[금융수학] 16. 블랙-숄즈 방정식, 그리스문자

[금융수학] 16. 블랙-숄즈 방정식, 그리스문자

\(0\leq t\leq T\)의 범위의 시간을 \(t\)로 나타내고, \(W_{t}\)를 브라운 운동(위너 과정), \(S_{t}\)를 시간 \(t\)에서의 위험 자산의 가치(예: 주식의 가격)라고 하자. 위험 자산의 가치 변동에 대한 기본 모델의 가정은 \(S_{t}\)가 기하 브라운 운동, 즉 다음의 확률 미분방정식을 만족하는 것이다.$$dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}$$여기서 \(dW_{t}\)는 불확실성 또는 리스크(risk)를 나타내고 다음이 성립한다.$$E(dW_{t})=0,\,E((dW_{t})^{2})=dt$$그러면 \(dt\,\rightarrow\,0\)일 때 \((dW_{t})^{2}\)항을 무시할 수 없다.

옵션 가격은 시간 \(t\)와 기초자산 \(S\)에 의존하므로 \(V(S,\,t)\)라 하자. 시간이 \(t\)에서 \(t+dt\)로 변화함에 따라 \(V\)의 2차 테일러 급수를 구하면 다음의 식을 얻는다.$$dV=\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}(dS)+\frac{\partial^{2}V}{\partial S\partial t}dSdt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial t^{2}}$$이고$$(dW_{t})^{2}=dt,\,dW_{t}dt=0,\,(dt)^{2}=0$$이므로$$\begin{align*}(dS)^{2}&=(\mu Sdt+\sigma SdW_{t})^{2}\\&=\sigma^{2}S^{2}dt\end{align*}$$이고 따라서 위의 테일러 전개식으로부터 다음의 식을 얻는다.$$dV=\left(\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}\right)dt+\frac{\partial V}{\partial S}dS$$여기서 \(dt\)항은 리스크가 없고, \(dS\)항은 리스크가 있다. 

\(V\)를 구하기 위해 옵션 발행자의 입장에서 자체 조달적(self-financing)이고 리스크 없는 포트폴리오 \(\Pi\)를 다음과 같이 구성하자.$$\Pi(S,\,t)=-V(S,\,t)+D(S,\,t)+\Delta(S,\,t)S$$즉 \(\Pi\)는 이미 판매된 옵션의 가치 \(-V\)와 은행 예금 \(D\), \(\Delta\) 단위의 위험자산 \(S\)로 구성되어 있다. 여기서 \(\Delta\)는 증분을 나타내는 기호가 아닌 \(t\)와 \(S\)의 함수로서 헤지 비율(hedge ratio)이라고 하고, \(\Delta<0\)인 경우는 공매도를 뜻한다.

시간 \(t\)부터 \(t+dt\)까지 \(S\)가 얼마나 변할 지 모르므로 헤지 비율 \(\Delta\)는 고정된 채로 \(S_{t}\)가 \(S_{t+dt}\)로 변하고 \(\Pi\)는 \(\Pi+d\Pi\)로 변한다고 하자. 은행예금 \(D\)는 \(dD=rDdt\)를 만족하므로$$\begin{align*}d\Pi&=-dV+dD+\Delta dS\\&=-dV+rDdt+\Delta dS\\&=\left(-\frac{\partial V}{\partial t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}+rD\right)dt+\left(\Delta-\frac{\partial V}{\partial S}\right)dS\end{align*}$$시간 \(t\)의 흐름에 따라 \(\displaystyle\Delta=\frac{\partial V}{\partial S}\)라 하면 다음의 결과를 얻는다.$$d\Pi=\left(-\frac{\partial V}{\partial t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}+rD\right)dt$$\(dS\)항이 없기 때문에 \(d\Pi\)는 리스크가 없고, 시간 \(dt\)동안 은행에 예금해 둔 것과 같게 되므로 식 \(d\Pi=r\Pi dt\)를 얻는다. 차익거래가 없으려면 다음과 같아야 하고$$\left(-\frac{\partial V}{\partial t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}+rD\right)dt=r\Pi dt$$\(\displaystyle\Pi=-V+D+\frac{\partial V}{\partial S}S\)이므로$$-\frac{\partial V}{\partial t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}+rD=r\left(-V+D\frac{\partial V}{\partial S}S\right)$$이고 따라서 다음의 결과를 얻는다.

블랙-숄즈 방정식(Black-Scholes equation) 만기일이 \(T\)이고 행사가격이 \(K\)인 유러피언 옵션의 시간 \(t\)일 때 가격 \(V(S,\,t)\)는 다음과 같다.$$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}=rV$$최종 조건 \(V(S,\,T)\)는 옵션의 수익함수에 의해 결정된다. 

옵션의 가격을 나타내는 함수를 \(V(S,\,t)\)라고 하자. 그러면 \(V(S,\,t)\)의 정의역은 \(0\leq t\leq T\), \(0\leq S<\infty\)이다. \(V(0,\,t)=0\)이고 \(S\)가 충분히 크면 \(V(S,\,t)\approx S-K\)이며, 또한 \(V(S,\,T)=\max\{S-K,\,0\}\)이다. 블랙-숄즈 방정식은 열방정식 \(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}\)과 비슷하나 \(t=0\)에서의 초기조건 대신 \(t=T\)에서의 최종조건이 주어져 있는데 그 이유는 시간에 관한 편도함수의 부호가 열 방정식의 경우와는 반대이기 때문이다. 

만기일이 \(T\)이고, 행사가격이 \(K\)인 유러피언 콜 옵션 \(V(S,\,t)\)의 \(t=0\)일 때의 가격 \(V_{0}\)를 구하면$$V_{0}=S_{0}\Phi(d_{1})-Ke^{-rT}\Phi(d_{2})$$이고 여기서$$d_{1}=\frac{\displaystyle\ln\frac{S_{0}}{K}+\left(r+\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}},\,d_{2}=\frac{\displaystyle\ln\frac{S_{0}}{K}+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}=d_{1}-\sigma\sqrt{T}$$이고 \(\Phi\)는 표준정규분포의 누적밀도함수이다. 

증명: 변수변환을 거쳐 블랙-숄즈 방정식을 열방정식 형태로 나타내자. 그러기 위해서$$S=Ke^{x},\,t=T-\frac{1}{\sigma^{2}}\tau,\,V(S,\,t)=Kv(x,\,\tau)$$라 하자. 그러면$$v(x,\,\tau)=\frac{1}{K}V(S,\,t)=\frac{1}{K}V\left(Ke^{x},\,T-\frac{1}{\sigma^{2}}\tau\right),\,-\infty<x<\infty,\,0\leq\tau\leq\sigma^{2}T$$이고 블랙-숄즈 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\sigma^{2}\frac{\partial v}{\partial\tau}=\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)\frac{\partial v}{\partial}-rv$$여기서 \(\displaystyle C=\frac{r}{\sigma^{2}}\)라 하면$$\frac{\partial v}{\partial\tau}=\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\left(C-\frac{1}{2}\right)\frac{\partial v}{\partial x}-Cv$$이고 \(v\)의 초기조건은 \(t=T\)일 때 \(V(S,\,T)=\max\{S-K,\,0\}\)이므로$$v(x,\,0)=\frac{1}{K}V(Ke^{x},\,T)=\frac{1}{K}\max\{Ke^{x}-K,\,0\}=\max\{e^{x}-1,\,0\}$$이다. 

*여러 개의 인수들이 하나의 방정식의 모두 등장해서 방정식이 복잡해지면 몇 개씩 모아 하나의 인수에 흡수시켜 무차원 인수를 만들어 방정식의 풀이를 쉽게 한다. 여기서 \(r\)과 \(\sigma^{2}\)의 차원은 모두 시간의 역수이므로 \(\displaystyle C=\frac{r}{\sigma^{2}}\)의 차원은 없다. 

적당한 \(\alpha,\,\beta,\,u(x,\,\tau)\)에 대해 \(v(x,\,\tau)=e^{\alpha x+\beta\tau}u(x,\,\tau)\)형태의 \(v\)를 구하자. 이런 형태의 풀이가 존재하면$$\beta u+\frac{\partial u}{\partial\tau}=\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\left(C-\frac{1}{2}+\alpha\right)\frac{\partial u}{\partial x}+\left(\frac{1}{2}\alpha^{2}+\left(C-\frac{1}{2}\right)\alpha-C\right)u$$이고$$\alpha=-C+\frac{1}{2},\,\beta=\frac{1}{2}\alpha^{2}+\left(C-\frac{1}{2}\right)\alpha-C=-\frac{1}{2}\left(C+\frac{1}{2}\right)^{2}$$라고 하면 \(u\)에 대한 필요조건은 열방정식 \(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial\tau}=\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\)이고, \(u\)의 초기조건은$$u(x,\,0)=u_{0}(x)=e^{-\alpha x}v(x,\,0)e^{\left(C-\frac{1}{2}\right)x}\max\{e^{x}-1,\,0\}$$이다. 따라서$$\begin{align*}u(x,\,\tau)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{-\infty}^{\infty}{u_{0}(\xi)e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{2\tau}}d\xi}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{0}^{\infty}{e^{\left(C+\frac{1}{2}\right)\xi}(e^{\xi}-1)e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{2\tau}}d\xi}\end{align*}$$이고 여기서$$\begin{align*}I_{1}&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{0}^{\infty}{e^{\left(C+\frac{1}{2}\right)\xi}e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{2\tau}}d\xi}\\I_{2}&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{0}^{\infty}{e^{\left(C-\frac{1}{2}\right)\xi}e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{2\tau}}d\xi}\end{align*}$$라고 하면 \(u(x,\,\tau)=I_{1}-I_{2}\)이고$$\begin{align*}&e^{\alpha x+\beta\tau}I_{1}\\&=e^{\left(-C+\frac{1}{2}\right)x-\frac{1}{2}\left(C+\frac{1}{2}\right)^{2}\tau}\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{0}^{\infty}{e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{2\tau}+\left(C+\frac{1}{2}\right)\xi}d\xi}\\&=e^{\left(-C+\frac{1}{2}\right)x-\frac{1}{2}\left(C+\frac{1}{2}\right)^{2}\tau}\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{-\infty}^{0}{e^{-\frac{(x+\eta)^{2}}{2\tau}-\left(C+\frac{1}{2}\right)\eta}d\eta}\,(\eta=-\xi)\\&=e^{\left(-C+\frac{1}{2}\right)x-\frac{1}{2}\left(C+\frac{1}{2}\right)^{2}\tau}\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{-\infty}^{0}{e^{-\frac{\left(\eta+x+\left(C+\frac{1}{2}\right)\tau\right)^{2}}{2\tau}+\left(C+\frac{1}{2}\right)x+\left(C+\frac{1}{2}\right)^{2}\tau}d\eta}\\&=e^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{-\infty}^{0}{e^{-\frac{\left(\eta+x+\left(C+\frac{1}{2}\right)^{2}\tau\right)^{2}}{2\tau}}d\tau}\\&=e^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{-\infty}^{x+\left(C+\frac{1}{2}\right)\tau}{e^{-\frac{\xi^{2}}{2\tau}}d\xi}\,\left(\xi=\eta+x+\left(C+\frac{1}{2}\right)\tau\right)\\&=e^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\frac{x+\left(C+\frac{1}{2}\right)\tau}{\sqrt{\tau}}}{e^{-\frac{\zeta^{2}}{2}}d\zeta}\,\left(\zeta=\frac{\xi}{\sqrt{\tau}}\right)\\&=e^{x}\Phi(d_{1})\end{align*}$$이때$$d_{1}=\frac{x+\left(C+\frac{1}{2}\right)C}{\sqrt{\tau}}=\frac{\ln\frac{S}{K}+\left(r+\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$이다. 두 번째 항도 다음과 같이 계산할 수 있고$$\begin{align*}&e^{\alpha x+\beta\tau}I_{2}\\&=e^{\left(-C+\frac{1}{2}\right)x-\left(C+\frac{1}{2}\right)^{2}\tau}\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{-\infty}^{0}{e^{-\frac{\left(\eta+x+\left(C-\frac{1}{2}\right)\tau\right)^{2}}{2\tau}+\left(C-\frac{1}{2}\right)x+\frac{1}{2}\left(C-\frac{1}{2}\right)^{2}\tau}d\eta}\\&=e^{-C\tau}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\frac{1}{\sqrt{\tau}}\left(x+\left(C-\frac{1}{2}\right)\tau\right)}{}e^{-\frac{\zeta^{2}}{2}}d\zeta\,\left(\zeta=\eta+x+\left(C-\frac{1}{2}\right)\tau\right)\\&=e^{-C\tau}\Phi(d_{2})\end{align*}$$여기서$$d_{2}=\frac{x+\left(C-\frac{1}{2}\right)\tau}{\sqrt{\tau}}=\frac{\displaystyle\ln\frac{S}{K}+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$이고 \(\tau=\sigma^{2}(T-t)\)이므로 \(\displaystyle C\tau=\frac{r}{\sigma^{2}}\sigma^{2}(T-t)=r(T-t)\)이고 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}V(S,\,t)&=Kv(x,\,\tau)\\&=Ke^{x}\Phi(d_{1})-Ke^{-C\tau}\Phi(d_{2})\\&=S\Phi(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_{2})\end{align*}$$옵션 이론에서 그릭스(Greeks)라고 불리는 그리스 문자들을 사용해 옵션 가격의 여러 편도함수들을 나타낸다.$$\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\,\Gamma=\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}},\,\rho=\frac{\partial V}{\partial r},\,\Theta=\frac{\partial V}{\partial t},\,\nu=\frac{\partial V}{\partial\sigma}$$\(\Delta\), \(\Gamma\), \(\rho\), \(\Theta\)를 각각 델타(delta), 감마(gamma), 로(\rho), 세타(theta)라 하고, 여기서 \(\nu\)는 베가(vega)라고 부르고, 변동성을 뜻하는 'volatility'의 첫 글자 v에서 딴 것이다. 

유러피언 콜 옵션에서$$d_{1}=\frac{\displaystyle\ln\frac{S}{K}+\left(r+\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}},\,d_{2}=\frac{\displaystyle\ln\frac{S}{K}+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$라 하면,$$V(S,\,t)=S\Phi(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_{2})$$이므로 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\Delta&=\Phi(d_{1})\\ \Gamma&=\frac{\Phi'(d_{1})}{S\sigma\sqrt{T-t}}\\ \rho&=(T-t)Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_{2})\\ \Theta&=-\frac{S\sigma}{2\sqrt{T-t}}\Phi'(d_{1})-rKe^{-r(T-t)}\Phi(d_{2})\\ \nu&=S\sqrt{T-t}\Phi'(d_{1})\end{align*}$$참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사