[금융수학] 14. 마팅게일 표현정리, 파인만-칵 공식, 콜모고로프 방정식

[금융수학] 14. 마팅게일 표현정리, 파인만-칵 공식, 콜모고로프 방정식

마팅게일 표현정리

표본공간 $(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$에서 정의된 확률과정 $\{M_{t}\}_{t\geq0}$가 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$에 대해 적응되어 있고, 또한 마팅게일이라고 하자. 각 $t\geq0$에 대해 $E(M_{t}^{2})<\infty$이면, $\{M_{t}\}_{t\geq0}$를 제곱 적분가능(square-integrable)한 마팅게일이라고 한다. 

브라운 운동에 대한 마팅게일 표현정리(martingale representation theorem for Brownian motion). $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$를 $P-$브라운 운동 $\{W_{t}\}_{t\geq0}$에 의해 생성되는 여과라고 하자. $\{M_{t}\}_{t\geq0}$가 제곱 적분가능한 $(P,\,\mathcal{F_{t}}_{t\geq0})-$마팅게일이라고 할 때 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}-$예측가능한 과정 $\{\alpha_{t}\}_{t\geq0}$가 존재해서 $P-$확률 1로서 다음이 성립한다. $$M_{t}-M_{0}=\int_{0}^{t}{\alpha_{s}dW_{s}}$$ 증명: $M_{0}$는 $\mathcal{F}_{0}$에 대해 가측이므로 확률 1로서 상수이다. 필요하면 $M_{t}$대신 $N_{t}=M_{t}-M_{0}$를 사용해 $N_{t}$에 대해 증명할 수 있기 때문에 $M_{0}=0$인 경우만 증명하면 된다. 마팅게일의 기본적 성질로부터 $E(M_{t})=0$이고 $E(M_{T}|\mathcal{F}_{t})=M_{t}$이다.

주어진 여과에 적응되어 있고, 제곱 적분가능한 확률과정들의 집합을 $V$라 하자. 임의의 $X_{t},\,Y_{t}\in V$에 대해 $$\langle X_{t},\,Y_{t}\rangle_{V}=E\left(\int_{0}^{T}{X_{s}Y_{s}ds}\right)$$ 라고 하면 $\langle\cdot,\,\cdot\rangle_{V}$는 내적이고 $V$는 힐베르트 공간이다. 그리고 $$L^{2}_{0}(\Omega,\,\mathcal{F}_{T},\,P)=\{Z\in L^{2}(\Omega,\,\mathcal{F}_{T},\,P)\,|\,E(Z)=0\}$$ 이라 하면 이토 적분으로 정의되는 선형사상 $I:V\,\rightarrow\,L_{0}^{2}(\Omega,\,\mathcal{F}_{T},\,P)$, $\displaystyle I(X_{s})=\int_{0}^{T}{X_{s}dW_{s}}$는 거리를 보존한다. $I$가 전사(surjective, onto)임을 보이자. $\{\alpha_{t}\}_{0\leq t\leq T}\in V$가 존재해서 $\displaystyle M_{t}=\int_{0}^{T}{\alpha_{s}W_{s}}$이고 따라서 다음이 성립한다. $$M_{t}=E(M_{T}|\mathcal{F}_{t})=E\left(\int_{0}^{T}{\alpha_{s}dW_{s}}|\mathcal{F}_{s}\right)=\int_{0}^{t}{\alpha_{s}dW_{s}}$$ 파인만-칵 공식

파인만-칵 공식(Feynman-Kac formula). $t,\,x\in\mathbb{R}$에 대한 함수 $F,\,\mu,\,\sigma:[0,\,T]\times\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$와 $x$에 대한 함수 $h:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 정의되고, 다음의 편미분방정식이 주어졌다고 하자. $$\begin{cases}\displaystyle\frac{\partial F}{\partial t}(t,\,x)+\mu(t,\,x)\frac{\partial F}{\partial x}(t,\,x)+\frac{1}{2}\sigma^{2}(t,\,x)\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}(t,\,x)&=0,\,0<t<T\\F(T,\,x)&=h(x)\end{cases}$$ 이때 확률과정 $\{X_{t}\}_{t\geq0}$가 확률미분방정식 $dX_{t}=\mu(t,\,X_{t})dt+\sigma(t,\,X_{t})dW_{t}$를 만족하면 다음이 성립한다. $$F(t,\,x)=E(h(X_{T})|\mathcal{F}_{t})|_{X_{t}=x}=E(h(X_{T})|X_{t}=x)$$ 증명: 이토 공식으로부터 $$\begin{align*}&F(T,\,X_{T})-F(t,\,X_{t})\\&=\int_{t}^{T}{\left\{\frac{\partial F}{\partial s}(s,\,X_{s})+\mu(s,\,X_{s})\frac{\partial F}{\partial s}\frac{\partial F}{\partial x}(s,\,X_{s})+\frac{1}{2}\sigma^{2}(s,\,X_{s})\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}(s,\,X_{s})\right\}ds}+\int_{t}^{T}{\sigma(s,\,X_{s})\frac{\partial F}{\partial x}(s,\,X_{s})dW_{s}}\\&=\int_{t}^{T}{\sigma(s,\,X_{s})\frac{\partial F}{\partial x}(s,\,X_{s})dW_{s}}\end{align*}$$ 이고 이 등식 양변에 조건부기댓값 $E(\cdot|\mathcal{F}_{t})$을 적용하면 $$E(F(T,\,X_{T})|\mathcal{F}_{t})-F(t,\,X_{t})=0$$ 이고 따라서 $$F(t,\,X_{t})=E(F(T,\,X_{T})|\mathcal{F}_{t})=E(h(X_{T})|\mathcal{F}_{t})$$ 이다. 

파인만-칵 공식에서 $\mu=\sigma=0$이면, $F$는 $x$만의 함수이고, $X_{t}$는 상수이므로 $F(t,\,x)=h(x)$이다. $\sigma=0$이면, $X_{t}$는 $X_{t}$는 상미분방정식 $\displaystyle\frac{dX}{dt}=\mu(t,\,X)$의 해이다. 

벡터장 $\vec{Y}:\mathbb{R}^{2}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}$를 $\vec{Y}(t,\,x)=(1,\,\mu(t,\,x))$, $\vec{\phi}(t)=(\phi_{1}(t),\,\phi_{2}(t))$를 $\vec{Y}$의 적분곡선이라 하자. 즉 $$(\phi'_{1}(t),\,\phi'_{2}(t))=(1,\,\mu(t,\,\phi_{2}(t)))$$ 따라서 $\phi_{1}(t)=t$이고 $\displaystyle\frac{d\phi_{2}}{dt}=\mu(t,\,\phi_{2})$이다. 연쇄법칙에 의해 $$\begin{align*}\frac{d}{dt}\left(F(\vec{\phi}(t))\right)&=\frac{\partial F}{\partial t}(\vec{\phi}(t))\phi_{1}'(t)+\frac{\partial F}{\partial x}(\vec{\phi}(t))\phi_{2}'(t)\\&=\frac{\partial F}{\partial t}(\vec{\phi}(t))+\frac{\partial F}{\partial x}(\vec{\phi}(t))\mu(t,\,\phi_{2}(t))\\&=0\end{align*}$$ 이므로 $F$는 벡터장 $\vec{Y}$의 적분 곡선 위에서 상수이고 모든 $t$에 대해 $F(\vec{\phi}(t))=F(\vec{\phi}(T))$즉, $F(t,\,\phi_{2}(t))=F(T,\,\phi_{2}(T))$이다.

확률미분방정식 $dX_{t}=dW_{t}$은 이토 적분의 정의에 의해 $\displaystyle X_{t}-X_{0}=\int_{0}^{t}{dW_{t}}=W_{t}$이고 파인만-칵 공식으로부터 $$\begin{align*}E(h(X_{T})|\mathcal{F}_{t})|_{X_{t}=x}&=E(h(W_{T}+X_{0})|\mathcal{F}_{t})|_{W_{t}+X_{0}=x}\\&=E(h(W_{T}-W_{t}+x)|\mathcal{F}_{t})|_{W_{t}=x-X_{0}}\\&=E(h(W_{T}-W_{t}+x))\\&=E(h(W_{T-t}+x))\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{h(z+x)\frac{1}{\sqrt{2\pi(T-t)}}e^{-\frac{z^{2}}{2(T-t)}}dz}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{h(y)\frac{1}{\sqrt{2\pi(T-t)}}e^{-\frac{(x-y)^{2}}{2(T-t)}}dy}\end{align*}$$ 이고, 위의 마지막 줄 적분식의 우변은 $h$와 열 핵(heat kernel) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi(T-t)}}e{-\frac{x^{2}}{2(T-t)}}$와의 합성곱(convolution)이고, 다음의 편미분방정식의 해이다. $$\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}=0,\,F(T,\,x)=h(x)$$ 확률미분방정식 $dX_{t}=\mu(t,\,X_{t})dt+\sigma(t,\,X_{t})dW_{t}$에 대한 무한소 생성원(infinitesimal generator)를 다음과 같이 정의한다. $$\mathcal{A}=\mu(t,\,x)\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{2}\sigma^{2}(t,\,x)\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}$$ 이 무한소 생성원을 이용해 파인만-칵 공식의 편미분방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\left(\frac{\partial}{\partial t}+\mathcal{A}\right)F(t,\,x)=0$$ 함수 $F(t,\,x)$가 파인만-칵 공식의 편미분방정식을 만족한다고 하자. $V(t,\,x)=e^{-r(T-t)}F(t,\,x)$라 하면 $$\frac{\partial V}{\partial t}=re^{-r(T-t)}F(t,\,x)+e^{-r(T-t)}\frac{\partial}{\partial t}F(t,\,x)$$ 이므로 $V$는 다음의 편미분방정식을 만족한다. $$\begin{cases}&\displaystyle\frac{\partial V}{\partial t}+\mu(t,\,x)\frac{\partial V}{\partial x}(t,\,x)+\frac{1}{2}\sigma^{2}(t,\,x)\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}(t,\,x)=rV(t,\,x)\\&V(T,\,x)=e^{-r(T-t)}F(T,\,x)=h(x)\end{cases}$$ 확률과정 $S_{t}$가 상수 $\mu_{0},\,\sigma_{0}$에 대해 기하 브라운 운동 $dS_{t}=\mu_{0}S_{t}dt+\sigma_{0}S_{t}dW_{t}$를 만족하면 $\mu(t,\,x)=\mu_{0}x$, $\sigma(t,\,x)=\sigma_{0}x$이므로 파인만-칵 공식에 의해 다음이 성립한다. $$V(t,\,x)=e^{-r(T-t)}F(t,\,x)=e^{-r(T-t)}E(h(S_{T})|S_{t}=x)$$ 따라서 최종조건이 $V(T,\,x)=h(x)$인 편미분방정식 $$\frac{\partial V}{\partial t}(t,\,x)+\mu(t,\,x)\frac{\partial V}{\partial x}(t,\,x)+\frac{1}{2}\sigma^{2}(t,\,x)\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}(t,\,x)=rV(t,\,x)$$ 의 해는 $V(t,\,x)=e^{-r(T-t)}E(h(S_{T})|S_{t}=x)$이다. 

$V$가 유러피언 옵션의 가격을 나타내는 경우는 $\mu_{0}=r$이어야 하므로 다음의 블랙-숄즈 편미분방정식을 얻는다. $$\frac{\partial V}{\partial t}(t,\,x)+rx\frac{\partial V}{\partial x}(t,\,x)+\frac{1}{2}\sigma_{0}^{2}x^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}(t,\,x)=rV(t,\,x)$$ 랜덤워크(random walk)에 대한 이산모형에서 시간 $dt$동안 $dx$만큼 움직일 확률이 $p$이고 $-dx$만큼 움직일 확률을 $1-p$라 하자. 극한을 잡을 때 브라운 운동으로 수렴하도록 하기 위해 $$p=\frac{1}{2}+\frac{\mu\sqrt{dt}}{2\sigma},\,q=\frac{1}{2}-\frac{\mu\sqrt{dt}}{2\sigma},\,dx=\sigma\sqrt{dt}$$ 라 하자. 시간 0일 때 $x_{0}$에서 출발해 시간 $t$일 때 $x$에 도달할 확률을 $p(x,\,t,\,x_{0})$라 하자. 이때 전이확률(transition probability)의 이산형을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$p(x,\,t,\,x_{0})=p\cdot p(x-dx,\,t-dt,\,x_{0})+q\cdot p(x+dx,\,t-dt,\,x_{0})$$ 이것은 $x_{0}$에서 출발해 시간 $t-dt$동안 $x-dx$로 간 후 마지막으로 오른쪽으로 한번 가서 $x$에 도달하거나(이럴 확률은 $p$), 또는 $x_{0}$에서 출발해 시간 $t-dt$동안 $x+dx$로 간 후 마지막으로 왼쪽으로 한 번 가서 $x$에 도달할 확률의 합이다. 

함수 $p(x,\,t,\,x_{0})$가 충분히 여러 번 미분가능하고 2차 테일러 전개를 하면 다음의 근사식을 얻는다. $$\begin{align*}p(x,\,t,\,x_{0})\\&\approx p\left\{p(x,\,t,\,x_{0})-\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x}dx-\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x^{2}}(dx)^{2}\right\}\\&+q\left\{p(x,\,t,\,x_{0})dx+\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x}dx-\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x^{2}}(dx)^{2}\right\}\end{align*}$$ $p+q=1$이고 $(q-p)dx=-\mu dt$이므로 $dt\,\rightarrow\,0$일 때 다음의 콜모고로프 전진 방정식(Kolmogorov forward equation)을 얻는다. $$\frac{\partial p}{\partial t}(x,\,t,\,x_{0})=\frac{1}{2}\sigma\frac{\partial^{2}p}{\partial x^{2}}(x,\,t,\,x_{0})-\mu\frac{\partial p}{\partial x}(x,\,t,\,x_{0})$$ 을 얻고, $\mu=0$인 경우는 열 방정식(heat equation) 또는 확산 방정식(diffusion equation)이다.

위의 편미분방정식(콜모고로프 전진 방정식)의 초기조건이 디랙 델타함수 $\delta$로 주어지면, 즉 $p(x,\,0,\,x_{0})=\delta(x-x_{0})$이면, 해인 $p(x,\,t,\,x_{0})$는 $\displaystyle p(x,\,t,\,x_{0})=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(x-x_{0}-\mu t)^{2}}{2\sigma^{2}t}}$이다. 

앞의 경우와 다른 관점에서 전이확률을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$p(x,\,t+dt,\,x_{0})=p\cdot p(x,\,t,\,x_{0}+dx)+q\cdot p(x,\,t,\,x_{0}-dt)$$ 이것은 $x_{0}$에서 출발해 오른쪽으로 한번 간 후 나머지 시간 $(t+dt)-dt=t$동안 $x$로 가거나 또는 $x_{0}$에서 출발해 왼쪽으로 간 다음 나머지 시간 $t$ 동안 $x$로 가는 두 경우의 확률을 합한 것이다.

함수 $p$가 충분히 여러 번 미분가능하고 2차 테일러 전개를 하면 다음의 근사식을 얻는다. $$\begin{align*}&p(x,\,t,\,x_{0})+\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial t}dt\\&\approx p\left\{p(x,\,t,\,x_{0})+\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x}dx+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x^{2}}(dx)^{2}\right\}\\&+q\left\{p(x,\,t,\,x_{0})-\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x}dx+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x^{2}}(dx)^{2}\right\}\end{align*}$$ $p+q=1$이고 $(p-q)dx=\mu dt$이므로 $dt\,\rightarrow\,0$일 때 다음의 콜모고로프 후진 방정식(Kolmogorov backward equation)을 얻는다. $$\frac{\partial p}{\partial t}(x,\,t,\,x)=\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}p(x,\,t,\,x)}{\partial x^{2}}+\mu\frac{\partial p}{\partial x}(x,\,t,\,x_{0})$$ 참고자료:             

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사