[금융수학] 15. 풋-콜 패리티, 이항나무방법

[금융수학] 15. 풋-콜 패리티, 이항나무방법

풋-콜 패리티

유러피언 콜 옵션의 가격을 알면 다음의 방법으로 같은 만기일과 행사 가격을 갖는 유러피언 풋 옵션의 가격을 알 수 있고, 그 역도 성립하는데 이것을 풋-콜 패리티(put-call parity)라고 한다. 아메리칸 옵션에 대해서는 부등식이 성립한다.

기초자산 \(S\)의 가격과정을 \(\{S_{t}\}_{t\geq0}\)이라 하자. \(S\)에 대한 만기가 \(T\)이고 행사가격이 \(K\)인 유러피언 콜옵션 1단위를 구입하고 동시에 같은 만기와 행사가격의 유러피언 풋 옵션 1단위를 팔았다고 하자. 그러면 만기일 \(T\)에 얻는 수익은 콜 옵션에 대해서 수익금이 들어오고 풋 옵션에 대해서는 지불해야 하므로$$\max\{S_{T}-K,\,0\}-\max\{K-S_{T},\,0\}=S_{T}-K$$여기서 무위험 이자율을 상수 \(r\)이라 하고, 기초자산 \(S\)에 대한 만기가 \(T\)이고 행사가격이 \(K\)인 유러피언 콜 옵션의 가격을 \(C^{E}\), 풋 옵션의 가격을 \(P^{E}\)이라고 하겠다. 

유러피언 콜 옵션과 풋 옵션에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$C^{E}-P^{E}=S_{0}-Ke^{-rT}$$증명: 두 가지의 포트폴리오가 만기일에 같은 수익 구조를 가짐을 보임으로써 현재 가치가 같음을 보이면 된다. 

첫 번째 포트폴리오 \(\Pi_{1}\)은 콜 옵션 1개와 리스크 없는 예금 \(Ke^{-rT}\)로 이루어져 있고, 만기에서의 수익은 다음과 같다.$$\max\{S_{T}-K,\,0\}+K=\max\{S_{T},\,K\}$$두 번째 포트폴리오 \(\Pi_{2}\)는 풋 옵션 하나와 주식 한 주로 이루어져 있고, 만기에서의 수익은 다음과 같다.$$\max\{K-S_{T},\,0\}+S_{T}=\max\{K,\,S_{T}\}$$

시간	0	\(T\)
포트폴리오 \(\Pi_{1}\)	콜옵션과 예금 \(Ke^{-rT}\)	\(\max\{S_{T}-K,\,0\}+K\)
포트폴리오 \(\Pi_{2}\)	풋옵션과 주식 1주 \(S_{0}\)	\(\max\{K-S_{T},\,0\}+S_{T}\)

두 포트폴리오의 만기 수익의 수익함수는 같으므로 현재(\(t=0\))의 두 포트폴리오의 가치는 같고, 따라서 다음의 등식으로부터 성립한다.$$C^{E}+Ke^{-rT}=P^{E}+S_{0}$$*참고: 무차익거래 정리(no-arbitrage theorem) 금융시장에서 차익거래가 불가능하면 두 개의 임의의 포트폴리오 \(A\)와 \(B\)의 가치를 각각 \(\Pi_{A}(t),\,Pi_{B}(t)\,(0\leq t\leq T)\)라 하면 다음의 등식이 성립한다.$$\frac{\Pi_{A}(0)}{\Pi_{B}(0)}=\frac{\Pi_{A}(T)}{\Pi_{B}(T)}$$증명: 시간 \(t=T\)에서 \(\Pi_{A}(T)=\Pi_{B}(T)\)인 경우를 고려하자. \(t=0\)에서 \(\Pi_{A}(0)>\Pi_{B}(0)\)이면, 상대적으로 고평가된 \(A\)를 매각하고 저평가된 \(B\)를 매입한 다음 만기(\(t=T\))가 될 때까지 보유한다. 만기에 가서 \(A\)와 \(B\)의 가치가 동일하므로 사고 판 것이 서로 상쇄되어 모든 계약이 청산되나 처음에 비싼 것을 팔고 싼 것을 매입함으로서 얻은 차액, 즉 \(\Pi_{A}(0)-\Pi_{B}(0)\)는 그대로 수익으로 남게 되어 차익거래가 불가능하다는 사실에 모순이다. 같은 방법으로 \(\Pi_{A}(0)<\Pi_{B}(0)\)인 경우도 모순이 발생한다. 따라서 \(\Pi_{A}(0)=\Pi_{B}(0)\)이어야 한다. 

다음으로 시간 \(t=T\)에서 \(A\)의 가치가 \(B\)의 가치의 \(q\)배, 즉 \(\Pi_{A}(T)=q\Pi_{B}(T)\)인 경우를 고려하자. 포트폴리오 \(B\)의 양을 \(q\)배한 포트폴리오를 \(B_{q}\)라고 하면 \(t=T\)에서 \(\Pi_{A}(T)=\Pi_{B_{q}}(T)\)이다. 그러면 \(B_{q}\)를 위의 첫 경우의 \(B\)라고 하면 위의 논의에 의해 \(t=0\)에서 \(\Pi_{A}(0)=\Pi_{B_{q}}(0)\)이어야 한다. 즉 \(t=0\)에서 \(A\)의 가치는 \(B\)의 가치보다 \(q\)배가 되어 정리가 증명된다.

참고 앞의 정리의 등식을 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$C^{E}-P^{E}=S_{t}-Ke^{-r(T-t)}\,(0\leq t\leq T)$$이항나무방법

현재 가격이 한 주에 \(S_{0}=50$\)인 어떤 주식에 대한 유러피언 콜 옵션을 생각하자. 만기일 \(T\)에 주식이 \(S_{u}=80$\)와 \(S_{d}=40$\)의 두 가격만을 각각 \(\displaystyle p_{u}=\frac{1}{2}\), \(\displaystyle p_{u}=\frac{1}{2}\)의 확률로 갖는다.

이때 행사가격이 \(K=60$\)로 주어지고 이자율이 \(r=0\)이면, 만기일에 주식 가격이 오르면 옵션의 가격은 \(\max\{S_{u}-K,\,0\}=20$\), 반대로 내렸을 때 \(\max\{S_{d}-K,\,0\}=0$\)이다. 

\(t=0\)일 때 빌린 돈 \(20$\)와 주식 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)주를 가지고 포트폴리오를 구성하면, 그 가치는$$-20$+\frac{1}{2}\times S_{0}$=-20$+\frac{1}{2}\times50$=5$ $$이고, 만기일에 포트폴리오의 가치는 주가가 오르면$$-20$+\frac{1}{2}\times S_{u}$=-20$+\frac{1}{2}\times80$=20$ $$이고, 내리면$$-20$+\frac{1}{2}\times S_{d}$=-20$+\frac{1}{2}\times40$=0$ $$이고, 어느 경우에나 옵션의 가치와 같다. 따라서 \(t=0\)일 때 옵션의 가격은 이 시점에서의 포트폴리오의 가치인 \(5$\)이다. 

옵션 가격 결정 공식(The Option pricing formula). 시점 \(t=0\)에서의 주식(일반적으로 위험자산)의 가격을 \(S_{0}\)라 하고, 시점 \(t=T\)에서 주가가 올랐을 때 \(S_{u}\), 내렸을 때 \(S_{d}\), \(f\)는 \(t=T\)에서 유러피언 옵션의 수익함수로 예를들어 콜 옵션일 경우, 다음과 같다.$$f(S_{u})=\max\{S_{u}-K,\,0\},\,f(S_{d})=\max\{S_{d}-K,\,0\}$$그러면 \(t=0\)에서 유러피언 옵션의 가격은 다음과 같고$$E^{Q}(e^{-rT}f(S_{T})),\,f(S_{T})=\begin{cases}f(S_{u})&\,S_{T}=S_{u}\\f(S_{d})&\,S_{T}=S_{d}\end{cases}$$여기서 \(r\)은 금리, \(S_{T}\)는 시점 \(t=T\)에서 주식의 가격이고, 확률측도 \(Q\)는 다음과 같이 주어진다.$$Q=(q_{u},\,q_{d}),\,q_{u}=\frac{S_{0}e^{rT}-S_{u}}{S_{u}-S_{d}},\,q_{d}=\frac{S_{u}-S_{0}e^{rT}}{S_{u}-S_{d}}$$증명: 현재 가격이 한 주에 \(S_{0}\)인 주식에 대한 옵션을 고려하자. 여기서 주식 \(x\)주와 현금 \(y\)을 각가 이에 해당하는 주식과 현금의 양이라고 하면$$f(S_{u})=xS_{u}+ye^{rT},\,f(S_{d})=xS_{d}+ye^{rT}$$이고, 이것을 행렬로 나타내면$$\begin{pmatrix}S_{u}&e^{rT}\\S_{d}&e^{rT}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(S_{u})\\f(S_{d})\end{pmatrix}$$이고$$\begin{align*}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=\frac{1}{(S_{u}-S_{d})e^{rT}}\begin{pmatrix}e^{rT}&-e^{rT}\\-S_{d}&S_{u}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f(S_{u})\\f(S_{d})\end{pmatrix}\\&=\frac{1}{(S_{u}-S_{d})e^{rT}}\begin{pmatrix}e^{rT}(f(S_{u})-f(S_{d}))\\-S_{d}f(S_{u})+S_{u}f(S_{d})\end{pmatrix}\end{align*}$$이므로$$x=\frac{f(S_{u})-f(S_{d})}{S_{u}-S_{d}},\,y=\frac{-S_{d}f(S_{u})+S_{u}f(S_{d})}{(S_{u}-S_{d})e^{rT}}$$이고 다음의 식으로부터 결과를 얻는다.$$\begin{align*}xS_{0}+y&=\frac{f(S_{u})-f(S_{d})}{S_{u}-S_{d}}S_{0}+\frac{S_{u}f(S_{d})-S_{d}f(S_{u})}{(S_{u}-S_{d})e^{rT}}\\&=e^{-rT}\frac{S_{0}e^{rT}\{f(S_{u})-f(S_{d})\}-S_{d}f(S_{u})+S_{u}f(S_{d})}{S_{u}-S_{d}}\\&=e^{-rT}\left(\frac{S_{0}e^{rT}-S_{d}}{S_{u}-S_{d}}f(S_{u})+\frac{S_{u}-S_{0}e^{rT}}{S_{u}-S_{d}}f(S_{d})\right)\\&=E^{Q}(e^{-rT}f(S_{T}))\end{align*}$$   

이 정리에서 주가 \(S_{T}\)에 대한 시장의 여론을 반영하는 시장확률(market probability, 여기서는 주식이 오르고 내릴 확률)과 무관함을 알 수 있다. 또한 확률측도 \(Q\)를 위험중립(risk-neutral)확률측도라고 한다. 주가 \(S_{t}\)에 대한 기댓값을 \(Q\)를 이용해 \(E^{Q}(S_{T})=e^{rT}S_{0}\)라는 결과를 얻는다. 

수익함수 \(\max\{X_{T}-K\}\)를 복제(replicate)하기 위해 \(t=0\)에서 필요한 현금과 주식의 양은 각각 이 정리에서 얻은 \(x\)와 \(y\)이다. 특히 주식의 양은 주가의 증분대비 수익함수의 증분인$$\Delta=\frac{f(S_{u})-f(S_{d})}{S_{u}-S_{d}}=\frac{\Delta f}{\Delta X}$$로 나타낸다. 따라서 옵션 1계약의 리스크를 헤지하기 위해서는 위의 \(\Delta\)(델타) 만큼의 주식을 보유하면 되고, 이와 같은 위험회피 방법을 델타헤징(delta hedging)이라고 한다.  

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사     

금융수학, 김정훈, 교우사