[금융수학] 13. 이토 공식, 기르사노프 정리

[금융수학] 13. 이토 공식, 기르사노프 정리

이토 공식. 함수 \(f:[0,\,\infty)\times\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)의 편도함수 \(f_{t}(t,\,x)\), \(f_{x}(t,\,x)\), \(f_{xx}(t,\,x)\)가 존재하고 연속이라고 하자. 이때 모든 \(T\geq0\)와 거의 모든 \(\omega\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$f(T,\,W_{T})-f(0,\,W_{0})=\int_{0}^{T}{f_{t}(s,\,W_{s})ds}+\int_{0}^{T}{f_{x}(s,\,W_{s})ds}+\frac{1}{2}\int_{0}^{T}{f_{xx}(s,\,W_{s})ds}$$여기서 첫 번째, 세 번째 적분은 리만적분, 두 번째 적분은 이토 적분이다. 이 식을 이토 공식(Ito formula)이라 하고, 미분형으로 나타내면 다음과 같다.$$df(t,\,W_{t})=f_{t}(t,\,W_{t})dt+f_{x}(t,\,W_{t})+\frac{1}{2}f_{xx}(t,\,W_{t})dt$$다음은 \(dt\)와 \(dW_{t}\)의 곱셈 규칙이고,$$(dW_{t})(dW_{t})=(dW_{t})^{2}=dt,\,(dW_{t})(dt)=0,\,(dt)^{2}=(dt)(dt)=0$$\(f\)의 2차 테일러 전개에서$$df=f_{t}dt+f_{x}dx+\frac{1}{2}\{f_{tt}(dt)^{2}+2f_{tx}dtdx+f_{xx}(dx)^{2}\}$$\(x=W_{t}\)를 대입하면 \(dt\)와 \(dW_{t}\)의 곱셈 규칙으로부터 다음의 식을 얻는다.$$df(t,\,W_{t})=\left(f_{t}(t,\,W_{t})+\frac{1}{2}f_{xx}(t,\,W_{t})\right)dt+f_{x}(t,\,W_{t})dW_{t}$$예: \(X_{t}=W_{t}\)일 때 \(f(t,\,x)=x\)라 하면 \(X_{t}=f(t,\,W_{t})\), \(X_{0}=0\)이고 \(f_{x}=1\), \(f_{xx}=0\)이므로 \(dX_{t}=dW_{t}\)이고 다음의 식을 얻는다.$$\int_{0}^{T}{dW_{t}}=W_{T}$$예: \(X_{t}=(W_{t})^{2}\)일 때 \(f(t,\,x)=x^{2}\)라 하면 \(X_{t}=f(t,\,W_{t})\), \(X_{0}=0\)이고 \(f_{x}=2x\), \(f_{xx}=2\)이므로$$dX_{t}=2W_{t}dW_{t}+dt$$이고 적분으로 나타내면 다음과 같다.$$\int_{0}^{T}{W_{t}dW_{t}}=\frac{1}{2}(W_{T})^{2}-\frac{1}{2}T$$예: \(\displaystyle X_{t}=\frac{1}{3}(W_{t})^{3}\)일 때 \(\displaystyle f(t,\,x)=\frac{1}{3}x^{3}\)라고 하면 \(X_{t}=f(t,\,W_{t})\), \(X_{0}=0\)이고 \(f_{x}=x^{2}\), \(f_{xx}=2x\)이므로$$dX_{t}=(W_{t})^{2}dW_{t}+W_{t}dt$$이고 적분으로 나타내면 다음과 같다.$$\int_{0}^{T}{(W_{t})^{2}dW_{t}}=\frac{1}{3}(W_{T})^{3}-\int_{0}^{T}{W_{t}dt}$$예: \(X_{t}=tW_{t}\)일 때 \(f(t,\,x)=tx\)라 하면 \(X_{t}=f(t,\,W_{t})\), \(X_{0}=0\)이고 \(f_{t}=x\), \(f_{x}=t\), \(f_{xx}=0\)이므로$$dX_{t}=W_{t}dt+tdW_{t}$$이고 적분으로 나타내면 다음과 같다.$$\int_{0}^{T}{tdW_{t}}=TW_{T}-\int_{0}^{T}{W_{t}dt}$$다음과 같은 형태의 확률과정 \(\{X_{t}\}_{t\geq0}\)을 이토 과정(Ito process)이라고 한다.$$X_{t}=X_{0}+\int_{0}^{t}{a_{u}du}+\int_{0}^{t}{b_{u}dW_{u}}$$이것을 미분 형태로 나타내면 다음과 같다.$$dX_{t}=a_{t}dt+b_{t}dW_{t}$$여기서 \(X_{0}\)는 상수이고, \(a_{t}\), \(b_{t}\)는 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)에 적응된 확률과정이고, 다음의 성질을 만족한다.$$\int_{0}^{T}{|a_{t}(\omega)|dt}<\infty,\,a.s.\,\omega,\,\{b_{t}\}_{t\geq0}\in M_{T}^{2}$$가장 간단한 이토과정은 다음과 같고 \(b_{t}=0\)이다.$$X_{t}=X_{0}+\int_{0}^{T}{a_{t}dt}$$이토 과정에 대한 이토 적분. 이토 과정 \(\{X_{t}\}_{t\geq0}\)이 \(dX_{t}=a_{t}dt+b_{t}dW_{t}\)로 주어졌을 때 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)에 적응된 임의의 확률과정 \(\{Y_{t}\}_{t\geq0}\)에 대해 이토 적분을 다음과 같이 정의한다.$$\int_{0}^{t}{Y_{u}dW_{u}}=\int_{0}^{t}{Y_{u}a_{u}du}+\int_{0}^{t}{Y_{u}b_{u}dW_{u}}$$간단히 \(Y_{t}dX_{t}=Y_{t}a_{t}dt+Y_{t}b_{t}dW_{t}\)로 나타낼 수 있다. 

이토 과정 \(\{X_{t}\}_{t\geq0}\)에 대해$$[X,\,X]_{t}=\lim_{\Delta\,\rightarrow\,0}{|X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}|^{2}}\,\left(\Delta t=\max_{i}(t_{i}-t_{i-1})\right)$$이고 여기서의 극한은 \(L^{2}\)수렴이고 그 결과를 \(d[X,\,X]_{t}=b_{t}^{2}dt\)이고 이것을 이용해 이토 공식의 일반형의 증명을 위한 보조적인 수학적 공식이다. 

이토 공식의 일반형. 이토 과정 \(\{X_{t}\}_{t\geq0}\)가$$dX_{t}=a_{t}dt+b_{t}dW_{t}$$로 주어져 있고, \(f:[0,\,\infty)\times\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)의 편도함수 \(f_{t},\,f_{x},\,f_{xx}\)가 존재하고 연속이라고 하자. 또한 모든 \(T\)에 대해 \(f_{x}(t,\,X_{t})b_{t}\in M_{T}^{2}\)라고 하자. 그러면 \(f(t,\,X_{t})\)는 이토 과정이고 모든 \(t\geq0\)에 대해 확률 1로 다음이 성립한다.$$\begin{align*}&f(T,\,X_{T})-f(0,\,X_{0})\\&=\int_{0}^{T}{f_{t}(u,\,X_{u})du}+\int_{0}^{T}{f_{x}(u,\,X_{u})dX_{u}}+\frac{1}{2}\int_{0}^{T}{f_{xx}(u,\,X_{u})d[X,\,X]_{u}}\\&=\int_{0}^{T}{\left(f_{t}(u,\,X_{u})+f_{x}(u,\,X_{u})a_{u}+\frac{1}{2}f(u,\,X_{u})b_{u}^{2}\right)du}+\int_{0}^{T}{f_{x}(u,\,X_{u})b_{u}dW_{u}}\end{align*}$$앞에서 \(dW_{t}\), \(dt\)에 대한 곱셈 규칙을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$df=\left(f_{t}+f_{x}a_{t}+\frac{1}{2}f_{xx}b_{t}^{2}\right)dt+f_{x}b_{t}dW_{t}$$확률미분방정식 \(dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}\)를 만족하는 \(S_{t}\)를 구하기 위해 \(S_{t}=f(t,\,W_{t})\)라고 놓고 이토 공식을 적용하면$$dS_{t}=\left(\frac{\partial f}{\partial t}(t,\,W_{t})+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(t,\,W_{t})\right)dt+\frac{\partial f}{\partial t}(t,\,W_{t})dW_{t}$$이므로$$\begin{cases}\displaystyle&\frac{\partial f}{\partial t}(t,\,W_{t})+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(t,\,W_{t})=\mu f(t,\,W_{t})\\ \displaystyle&\frac{\partial f}{\partial x}(t,\,W_{t})=\sigma f(t,\,W_{t})\end{cases}$$이 식들이 임의의 \(W_{t}(\omega)\)에 대해 성립해야 하므로 다음이 성립한다.$$\begin{cases}\displaystyle&\frac{\partial f}{\partial t}(t,\,x)+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(t,\,x)=\mu f(t,\,x)\\ \displaystyle&\frac{\partial f}{\partial x}(t,\,x)=\sigma f(t,\,x)\end{cases}$$위의 두 번째 식으로부터 적당한 함수 \(g(t)\)에 대해 \(f(t,\,x)=g(t)\sigma^{\sigma x}\)라고 하자. 위의 첫 번째 식으로부터$$g'(t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}g(t)=\mu g(t)$$이고 \(g(t)=Ce^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t}\)이므로 \(f(t,\,x)=Ce^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma x}\)이고 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$S_{t}=S_{0}e^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma W_{t}}$$기르사노프 정리

        

여기서 \(\{W_{t}\}_{t\geq0}\)는 \(P-\)(확률측도 \(P\)에 대한)브라운 운동을 나타내고, \(E\) 또는 \(E^{P}\)는 \(P\)에 대한 기댓값을, \(E^{Q}\)는 \(Q\)에 대한 기댓값을 나타낸다. 

상수 \(\theta\)에 대한 새로운 확률과정 \(X_{t}=W_{t}+\theta t\)를 새로운 확률측도\(Q\)에 대한 브라운 운동이 되게 하려고 한다. 그러기 위해서는 \(P\)와 \(Q\)가 동치측도여야 한다. 즉, \(P(A)=0\)과 \(Q(A)=0\)는 같은 뜻이 되도록 \(Q\)를 정하려고 한다. 

\(Q\)를 단조증가하는 \(\sigma-\)체들의 열 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)에 대해 정의되고, 이 정의가 잘 정의되었다(well-defined)는 것을 보이고, 그 다음에 \(X_{t}\)와 \(X_{t}^{2}-t\)가 \(Q-\)마팅게일임을 보이면, 레비(Levy)의 정리에 의해 \(X_{t}\)가 \(Q-\)브라운 운동이라는 것이 증명된다. 

시간 \(t\geq0\)과 구간 \(I=(a,\,b)\subset\mathbb{R}\)이 주어졌을 때, 다음의 원통집합을 고려하자.$$C(t,\,I)=\{\omega\in\Omega\,|\,W_{t}(\omega)\in I\}$$이때 \(C(t,\,I)=W_{t}^{-1}[I]\)이므로 \(C(t,\,I)\)는 \(\mathcal{F}_{t}-\)가측이다. 이때 \(\Omega\)위에서 새로운 확률측도 \(Q\)를 정의하고자 한다. \(Q\)는 \(P\)와 동등해야 하고 임의의 가측함수 \(f:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)에 대해 다음의 등식을 만족해야 한다.$$\begin{align*}\int_{\Omega}{f(W_{t}(\omega))dP(\omega)}&=\int_{\Omega}{f(X_{t}(\omega))dQ(\omega)}\\&=\int_{\Omega}{f(X_{t}(\omega)+\theta t)dQ(\omega)}\end{align*}$$여기서 구간 \(I=[a,\,b]\subset\mathbb{R}\)에 대해 지시함수 \(f(x)=\mathbf{1}_{I}(x)\)를 선택하면

좌변: \(\displaystyle \int_{C(t,\,I)}{dP(\omega)}=P(C(t,\,I))\)  

우변: \(\displaystyle \int_{C(t,\,I-\theta t)}{dQ(\omega)}=Q(C(t,\,I-\theta t))\)   

이고 따라서 \(P(C(t,\,I))=Q(C(t,\,I-\theta t))\) 즉, \(P(C(t,\,I+\theta t))=Q(C(t,\,I))\)이다.$$P(C(t,\,I+\theta t))=\int_{a+\theta t}^{b+\theta t}{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}=\int_{a}^{b}{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y+\theta t)^{2}}{2t}}dy}$$이다. \(P\)에 대한 \(Q\)의 라돈-니코딤 도함수를 \(\displaystyle L(\omega)=\frac{dQ}{dP}(\omega)\)와 같이 정의하고 이것의 조건부 기댓값 \(E(L|\mathcal{F}_{t})\)를 \(L_{t}\)로 나타내겠다. 

시간 \(0\leq t<\infty\)에서 정의되어 있는 브라운 운동 경로들의 집합 \(\Omega\)전체에 정의되어 있는 \(L\) 자체의 공식은 간단히 표현할 수 없고, 시간 \(0\leq t\leq T\)에서 정의되어 있는 브라운 운동 경로의 집합에 정의되어 있는 \(L\)의 공식은 \(L_{T}\)이다.

함수 \(L_{t}\)가 모든 \(t\)에 대해 함수 \(\rho_{t}:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 존재해서 \(L_{t}(\omega)=\rho_{t}(W_{t}(\omega))\)라 하고, 공식을 구하자.$$\begin{align*}Q(C(t,\,I))&=\int_{C(t,\,I)}{dQ}=\int_{C(t,\,I)}{\frac{dQ}{dP}dP}\\&=\int_{C(t,\,I)}{E\left(\frac{dQ}{dP}|\mathcal{F}_{t}\right)dP}=\int_{C(t,\,I)}{L_{t}dP}\\&=\int_{a}^{b}{\rho_{t}(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}\end{align*}$$\(P(C(t,\,I+\theta t))\)에 대한 공식을 이용하면 \(\displaystyle\rho_{t}(x)e^{-\frac{x^{2}}{2t}}=e^{-\frac{(x+\theta t)^{2}}{2t}}\)이고 따라서 \(\rho_{t}(x)=e^{-\theta x-\frac{1}{2}\theta^{2}t}\)이므로$$L(\omega)=\rho_{t}(W_{t}(\omega))=e^{-\theta W_{t}-\frac{1}{2}\theta^{2}t}$$이다. 이제 \(Q\)가 잘 정의되었는지 확인하자.

임의의 \(0\leq s<t\)에 대해 \((Q|_{\mathcal{F}_{t}})|_{\mathcal{F}_{s}}=Q|_{\mathcal{F}_{s}}\)이다. 즉 \(Q|_{\mathcal{F}_{t}}\)는 tower property를 갖는다.

증명: \(A\)를 \(\mathcal{F}_{s}-\)가측 부분집합이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$\begin{align*}(Q|_{\mathcal{F}_{t}})|_{\mathcal{F}_{s}}(A)&=\int_{A}{L_{t}dP}=\int_{A}{E(L_{t}|\mathcal{F}_{s})dP}\\&=\int_{A}{L_{s}dP}=Q|_{\mathcal{F}_{s}}(A)\end{align*}$$\(L_{t}=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}}\)일 때 확률측도 \(Q\)를 다음과 같이 정의한다.$$\frac{dQ}{dP}|_{\mathcal{F}_{t}}=L_{t}$$*\(\phi_{t}\)가 \(\mathcal{F}_{t}-\)가측함수일 때 등식 \(\displaystyle E^{Q}(\phi_{t}|\mathcal{F}_{s})=E\left(\phi_{t}\frac{L_{t}}{L_{s}}|\mathcal{F}_{s}\right)\)이 성립한다. 또한 \(\phi_{t}\)가 \(\mathcal{F}_{t}-\)가측함수일 때 \(s=0\)이면, \(E^{Q}(\phi_{t})=E(\phi_{t}L_{t})\)이고, \(s=0\), \(\phi_{t}=1\)인 경우에 \(E^{Q}(1)=E(L_{t})=1\), \(\phi_{t}=1\)인 경우 \(E(L_{t}|\mathcal{F}_{s})=L_{s}\)이고 따라서 \(L_{t}\)는 \(P-\)마팅게일이다.  

\(E^{Q}(X_{t})=0\)이고 \(E^{Q}(X_{t}^{2})=t\)인데 그 이유는 다음과 같다.$$\begin{align*}E^{Q}(X_{t})&=E((W_{t}+\theta t)e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}})\\&=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}\{E(W_{t}e^{-\theta W_{t}})+\theta t E(e^{-\theta W_{t}})\}\\&=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}(-\theta te^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}+\theta te^{\frac{1}{2}\theta^{2}t})\\&=0\end{align*}$$이고$$\begin{align*}E^{Q}(X_{t}^{2})&=E((W_{t}+\theta t)^{2}e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}})\\&=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}\left\{E(W_{t}^{2}e^{-\theta W_{t}})+2\theta tE(W_{t}e^{-\theta W_{t}})+\theta^{2}t^{2}E(e^{-\theta W_{t}})\right\}\\&=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}\left\{(t+\theta^{2}t^{2})e^{\frac{1}{2}\theta^{2}}+2\theta t(-\theta t)e^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}+\theta^{2}t^{2}e^{\frac{1}{2}\theta^{2}t}\right\}\\&=t\end{align*}$$이다.

여기서 \(\{X_{t}\}_{t\geq0}\)가 \(Q-\)브라운 운동임을 보일 것이다.

모든 \(n\geq0\)에 대해 \(E^{Q}(X_{t}^{n})=E(W_{t}^{n})\)이 성립하는데 임의의 실수 \(\alpha\)에 대해$$\begin{align*}E^{Q}(e^{\alpha X_{t}})&=E(e^{\alpha(W_{t}+\theta t)}e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}})\\&=e^{\alpha\theta t-\frac{1}{2}\theta^{2}t}E(e^{(\alpha-\theta)W_{t}})\\&=e^{\alpha\theta t-\frac{1}{2}\theta^{2}t}e^{\frac{1}{2}(\alpha-\theta)^{2}t}\\&=e^{\frac{1}{2}\alpha^{2}t}=E(e^{\alpha W_{t}})\end{align*}$$이고 \(\alpha\)에 대한 테일러 급수 \(\displaystyle e^{\alpha W_{t}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}\alpha^{n}W_{t}^{n}}\)을 이용해서$$E(e^{\alpha W_{t}})=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}E(W_{t}^{n})\alpha^{n}}$$이고, 같은 방법으로$$E^{Q}(e^{\alpha X_{t}})=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}E^{Q}(X_{t}^{n})\alpha^{n}}$$을 얻고, 테일러 급수의 계수를 비교하면 된다. 

\(X_{t}\)는 \(Q-\)마팅게일이다.

증명: 다음의 식에 의해$$E(W_{t}L_{t}|\mathcal{F}_{s})=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}E(W_{t}e^{-\theta W_{t}}|\mathcal{F}_{s})=(W_{s}-\theta(t-s))L_{s}$$이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}E^{Q}(X_{t}|\mathcal{F}_{s})&=E(X_{t}L_{t}L_{s}^{-1}|\mathcal{F}_{s})\\&=L_{s}^{-1}E((W_{t}+\theta t)L_{t}|\mathcal{F}_{s})\\&=L_{s}^{-1}E(W_{t}L_{t}|\mathcal{F}_{s})+L_{s}^{-1}\theta tE(L_{t}|\mathcal{F}_{s})\\&=(W_{s}-\theta(t-s))+\theta t=W_{s}+\theta s\\&=X_{s}\end{align*}$$또한 \(X_{t}^{2}-t\)도 \(Q-\)마팅게일인데$$E(W_{t}^{2}L_{t}|\mathcal{F}_{s})=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t}E(W_{t}^{2}e^{-\theta w_{t}}|\mathcal{F}_{s})=\{(t-s)+(W_{s}-\theta(t-s)^{2})\}L_{s}$$이므로 따라서 다음이 성립한다.$$\begin{align*}E^{Q}(X_{t}^{2}-t|\mathcal{F}_{s})&=E(X_{t}^{2}L_{t}L_{s}^{-1}|\mathcal{F}_{s})-t=L_{s}^{-1}E((W_{t}+\theta t)^{2}L_{t}|\mathcal{F}_{s})-t\\&=L_{s}^{-1}\{E(W_{t}^{2}L_{t}|\mathcal{F}_{s})+2\theta tE(W_{t}L_{t}|\mathcal{F}_{s})+\theta^{2}t^{2}E(L_{t}|\mathcal{F_{s}})\}-t\\&=\{(t-s)+(W_{s}-\theta(t-s))^{2}\}+2\theta t\{W_{s}-\theta(t-s)\}+\theta^{2}t^{2}-t\\&=(W_{s}+\theta s)^{2}-s\\&=X_{s}^{2}-s\end{align*}$$기르사노프 정리(Girsanov theorem) \(\{W_{t}\}_{t\geq0}\)를 \(P-\)브라운 운동, \(\theta\)는 임의의 실수, \(X_{t}=W_{t}+\theta t\)라 하자. 확률측도 \(Q\)를 임의의 \(0\leq t\leq T\)에 대해 다음이 성립한다고 하자.$$\frac{dQ}{dP}|_{\mathcal{F}_{t}}=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}}$$이때 두 측도 \(P\)와 \(Q\)는 서로 동등하고 \(\{X_{t}\}_{t\geq0}\)는 \(Q-\)브라운 운동이다.              

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사