[금융수학] 12. 이토 적분

[금융수학] 12. 이토 적분

함수 $\alpha:[0,\,T]\,\rightarrow\,\mathbb{R}$을 적분연산자로 이용해 리만-스틸체스 적분(Riemann-Stieltjes integral)형태의 적분 $$\int_{0}^{T}{f(t)d\alpha(t)}$$ 를 정의하려면 $\alpha$의 증분 $\Delta\alpha_{i}=\alpha(t_{i+1})-\alpha(t_{i})$의 절댓값의 합(일차변동)이 유한해야 하나 브라운 운동의 표본경로에 대해 그 일차변동은 무한대이므로 브라운 운동을 이용하여 리만-스틸체스 적분을 정의할 수 없다. 그러나 극한의 수렴을 $L^{2}$공간에서의 수렴으로 정하면 이토 적분을 정의할 수 있다. 

이토 적분을 다음과 같이 간략하게 소개할 수 있다: 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$와 각 $t\geq0$에 대해 $f_{t}(\omega)=f(t,\,\omega)$가 여과 $\mathcal{F}_{t}$에 대해 가측이라고 하면, 확률과정 $\{f_{t}(\omega)\}_{t\geq0}$의 이토 적분은 시간 $t$에 대해 적분하는 것으로 그 적분값은 확률변수이다., 즉 $\displaystyle t_{i}=\frac{T}{n}i$라고 하면 $$\int_{0}^{T}{f_{t}(\omega)dW_{t}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=0}^{n-1}{f_{t_{i}}(\omega)}\{W_{t_{i+1}}(\omega)-W_{t_{i}}(\omega)\}}$$ 이고 여기에서의 극한은 다음과 같이 $L^{2}(\Omega,\,P)$공간에서의 극한이다. $$E\left(\left|\sum_{i=0}^{n-1}{f_{t_{i}}(\omega)(W_{t_{i+1}}(\omega)-W_{t_{i}}(\omega))}\right|^{2}-\int_{0}^{T}{f_{t}(\omega)dW_{t}(\omega)}\right)\,\rightarrow\,0$$ 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$가 주어져 있고, 집합 $V$는 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$에 적응되어 있고, 다음의 성질들을 지닌 확률과정 $f_{t}(\omega)=f(t,\,\omega)$의 집합이다. $$E\left(\int_{0}^{\infty}{|f_{t}(\omega)|^{2}dt}\right)<\infty$$ 여기서 $f_{t}(\omega)$는 $t$에 대한 함수 $f:t\,\rightarrow\,f(t,\,\omega)$로 간주하고, 거의 모든 $\omega$에 대해 연속이며, 이러한 연속성이 성립하는 거의 모든 $\omega$에 대해 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{|f_{t}(\omega)|^{2}dt}$는 각 $\omega\in\Omega$에 대한 리만적분이다. 이때 $V$는 벡터공간이고, 노름을 다음과 같이 정의한다. $$\|f\|_{V}^{2}=E\left(\int_{0}^{\infty}{|f_{t}(\omega)|^{2}dt}\right)$$ 시간의 분할 $0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}$과 모든 $0\leq i\leq n-1$에 대하여 $\mathcal{F}_{t_{i}}-$가측인 확률변수 $\zeta_{i}\in L^{2}(\Omega)$가 존재하여 확률과정 $\{f_{t}\}$가 다음과 같다면 $$f_{t}(\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\zeta_{i-1}(\omega)\mathbf{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}$$ $f_{t}$를 계단(step) 확률과정이라고 하고, 모든 계단 확률과정들의 집합을 $M_{0}^{2}$로 나타낸다. $f\in M_{0}^{2}$일 때 $$\|f\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}{E(|\zeta_{i-1}|^{2})(t_{i}-t_{i-1})}<\infty$$ 이므로 $f\in V$이고 $M_{0}^{2}$는 $V$의 부분공간이다. 

확률과정 $\{f_{t}\}$가 다음과 같을 때 $$f_{t}(\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\zeta_{i-1}(\omega)\mathbf{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}\in M_{0}^{2}$$ $I(f)$를 다음과 같이 정의한다. $$I(f)=\sum_{i=1}^{n}{\zeta_{i-1}(\omega)(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}})}$$ 이것은 $(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$에서 정의된 확률변수이다. 

$f\in M_{0}^{2}$일 때 $I(f)\in L^{2}(\Omega,\,P)$이고 $I:M_{0}^{2}\,\rightarrow\,L^{2}(\Omega,\,P)$는 노름을 보존하는 선형변환, 즉 $$E(|I(f)|^{2})=E\left(\int_{0}^{\infty}{|f_{t}|^{2}dt}\right)$$ 이다. 

증명: $I$는 분명히 선형변환이고 $$f_{t}=\sum_{i=1}^{n}{\zeta_{i-1}\mathbf{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}\in M_{0}^{2}$$ 일 때 $$\begin{align*}|I(f)|^{2}&=\sum_{i=0}^{n-1}{\sum_{j=0}^{n-1}{\zeta_{i}\zeta_{j}\Delta W_{i}}\Delta W_{j}}\\&=\sum_{j=0}^{n-1}{|\zeta_{j}|^{2}(\Delta W_{j})^{2}}+2\sum_{i<j}{\zeta_{i}\zeta_{j}\Delta W_{i}\Delta W_{j}}\end{align*}$$ 이고 $\zeta_{j}$와 $\Delta W_{j}$는 서로 독립이므로 $E((\Delta W_{j})^{2})=\Delta t_{j}$를 이용하면 $$E(|\zeta_{j}|^{2}(\Delta W_{j})^{2})=E(|\zeta_{j}|^{2})E((\Delta W_{j})^{2})=E(|\zeta_{j}|^{2})\Delta t_{k}$$ 이고 $i<j$이면 $\zeta_{i}\zeta_{j}\Delta W_{i}$와 $\Delta W_{j}$는 서로 독립이므로 $E(\Delta W_{j})=0$임을 이용하면 $$E(\zeta_{i}\zeta_{j}\Delta_{i}W\Delta_{j})=E(\zeta_{i}\zeta_{j}\Delta W_{i})E(\Delta W_{j})=0$$ 이므로 $$E(|I(f)|^{2})=\sum_{j=0}^{n-1}{E(|\zeta_{j}|^{2})\Delta t_{j}}<\infty$$ 이고 따라서 $I(f)\in L^{2}(\Omega)$이다. 한편 $$\begin{align*}|f_{t}|^{2}&=\sum_{i=0}^{n-1}{\sum_{j=0}^{n-1}{\zeta_{i}\zeta_{j}\mathbf{1}_{[t_{i},\,t_{i+1})}(t)}\mathbf{1}_{[t_{j},\,t_{j+1})}(t)}\\&=\sum_{k=0}^{n-1}{|\zeta_{k}|^{2}\mathbf{1}_{[t_{j},\,t_{j+1})}(t)}\end{align*}$$ 이므로 $$\int_{0}^{\infty}{|f_{t}|^{2}dt}=\sum_{j=0}^{n-1}{|\zeta_{j}|^{2}\Delta t_{j}}$$ 이고 따라서 다음의 결과를 얻는다. $$E\left(\int_{0}^{\infty}{|f_{t}|^{2}dt}\right)=\sum_{j=0}^{n-1}{E(|\zeta_{j}|^{2})\Delta t_{j}}$$ 선형변환 $I:M_{0}^{2}\,\rightarrow\,L^{2}(\Omega,\,P)$가 연속이고 $L^{2}(\Omega,\,P)$는 완비공간이므로 $I$의 정의역을 확장할 수 있다. 다시 말하자면, 계단 확률과정들의 열 $\{f_{n}(t,\,\omega)\}$로 근사되는 확률과정 $f(t,\,\omega)$의 적분값 $I(f)\in L^{2}(\Omega,\,P)$는 $$I(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}\,(L^{2})$$ 로 결정된다. 즉 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{E(|I(f)-I(f_{n})|^{2})}=0$$ 이다. 이렇게 확장된 영역을 $M^{2}$라 하고, $M_{0}^{2}$는 $M^{2}$에서 조밀 부분공간이다. 이렇게 $f\in M^{2}$에 대해 $I(f)$를 정의할 수 있고, 이때 $I(f)$를 이토 확률적분(Ito stochastic integral)이라 하고 다음과 같이 나타낸다. $$\int_{0}^{\infty}{f_{t}(\omega)dW_{t}(\omega)}$$ $f,\,g\in M^{2}$이면 다음이 성립한다. $$E(I(f)I(g))=E\left(\int_{0}^{\infty}{f_{t}g_{t}dt}\right)$$ 증명: $M^{2}$와 $L^{2}(\Omega,\,P)$에 내적이 정의되었다고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\langle I(f),\,I(g)\rangle_{L^{2}}=\langle f,\,g\rangle_{M^{2}}$$ 그러면 다음의 등식이 성립하고 $$\begin{align*}&\langle f,\,f\rangle_{M^{2}}+\langle g,\,g\rangle_{M^{2}}+2\langle f,\,g\rangle_{M^{2}}\\&=\langle f+g,\,f+g\rangle_{M^{2}}\\&=\langle I(f+g),\,I(f+g)\rangle_{L^{2}}\\&=\langle I(f),\,I(f)\rangle_{L^{2}}+\langle I(g),\,I(g)\rangle_{L^{2}}+2\langle I(f),\,I(g)\rangle_{L^{2}}\\&=\langle I(f),\,I(f)\rangle_{M^{2}}+\langle I(g),\,I(g)\rangle_{M^{2}}+2\langle I(f),\,I(g)\rangle\end{align*}$$ 따라서 $\langle f,\,g\rangle_{M^{2}}=\langle I(f),\,I(g)\rangle_{L^{2}}$이다. 

*$\{f_{t}\}_{t\geq0}$가 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$에 대해 적응되어 있으면 $\{\mathbf{1}_{[0,\,T)}(t)f_{t}\}_{t\geq0}$도 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$에 대해 적응되어 있고, 다음이 성립한다. $$\int_{0}^{T}{f_{t}dW_{t}}=\int_{0}^{\infty}{\mathbf{1}_{[0,\,T)}(t)f_{t}dW_{t}}$$ 이것은 유한구간 $[0,\,T]$에서도 이토 적분을 정의할 수 있음을 의미한다. 

$\displaystyle\int_{0}^{T}{dW_{t}}=W_{T}-W_{0}=W_{T}$이고 리만적분에서 $g(0)=0$일 때 미적분학의 기본정리에 의해 $\displaystyle\int_{0}^{T}{g(t)g'(t)dt}=\frac{1}{2}\{g(T)\}^{2}$이나 이토적분에서는 성립하지 않는다. 다음의 이토적분이 그 예이다. $$\int_{0}^{T}{W_{t}dW_{t}}=\frac{1}{2}W_{T}^{2}-\frac{1}{2}T$$ $f(t)=\mathbf{1}_{[0,\,T)}(t)W(t)\in M^{2}$라 하고 구간 $[0,\,T]$를 분할해 그 분할점을 $\displaystyle t_{i}=\frac{iT}{n}$이라 하고 $$f_{n}(t)=\sum_{i=0}^{n-1}{\mathbf{1}_{[t_{i},\,t_{i+1})}(t)W(t)}\in M_{0}^{2}$$ 라 하자. $$\begin{align*}E\left(\int_{0}^{\infty}{|f(t)-f_{n}(t)|^{2}dt}\right)&=\sum_{i=0}^{n-1}{\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}{E(|W(t)-W(t_{i})|^{2})dt}}\\&=\sum_{i=0}^{n-1}{\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}{(t-t_{i})dt}}\\&=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}{(t_{i+1}-t_{i})^{2}}\\&=\frac{T^{2}}{2n}\end{align*}$$ 이므로 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $f_{n}$을 $f$로 수렴하고 $$\begin{align*}I(f_{n})&=\sum_{i=0}^{n-1}{W(t_{i})\{W(t_{i+1})-W(t_{i})\}}\\&=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}{(\{W(t_{i+1})\}^{2}-\{W(t_{i})\}^{2})}-\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}{\{W(t_{i+1})-W(t_{i})\}^{2}}\\&=\frac{1}{2}\{W(T)\}^{2}-\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}{\{W(t_{i+1})-W(t_{i})\}^{2}}\end{align*}$$ (브라운 운동의 2차변동은 $T$로 수렴한다)이므로 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $I(f_{n})$은 $\displaystyle\frac{1}{2}\{W(T)\}^{2}-\frac{1}{2}T$으로 수렴한다.      

확률과정 $f_{t},\,g_{t}\,(t\geq0)$에 대해 다음이 성립한다.

(1) 상수 $a,\,b$에 대해 다음이 성립한다. $$\int_{0}^{t}{(af_{u}+bg_{u})dW_{u}}=a\int_{0}^{t}{f_{u}dW_{u}}+b\int_{0}^{t}{g_{u}dW_{u}}$$ (2) $\displaystyle E\left(\left|\int_{0}^{t}{f_{u}dW_{u}}\right|^{2}\right)=E\left(\int_{0}^{t}{|f_{u}|^{2}du}\right)$

확률과정 $\{f_{t}\}$가 $\{\mathcal{F}_{t}\}$에 대해 적응되어 있다고 하자. 그러면 다음과 같이 이토 적분으로 정의된 확률과정 $$M_{t}=\int_{0}^{t}{f(u,\,\omega)dW_{u}}$$ 는 마팅게일이다. 즉 $\displaystyle E\left(\int_{0}^{t}{f_{u}dW_{u}}|\right)=\int_{0}^{s}{f_{u}dW_{u}}$이다. 

증명: 먼저 $M_{0}^{2}$에 속하는 단순함수에 대해 보인 다음 조건부기댓값으로 정의되는 선형변환이 연속임을 이용한다.

이토 적분은 다음의 성질을 만족한다. $$E\left(\int_{0}^{t}{f(u,\,\omega)dW_{u}}\right)=0$$ 증명: $\displaystyle M_{t}=\int_{0}^{t}{f(s,\,\omega)dW_{u}}$라 하면 $\displaystyle M_{0}=\int_{0}^{0}{f(u,\,\omega)dW_{u}}=0$이고 $\{M_{t}\}_{t\geq0}$는 마팅게일이므로 $E(M_{t})$는 상수이고 따라서 $E(M_{t})=E(M_{0})=0$이다. 

주가 변동의 모형을 나타내는 기하 브라운 운동 $S_{t}=S_{0}e^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma W_{t}}$은 다음의 식을 만족한다.(이토 공식으로 확인이 가능하다) $$S_{t}-S_{0}=\int_{0}^{t}{\mu S_{u}du}+\int_{0}^{t}{\sigma S_{u}dW_{u}}$$ 이때 $\displaystyle E\left(\int_{0}^{t}{S_{u}dW_{u}}\right)=0$이므로 $$E(S_{t})-S_{0}=\int_{0}^{t}{\mu E(S_{u})du}$$ 이고 이 식의 양변을 미분하면 $g(t)=E(S_{t})$라고 할 때 $g'(t)=\mu g(t)$, $g(0)=S_{0}$이므로 $g(t)=S_{0}e^{\mu t}$이고 따라서 $E(S_{t})=S_{0}e^{\mu t}$이다. 

*브라운 운동이 아닌 일반적인 마팅게일 $\{M_{t}\}_{t\geq0}$에 대해 $$N_{t}=\int_{0}^{t}{f_{s}dM_{t}}$$ 을 정의할 수 있고, 이것은 마팅게일이다.   

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사