[금융수학] 13. 이토 공식, 기르사노프 정리

[금융수학] 13. 이토 공식, 기르사노프 정리

이토 공식. 함수 $f:[0,\,\infty)\times\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$의 편도함수 $f_{t}(t,\,x)$, $f_{x}(t,\,x)$, $f_{xx}(t,\,x)$가 존재하고 연속이라고 하자. 이때 모든 $T\geq0$와 거의 모든 $\omega$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$f(T,\,W_{T})-f(0,\,W_{0})=\int_{0}^{T}{f_{t}(s,\,W_{s})ds}+\int_{0}^{T}{f_{x}(s,\,W_{s})ds}+\frac{1}{2}\int_{0}^{T}{f_{xx}(s,\,W_{s})ds}$$ 여기서 첫 번째, 세 번째 적분은 리만적분, 두 번째 적분은 이토 적분이다. 이 식을 이토 공식(Ito formula)이라 하고, 미분형으로 나타내면 다음과 같다. $$df(t,\,W_{t})=f_{t}(t,\,W_{t})dt+f_{x}(t,\,W_{t})+\frac{1}{2}f_{xx}(t,\,W_{t})dt$$ 다음은 $dt$와 $dW_{t}$의 곱셈 규칙이고, $$(dW_{t})(dW_{t})=(dW_{t})^{2}=dt,\,(dW_{t})(dt)=0,\,(dt)^{2}=(dt)(dt)=0$$ $f$의 2차 테일러 전개에서 $$df=f_{t}dt+f_{x}dx+\frac{1}{2}\{f_{tt}(dt)^{2}+2f_{tx}dtdx+f_{xx}(dx)^{2}\}$$ $x=W_{t}$를 대입하면 $dt$와 $dW_{t}$의 곱셈 규칙으로부터 다음의 식을 얻는다. $$df(t,\,W_{t})=\left(f_{t}(t,\,W_{t})+\frac{1}{2}f_{xx}(t,\,W_{t})\right)dt+f_{x}(t,\,W_{t})dW_{t}$$ 예: $X_{t}=W_{t}$일 때 $f(t,\,x)=x$라 하면 $X_{t}=f(t,\,W_{t})$, $X_{0}=0$이고 $f_{x}=1$, $f_{xx}=0$이므로 $dX_{t}=dW_{t}$이고 다음의 식을 얻는다. $$\int_{0}^{T}{dW_{t}}=W_{T}$$ 예: $X_{t}=(W_{t})^{2}$일 때 $f(t,\,x)=x^{2}$라 하면 $X_{t}=f(t,\,W_{t})$, $X_{0}=0$이고 $f_{x}=2x$, $f_{xx}=2$이므로 $$dX_{t}=2W_{t}dW_{t}+dt$$ 이고 적분으로 나타내면 다음과 같다. $$\int_{0}^{T}{W_{t}dW_{t}}=\frac{1}{2}(W_{T})^{2}-\frac{1}{2}T$$ 예: $\displaystyle X_{t}=\frac{1}{3}(W_{t})^{3}$일 때 $\displaystyle f(t,\,x)=\frac{1}{3}x^{3}$라고 하면 $X_{t}=f(t,\,W_{t})$, $X_{0}=0$이고 $f_{x}=x^{2}$, $f_{xx}=2x$이므로 $$dX_{t}=(W_{t})^{2}dW_{t}+W_{t}dt$$ 이고 적분으로 나타내면 다음과 같다. $$\int_{0}^{T}{(W_{t})^{2}dW_{t}}=\frac{1}{3}(W_{T})^{3}-\int_{0}^{T}{W_{t}dt}$$ 예: $X_{t}=tW_{t}$일 때 $f(t,\,x)=tx$라 하면 $X_{t}=f(t,\,W_{t})$, $X_{0}=0$이고 $f_{t}=x$, $f_{x}=t$, $f_{xx}=0$이므로 $$dX_{t}=W_{t}dt+tdW_{t}$$ 이고 적분으로 나타내면 다음과 같다. $$\int_{0}^{T}{tdW_{t}}=TW_{T}-\int_{0}^{T}{W_{t}dt}$$ 다음과 같은 형태의 확률과정 $\{X_{t}\}_{t\geq0}$을 이토 과정(Ito process)이라고 한다. $$X_{t}=X_{0}+\int_{0}^{t}{a_{u}du}+\int_{0}^{t}{b_{u}dW_{u}}$$ 이것을 미분 형태로 나타내면 다음과 같다. $$dX_{t}=a_{t}dt+b_{t}dW_{t}$$ 여기서 $X_{0}$는 상수이고, $a_{t}$, $b_{t}$는 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$에 적응된 확률과정이고, 다음의 성질을 만족한다. $$\int_{0}^{T}{|a_{t}(\omega)|dt}<\infty,\,a.s.\,\omega,\,\{b_{t}\}_{t\geq0}\in M_{T}^{2}$$ 가장 간단한 이토과정은 다음과 같고 $b_{t}=0$이다. $$X_{t}=X_{0}+\int_{0}^{T}{a_{t}dt}$$ 이토 과정에 대한 이토 적분. 이토 과정 $\{X_{t}\}_{t\geq0}$이 $dX_{t}=a_{t}dt+b_{t}dW_{t}$로 주어졌을 때 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$에 적응된 임의의 확률과정 $\{Y_{t}\}_{t\geq0}$에 대해 이토 적분을 다음과 같이 정의한다. $$\int_{0}^{t}{Y_{u}dW_{u}}=\int_{0}^{t}{Y_{u}a_{u}du}+\int_{0}^{t}{Y_{u}b_{u}dW_{u}}$$ 간단히 $Y_{t}dX_{t}=Y_{t}a_{t}dt+Y_{t}b_{t}dW_{t}$로 나타낼 수 있다. 

이토 과정 $\{X_{t}\}_{t\geq0}$에 대해 $$[X,\,X]_{t}=\lim_{\Delta\,\rightarrow\,0}{|X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}|^{2}}\,\left(\Delta t=\max_{i}(t_{i}-t_{i-1})\right)$$ 이고 여기서의 극한은 $L^{2}$수렴이고 그 결과를 $d[X,\,X]_{t}=b_{t}^{2}dt$이고 이것을 이용해 이토 공식의 일반형의 증명을 위한 보조적인 수학적 공식이다. 

이토 공식의 일반형. 이토 과정 $\{X_{t}\}_{t\geq0}$가 $$dX_{t}=a_{t}dt+b_{t}dW_{t}$$ 로 주어져 있고, $f:[0,\,\infty)\times\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$의 편도함수 $f_{t},\,f_{x},\,f_{xx}$가 존재하고 연속이라고 하자. 또한 모든 $T$에 대해 $f_{x}(t,\,X_{t})b_{t}\in M_{T}^{2}$라고 하자. 그러면 $f(t,\,X_{t})$는 이토 과정이고 모든 $t\geq0$에 대해 확률 1로 다음이 성립한다. $$\begin{align*}&f(T,\,X_{T})-f(0,\,X_{0})\\&=\int_{0}^{T}{f_{t}(u,\,X_{u})du}+\int_{0}^{T}{f_{x}(u,\,X_{u})dX_{u}}+\frac{1}{2}\int_{0}^{T}{f_{xx}(u,\,X_{u})d[X,\,X]_{u}}\\&=\int_{0}^{T}{\left(f_{t}(u,\,X_{u})+f_{x}(u,\,X_{u})a_{u}+\frac{1}{2}f(u,\,X_{u})b_{u}^{2}\right)du}+\int_{0}^{T}{f_{x}(u,\,X_{u})b_{u}dW_{u}}\end{align*}$$ 앞에서 $dW_{t}$, $dt$에 대한 곱셈 규칙을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$df=\left(f_{t}+f_{x}a_{t}+\frac{1}{2}f_{xx}b_{t}^{2}\right)dt+f_{x}b_{t}dW_{t}$$ 확률미분방정식 $dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}$를 만족하는 $S_{t}$를 구하기 위해 $S_{t}=f(t,\,W_{t})$라고 놓고 이토 공식을 적용하면 $$dS_{t}=\left(\frac{\partial f}{\partial t}(t,\,W_{t})+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(t,\,W_{t})\right)dt+\frac{\partial f}{\partial t}(t,\,W_{t})dW_{t}$$ 이므로 $$\begin{cases}\displaystyle&\frac{\partial f}{\partial t}(t,\,W_{t})+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(t,\,W_{t})=\mu f(t,\,W_{t})\\ \displaystyle&\frac{\partial f}{\partial x}(t,\,W_{t})=\sigma f(t,\,W_{t})\end{cases}$$ 이 식들이 임의의 $W_{t}(\omega)$에 대해 성립해야 하므로 다음이 성립한다. $$\begin{cases}\displaystyle&\frac{\partial f}{\partial t}(t,\,x)+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(t,\,x)=\mu f(t,\,x)\\ \displaystyle&\frac{\partial f}{\partial x}(t,\,x)=\sigma f(t,\,x)\end{cases}$$ 위의 두 번째 식으로부터 적당한 함수 $g(t)$에 대해 $f(t,\,x)=g(t)\sigma^{\sigma x}$라고 하자. 위의 첫 번째 식으로부터 $$g'(t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}g(t)=\mu g(t)$$ 이고 $g(t)=Ce^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t}$이므로 $f(t,\,x)=Ce^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma x}$이고 따라서 다음의 결과를 얻는다. $$S_{t}=S_{0}e^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma W_{t}}$$ 기르사노프 정리

        

여기서 $\{W_{t}\}_{t\geq0}$는 $P-$(확률측도 $P$에 대한)브라운 운동을 나타내고, $E$ 또는 $E^{P}$는 $P$에 대한 기댓값을, $E^{Q}$는 $Q$에 대한 기댓값을 나타낸다. 

상수 $\theta$에 대한 새로운 확률과정 $X_{t}=W_{t}+\theta t$를 새로운 확률측도$Q$에 대한 브라운 운동이 되게 하려고 한다. 그러기 위해서는 $P$와 $Q$가 동치측도여야 한다. 즉, $P(A)=0$과 $Q(A)=0$는 같은 뜻이 되도록 $Q$를 정하려고 한다. 

$Q$를 단조증가하는 $\sigma-$체들의 열 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$에 대해 정의되고, 이 정의가 잘 정의되었다(well-defined)는 것을 보이고, 그 다음에 $X_{t}$와 $X_{t}^{2}-t$가 $Q-$마팅게일임을 보이면, 레비(Levy)의 정리에 의해 $X_{t}$가 $Q-$브라운 운동이라는 것이 증명된다. 

시간 $t\geq0$과 구간 $I=(a,\,b)\subset\mathbb{R}$이 주어졌을 때, 다음의 원통집합을 고려하자. $$C(t,\,I)=\{\omega\in\Omega\,|\,W_{t}(\omega)\in I\}$$ 이때 $C(t,\,I)=W_{t}^{-1}[I]$이므로 $C(t,\,I)$는 $\mathcal{F}_{t}-$가측이다. 이때 $\Omega$위에서 새로운 확률측도 $Q$를 정의하고자 한다. $Q$는 $P$와 동등해야 하고 임의의 가측함수 $f:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$에 대해 다음의 등식을 만족해야 한다. $$\begin{align*}\int_{\Omega}{f(W_{t}(\omega))dP(\omega)}&=\int_{\Omega}{f(X_{t}(\omega))dQ(\omega)}\\&=\int_{\Omega}{f(X_{t}(\omega)+\theta t)dQ(\omega)}\end{align*}$$ 여기서 구간 $I=[a,\,b]\subset\mathbb{R}$에 대해 지시함수 $f(x)=\mathbf{1}_{I}(x)$를 선택하면

좌변: $\displaystyle \int_{C(t,\,I)}{dP(\omega)}=P(C(t,\,I))$  

우변: $\displaystyle \int_{C(t,\,I-\theta t)}{dQ(\omega)}=Q(C(t,\,I-\theta t))$   

이고 따라서 $P(C(t,\,I))=Q(C(t,\,I-\theta t))$ 즉, $P(C(t,\,I+\theta t))=Q(C(t,\,I))$이다. $$P(C(t,\,I+\theta t))=\int_{a+\theta t}^{b+\theta t}{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}=\int_{a}^{b}{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y+\theta t)^{2}}{2t}}dy}$$ 이다. $P$에 대한 $Q$의 라돈-니코딤 도함수를 $\displaystyle L(\omega)=\frac{dQ}{dP}(\omega)$와 같이 정의하고 이것의 조건부 기댓값 $E(L|\mathcal{F}_{t})$를 $L_{t}$로 나타내겠다. 

시간 $0\leq t<\infty$에서 정의되어 있는 브라운 운동 경로들의 집합 $\Omega$전체에 정의되어 있는 $L$ 자체의 공식은 간단히 표현할 수 없고, 시간 $0\leq t\leq T$에서 정의되어 있는 브라운 운동 경로의 집합에 정의되어 있는 $L$의 공식은 $L_{T}$이다.

함수 $L_{t}$가 모든 $t$에 대해 함수 $\rho_{t}:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 존재해서 $L_{t}(\omega)=\rho_{t}(W_{t}(\omega))$라 하고, 공식을 구하자. $$\begin{align*}Q(C(t,\,I))&=\int_{C(t,\,I)}{dQ}=\int_{C(t,\,I)}{\frac{dQ}{dP}dP}\\&=\int_{C(t,\,I)}{E\left(\frac{dQ}{dP}|\mathcal{F}_{t}\right)dP}=\int_{C(t,\,I)}{L_{t}dP}\\&=\int_{a}^{b}{\rho_{t}(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}\end{align*}$$ $P(C(t,\,I+\theta t))$에 대한 공식을 이용하면 $\displaystyle\rho_{t}(x)e^{-\frac{x^{2}}{2t}}=e^{-\frac{(x+\theta t)^{2}}{2t}}$이고 따라서 $\rho_{t}(x)=e^{-\theta x-\frac{1}{2}\theta^{2}t}$이므로 $$L(\omega)=\rho_{t}(W_{t}(\omega))=e^{-\theta W_{t}-\frac{1}{2}\theta^{2}t}$$ 이다. 이제 $Q$가 잘 정의되었는지 확인하자.

임의의 $0\leq s<t$에 대해 $(Q|_{\mathcal{F}_{t}})|_{\mathcal{F}_{s}}=Q|_{\mathcal{F}_{s}}$이다. 즉 $Q|_{\mathcal{F}_{t}}$는 tower property를 갖는다.

증명: $A$를 $\mathcal{F}_{s}-$가측 부분집합이라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\begin{align*}(Q|_{\mathcal{F}_{t}})|_{\mathcal{F}_{s}}(A)&=\int_{A}{L_{t}dP}=\int_{A}{E(L_{t}|\mathcal{F}_{s})dP}\\&=\int_{A}{L_{s}dP}=Q|_{\mathcal{F}_{s}}(A)\end{align*}$$ $L_{t}=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}}$일 때 확률측도 $Q$를 다음과 같이 정의한다. $$\frac{dQ}{dP}|_{\mathcal{F}_{t}}=L_{t}$$ *$\phi_{t}$가 $\mathcal{F}_{t}-$가측함수일 때 등식 $\displaystyle E^{Q}(\phi_{t}|\mathcal{F}_{s})=E\left(\phi_{t}\frac{L_{t}}{L_{s}}|\mathcal{F}_{s}\right)$이 성립한다. 또한 $\phi_{t}$가 $\mathcal{F}_{t}-$가측함수일 때 $s=0$이면, $E^{Q}(\phi_{t})=E(\phi_{t}L_{t})$이고, $s=0$, $\phi_{t}=1$인 경우에 $E^{Q}(1)=E(L_{t})=1$, $\phi_{t}=1$인 경우 $E(L_{t}|\mathcal{F}_{s})=L_{s}$이고 따라서 $L_{t}$는 $P-$마팅게일이다.  

$E^{Q}(X_{t})=0$이고 $E^{Q}(X_{t}^{2})=t$인데 그 이유는 다음과 같다. $$\begin{align*}E^{Q}(X_{t})&=E((W_{t}+\theta t)e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}})\\&=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}\{E(W_{t}e^{-\theta W_{t}})+\theta t E(e^{-\theta W_{t}})\}\\&=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}(-\theta te^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}+\theta te^{\frac{1}{2}\theta^{2}t})\\&=0\end{align*}$$ 이고 $$\begin{align*}E^{Q}(X_{t}^{2})&=E((W_{t}+\theta t)^{2}e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}})\\&=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}\left\{E(W_{t}^{2}e^{-\theta W_{t}})+2\theta tE(W_{t}e^{-\theta W_{t}})+\theta^{2}t^{2}E(e^{-\theta W_{t}})\right\}\\&=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}\left\{(t+\theta^{2}t^{2})e^{\frac{1}{2}\theta^{2}}+2\theta t(-\theta t)e^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}+\theta^{2}t^{2}e^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}\right\}\\&=t\end{align*}$$ 이다.

여기서 $\{X_{t}\}_{t\geq0}$가 $Q-$브라운 운동임을 보일 것이다.

모든 $n\geq0$에 대해 $E^{Q}(X_{t}^{n})=E(W_{t}^{n})$이 성립하는데 임의의 실수 $\alpha$에 대해 $$\begin{align*}E^{Q}(e^{\alpha X_{t}})&=E(e^{\alpha(W_{t}+\theta t)}e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}})\\&=e^{\alpha\theta t-\frac{1}{2}\theta^{2}t}E(e^{(\alpha-\theta)W_{t}})\\&=e^{\alpha\theta t-\frac{1}{2}\theta^{2}t}e^{\frac{1}{2}(\alpha-\theta)^{2}t}\\&=e^{\frac{1}{2}\alpha^{2}t}=E(e^{\alpha W_{t}})\end{align*}$$ 이고 $\alpha$에 대한 테일러 급수 $\displaystyle e^{\alpha W_{t}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}\alpha^{n}W_{t}^{n}}$을 이용해서 $$E(e^{\alpha W_{t}})=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}E(W_{t}^{n})\alpha^{n}}$$ 이고, 같은 방법으로 $$E^{Q}(e^{\alpha X_{t}})=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}E^{Q}(X_{t}^{n})\alpha^{n}}$$ 을 얻고, 테일러 급수의 계수를 비교하면 된다. 

$X_{t}$는 $Q-$마팅게일이다.

증명: 다음의 식에 의해 $$E(W_{t}L_{t}|\mathcal{F}_{s})=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}E(W_{t}e^{-\theta W_{t}}|\mathcal{F}_{s})=(W_{s}-\theta(t-s))L_{s}$$ 이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다. $$\begin{align*}E^{Q}(X_{t}|\mathcal{F}_{s})&=E(X_{t}L_{t}L_{s}^{-1}|\mathcal{F}_{s})\\&=L_{s}^{-1}E((W_{t}+\theta t)L_{t}|\mathcal{F}_{s})\\&=L_{s}^{-1}E(W_{t}L_{t}|\mathcal{F}_{s})+L_{s}^{-1}\theta tE(L_{t}|\mathcal{F}_{s})\\&=(W_{s}-\theta(t-s))+\theta t=W_{s}+\theta s\\&=X_{s}\end{align*}$$ 또한 $X_{t}^{2}-t$도 $Q-$마팅게일인데 $$E(W_{t}^{2}L_{t}|\mathcal{F}_{s})=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}E(W_{t}^{2}e^{-\theta w_{t}}|\mathcal{F}_{s})=\{(t-s)+(W_{s}-\theta(t-s)^{2})\}L_{s}$$ 이므로 따라서 다음이 성립한다. $$\begin{align*}E^{Q}(X_{t}^{2}-t|\mathcal{F}_{s})&=E(X_{t}^{2}L_{t}L_{s}^{-1}|\mathcal{F}_{s})-t=L_{s}^{-1}E((W_{t}+\theta t)^{2}L_{t}|\mathcal{F}_{s})-t\\&=L_{s}^{-1}\{E(W_{t}^{2}L_{t}|\mathcal{F}_{s})+2\theta tE(W_{t}L_{t}|\mathcal{F}_{s})+\theta^{2}t^{2}E(L_{t}|\mathcal{F_{s}})\}-t\\&=\{(t-s)+(W_{s}-\theta(t-s))^{2}\}+2\theta t\{W_{s}-\theta(t-s)\}+\theta^{2}t^{2}-t\\&=(W_{s}+\theta s)^{2}-s\\&=X_{s}^{2}-s\end{align*}$$ 기르사노프 정리(Girsanov theorem) $\{W_{t}\}_{t\geq0}$를 $P-$브라운 운동, $\theta$는 임의의 실수, $X_{t}=W_{t}+\theta t$라 하자. 확률측도 $Q$를 임의의 $0\leq t\leq T$에 대해 다음이 성립한다고 하자. $$\frac{dQ}{dP}|_{\mathcal{F}_{t}}=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}}$$ 이때 두 측도 $P$와 $Q$는 서로 동등하고 $\{X_{t}\}_{t\geq0}$는 $Q-$브라운 운동이다.              

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사