[금융수학] 14. 마팅게일 표현정리, 파인만-칵 공식, 콜모고로프 방정식

[금융수학] 14. 마팅게일 표현정리, 파인만-칵 공식, 콜모고로프 방정식

마팅게일 표현정리

표본공간 \((\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\)에서 정의된 확률과정 \(\{M_{t}\}_{t\geq0}\)가 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)에 대해 적응되어 있고, 또한 마팅게일이라고 하자. 각 \(t\geq0\)에 대해 \(E(M_{t}^{2})<\infty\)이면, \(\{M_{t}\}_{t\geq0}\)를 제곱 적분가능(square-integrable)한 마팅게일이라고 한다. 

브라운 운동에 대한 마팅게일 표현정리(martingale representation theorem for Brownian motion). \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)를 \(P-\)브라운 운동 \(\{W_{t}\}_{t\geq0}\)에 의해 생성되는 여과라고 하자. \(\{M_{t}\}_{t\geq0}\)가 제곱 적분가능한 \((P,\,\mathcal{F_{t}}_{t\geq0})-\)마팅게일이라고 할 때 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}-\)예측가능한 과정 \(\{\alpha_{t}\}_{t\geq0}\)가 존재해서 \(P-\)확률 1로서 다음이 성립한다.$$M_{t}-M_{0}=\int_{0}^{t}{\alpha_{s}dW_{s}}$$증명: \(M_{0}\)는 \(\mathcal{F}_{0}\)에 대해 가측이므로 확률 1로서 상수이다. 필요하면 \(M_{t}\)대신 \(N_{t}=M_{t}-M_{0}\)를 사용해 \(N_{t}\)에 대해 증명할 수 있기 때문에 \(M_{0}=0\)인 경우만 증명하면 된다. 마팅게일의 기본적 성질로부터 \(E(M_{t})=0\)이고 \(E(M_{T}|\mathcal{F}_{t})=M_{t}\)이다.

주어진 여과에 적응되어 있고, 제곱 적분가능한 확률과정들의 집합을 \(V\)라 하자. 임의의 \(X_{t},\,Y_{t}\in V\)에 대해$$\langle X_{t},\,Y_{t}\rangle_{V}=E\left(\int_{0}^{T}{X_{s}Y_{s}ds}\right)$$라고 하면 \(\langle\cdot,\,\cdot\rangle_{V}\)는 내적이고 \(V\)는 힐베르트 공간이다. 그리고$$L^{2}_{0}(\Omega,\,\mathcal{F}_{T},\,P)=\{Z\in L^{2}(\Omega,\,\mathcal{F}_{T},\,P)\,|\,E(Z)=0\}$$이라 하면 이토 적분으로 정의되는 선형사상 \(I:V\,\rightarrow\,L_{0}^{2}(\Omega,\,\mathcal{F}_{T},\,P)\), \(\displaystyle I(X_{s})=\int_{0}^{T}{X_{s}dW_{s}}\)는 거리를 보존한다. \(I\)가 전사(surjective, onto)임을 보이자. \(\{\alpha_{t}\}_{0\leq t\leq T}\in V\)가 존재해서 \(\displaystyle M_{t}=\int_{0}^{T}{\alpha_{s}W_{s}}\)이고 따라서 다음이 성립한다.$$M_{t}=E(M_{T}|\mathcal{F}_{t})=E\left(\int_{0}^{T}{\alpha_{s}dW_{s}}|\mathcal{F}_{s}\right)=\int_{0}^{t}{\alpha_{s}dW_{s}}$$파인만-칵 공식

파인만-칵 공식(Feynman-Kac formula). \(t,\,x\in\mathbb{R}\)에 대한 함수 \(F,\,\mu,\,\sigma:[0,\,T]\times\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)와 \(x\)에 대한 함수 \(h:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 정의되고, 다음의 편미분방정식이 주어졌다고 하자.$$\begin{cases}\displaystyle\frac{\partial F}{\partial t}(t,\,x)+\mu(t,\,x)\frac{\partial F}{\partial x}(t,\,x)+\frac{1}{2}\sigma^{2}(t,\,x)\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}(t,\,x)&=0,\,0<t<T\\F(T,\,x)&=h(x)\end{cases}$$이때 확률과정 \(\{X_{t}\}_{t\geq0}\)가 확률미분방정식 \(dX_{t}=\mu(t,\,X_{t})dt+\sigma(t,\,X_{t})dW_{t}\)를 만족하면 다음이 성립한다.$$F(t,\,x)=E(h(X_{T})|\mathcal{F}_{t})|_{X_{t}=x}=E(h(X_{T})|X_{t}=x)$$증명: 이토 공식으로부터$$\begin{align*}&F(T,\,X_{T})-F(t,\,X_{t})\\&=\int_{t}^{T}{\left\{\frac{\partial F}{\partial s}(s,\,X_{s})+\mu(s,\,X_{s})\frac{\partial F}{\partial s}\frac{\partial F}{\partial x}(s,\,X_{s})+\frac{1}{2}\sigma^{2}(s,\,X_{s})\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}(s,\,X_{s})\right\}ds}+\int_{t}^{T}{\sigma(s,\,X_{s})\frac{\partial F}{\partial x}(s,\,X_{s})dW_{s}}\\&=\int_{t}^{T}{\sigma(s,\,X_{s})\frac{\partial F}{\partial x}(s,\,X_{s})dW_{s}}\end{align*}$$이고 이 등식 양변에 조건부기댓값 \(E(\cdot|\mathcal{F}_{t})\)을 적용하면$$E(F(T,\,X_{T})|\mathcal{F}_{t})-F(t,\,X_{t})=0$$이고 따라서$$F(t,\,X_{t})=E(F(T,\,X_{T})|\mathcal{F}_{t})=E(h(X_{T})|\mathcal{F}_{t})$$이다. 

파인만-칵 공식에서 \(\mu=\sigma=0\)이면, \(F\)는 \(x\)만의 함수이고, \(X_{t}\)는 상수이므로 \(F(t,\,x)=h(x)\)이다. \(\sigma=0\)이면, \(X_{t}\)는 \(X_{t}\)는 상미분방정식 \(\displaystyle\frac{dX}{dt}=\mu(t,\,X)\)의 해이다. 

벡터장 \(\vec{Y}:\mathbb{R}^{2}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}\)를 \(\vec{Y}(t,\,x)=(1,\,\mu(t,\,x))\), \(\vec{\phi}(t)=(\phi_{1}(t),\,\phi_{2}(t))\)를 \(\vec{Y}\)의 적분곡선이라 하자. 즉$$(\phi'_{1}(t),\,\phi'_{2}(t))=(1,\,\mu(t,\,\phi_{2}(t)))$$따라서 \(\phi_{1}(t)=t\)이고 \(\displaystyle\frac{d\phi_{2}}{dt}=\mu(t,\,\phi_{2})\)이다. 연쇄법칙에 의해$$\begin{align*}\frac{d}{dt}\left(F(\vec{\phi}(t))\right)&=\frac{\partial F}{\partial t}(\vec{\phi}(t))\phi_{1}'(t)+\frac{\partial F}{\partial x}(\vec{\phi}(t))\phi_{2}'(t)\\&=\frac{\partial F}{\partial t}(\vec{\phi}(t))+\frac{\partial F}{\partial x}(\vec{\phi}(t))\mu(t,\,\phi_{2}(t))\\&=0\end{align*}$$이므로 \(F\)는 벡터장 \(\vec{Y}\)의 적분 곡선 위에서 상수이고 모든 \(t\)에 대해 \(F(\vec{\phi}(t))=F(\vec{\phi}(T))\)즉, \(F(t,\,\phi_{2}(t))=F(T,\,\phi_{2}(T))\)이다.

확률미분방정식 \(dX_{t}=dW_{t}\)은 이토 적분의 정의에 의해 \(\displaystyle X_{t}-X_{0}=\int_{0}^{t}{dW_{t}}=W_{t}\)이고 파인만-칵 공식으로부터$$\begin{align*}E(h(X_{T})|\mathcal{F}_{t})|_{X_{t}=x}&=E(h(W_{T}+X_{0})|\mathcal{F}_{t})|_{W_{t}+X_{0}=x}\\&=E(h(W_{T}-W_{t}+x)|\mathcal{F}_{t})|_{W_{t}=x-X_{0}}\\&=E(h(W_{T}-W_{t}+x))\\&=E(h(W_{T-t}+x))\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{h(z+x)\frac{1}{\sqrt{2\pi(T-t)}}e^{-\frac{z^{2}}{2(T-t)}}dz}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{h(y)\frac{1}{\sqrt{2\pi(T-t)}}e^{-\frac{(x-y)^{2}}{2(T-t)}}dy}\end{align*}$$이고, 위의 마지막 줄 적분식의 우변은 \(h\)와 열 핵(heat kernel) \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi(T-t)}}e{-\frac{x^{2}}{2(T-t)}}\)와의 합성곱(convolution)이고, 다음의 편미분방정식의 해이다.$$\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}=0,\,F(T,\,x)=h(x)$$확률미분방정식 \(dX_{t}=\mu(t,\,X_{t})dt+\sigma(t,\,X_{t})dW_{t}\)에 대한 무한소 생성원(infinitesimal generator)를 다음과 같이 정의한다.$$\mathcal{A}=\mu(t,\,x)\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{2}\sigma^{2}(t,\,x)\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}$$이 무한소 생성원을 이용해 파인만-칵 공식의 편미분방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\left(\frac{\partial}{\partial t}+\mathcal{A}\right)F(t,\,x)=0$$함수 \(F(t,\,x)\)가 파인만-칵 공식의 편미분방정식을 만족한다고 하자. \(V(t,\,x)=e^{-r(T-t)}F(t,\,x)\)라 하면$$\frac{\partial V}{\partial t}=re^{-r(T-t)}F(t,\,x)+e^{-r(T-t)}\frac{\partial}{\partial t}F(t,\,x)$$이므로 \(V\)는 다음의 편미분방정식을 만족한다.$$\begin{cases}&\displaystyle\frac{\partial V}{\partial t}+\mu(t,\,x)\frac{\partial V}{\partial x}(t,\,x)+\frac{1}{2}\sigma^{2}(t,\,x)\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}(t,\,x)=rV(t,\,x)\\&V(T,\,x)=e^{-r(T-t)}F(T,\,x)=h(x)\end{cases}$$확률과정 \(S_{t}\)가 상수 \(\mu_{0},\,\sigma_{0}\)에 대해 기하 브라운 운동 \(dS_{t}=\mu_{0}S_{t}dt+\sigma_{0}S_{t}dW_{t}\)를 만족하면 \(\mu(t,\,x)=\mu_{0}x\), \(\sigma(t,\,x)=\sigma_{0}x\)이므로 파인만-칵 공식에 의해 다음이 성립한다.$$V(t,\,x)=e^{-r(T-t)}F(t,\,x)=e^{-r(T-t)}E(h(S_{T})|S_{t}=x)$$따라서 최종조건이 \(V(T,\,x)=h(x)\)인 편미분방정식$$\frac{\partial V}{\partial t}(t,\,x)+\mu(t,\,x)\frac{\partial V}{\partial x}(t,\,x)+\frac{1}{2}\sigma^{2}(t,\,x)\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}(t,\,x)=rV(t,\,x)$$의 해는 \(V(t,\,x)=e^{-r(T-t)}E(h(S_{T})|S_{t}=x)\)이다. 

\(V\)가 유러피언 옵션의 가격을 나타내는 경우는 \(\mu_{0}=r\)이어야 하므로 다음의 블랙-숄즈 편미분방정식을 얻는다.$$\frac{\partial V}{\partial t}(t,\,x)+rx\frac{\partial V}{\partial x}(t,\,x)+\frac{1}{2}\sigma_{0}^{2}x^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}(t,\,x)=rV(t,\,x)$$랜덤워크(random walk)에 대한 이산모형에서 시간 \(dt\)동안 \(dx\)만큼 움직일 확률이 \(p\)이고 \(-dx\)만큼 움직일 확률을 \(1-p\)라 하자. 극한을 잡을 때 브라운 운동으로 수렴하도록 하기 위해$$p=\frac{1}{2}+\frac{\mu\sqrt{dt}}{2\sigma},\,q=\frac{1}{2}-\frac{\mu\sqrt{dt}}{2\sigma},\,dx=\sigma\sqrt{dt}$$라 하자. 시간 0일 때 \(x_{0}\)에서 출발해 시간 \(t\)일 때 \(x\)에 도달할 확률을 \(p(x,\,t,\,x_{0})\)라 하자. 이때 전이확률(transition probability)의 이산형을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$p(x,\,t,\,x_{0})=p\cdot p(x-dx,\,t-dt,\,x_{0})+q\cdot p(x+dx,\,t-dt,\,x_{0})$$이것은 \(x_{0}\)에서 출발해 시간 \(t-dt\)동안 \(x-dx\)로 간 후 마지막으로 오른쪽으로 한번 가서 \(x\)에 도달하거나(이럴 확률은 \(p\)), 또는 \(x_{0}\)에서 출발해 시간 \(t-dt\)동안 \(x+dx\)로 간 후 마지막으로 왼쪽으로 한 번 가서 \(x\)에 도달할 확률의 합이다. 

함수 \(p(x,\,t,\,x_{0})\)가 충분히 여러 번 미분가능하고 2차 테일러 전개를 하면 다음의 근사식을 얻는다.$$\begin{align*}p(x,\,t,\,x_{0})\\&\approx p\left\{p(x,\,t,\,x_{0})-\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x}dx-\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x^{2}}(dx)^{2}\right\}\\&+q\left\{p(x,\,t,\,x_{0})dx+\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x}dx-\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x^{2}}(dx)^{2}\right\}\end{align*}$$\(p+q=1\)이고 \((q-p)dx=-\mu dt\)이므로 \(dt\,\rightarrow\,0\)일 때 다음의 콜모고로프 전진 방정식(Kolmogorov forward equation)을 얻는다.$$\frac{\partial p}{\partial t}(x,\,t,\,x_{0})=\frac{1}{2}\sigma\frac{\partial^{2}p}{\partial x^{2}}(x,\,t,\,x_{0})-\mu\frac{\partial p}{\partial x}(x,\,t,\,x_{0})$$을 얻고, \(\mu=0\)인 경우는 열 방정식(heat equation) 또는 확산 방정식(diffusion equation)이다.

위의 편미분방정식(콜모고로프 전진 방정식)의 초기조건이 디랙 델타함수 \(\delta\)로 주어지면, 즉 \(p(x,\,0,\,x_{0})=\delta(x-x_{0})\)이면, 해인 \(p(x,\,t,\,x_{0})\)는 \(\displaystyle p(x,\,t,\,x_{0})=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(x-x_{0}-\mu t)^{2}}{2\sigma^{2}t}}\)이다. 

앞의 경우와 다른 관점에서 전이확률을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$p(x,\,t+dt,\,x_{0})=p\cdot p(x,\,t,\,x_{0}+dx)+q\cdot p(x,\,t,\,x_{0}-dt)$$이것은 \(x_{0}\)에서 출발해 오른쪽으로 한번 간 후 나머지 시간 \((t+dt)-dt=t\)동안 \(x\)로 가거나 또는 \(x_{0}\)에서 출발해 왼쪽으로 간 다음 나머지 시간 \(t\) 동안 \(x\)로 가는 두 경우의 확률을 합한 것이다.

함수 \(p\)가 충분히 여러 번 미분가능하고 2차 테일러 전개를 하면 다음의 근사식을 얻는다.$$\begin{align*}&p(x,\,t,\,x_{0})+\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial t}dt\\&\approx p\left\{p(x,\,t,\,x_{0})+\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x}dx+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x^{2}}(dx)^{2}\right\}\\&+q\left\{p(x,\,t,\,x_{0})-\frac{\partial p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x}dx+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}p(x,\,t,\,x_{0})}{\partial x^{2}}(dx)^{2}\right\}\end{align*}$$\(p+q=1\)이고 \((p-q)dx=\mu dt\)이므로 \(dt\,\rightarrow\,0\)일 때 다음의 콜모고로프 후진 방정식(Kolmogorov backward equation)을 얻는다.$$\frac{\partial p}{\partial t}(x,\,t,\,x)=\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}p(x,\,t,\,x)}{\partial x^{2}}+\mu\frac{\partial p}{\partial x}(x,\,t,\,x_{0})$$참고자료:             

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사