\alpha(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{v}\)로 채워지므로 \(\mathbb{R}^{m}\)도 \(F(\mathbf{p})\)에서 출발하는 곡선 \(\beta(t)=F(\mathbf{p}+t\mathbf{v})\)로 채워진다.

따라서 \(\mathbf{p}\)에서 사상 \(F\)를 초기속도 \(\alpha'(0)=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)를 초기속도 \(\beta'(0)\)으로 보내는 사상 \(F_{*}\)로 근사시킬 수 있다.

\(F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}\)를 사상이라고 하자. \(\mathbf{v}\)가 \(\mathbf{p}\)에서의 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 접벡터일 때 \(F_{*}(\mathbf{v})\)를 곡선 \(t\,\mapsto\,F(\mathbf{p}+t\mathbf{v})\)의 초기속도라고 하자. 이때 함수 \(F_{*}\)는 \(\mathbb{R}^{n}\)의 접벡터를 \(\mathbb{R}^{m}\)의 접벡터로 보내고, 이것을 \(F\)의 접사상(tangent map)이라고 한다. 

\(F=(f_{1},\,f_{2},\,...,\,f_{m})\)을 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 \(\mathbb{R}^{m}\)으로의 사상이라고 하자. \(\mathbf{v}\)가 \(\mathbf{p}\)에서 \(\mathbb{R}^{n}\)의 접벡터이면, \(F(\mathbf{p})\)에서$$F_{*}(\mathbf{v})=(\mathbf{v}(f_{1}),\,...,\,\mathbf{v}(f_{m}))$$이다. 따라서 \(F_{*}(\mathbf{v})\)는 \(F\)의 좌표함수의 \(\mathbf{v}\)에 대한 도함수 \(\mathbf{v}(f_{i})\)에 의해 결정된다.

증명:$$\beta(t)=F(\mathbf{p}+t\mathbf{v})=(f_{1}(\mathbf{p}+t\mathbf{v}),\,f_{2}(\mathbf{p}+t\mathbf{v}),\,...,\,f_{m}(\mathbf{p}+t\mathbf{v}))$$이고 정의에 의해 \(F_{*}(\mathbf{v})=\beta'(0)\)이다.$$\frac{d}{dt}f_{i}(\mathbf{p}+t\mathbf{v})|_{t=0}=\mathbf{v}(f)$$이므로$$F_{*}(\mathbf{v})=(\mathbf{v}(f_{1}),\,\mathbf{v}(f_{2}),\,...,\,\mathbf{v}(f_{m}))|_{\beta(0)}$$이고 따라서 \(\beta(0)=F(\mathbf{p})\)이다. 

\(\mathbb{R}^{n}\)의 고정된 점 \(\mathbf{p}\)에서의 접벡터 \(\mathbf{v}\)는 \(F_{*}\)에 의해 \(F(\mathbf{p})\)에서의 접벡터 \(F_{*}(\mathbf{v})\)로 사상되고, 따라서 \(\mathbb{R}^{n}\)의 각 점 \(\mathbf{p}\)에서 도함수 사상 \(F_{*}\)는 함수 \(F_{*\mathbf{p}}:T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{n})\,\rightarrow\,T_{F(\mathbf{p})}(\mathbb{R}^{m})\)를 만들고, 이것을 \(\mathbf{p}\)에서 \(F\)의 접사상이라고 한다. 

\(F\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 \(\mathbb{R}^{m}\)으로의 사상일 때, \(\mathbb{R}^{n}\)의 각 점 \(\mathbf{p}\)에서 도함수 \(F_{*\mathbf{p}}:T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{n})\,\rightarrow\,T_{F(\mathbf{p})}(\mathbb{R}^{m})\)는 선형사상이다.

증명: \(\mathbf{v},\,\mathbf{w}\)를 \(\mathbf{p}\)에서의 접벡터라고 하자. 실수 \(a,\,b\)에 대해 다음이 성립하므로 \(F_{*\mathbf{p}}\)는 선형사상이다.$$F_{*\mathbf{p}}(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})=aF_{*\mathbf{p}}(\mathbf{v})+bF_{*\mathbf{p}}(\mathbf{w})$$\(F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}\)를 사상이라고 하자. \(\beta=F(\alpha)\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)위의 곡선 \(\alpha\)의 상이면, \(\beta'=F_{*}(\alpha')\)이다. 

증명: \(F=(f_{1},\,f_{2},\,...,\,f_{n})\)에 대해 다음이 성립하고$$\beta=F(\alpha)=(f_{1}(\alpha),\,f_{2}(\alpha),\,...,\,f_{m}(\alpha))$$따라서 다음이 성립한다.$$F_{*}(\alpha')=(\alpha'(f_{1}),\,\alpha'(f_{2}),\,...,\,\alpha'(f_{m}))$$\(\displaystyle\alpha'(f_{i})=\frac{df_{i}(\alpha)}{dt}=\frac{d\beta_{i}}{dt}\)이므로 다음의 결과를 얻는다.$$F_{*}(\alpha'(t))=\left(\frac{df_{1}(\alpha)}{dt}(t),\,\frac{df_{2}(\alpha)}{dt}(t),\,...,\,\frac{df_{m}(\alpha)}{dt}(t)\right)$$\(\{U_{j}\}_{1\leq j\leq n}\), \(\{\overline{U}_{i}\}_{1\leq i\leq m}\) 을 각각 \(\mathbb{R}^{n}\)과 \(\mathbb{R}^{m}\)의 자연틀장이라고 하면 다음이 성립한다.

\(F=(f_{1},\,f_{2},\,...,\,f_{m})\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 \(\mathbb{R}^{m}\)으로의 사상이면 \(\displaystyle U_{i}(f_{j})=\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}\) 다음이 성립한다.$$F_{*}(U_{j}(\mathbf{p}))=\sum_{i=1}^{m}{\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(\mathbf{p})\overline{U}_{i}(F(\mathbf{p}))}\,(1\leq j\leq n)$$여기서의 행렬$$\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(\mathbf{p})\,(1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n)$$을 \(\mathbf{p}\)에서의 \(F\)의 야코비 행렬(Jacobian matrix)이라 한다(\(m=n=1\)이면, \(\mathbf{p}\)에서 \(F\)의 미분이다).

\(\mathbb{R}^{n}\)의 각 점 \(\mathbf{p}\)에서 접사상 \(F_{*\mathbf{p}}\)가 일대일일때, 사상 \(F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}\)을 정칙사상(regular mapping)이라고 한다. 

접사상은 선형변환이므로 다음의 조건들은 서로 동치이다.

(1) \(F_{*\mathbf{p}}\)는 일대일이다. 

(2) \(F_{*}(\mathbf{v}_{\mathbf{p}})=0\)이면, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}=0\)이다. 

(3) \(\mathbf{p}\)에서의 \(F\)의 야코비 행렬의 계수(rank)가 \(n\)(\(F\)의 정의역 \(\mathbb{R}^{n}\)의 차원)이다. 

벡터공간 \(V\)와 \(W\)의 차원이 같으면 선형사상 \(T:V\,\rightarrow\,W\)가 일대일일 필요충분조건은 전사이고, 따라서 이 두 조건은 각각 \(T\)가 선형동형사상이라는 것과 동치이고, 역사상을 갖는 사상을 미분동형사상(diffeomorphism)이라고 한다.

\(F:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}\)에 대해 한 점 \(\mathbb{p}\in\mathbb{R}^{n}\)에서 \(F_{*\mathbf{p}}\)가 일대일이면, \(\mathbf{p}\)를 포함하는 열린집합 \(U\)가 존재해서 \(F|_{U}\)(\(F\)의 \(U\)로의 제한사상)는 \(U\)에서 열린집합 \(V\)로의 미분동형사상이다. 

증명: 생략

이것은 제한사상 \(U\,\mapsto\,V\)가 역사상 \(V\,\mapsto\,U\)를 가짐을 주장하므로 역함수정리(inverse function theorem)라고 부른다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress