[미분기하학] 1. 유클리드 공간에서의 미적분학(1)

[미분기하학] 1. 유클리드 공간에서의 미적분학(1) 

유클리드 공간 \(\mathbb{R}^{3}\)은 세 실수의 순서쌍 전체의 집합이고, 이러한 세 실수의 순서쌍 \(\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\)을 \(\mathbb{R}^{3}\)의 점(point)이라고 한다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)은 벡터공간이고, \(\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3}),\,\mathbf{q}=(q_{1},\,q_{2},\,q_{3})\in\mathbb{R}^{3}\), \(a\)는 스칼라일 때 합과 스칼라곱은 다음과 같이 정의된다.$$\begin{align*}\mathbf{p}+\mathbf{q}&=(p_{1}+q_{1},\,p_{2}+q_{2},\,p_{3}+q_{3})\\a\mathbf{p}=(ap_{1},\,ap_{2},\,ap_{3})\end{align*}$$점 \(\mathbf{0}=(0,\,0,\,0)\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)의 원점(origin)이라고 한다. \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 함수 \(f:\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)에 대해 점 \(\mathbf{p}\)에서의 함숫값을 \(f(\mathbf{p})\)로 나타낸다.

\(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 실함수 \(f\)에 대해 모든 차수의 편도함수가 존재하고 연속일 때 \(f\)가 미분가능(differentiable)하다(또는 무한번 미분가능(infinitely differentiable)하다, 또는 \(C^{(\infty)}\)급(class)에 속한다)고 한다.  

미분가능한 실함수 \(f\)와 \(g\)를 더하거나 곱해도 미분가능한 실함수이고, 다음이 성립한다.$$(f+g)(\mathbf{p})=f(\mathbf{p})+g(\mathbf{p}),\,(fg)(\mathbf{p})=f(\mathbf{p})g(\mathbf{p})$$"미분가능한 실함수"라는 말은 길고, 통상적으로 여기서의 함수는 미분가능한 함수이므로 따라서 여기서의 함수는 미분가능한 함수이다. \(\mathbb{R}^{3}\)의 점 \(\mathbf{p}\)에서 함수 \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\)의 값을 계산하기 위해서는 \(\mathbf{p}\)와 충분히 가까운 \(\mathbb{R}^{3}\)의 점 \(\mathbf{q}\)에서의 값만 알면 충분하다. 

이것은 \(f\)의 정의역이 \(\mathbb{R}^{3}\)전체가 아닌 열린집합(open set)이면 됨을 뜻한다. 

\(x,\,y,\,z\)를 점 \(\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\)에 대하여$$x(\mathbf{p})=p_{1},\,y(\mathbf{p})=p_{2},\,z(\mathbf{p})=p_{3}$$을 만족하는 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 실함수라고 하자. 이 실함수 \(x,\,y,\,z\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 자연좌표함수(natural coordinate function)라 하고 다음과 같이 나타낸다.$$x_{1}=x,\,x_{2}=y,\,x_{3}=z$$그러므로 점 \(\mathbf{p}\)에서 \(x_{i}\)의 함숫값은 실수 \(p_{i}\)이고, 다음의 등식을 얻는다.$$\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})=(x_{1}(\mathbf{p}),\,x_{2}(\mathbf{p}),\,x_{3}(\mathbf{p}))$$\(\mathbb{R}^{3}\)의 벡터를 방향이 주어진 선분 또는 화살로 볼 수 있다. 시점 \(\mathbf{p}\)에서 끝점 \(\mathbf{p}+\mathbf{v}\)으로 가는 데 필요한 변화량, 즉 벡터 \(\mathbf{v}\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)의 벡터로 표현하겠다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터(tangent vector) \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)는 \(\mathbb{R}^{3}\)의 두 점, 벡터부분(vector part) \(\mathbf{v}\)와 작용점(point of application) \(\mathbf{p}\)로 이루어진다. 

\(\mathbf{p}=(1,\,1,\,3)\), \(\mathbf{v}=(2,\,3,\,2)\)일 때, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)는 다음과 같이 점 \((1,\,1,\,3)\)에서 점 \((3,\,4,\,5)\)로 향하는 벡터이다.

두 접벡터가 같을(\(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}=\mathbf{w}_{\mathbf{q}}\)) 필요충분조건은 벡터 부분이 같고(\(\mathbf{v}=\mathbf{w}\)), 작용점일 같을 때(\(\mathbf{p}=\mathbf{q}\))이다. 벡터부분이 같고 작용점이 다른 두 접벡터 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)와 \(\mathbf{v}_{\mathbf{q}}\)를 평행(parallel)하다고 한다.

\(\mathbf{p}\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)의 점이라고 하자. \(\mathbf{p}\)를 작용점으로 하는 모든 접벡터들의 집합 \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\)을 \(\mathbf{p}\)에서의 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접공간(tangent space)이라고 한다.

접공간 \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\)에서의 모든 접벡터는 작용점이 모두 같으므로 벡터공간이 될 수 있다. 즉, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}},\,\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\in T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\)와 스칼라 \(c\)에 대해 다음과 같이 정의한다.$$(\mathbf{v}+\mathbf{w})_{\mathbf{p}}=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}+\mathbf{w}_{\mathbf{p}},\,(c\mathbf{v})_{\mathbf{p}}=c\mathbf{v}_{\mathbf{p}}$$벡터의 합은 평행사변형 법칙(parallelogram law)을 따르고, 스칼라곱은 접벡터를 \(c\)배만큼 늘이거나 줄이는 것이다.

이 벡터연산은 \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\)을 \(\mathbb{R}^{3}\)과 동형인 벡터공간으로 만든다. 실제로 고정된 점 \(\mathbf{p}\)에 대해 함수 \(\mathbf{v}\,\rightarrow\,\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)는 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 \(T_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}^{3})\)으로의 선형동형사상이다. 

\(\mathbb{R}^{3}\)의 벡터장(vector field) \(V\)는 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 점 \(\mathbf{p}\)에 대해 \(\mathbf{p}\)에서의 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터 \(V(\mathbf{p})\)를 대응하는 사상이다. 

앞에서 실함수 \(f\)와 \(g\)를 더할 수 있는 것처럼 점 \(\mathbf{p}\)에서의 벡터장 \(V(\mathbf{p})\)와 \(W(\mathbf{p})\)를 다음과 같이 더할 수 있다.$$(V+W)(\mathbf{p})=V(\mathbf{p})+W(\mathbf{p})$$이것을 점별원리(pointwise principle)라고 한다. 

\(U_{1},\,U_{2},\,U_{3}\)을 \(\mathbb{R}^{3}\)의 각 점 \(\mathbf{p}\)에서의 벡터장이라 하고 다음과 같다고 하자.$$U_{1}(\mathbf{p})=(1,\,0,\,0)_{\mathbf{p}},\,U_{2}(\mathbf{p})=(0,\,1,\,0)_{\mathbf{p}},\,U_{3}(\mathbf{p})=(0,\,0,\,1)_{\mathbf{p}}$$

이때 \(U_{1},\,U_{2},\,U_{3}\)을 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 자연틀장(natural frame field)이라고 한다. 그러므로 \(U_{i}(i=1,\,2,\,3)\)는 양의 \(x_{i}\)방향으로의 단위벡터장이다. 

\(V\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 벡터장이면, \(\mathbb{R}^{3}\)에서 정의된 다음과 같은 실함수 \(v_{1},\,v_{2},\,v_{3}\)이 유일하게 결정된다.$$V=v_{1}U_{1}+v_{2}U_{2}+v_{3}U_{3}$$증명: 정의에 의해 벡터장 \(V\)는 각 점 \(\mathbf{p}\)에 대해 \(\mathbf{p}\)에서의 접벡터 \(V(\mathbf{p})\)를 대응시킨다. \(V(\mathbf{p})\)는 \(\mathbf{p}\)에 의존하므로 \((v_{1}(\mathbf{p}),\,v_{2}(\mathbf{p}),\,v_{3}(\mathbf{p}))\)로 나타낼 수 있고, 따라서 각 점 \(\mathbf{p}\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}V(\mathbf{p})&=(v_{1}(\mathbf{p}),\,v_{2}(\mathbf{p}),\,v_{3}(\mathbf{p}))_{\mathbf{p}}\\&=v_{1}(\mathbf{p})(1,\,0,\,0)_{\mathbf{p}}+v_{2}(\mathbf{p})(0,\,1,\,0)_{\mathbf{p}}+v_{3}(\mathbf{p})(0,\,0,\,1)_{\mathbf{p}}\\&=v_{1}(\mathbf{p})U_{1}(\mathbf{p})+v_{2}(\mathbf{p})U_{2}(\mathbf{p})+v_{3}(\mathbf{p})U_{3}(\mathbf{p})\end{align*}$$이것은 점별원리의 정의에 의해 벡터장 \(V\)와 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}{v_{i}U_{i}}\)가 각 점에서 같은 접벡터 값을 갖는다는 것을 의미하고 따라서 \(\displaystyle V=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}U_{i}}\)이다.  

\(f\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 미분가능한 실함수이고, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)의 접벡터일 때$$\mathbf{v}_{p}(f)=\frac{d}{dt}f(\mathbf{p}+t\mathbf{v})|_{t=0}$$를 \(\mathbf{v}_{p}\)에 대한 \(f\)의 방향도함수(directional derivative)라고 한다. 

\(\mathbf{p}=(1,\,1,\,0)\), \(\mathbf{v}=(1,\,0,\,-3)\)일 때$$\mathbf{p}+t\mathbf{v}=(1+t,\,1,\,-3t)$$이므로$$f(\mathbf{p}+t\mathbf{v})=(1+t)^{2}\cdot1\cdot(-3)=-3t-6t^{2}-3t^{3}$$이고$$\frac{d}{dt}f(\mathbf{p}+t\mathbf{v})=-3-12t-9t^{2}$$이므로 방향도함수는 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)=-3\)이다. 

접벡터 \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}=(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})_{\mathbf{p}}=(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})\)에 대해 다음이 성립한다.$$\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{p})}$$증명: \(\mathbf{p}=(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\)라 하면$$\mathbf{p}+t\mathbf{v}=(p_{1}+tv_{1},\,p_{2}+tv_{2},\,p_{3}+tv_{3})$$이고$$f(\mathbf{p}+t\mathbf{v})=f(p_{1}+tv_{1},\,p_{2}+tv_{2},\,p_{3}+tv_{3})$$이므로 연쇄법칙에 의해 다음을 얻는다.$$\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)=\frac{d}{dt}f(\mathbf{p}+t\mathbf{v})|_{t=0}=\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{p})v_{i}$$\(f,\,g\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 함수, \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}},\,\mathbf{w}_{\mathbf{p}}\)를 접벡터, \(a,\,b\)를 실수라 하면 다음이 성립한다.

(1) \((a\mathbf{v}_{\mathbf{p}}+b\mathbf{w}_{\mathbf{p}})(f)=a\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)+b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}(f)\) 

(2) \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(af+bg)=a\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)+b\mathbf{w}_{\mathbf{p}}(f)\) 

(3) \(\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(fg)=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)g(\mathbf{p})+f(\mathbf{p})\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(g)\)

(3)의 증명: \(\mathbf{v}=(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})\)라 하면 앞 정리의 결과에 의해 \(\displaystyle\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(fg)=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}\frac{\partial(fg)}{\partial x_{i}}(\mathbf{p})}\)이고$$\frac{\partial(fg)}{\partial x_{i}}=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}g+f\frac{\partial g}{\partial x_{i}}$$이므로 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(fg)&=\sum_{i=1}^{3}v_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{p})g(\mathbf{p})+f(\mathbf{p})\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{p})\right)\\&=\left(\sum_{i=1}^{3}v_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{p})\right)g(\mathbf{p})+f(\mathbf{p})\left(\sum_{i=1}^{3}v_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{p})\right)\\&=\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(f)g(\mathbf{p})+f(\mathbf{p})\mathbf{v}_{\mathbf{p}}(g)\end{align*}$$위의 결과는 방향도함수는 선형임을 뜻한다. 

위의 결과로부터 \(U_{1},\,U_{2},\,U_{3}\)가 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 자연틀장이면, \(\displaystyle U_{i}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\)이다. 

벡터장도 방향도함수와 비슷한 성질을 갖는다. 

\(V,\,W\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 벡터장, \(f,\,g,\,h\)를 실함수 \(a,\,b\)를 실수라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(1) \((fV+gW)(h)=fV(h)+gW(h)\)

(2) \(V(af+bg)=aV(f)+bV(g)\)

(3) \(V(fg)=V(f)g+fV(g)\)

(3)에서 \(V(fg)\)의 \(\mathbf{p}\)에서의 값은 \(V(\mathbf{p})(fg)\)이고 다음이 성립한다.$$\begin{align*}V(\mathbf{p})(f)g(\mathbf{p})+f(\mathbf{p})V(\mathbf{p})(g)&=V(f)(\mathbf{p})g(\mathbf{p})+f(\mathbf{p})V(g)(\mathbf{p})\\&=(V(f)g+fV(g))(\mathbf{p})\end{align*}$$\(V=xU_{1}-y^{2}U_{3}\), \(f=x^{2}y+z^{3}\)일 때 다음이 성립한다.$$\begin{align*}V(f)&=xU_{1}(x^{2}y)+xU_{1}(z^{3})-y^{2}U_{3}(x^{2}y)-y^{2}U_{3}(z^{3})\\&=x(2xy)+0-0-y^{2}(3z^{2})\\&=2x^{2}y-3y^{2}z^{2}\end{align*}$$\(I\)를 실직선 \(\mathbb{R}\)상의 열린구간이라고 하자. \(\mathbb{R}^{3}\)상의 곡선을 점이 움직이는 경로 \(\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)으로 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$\alpha(t)=(\alpha_{1}(t),\,\alpha_{2}(t),\,\alpha_{3}(t))$$여기서 \(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3}\)는 유클리드 좌표함수이고, 이 좌표함수들이 모두 미분가능하면, 함수 \(\alpha\)를 미분가능(differentiable)하다고 한다. 

열린구간 \(I\)에서 \(\mathbb{R}^{3}\)으로의 미분가능한 함수 \(\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 곡선(curve)이라고 한다. 

직선(straight line)은 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$\alpha(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{q}=(p_{1}+tq_{1},\,p_{2}+tq_{2},\,p_{3}+tq_{3})$$나선(helix)는 다음과 같이 나타낼수 있다.$$\alpha(t)=(a\cos t,\,a\sin t,\,bt)$$

\(\mathbb{R}^{3}\)의 곡선 \(\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)의 속도벡터(velocity vector)를 다음과 같이 정의한다.$$\alpha'(t)=\left(\frac{d\alpha_{1}}{dt}(t),\,\frac{d\alpha_{2}}{dt}(t),\,\frac{d\alpha_{3}}{dt}(t)\right)_{\alpha(t)}$$

속도벡터의 정의는 \(\alpha(t)\)의 평균변화량에서 극한 \(\Delta t\,\rightarrow\,0\)을 취한 것이다. 즉$$\begin{align*}\alpha'(t)&=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\alpha(t+\Delta t)-\alpha(t)}{\Delta t}}\\&=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\left(\frac{\alpha_{1}(t+\Delta t)-\alpha_{1}(t)}{\Delta t},\,\frac{\alpha_{2}(t+\Delta t)-\alpha_{2}(t)}{\Delta t},\,\frac{\alpha_{3}(t+\Delta t)-\alpha_{3}(t)}{\Delta t}\right)}\\&=\left(\frac{d\alpha_{1}}{dt}(t),\,\frac{d\alpha_{2}}{dt}(t),\,\frac{d\alpha_{3}}{dt}(t)\right)\end{align*}$$

등식 \(\displaystyle(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})_{\mathbf{p}}=\sum_{i=1}^{3}{v_{i}U_{i}(\mathbf{p})}\)를 \(t\)에서의 속도벡터 \(\alpha'(t)\)에 적용하면 다음의 공식을 얻는다.$$\alpha'(t)=\sum_{i=1}^{3}{\frac{d\alpha_{i}}{dt}(t)U_{i}(\alpha(t))}$$직선 \(\alpha(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{q}\)에 대해 \(\alpha'(t)=(q_{1},\,q_{2},\,q_{3})_{\alpha(t)}=(q_{1},\,q_{2},\,q_{3})_{\alpha(t)}=\mathbf{q}_{\alpha(t)}\)이고, 나선 \(\alpha(t)=(a\cos t,\,a\sin t,\,bt)\)에 대해 \(\alpha'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t,\,b)_{\alpha(t)}\)이다.   

\(I,\,J\)를 실직선 \(\mathbb{R}\)의 열린구간이라고 하자. \(\alpha:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)를 곡선, \(h:J\,\rightarrow\,I\)를 미분가능한 함수라고 하자. 그러면 합성함수 \(\beta:J\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3},\,\beta=\alpha(h)\)를 \(h\)에 의한 \(\alpha\)의 재매개화(reparametrization)라고 한다.

각 \(s\in J\)에 대해 곡선 \(\beta\)가 구간 \(I\)의 점 \(h(s)\)에 \(\alpha\)에 의해 도달한 점은 \(\beta(s)=\alpha(h(s))\)이다. 

\(I=(0,\,4)\)에서 정의된 곡선 \(\alpha(t)=(\sqrt{t},\,t\sqrt{t},\,1-t)\)에 대해 \(h(s)=s^{2}\)를 이용해 다음과 같이 재매개화 할 수 있다.$$\beta(s)=\alpha(h(s))=\alpha(s^{2})=(s,\,s^{3},\,1-s^{2})$$\(\beta\)가 \(h\)에 의한 \(\alpha\)의 재매개화이면 다음이 성립한다.$$\beta'(s)=\frac{dh}{ds}(s)\alpha'(h(s))$$증명: \(\alpha(t)=(\alpha_{1}(t),\,\alpha_{2}(t),\,\alpha_{3}(t))\)라 하면$$\beta(s)=\alpha(h(s))=(\alpha_{1}(h(s)),\,\alpha_{2}(h(s)),\,\alpha_{3}(h(s)))$$이고 \(\alpha_{i}(h)'(s)=\alpha_{i}'(h(s))h'(s)\)이므로 속도의 정의에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}\beta'(s)&=\alpha(h)'(s)\\&=(\alpha_{1}'(h(s))h'(s),\,\alpha_{2}'(h(s))h'(s),\,\alpha_{3}'(h(s))h'(s))\\&=h'(s)\alpha'(h(s))\end{align*}$$속도는 접벡터이므로, 속도에 대해 함수의 도함수를 취할 수 있다.

\(\alpha\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)상의 곡선, \(f\)를 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 미분가능한 함수라고 하면 다음이 성립한다.$$\alpha'(t)(f)=\frac{d(f(\alpha))}{dt}(t)$$증명: 연쇄법칙으로부터 다음의 결과를 얻는다.$$\alpha'(t)(f)=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\alpha(t))\frac{d\alpha_{i}}{dt}}$$미적분학의 관점에서 곡선 \(\alpha\)의 가장 중요한 조건은 정칙(regular)조건, 즉 모든 속도벡터가 0이 아니라는 조건이고, 이것은 곡선의 모서리가 뾰족점이 아님을 뜻한다(뾰족점에서 미분가능하지 않다).     

\(f\)가 \(\mathbb{R}^{2}\)에서 정의된 미분가능한 실함수이고, \(C\)를 \(f(\mathbf{p})=a\)인 \(\mathbf{p}\)들의 집합이라 하자. 편도함수 \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\)가 \(C\)의 어떤 점에서도 동시에 0이 되지 않으면 \(C\)는 곡선(curve)이라고 불리는 하나 이상의 독립된 성분으로 나타내어진다. 

\(C:x^{2}+y^{2}=r^{2}\)는 중심이 원점이고, 반지름이 \(r\)인 원이고, 쌍곡선 \(C:x^{2}-y^{2}=r^{2}\)는 두 개의 곡선으로 나뉜다. \(\alpha_{1}(t)=(r\cos t,\,r\sin t)\)는 원의 매개변수 표현이고, \(r>0\)일 때 \(\alpha_{2}(t)=(r\cosh t,\,r\sinh t)\)는 쌍곡선의 \(x>0\)인 부분이다. 

참고자료:

미분기하학, 이승훈, 한동숭, 경문사

Elementary Differential Geometry Second edition, O'neil, AcademicPress