[미분기하학] 6. 공변도함수, 틀장

[미분기하학] 6. 공변도함수, 틀장

\(W\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 벡터장, \(\mathbf{v}\)를 점 \(\mathbf{p}\)에서 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 접벡터라 하자. \(\mathbf{v}\)의 \(W\)에 대한 공변도함수(covariant derivative)는 다음과 같이 정의된 \(\mathbf{p}\)에서의 접벡터이다.$$\nabla_{\mathbf{v}}W=W(\mathbf{p}+t\mathbf{v})'(0)$$\(\nabla_{\mathbf{v}}W\)는 \(\mathbf{p}\)가 \(\mathbf{v}\)방향으로 움직일 때 \(W(\mathbf{p})\)의 초기변화율을 측정한다. \(W=x^{2}U_{1}+yzU_{3}\), \(\mathbf{v}=(-1,\,0,\,2)\), \(\mathbf{p}=(2,\,1,\,0)\)라 하자. 그러면 \(\mathbf{p}+t\mathbf{v}=(2-t,\,1,\,2t)\)이므로$$W(\mathbf{p}+t\mathbf{v})=(2-t)^{2}U_{1}+2tU_{3}$$이고, 그 공변도함수는 다음과 같다.$$\nabla_{\mathbf{v}}W=W(\mathbf{p}+t\mathbf{v})'(0)=-4U_{1}(\mathbf{p})+2U_{3}(\mathbf{p})$$\(\displaystyle W=\sum_{i=1}^{3}{w_{i}U_{i}}\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 벡터장이고 \(\mathbf{v}\)가 점 \(\mathbf{p}\)에서의 접벡터이면 다음이 성립한다.$$\nabla_{\mathbf{v}}W=\sum_{i=1}^{3}{\mathbf{v}(w_{i})U_{i}(\mathbf{p})}$$증명: 벡터장 \(\displaystyle W(\mathbf{p}+t\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{3}{(\mathbf{p}+t\mathbf{v})U_{i}(\mathbf{p}+t\mathbf{v})}\)를 \(t=0\)에서 미분하려면 유클리드 좌표함수를 \(t=0\)에서 미분하면 된다. 

방향도함수의 정의에 의해 \(w_{i}(\mathbf{p}+t\mathbf{v})\)의 \(t=0\)에서의 도함수는 \(\mathbf{v}(w_{i})\)이므로 다음의 결과를 얻는다.$$\nabla_{\mathbf{v}}W=W(\mathbf{p}+t\mathbf{v})'(0)=\sum_{i=1}^{3}{\mathbf{v}(w_{i})U_{i}(\mathbf{p})}$$\(\nabla_{\mathbf{v}}\)를 벡터장에 적용하려면 \(\mathbf{v}\)를 유클리드 좌표에 적용하면 된다.

\(\mathbf{v},\,\mathbf{w}\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)의 점 \(\mathbf{p}\)에서의 접벡터, \(Y,\,Z\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 벡터장이라고 하자. 임의의 실수 \(a,\,b\)와 함수 \(f\)에 대해 다음이 성립한다.

(1) \(\nabla_{a\mathbf{v}+b\mathbf{w}}Y=a\nabla_{\mathbf{v}}Y+b\nabla_{\mathbf{w}}Y\) 

(2) \(\nabla_{\mathbf{v}}(aY+bZ)=a\nabla_{\mathbf{v}}Y+b\nabla_{v}Z\) 

(3) \(\nabla_{\mathbf{v}}(fY)=\mathbf{v}(f)Y(\mathbf{p})+f(\mathbf{p})\nabla_{\mathbf{v}}Y\) 

(4) \(\mathbf{v}(Y\cdot Z)=\nabla_{\mathbf{v}}Y\cdot Z(\mathbf{p})+Y(\mathbf{p})\cdot\nabla_{\mathbf{v}}Z\) 

(4)의 증명: \(\displaystyle Y=\sum_{i=1}^{3}{y_{i}U_{i}},\,Z=\sum_{i=1}^{3}{z_{i}U_{i}}\)라 하면 \(\displaystyle Y\cdot Z=\sum_{i=1}^{3}{y_{i}z_{i}}\)이므로$$\mathbf{v}(Y\cdot Z)=\mathbf{v}\left(\sum_{i=1}^{3}{y_{i}z_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{3}{\mathbf{v}(y_{i})z_{i}(\mathbf{p})}+\sum_{i=1}^{3}{y_{i}(\mathbf{p})\mathbf{v}(z_{i})}$$이고$$\nabla_{\mathbf{v}}Y=\sum_{i=1}^{3}{\mathbf{v}_{i}U_{i}(\mathbf{p})},\,\nabla_{\mathbf{v}}Z=\sum_{i=1}^{3}{\mathbf{v}(z_{i})U_{i}(\mathbf{p})}$$이므로 다음의 결과를 얻는다.$$\mathbf{v}(Y\cdot Z)=\nabla_{\mathbf{v}}Y\cdot Z(\mathbf{p})+Y(\mathbf{p})\cdot\nabla_{\mathbf{v}}Z$$점별원리를 다시 한 번 이용하면 벡터장 \(W\)의 공변도함수를 하나의 접벡터 \(\mathbf{v}\)가 아닌 벡터장 \(V\)에 대해 계산할 수 있다. 그 결과는 각 점 \(\mathbf{p}\)에서의 값이 \(\nabla_{V(\mathbf{p})}W\)인 벡터장 \(\nabla_{V}W\)이다. 그러면 \(\nabla_{V}W\)는 \(V\)의 벡터에 대한 \(W\)의 모든 공변도함수로 이루어져 있고, \(\displaystyle\nabla_{V}W=\sum_{i=1}^{3}{V(w_{i})U_{i}}\)이며 이때 \(\displaystyle U_{i}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\)이다. 

\(V=(y-x)U_{1}+xyU_{3}\), \(W=x^{2}U_{1}+yzU_{3}\)일 때$$\begin{align*}V(x^{2})&=(y-x)U_{1}(x^{2})=2x(y-x)\\V(yz)&=xyU_{3}(yz)=xy^{2}\end{align*}$$이므로$$\nabla_{V}W=2x(y-x)U_{1}+xy^{2}U_{3}$$이다. 

\(V,\,W,\,Y,\,Z\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 벡터장이라고 하자. 임의의 실수 \(a,\,b\)와 \(f,\,g\)에 대해 다음이 성립한다.

(1) \(\nabla_{fV+gW}Y=f\nabla_{V}Y+g\nabla_{W}Y\)

(2) \(\nabla_{V}(aY+bZ)=a\nabla_{V}Y+b\nabla_{V}Z\)

(3) \(\nabla_{V}(fY)=V(f)Y+f\nabla_{V}Y\)

(4) \(V(Y\cdot Z)=\nabla_{V}Y\cdot Z+Y\cdot\nabla_{V}Z\)

*\(\nabla_{fV}Y=f\nabla_{V}Y\)이고 \(\nabla_{V}(fY)=V(f)Y+f\nabla_{V}Y\)임에 유의한다. 

점별원리에 의해 각각의 접벡터에서의 연산을 벡터장에서의 연산으로 확장할 수 있다. \(V,\,W\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 벡터장이면 \(V\)와 \(W\)의 내적 \(V\cdot W\)는 각 점 \(\mathbf{p}\)에서의 값이 \(V(\mathbf{p})\cdot W(\mathbf{p})\)인 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 \(\mathbb{R}\)위에서의 미분가능한 실함수이다. \(V\)의 노름 \(\|V\|\)는 \(\mathbf{p}\)에서의 값이 \(\|V(\mathbf{p})\|\)인 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 실함수이고 \(\|V\|=\sqrt{V\cdot V}\)이다. 내적 \(V\cdot W\)와 달리 노름함수 \(\|V\|\)는 \(V(\mathbf{p})=0\)인 점에서 미분가능할 필요가 없는데 그 이유는 제곱근 함수의 \(0\)에서의 미분계수가 무한대로 발산하거나 미분가능하지 않기(뾰족점) 때문이다.  

\(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 벡터장 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)이 다음을 만족하면 \(\mathbb{R}^{3}\)위의 틀장(frame field)을 이룬다.$$E_{i}\cdot E_{j}=\delta_{ij}\,(1\leq i,\,j\leq3)$$여기서 \(\delta_{ij}\)는 크로네커 델타이다.

각 점 \(\mathbf{p}\)에서 세 벡터 \(E_{1}(\mathbf{p}),\,E_{2}(\mathbf{p}),\,E_{3}(\mathbf{p})\)가 단위길이를 갖고 서로 직교하므로 \(\mathbf{p}\)에서의 틀을 이룬다. 

기둥틀장(cylindrical frame field)

\((r,\,\theta,\,z)\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 원통좌표라 하자. 그리고 단위벡터장 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)은 각 좌표함수가 증가하는 방향으로 설정한다. \(r\)에 대해$$E_{1}=\cos\theta U_{1}+\sin\theta U_{2}$$이고, \(z\)축으로부터 바깥으로 향한다.$$E_{2}=-\sin\theta U_{1}+\cos\theta U_{2}$$는 \(\theta\)가 증가하는 방향을 향한다. \(z\)가 증가하는 방향은 윗방향이므로$$E_{3}=U_{3}$$이다. 분명히\(E_{i}\cdot E_{j}=\delta_{ij}\)이고, 이것을 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 기둥틀장이라고 한다.

구면틀장(spherical frame field)

\((\rho,\,\theta,\,\phi)\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 구면좌표라 하자. 기둥틀장과 같은 방법으로 틀장 \(F_{1},\,F_{2},\,F_{3}\)을 얻을 수 있다.

\(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)을 기둥틀장이라고 하자. 구면좌표에 대해 \(F_{2}\)는 \(\theta\)가 증가하는 방향으로 향하므로 \(E_{2}=F_{2}\)이다. 단위벡터장 \(F_{1}\)은 \(\rho\)가 증가하는 방향이므로 원점으로부터 바깥으로 향한다. 그러므로$$F_{1}=\cos\phi E_{1}+\sin\phi E_{3}$$이고, 비슷한 방법으로 \(\phi\)가 향증가하는 방향으로의 벡터장은$$F_{3}=-\sin\phi E_{1}+\cos\phi E_{3}$$이다. 구면틀장의 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)값을 대입하면 다음과 같이 \(F_{1},\,F_{2},\,F_{3}\)을 얻는다.$$\begin{align*}F_{1}&=\cos\phi\cos\theta U_{1}+\cos\phi\sin\theta U_{2}+\sin\phi U_{3}\\F_{2}&=-\sin\theta U_{1}+\cos\theta U_{2}\\F_{3}&=-\sin\phi\cos\theta U_{1}-\sin\phi\sin\theta U_{2}+\cos\phi U_{3}\end{align*}$$다음의 결과는 정규직교전개로부터 얻을 수 있는 결론이다.

\(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)을 \(\mathbb{R}^{3}\)의 틀장이라고 하자.

(1) \(V\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)위의 벡터장이면 \(\displaystyle V=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}E_{i}}\)이다. 이때 \(f_{i}=V\cdot E_{i}\)를 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)에 대한 \(V\)의 좌표함수(coordinate function)라고 한다. 

(2) \(\displaystyle V=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}E_{i}},\,W=\sum_{i=1}^{3}{g_{i}E_{i}}\)이면 \(\displaystyle V\cdot W=\sum_{i=1}^{3}{f_{i}g_{i}}\)이고 \(\displaystyle\|V\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{3}{f_{i}^{2}}}\)이다. 

주어진 벡터장 \(V\)는 틀장 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)을 선택하는 방법에 따라 다른 좌표함수를 갖는다. 유클리드 좌표함수는 물론 자연틀장 \(U_{1},\,U_{2},\,U_{3}\)으로부터 얻어진다.

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress