[금융수학] 11. 브라운운동, 마팅게일

[금융수학] 11. 브라운운동, 마팅게일

다음과 같은 성질을 갖는 확률과정을 브라운 운동이라고 한다.

(i) $X_{0}=0$이고 $t\geq0$에 대해 $X_{t}$는 연속이다.

(ii) $0\leq s\leq t$에 대해 증분 $X_{t}-X_{s}$는 기댓값이 0이고 분산이 $t-s$인 정규분포를 따른다.

(iii) $0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{2n-1}<t_{2n}$에 대해 확률변수 $$X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\,...,\,X_{t_{2n}}-X_{t_{2n-1}}$$ 은 서로 독립이다. 

$\{W_{t}\}_{t\geq0}$가 브라운 운동일 때 임의의 $a\geq0$에 대해 $B_{t}=W_{t+a}-W_{a}$라고 하면 $\{B_{t}\}_{t\geq0}$도 브라운 운동이다.  

증명: $k\geq1$에 대해 $$\Delta t_{k}=(t_{k}+a)-(t_{k-1}+a)=t_{k}-t_{k-1},\,J_{k}=I_{k}+W_{a}$$ 라고 하면 $$\begin{align*}&P(B_{t_{1}}\in I_{1},\,...,\,B_{t_{n}}\in I_{n})\\&=P(W_{a}\in\mathbb{R},\,W_{t_{1}+a}\in J_{1},\,...,\,W_{t_{n}+a}\in J_{n})\\&=\int_{J_{1}}\cdots\int_{J_{n}}p(\Delta t_{1},\,W_{a},\,x_{1})p(\Delta t_{2},\,x_{1},\,x_{2})\cdots p(\Delta t_{n},\,x_{n-1},\,x_{n})dx_{n}\cdots dx_{1}\\&=\int_{J_{1}}\cdots\int_{J_{n}}p(\Delta t_{1},\,0,\,x_{1}-W_{a})\cdots p(\Delta t_{n},\,x_{n-1}-W_{a},\,x_{n}-W_{a})dx_{n}\cdots dx_{1}\\&=\int_{I_{1}}\cdots\int_{I_{n}}p(\Delta t_{1},\,0,\,y_{1})p(\Delta t_{2},\,y_{1},\,y_{2})\cdots p(\Delta t_{n},\,y_{n-1},\,y_{n})dy_{n}\cdots dy_{1}\end{align*}$$ 이고 이것은 브라운 운동의 확률과 같다.

브라운 운동 $\{W_{t}\}_{t\geq0}$에 대해 다음의 성질이 성립한다.

(i) $E(W_{t}W_{s})=\min\{t,\,s\}$

(ii) $E((W_{t}-W_{s})^{2})=|t-s|$

증명: 

(i) $s\leq t$라고 하자. 그러면 다음에 의해 성립한다. $$\begin{align*}E(W_{t}W_{s})&={\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{xyp(s,\,0,\,x)p(t-s,\,x,\,y)dx}}dy}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{xp(s,\,0,\,x)\left(\int_{-\infty}^{\infty}{yp(t-s,\,x,\,y)dy}\right)dx}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{xp(s,\,0,\,x)xdx}\\&=s\end{align*}$$ (ii) 항등식 $(W_{t}-W_{s})^{2}=W_{t}^{2}-2W_{t}W_{s}+W_{s}^{2}$로부터 다음이 성립한다. $$E((W_{t}-W_{s})^{2})=t-2\min\{t,\,s\}+s=|t-s|$$ 브라운 운동 $\{W_{t}\}_{t\geq0}$에 대해 다음과 같이 정의되는 확률과정 $X_{t}$를 브라운 다리(Brownian bridge)라고 한다. $$X_{t}=W_{t}-tW_{1}$$ 브라운 운동 $\{W_{t}\}_{t\geq0}$에 대해 다음이 성립한다.

(i) $n$이 홀수이면 $E(W_{t}^{n})=0$

(ii) $E(W_{t}^{2})=t$, $E(W_{t}^{4})=3t^{2}$

구간 $[0,\,T]$의 분할 $0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=T$가 있고, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\max_{i}\Delta t_{i}}=0$이면 브라운 운동의 2차변동(quadratic variation)은 다음과 같다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=0}^{n-1}{\{W(t_{i+1}-W(t_{i}))\}^{2}}}=T$$ 증명: $\Delta W_{i}=W(t_{i+1})-W(t_{i})$, $\Delta t_{i}=t_{i+1}-t_{i}$라고 하자. $i\neq j$이면 $(\Delta W_{i})^{2}$와 $(\Delta W_{j})^{2}$는 서로 독립이므로 $$E((\Delta W_{i})^{2}(\Delta W_{j})^{2})=E((\Delta W_{i})^{2})E((\Delta W_{j})^{2})$$ 이고 $$E((\Delta W_{i})^{4})=3(\Delta t_{i})^{2},\,E((\Delta W_{i})^{2})=\Delta t_{i}$$ 다음에 의해 성립한다 $$\begin{align*}&E\left(\left|\sum_{i=0}^{n-1}{\{W(t_{i+1})-W(t_{i})\}^{2}}-T\right|^{2}\right)\\&=E\left(\left|\sum_{i=0}^{n-1}{(\Delta W_{i})^{2}}-T\right|^{2}\right)\\&=\sum_{i=0}^{n-1}{\sum_{j=0}^{n-1}{E((\Delta W_{i})^{2}(\Delta W_{j})^{2})}}-2T\sum_{i=0}^{n-1}{E((\Delta W_{i})^{2})}+T^{2}\\&=\sum_{i=0}^{n-1}{E((\Delta W_{i})^{4})}+2\sum_{i<j}{E((\Delta W_{i})^{2}(\Delta W_{j})^{2})}-2T\sum_{i=0}^{n-1}{E((\Delta W_{i})^{2})}+T^{2}\\&=\sum_{i=0}^{n-1}{3(\Delta t_{i})^{2}}+2\sum_{i<j}{\Delta t_{i}\Delta t_{j}}-2T\sum_{i=0}^{n-1}{\Delta t_{i}}+T^{2}\\&=2\sum_{i=0}^{n-1}{(\Delta t_{i})^{2}}+\left(\sum_{i=0}^{n-1}{\Delta t_{i}}\right)^{2}-2T\sum_{i=0}^{n-1}{\Delta t_{i}}+T^{2}\\&=2\sum_{i=0}^{n-1}{(\Delta t_{i})^{2}}+T^{2}-2T^{2}+T^{2}\\&\leq\left(\max_{i}\Delta t_{i}\right)\sum_{i=0}^{n-1}{\Delta t_{i}}\\&=\left(\max_{i}{\Delta t_{i}}\right)T\,\rightarrow\,0\end{align*}$$ 브라운 운동의 1차변분은 다음과 같이 발산한다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=0}^{n-1}{|W(t_{i+1})-W(t_{i})|}}=\infty$$ 증명: 확률 1인 집합 $\Omega_{1}$을 이루는 연속인 각각의 표본경로 $\omega$에 대해 $$C_{n}=\max_{1\leq i\leq n}{|W(t_{i+1})-W(t_{i})|}$$ 라 하면 $\omega$는 컴팩트 집합 $[0,\,T]$에서 균등연속이므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{C_{n}}=0$이고 $$\sum_{i=0}^{n-1}{|W(t_{i+1})-W(t_{i})|^{2}}\leq C_{n}\sum_{i=0}^{n-1}{|W(t_{i+1})-W(t_{i})|}$$ 이다. 위 부등식의 좌변은 확률 1인 집합 $\Omega_{2}$에 속하는 거의 모든 $\omega$에 대해 $T$로 수렴하므로 확률 1인 집합 $\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$인 $\omega$에 대해 $\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{|W(t_{i+1})-W(t_{i})|}$는 무한히 커져야 한다.

실수 $\theta$에 대해 등식 $E(e^{\theta W_{t}})=e^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}$가 성립한다.

증명: 먼저 $E(e^{W_{t}})=e^{\frac{1}{2}t}$를 보이자. $$\begin{align*}E(e^{W_{t}})&=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{x}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\frac{(x-t)^{2}-t^{2}}{2t}}dx}\\&=e^{\frac{t}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{y^{2}}{2t}}dy}\\&=e^{\frac{1}{2}t}\end{align*}$$ 다음으로 $\theta W_{t}$와 $W_{\theta^{2}t}$가 같은 분포를 가짐을 이용해 다음의 결과를 얻는다. $$E(e^{\theta W_{t}})=E(e^{W_{\theta^{2}t}})=e^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}$$ 이 결과로부터 $L_{t}=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}}$일 때 $E(L_{t})=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}E(e^{-\theta W_{t}})=1$이고, 기하 브라운 운동을 하는 주가 $\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma W_{t}}$에 대해 $E(S_{t})=S_{0}e^{\mu t}$이다. 

실수 $\theta$에 대해 등식 $E(e^{i\theta W_{u}})=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}u}$가 성립한다.

증명: 정규분포의 확률밀도함수의 푸리에 변환은 정규분포의 밀도함수이므로 $$\begin{align*}E(e^{iW_{u}})&=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi u}}e^{-\frac{x^{2}}{2u}}e^{ix}dx}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^{2}}{2}}e^{i\sqrt{u}y}dy}\\&=e^{-\frac{(-\sqrt{u})^{2}}{2}}=e^{-\frac{u}{2}}\end{align*}$$ 이고 $\theta W_{u}$와 $W_{\theta^{2}u}$는 같은 확률분포를 가지므로 다음의 등식을 얻는다. $$E(e^{i\theta W_{u}})=E(e^{iW_{\theta^{2}u}})=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}u}$$ 실수 $\theta$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$(1)\,E(W_{t}e^{\theta W_{t}})=\theta te^{\frac{1}{2}\theta^{2}t},\,(2)\,E(W_{t}^{2}e^{\theta W_{t}})=(t+\theta^{2}t^{2})e^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}$$ 증명:   

(1): 다음의 등식으로부터 성립한다. $$\begin{align*}E(W_{t}e^{\theta W_{t}})&=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}{xe^{\theta x}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}{xe^{-\frac{(x-\theta t)^{2}-\theta^{2}t^{2}}{2t}}dx}\\&=e^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}{(y+\theta t)e^{-\frac{y^{2}}{2t}}dx}\\&=e^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}(0+\theta t)\end{align*}$$ (2): 다음의 등식으로부터 성립한다. $$\begin{align*}E(W_{t}^{2}e^{\theta W_{t}})&=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2}e^{\theta x}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2}e^{-\frac{(x-\theta t)^{2}-\theta^{2}t^{2}}{2t}}dx}\\&=e^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}{(y+\theta t)^{2}e^{-\frac{y^{2}}{2t}}dy}\\&=e^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}(t+0+\theta^{2}t^{2})\end{align*}$$ $W_{t}=y$일 때 $W_{\frac{t}{2}}$의 확률밀도함수 $f(x)$는 다음과 같다. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\left(\frac{1}{4}t\right)}}e^{-\frac{\left(x-\frac{1}{2}y\right)^{2}}{2\left(\frac{t}{4}\right)}}$$ 즉 평균이 $\displaystyle\frac{1}{2}y$이고 분산이 $\displaystyle\frac{1}{4}t$인 정규분포의 밀도함수이다. 또한 $0\leq s<t$일 때 $\displaystyle E(W_{s}|W_{t})=\frac{s}{t}W_{t}$, 즉 $\displaystyle E(W_{s}|W_{t}=y)=\frac{s}{t}y$이다.  

$\{W_{t}\}_{t\geq0}$가 브라운 운동일 때 실수 $\theta$에 대하여 $0\leq s<t$이면 다음의 등식을 얻는다. $$E(e^{\theta W_{t}}|\mathcal{F}_{s})=e^{\frac{1}{2}\theta^{2}(t-s)}e^{\theta W_{s}}$$ 따라서 $L_{t}=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}}$라고 하면 $E(L_{t}|\mathcal{F}_{s})=L_{s}$, 즉 $L_{t}$는 마팅게일이다.

증명: $W_{t}-W_{s}$는 $\mathcal{F}_{s}$에 대해 독립이므로 $$E(e^{\theta(W_{t}-W_{s})}|\mathcal{F}_{s})=E(e^{\theta(W_{t}-W_{s})})=E(e^{\theta W_{t-s}})=e^{\frac{1}{2}\theta^{2}(t-s)}$$ 이고 따라서 다음이 성립한다. $$E(e^{\theta W_{t}-\frac{1}{2}\theta^{2}t}|\mathcal{F}_{s})=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}E(e^{\theta W_{t}}|\mathcal{F}_{s})=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}s}e^{\theta W_{s}}$$ 다음의 확률과정들은 마팅게일이다.

(i) 브라운 운동 $\{W_{t}\}_{t\geq0}$는 마팅게일이다.

(ii) $\{W_{t}^{2}-t\}_{t\geq0}$는 마팅게일이다.

(iii) $\{e^{W_{t}-\frac{1}{2}t}\}_{t\geq0}$는 마팅게일이다.

(iv) $\{e^{\frac{1}{2}}\cos W_{t}\}_{t\geq0}$는 마팅게일이다.

증명: $0\leq s<t$라 하자. 

(i) $W_{t}-W_{s}$는 $\mathcal{F}_{s}$와 독립이므로 다음에 의해 성립한다. $$\begin{align*}E(W_{t}|\mathcal{F}_{s})&=E(W_{t}-W_{s}+W_{s}|\mathcal{F}_{s})\\&=E(W_{t}-W_{s}|\mathcal{F}_{s})+E(W_{s}|\mathcal{F}_{s})\\&=E(W_{t}-W_{s})+W_{s}\\&=W_{s}\end{align*}$$ (ii) 다음에 의해 성립한다. $$\begin{align*}E(W_{t}^{2}|\mathcal{F}_{s})&=E((W_{t}-W_{s})^{2}+2W_{s}W_{t}-W_{s}^{2}|\mathcal{F}_{s})\\&=E((W_{t}-W_{s})^{2}|\mathcal{F}_{s})+2W_{s}E(W_{t}|\mathcal{F}_{s})-E(W_{s}^{2}|\mathcal{F}_{s})\\&=E((W_{t}-W_{s})^{2})+2W_{s}^{2}-W_{s}^{2}\\&=E(W_{t-s}^{2})+W_{s}^{2}\\&=t-s+W_{s}^{2}\end{align*}$$ (iii), (iv)는 생략

확률변수 $\{X_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda\}$로 주어지는 $\sigma-$체 $\sigma(\{X_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda\})$는 각각의 $\sigma-$체 $\sigma(X_{\lambda})$ 모두를 포함하는 최소의 $\sigma-$체로 정의한다. 

확률과정 $\{X_{t}\}_{t\geq0}$과 이로부터 생성되는 여과 $\mathcal{F}_{t}=\sigma(\{X_{s}\,|\,0\leq s\leq t\})$가 정의되었다고 하자. $X_{t}$가 브라운 운동이라는 것은 다음의 조건들이 성립하는 것과 동치이다.

(i) 확률 1로서 $W_{0}=0$이다.

(ii) 확률 1로서 표본경로 $t\,\mapsto\,W_{t}$는 연속이다.

(iii) $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$에 대하여 $\{X_{t}\}_{t\geq0}$는 마팅게일이다.

(iv) $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$에 대하여 $\{X_{t}^{2}-t\}_{t\geq0}$ 는 마팅게일이다. 

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사