[금융수학] 12. 이토 적분

[금융수학] 12. 이토 적분

함수 \(\alpha:[0,\,T]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)을 적분연산자로 이용해 리만-스틸체스 적분(Riemann-Stieltjes integral)형태의 적분$$\int_{0}^{T}{f(t)d\alpha(t)}$$를 정의하려면 \(\alpha\)의 증분 \(\Delta\alpha_{i}=\alpha(t_{i+1})-\alpha(t_{i})\)의 절댓값의 합(일차변동)이 유한해야 하나 브라운 운동의 표본경로에 대해 그 일차변동은 무한대이므로 브라운 운동을 이용하여 리만-스틸체스 적분을 정의할 수 없다. 그러나 극한의 수렴을 \(L^{2}\)공간에서의 수렴으로 정하면 이토 적분을 정의할 수 있다. 

이토 적분을 다음과 같이 간략하게 소개할 수 있다: 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)와 각 \(t\geq0\)에 대해 \(f_{t}(\omega)=f(t,\,\omega)\)가 여과 \(\mathcal{F}_{t}\)에 대해 가측이라고 하면, 확률과정 \(\{f_{t}(\omega)\}_{t\geq0}\)의 이토 적분은 시간 \(t\)에 대해 적분하는 것으로 그 적분값은 확률변수이다., 즉 \(\displaystyle t_{i}=\frac{T}{n}i\)라고 하면$$\int_{0}^{T}{f_{t}(\omega)dW_{t}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=0}^{n-1}{f_{t_{i}}(\omega)}\{W_{t_{i+1}}(\omega)-W_{t_{i}}(\omega)\}}$$이고 여기에서의 극한은 다음과 같이 \(L^{2}(\Omega,\,P)\)공간에서의 극한이다.$$E\left(\left|\sum_{i=0}^{n-1}{f_{t_{i}}(\omega)(W_{t_{i+1}}(\omega)-W_{t_{i}}(\omega))}\right|^{2}-\int_{0}^{T}{f_{t}(\omega)dW_{t}(\omega)}\right)\,\rightarrow\,0$$여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)가 주어져 있고, 집합 \(V\)는 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)에 적응되어 있고, 다음의 성질들을 지닌 확률과정 \(f_{t}(\omega)=f(t,\,\omega)\)의 집합이다.$$E\left(\int_{0}^{\infty}{|f_{t}(\omega)|^{2}dt}\right)<\infty$$여기서 \(f_{t}(\omega)\)는 \(t\)에 대한 함수 \(f:t\,\rightarrow\,f(t,\,\omega)\)로 간주하고, 거의 모든 \(\omega\)에 대해 연속이며, 이러한 연속성이 성립하는 거의 모든 \(\omega\)에 대해 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{|f_{t}(\omega)|^{2}dt}\)는 각 \(\omega\in\Omega\)에 대한 리만적분이다. 이때 \(V\)는 벡터공간이고, 노름을 다음과 같이 정의한다.$$\|f\|_{V}^{2}=E\left(\int_{0}^{\infty}{|f_{t}(\omega)|^{2}dt}\right)$$시간의 분할 \(0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}\)과 모든 \(0\leq i\leq n-1\)에 대하여 \(\mathcal{F}_{t_{i}}-\)가측인 확률변수 \(\zeta_{i}\in L^{2}(\Omega)\)가 존재하여 확률과정 \(\{f_{t}\}\)가 다음과 같다면$$f_{t}(\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\zeta_{i-1}(\omega)\mathbf{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}$$\(f_{t}\)를 계단(step) 확률과정이라고 하고, 모든 계단 확률과정들의 집합을 \(M_{0}^{2}\)로 나타낸다. \(f\in M_{0}^{2}\)일 때$$\|f\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}{E(|\zeta_{i-1}|^{2})(t_{i}-t_{i-1})}<\infty$$이므로 \(f\in V\)이고 \(M_{0}^{2}\)는 \(V\)의 부분공간이다. 

확률과정 \(\{f_{t}\}\)가 다음과 같을 때$$f_{t}(\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\zeta_{i-1}(\omega)\mathbf{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}\in M_{0}^{2}$$\(I(f)\)를 다음과 같이 정의한다.$$I(f)=\sum_{i=1}^{n}{\zeta_{i-1}(\omega)(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}})}$$이것은 \((\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\)에서 정의된 확률변수이다. 

\(f\in M_{0}^{2}\)일 때 \(I(f)\in L^{2}(\Omega,\,P)\)이고 \(I:M_{0}^{2}\,\rightarrow\,L^{2}(\Omega,\,P)\)는 노름을 보존하는 선형변환, 즉$$E(|I(f)|^{2})=E\left(\int_{0}^{\infty}{|f_{t}|^{2}dt}\right)$$이다. 

증명: \(I\)는 분명히 선형변환이고$$f_{t}=\sum_{i=1}^{n}{\zeta_{i-1}\mathbf{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}\in M_{0}^{2}$$일 때$$\begin{align*}|I(f)|^{2}&=\sum_{i=0}^{n-1}{\sum_{j=0}^{n-1}{\zeta_{i}\zeta_{j}\Delta W_{i}}\Delta W_{j}}\\&=\sum_{j=0}^{n-1}{|\zeta_{j}|^{2}(\Delta W_{j})^{2}}+2\sum_{i<j}{\zeta_{i}\zeta_{j}\Delta W_{i}\Delta W_{j}}\end{align*}$$이고 \(\zeta_{j}\)와 \(\Delta W_{j}\)는 서로 독립이므로 \(E((\Delta W_{j})^{2})=\Delta t_{j}\)를 이용하면$$E(|\zeta_{j}|^{2}(\Delta W_{j})^{2})=E(|\zeta_{j}|^{2})E((\Delta W_{j})^{2})=E(|\zeta_{j}|^{2})\Delta t_{k}$$이고 \(i<j\)이면 \(\zeta_{i}\zeta_{j}\Delta W_{i}\)와 \(\Delta W_{j}\)는 서로 독립이므로 \(E(\Delta W_{j})=0\)임을 이용하면$$E(\zeta_{i}\zeta_{j}\Delta_{i}W\Delta_{j})=E(\zeta_{i}\zeta_{j}\Delta W_{i})E(\Delta W_{j})=0$$이므로$$E(|I(f)|^{2})=\sum_{j=0}^{n-1}{E(|\zeta_{j}|^{2})\Delta t_{j}}<\infty$$이고 따라서 \(I(f)\in L^{2}(\Omega)\)이다. 한편$$\begin{align*}|f_{t}|^{2}&=\sum_{i=0}^{n-1}{\sum_{j=0}^{n-1}{\zeta_{i}\zeta_{j}\mathbf{1}_{[t_{i},\,t_{i+1})}(t)}\mathbf{1}_{[t_{j},\,t_{j+1})}(t)}\\&=\sum_{k=0}^{n-1}{|\zeta_{k}|^{2}\mathbf{1}_{[t_{j},\,t_{j+1})}(t)}\end{align*}$$이므로$$\int_{0}^{\infty}{|f_{t}|^{2}dt}=\sum_{j=0}^{n-1}{|\zeta_{j}|^{2}\Delta t_{j}}$$이고 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$E\left(\int_{0}^{\infty}{|f_{t}|^{2}dt}\right)=\sum_{j=0}^{n-1}{E(|\zeta_{j}|^{2})\Delta t_{j}}$$선형변환 \(I:M_{0}^{2}\,\rightarrow\,L^{2}(\Omega,\,P)\)가 연속이고 \(L^{2}(\Omega,\,P)\)는 완비공간이므로 \(I\)의 정의역을 확장할 수 있다. 다시 말하자면, 계단 확률과정들의 열 \(\{f_{n}(t,\,\omega)\}\)로 근사되는 확률과정 \(f(t,\,\omega)\)의 적분값 \(I(f)\in L^{2}(\Omega,\,P)\)는$$I(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}\,(L^{2})$$로 결정된다. 즉$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{E(|I(f)-I(f_{n})|^{2})}=0$$이다. 이렇게 확장된 영역을 \(M^{2}\)라 하고, \(M_{0}^{2}\)는 \(M^{2}\)에서 조밀 부분공간이다. 이렇게 \(f\in M^{2}\)에 대해 \(I(f)\)를 정의할 수 있고, 이때 \(I(f)\)를 이토 확률적분(Ito stochastic integral)이라 하고 다음과 같이 나타낸다.$$\int_{0}^{\infty}{f_{t}(\omega)dW_{t}(\omega)}$$\(f,\,g\in M^{2}\)이면 다음이 성립한다.$$E(I(f)I(g))=E\left(\int_{0}^{\infty}{f_{t}g_{t}dt}\right)$$증명: \(M^{2}\)와 \(L^{2}(\Omega,\,P)\)에 내적이 정의되었다고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\langle I(f),\,I(g)\rangle_{L^{2}}=\langle f,\,g\rangle_{M^{2}}$$그러면 다음의 등식이 성립하고$$\begin{align*}&\langle f,\,f\rangle_{M^{2}}+\langle g,\,g\rangle_{M^{2}}+2\langle f,\,g\rangle_{M^{2}}\\&=\langle f+g,\,f+g\rangle_{M^{2}}\\&=\langle I(f+g),\,I(f+g)\rangle_{L^{2}}\\&=\langle I(f),\,I(f)\rangle_{L^{2}}+\langle I(g),\,I(g)\rangle_{L^{2}}+2\langle I(f),\,I(g)\rangle_{L^{2}}\\&=\langle I(f),\,I(f)\rangle_{M^{2}}+\langle I(g),\,I(g)\rangle_{M^{2}}+2\langle I(f),\,I(g)\rangle\end{align*}$$따라서 \(\langle f,\,g\rangle_{M^{2}}=\langle I(f),\,I(g)\rangle_{L^{2}}\)이다. 

*\(\{f_{t}\}_{t\geq0}\)가 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)에 대해 적응되어 있으면 \(\{\mathbf{1}_{[0,\,T)}(t)f_{t}\}_{t\geq0}\)도 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)에 대해 적응되어 있고, 다음이 성립한다.$$\int_{0}^{T}{f_{t}dW_{t}}=\int_{0}^{\infty}{\mathbf{1}_{[0,\,T)}(t)f_{t}dW_{t}}$$이것은 유한구간 \([0,\,T]\)에서도 이토 적분을 정의할 수 있음을 의미한다. 

\(\displaystyle\int_{0}^{T}{dW_{t}}=W_{T}-W_{0}=W_{T}\)이고 리만적분에서 \(g(0)=0\)일 때 미적분학의 기본정리에 의해 \(\displaystyle\int_{0}^{T}{g(t)g'(t)dt}=\frac{1}{2}\{g(T)\}^{2}\)이나 이토적분에서는 성립하지 않는다. 다음의 이토적분이 그 예이다.$$\int_{0}^{T}{W_{t}dW_{t}}=\frac{1}{2}W_{T}^{2}-\frac{1}{2}T$$\(f(t)=\mathbf{1}_{[0,\,T)}(t)W(t)\in M^{2}\)라 하고 구간 \([0,\,T]\)를 분할해 그 분할점을 \(\displaystyle t_{i}=\frac{iT}{n}\)이라 하고$$f_{n}(t)=\sum_{i=0}^{n-1}{\mathbf{1}_{[t_{i},\,t_{i+1})}(t)W(t)}\in M_{0}^{2}$$라 하자.$$\begin{align*}E\left(\int_{0}^{\infty}{|f(t)-f_{n}(t)|^{2}dt}\right)&=\sum_{i=0}^{n-1}{\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}{E(|W(t)-W(t_{i})|^{2})dt}}\\&=\sum_{i=0}^{n-1}{\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}{(t-t_{i})dt}}\\&=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}{(t_{i+1}-t_{i})^{2}}\\&=\frac{T^{2}}{2n}\end{align*}$$이므로 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(f_{n}\)을 \(f\)로 수렴하고$$\begin{align*}I(f_{n})&=\sum_{i=0}^{n-1}{W(t_{i})\{W(t_{i+1})-W(t_{i})\}}\\&=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}{(\{W(t_{i+1})\}^{2}-\{W(t_{i})\}^{2})}-\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}{\{W(t_{i+1})-W(t_{i})\}^{2}}\\&=\frac{1}{2}\{W(T)\}^{2}-\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}{\{W(t_{i+1})-W(t_{i})\}^{2}}\end{align*}$$(브라운 운동의 2차변동은 \(T\)로 수렴한다)이므로 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(I(f_{n})\)은 \(\displaystyle\frac{1}{2}\{W(T)\}^{2}-\frac{1}{2}T\)으로 수렴한다.      

확률과정 \(f_{t},\,g_{t}\,(t\geq0)\)에 대해 다음이 성립한다.

(1) 상수 \(a,\,b\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{0}^{t}{(af_{u}+bg_{u})dW_{u}}=a\int_{0}^{t}{f_{u}dW_{u}}+b\int_{0}^{t}{g_{u}dW_{u}}$$(2) \(\displaystyle E\left(\left|\int_{0}^{t}{f_{u}dW_{u}}\right|^{2}\right)=E\left(\int_{0}^{t}{|f_{u}|^{2}du}\right)\)

확률과정 \(\{f_{t}\}\)가 \(\{\mathcal{F}_{t}\}\)에 대해 적응되어 있다고 하자. 그러면 다음과 같이 이토 적분으로 정의된 확률과정$$M_{t}=\int_{0}^{t}{f(u,\,\omega)dW_{u}}$$는 마팅게일이다. 즉 \(\displaystyle E\left(\int_{0}^{t}{f_{u}dW_{u}}|\right)=\int_{0}^{s}{f_{u}dW_{u}}\)이다. 

증명: 먼저 \(M_{0}^{2}\)에 속하는 단순함수에 대해 보인 다음 조건부기댓값으로 정의되는 선형변환이 연속임을 이용한다.

이토 적분은 다음의 성질을 만족한다.$$E\left(\int_{0}^{t}{f(u,\,\omega)dW_{u}}\right)=0$$증명: \(\displaystyle M_{t}=\int_{0}^{t}{f(s,\,\omega)dW_{u}}\)라 하면 \(\displaystyle M_{0}=\int_{0}^{0}{f(u,\,\omega)dW_{u}}=0\)이고 \(\{M_{t}\}_{t\geq0}\)는 마팅게일이므로 \(E(M_{t})\)는 상수이고 따라서 \(E(M_{t})=E(M_{0})=0\)이다. 

주가 변동의 모형을 나타내는 기하 브라운 운동 \(S_{t}=S_{0}e^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma W_{t}}\)은 다음의 식을 만족한다.(이토 공식으로 확인이 가능하다)$$S_{t}-S_{0}=\int_{0}^{t}{\mu S_{u}du}+\int_{0}^{t}{\sigma S_{u}dW_{u}}$$이때 \(\displaystyle E\left(\int_{0}^{t}{S_{u}dW_{u}}\right)=0\)이므로$$E(S_{t})-S_{0}=\int_{0}^{t}{\mu E(S_{u})du}$$이고 이 식의 양변을 미분하면 \(g(t)=E(S_{t})\)라고 할 때 \(g'(t)=\mu g(t)\), \(g(0)=S_{0}\)이므로 \(g(t)=S_{0}e^{\mu t}\)이고 따라서 \(E(S_{t})=S_{0}e^{\mu t}\)이다. 

*브라운 운동이 아닌 일반적인 마팅게일 \(\{M_{t}\}_{t\geq0}\)에 대해$$N_{t}=\int_{0}^{t}{f_{s}dM_{t}}$$을 정의할 수 있고, 이것은 마팅게일이다.   

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사