[금융수학] 17. 마팅게일 방법, 델타헤징

[금융수학] 17. 마팅게일 방법, 델타헤징

확률측도 \(P\)에 대해 \(W_{t}\)는 브라운 운동이고, 주가를 나타내는 확률과정 \(\{S_{t}\}_{t\geq0}\)는 다음과 같이 기하 브라운 운동이다.$$dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}$$이 확률미분방정식의 해는 \(\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma W_{t}}\)이고, \(\mu\)와 \(\sigma\)는 상수이다. 

\(r>0\)을 리스크 없는 이자율(무위험 이자율)이라 하고, \(B_{t}=e^{rt}\)를 무위험 예금의 가치, \(\displaystyle\theta=\frac{\mu-r}{\sigma}\)라 하고, \(X_{t}=W_{t}+\theta t\)라 하자. 그러면 확률미분방정식 \(dX_{t}=dW_{t}+\theta dt\)를 얻는다. 

확률측도 \(Q\)를 임의의 \(0\leq t\leq T\)에 대해 다음을 만족하는 측도라고 하자.$$E\left(\frac{dP}{dQ}|\mathcal{F}_{t}\right)=e^{-\frac{1}{2}\theta^{2}t-\theta W_{t}}$$기르사노프 정리에 의해 확률측도 \(P\)와 \(Q\)는 서로 동치이고 \(\{X_{t}\}_{t\geq0}\)는 \(Q\)에 대한 브라운 운동이다. \(\tilde{S_{t}}\)를 \(\tilde{S_{t}}=e^{-rt}S_{t}\)로 정의하고, 이것을 할인된 주가라고 하자. 그러면$$\begin{align*}\tilde{S_{t}}&=S_{0}e^{\left(\mu-r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma W_{t}}\\&=S_{0}e^{\left(\sigma\theta-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma W_{t}}\\&=\tilde{S_{0}}e^{-\frac{1}{2}\sigma^{2}t+\sigma X_{t}}\end{align*}$$이고 따라서 \(\{\tilde{S_{t}}\}_{t\geq0}\)는 \(Q-\)마팅게일이고, 확률미분방정식 \(d\tilde{S_{t}}=\sigma\tilde{S_{t}}dX_{t}\)를 얻는다.

\(C_{T}\)를 시간 \(T\)에서의 수익함수라 하자. \(C_{T}\)는 주가를 나타내는 과정 \(\{S_{t}\}_{0\leq t\leq T}\)에 의존한다. 즉 \(C_{T}\in\mathcal{F}_{T}\)

두 개의 확률과정 \(V_{t}\)와 \(\tilde{V_{t}}\)를 다음과 같이 여과 \(\mathcal{F}_{t}\)에 대한 조건부기댓값을 이용해 정의한다.$$\begin{align*}V_{t}&=E^{Q}(e^{-r(T-t)}C_{T}|\mathcal{F}_{T})\\ \tilde{V_{t}}&=e^{-rt}V_{t}=E^{Q}(e^{-rT}C_{T}|\mathcal{F}_{t})\end{align*}$$이때$$V_{T}=e^{rT}\tilde{V_{T}}=E^{Q}(C_{T}|\mathcal{F}_{T})=C_{T}$$이므로 수익함수의 복제(replication, 주어진 포트폴리오와 같은 가치를 갖는 다른 포트폴리오를 구성하는 것)를 얻는다. 

확률과정 \(\tilde{V_{t}}\)는 \(Q-\)마팅게일이므로 마팅게일 표현정리로부터 예측가능한 과정 \(\{\alpha_{t}\}_{t\geq0}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$\tilde{V_{t}}=\tilde{V_{0}}+\int_{0}^{t}{\alpha_{u}dX_{u}}=\tilde{V_{0}}+\int_{0}^{t}{\frac{\alpha_{u}}{\sigma\tilde{S_{u}}}d\tilde{S}_{u}}$$\(\displaystyle\phi_{t}=\frac{\alpha_{t}}{\sigma\tilde{S_{t}}}\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle\tilde{V_{t}}=\tilde{V_{0}}+\int_{0}^{t}{\phi_{u}d\tilde{S_{u}}}\), 즉 \(d\tilde{V_{t}}=\phi_{t}d\tilde{S_{t}}\)이므로 \(d(e^{-rt}V_{t})=\phi_{t}d(e^{-rt}S_{t})\)이고 따라서$$-re^{-rt}V_{t}dt+e^{-rt}dV_{t}=\phi_{t}(-re^{-rt}S_{t}dt+e^{-rt}dS_{t})$$이고$$-rV_{t}dt+dV_{t}=\phi_{t}(-rS{t}dt+dS_{t})$$이다. 이때 \(e^{-rt}dB_{t}=rdt\)이므로$$dV_{t}=(V_{t}-\phi_{t}S_{t})e^{-rt}dB_{t}+\phi_{t}dS_{t}$$이고 \(\psi_{t}=(V_{t}-\phi_{t}S_{t})e^{-rt}\)라 하자. 그러면 \(V_{t}=\psi_{t}B_{t}+\phi_{t}S_{t}\)이고 \(dV_{t}=\psi_{t}dB_{t}+\phi_{t}dS_{t}\)이므로 \(\psi_{t}\)와 \(\phi_{t}\)는 자체 조달적인(self-financing, 포트폴리오에 추가 자산이 늘거나 줄어들 때 필요한 자금이 자체적으로 조달되어야 함을 뜻한다) 포트폴리오 \(V_{t}\)를 생성한다. 따라서 시간 \(t\)일 때 옵션의 가격은 \(V_{t}\)이다. 

시간 \(t=0\)에서 \(t=T\)까지의 브라운 운동의 경로들의 집합을 \(\Omega\)라 하자. 만기일이 \(T\)이고 수익함수(payoff function)가 \(C_{T}\)인 유러피언 옵션의 \(t=0\)일 때의 가격 \(V_{0}\)는 다음과 같이 \(\Omega\)에서 정의된 확률측도 \(Q\)에 대한 적분이다.$$\begin{align*}V_{0}&=\int_{\Omega}{e^{-rT}C_{T}(S_{T})dQ}\\&=E^{Q}(e^{-rT}C_{T}(S_{T}))\\&=E^{Q}(e^{-rT}C_{T}(e^{-rT}\tilde{S_{T}}))\\&=E^{Q}(e^{-rT}C_{T}(e^{rT}S_{0}e^{\sigma X_{t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}T}))\\&=E^{Q}(e^{-rT}C_{T}(S_{0}e^{\sigma X_{T}+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}))\end{align*}$$여기서 확률과정 \(Z_{t}=S_{0}e^{\sigma X_{t}+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t},\,t\geq0\)는 확률미분방정식 \(dZ_{t}=rZ_{t}dt+\sigma Z_{t}dX_{t}\)를 만족하고 따라서 \(Q\)를 이용해 적분하는 방법은 헤지를 고려하지 않고 \(\mu=r\)로 놓고 구한 \(S_{t}\)의 경로를 이용해 \(C_{T}(S_{T})\)의 할인된 기댓값을 확률측도 \(P\)에 대해 구하는 것과 같다. 즉$$V_{0}=E^{P}(e^{rT}C_{T}(S_{0}e^{\sigma X_{t}+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}))$$이 방법을 마팅게일 방법 또는 위험중립(risk-neutral)방법이라고 한다.

구체적으로 만기일이 \(T\), 만기일의 자산가격이 \(S_{T}\), 수익함수가 \(C_{T}(S_{T})\)로 주어진 유러피언 옵션인 경우, 자산가격 \(S_{t}\)가 기하 브라운 운동을 하면 \(S_{T}=e^{\sigma W_{T}+\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}\)으로 주어지고, \(x=S_{T}\)라고 하면$$\frac{\displaystyle\ln\frac{x}{S_{0}}-\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}{\sigma}=W_{T}\,\sim\,N(0,\,T)$$이다. 확률변수 \(W_{T}\)가 갖는 값을 \(y\)라고 하면 \(y\)의 확률밀도함수는$$f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi T}}e^{-\frac{1}{2T}\left(\frac{\ln\frac{x}{S_{0}}-\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}{\sigma}\right)^{2}}$$이고 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sigma x}\)이므로 옵션의 가격은 다음과 같다.$$\begin{align*}e^{-rT}E(C_{T}(S_{T}))&=e^{-rT}\int_{0}^{T}{C_{T}(x)f(y((x))\frac{dy}{dx}dx}\\&=e^{-rT}\int_{0}^{\infty}{\frac{C_{T}(x)}{x\sigma\sqrt{2\pi T}}e^{-\frac{\left(\ln\frac{x}{S_{0}}-\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T\right)^{2}}{2T\sigma^{2}}}dx}\end{align*}$$리스크 중립(위험중립)방법을 이용하기 위해 \(\mu=r\)이라고 하면 옵션의 가격은 다음과 같다.$$e^{-rT}\int_{0}^{\infty}{\frac{C_{T}(x)}{x\sigma\sqrt{2\pi T}}e^{-\frac{\left(\ln\frac{x}{S_{0}}-\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T\right)^{2}}{2T\sigma^{2}}}dx}$$유러피언 콜 옵션의 가격을 구하자. 여기서 \(Z\)는 표준정규분포 확률변수이다.$$\begin{align*}V_{0}&=e^{-rT}E^{Q}(C_{T}(S_{T}))\\&=e^{-rT}E^{Q}(C_{T}(e^{rT}\tilde{S_{T}}))\\&=e^{-rT}E^{Q}(C_{T}(e^{rT}S_{0}e^{\sigma X_{T}-\frac{1}{2}\sigma^{2}T}))\\&=e^{-rT}E^{Q}(C_{T}(S_{0}e^{\sigma\sqrt{T}Z+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}))\\&=e^{-rT}\int_{-\infty}^{\infty}{C_{T}(S_{0}e^{\sigma\sqrt{T}x+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx}\end{align*}$$여기서 행사가격이 \(K\)로 주어진 유러피언 콜옵션을 생각하면 적분영역은 \(\{x\,|\,S_{0}e^{\sigma\sqrt{T}x+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}\geq K\}\)이고$$x\geq x_{0}=\frac{\displaystyle\ln\frac{K}{S_{0}}-\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}$$이고 앞에서의 적분을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$e^{-rT}\int_{x_{0}}^{\infty}{(S_{0}e^{\sigma\sqrt{T}x+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}-K)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx}$$여기서$$d_{1}=\frac{\displaystyle\ln\frac{S_{0}}{K}+\left(r+\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}},\,d_{2}=\frac{\displaystyle\ln\frac{S_{0}}{K}+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}$$라 하고 \(y=-x\)라 하면 \(dy=-dx\)이고$$\begin{align*}&e^{-rT}\int_{-\infty}^{d_{2}}{(S_{0}e^{-\sigma\sqrt{T}y+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)T})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^{2}}{2}}dy}\\&=S_{0}\int_{-\infty}^{d_{2}}{e^{-\sigma\sqrt{T}y-\frac{1}{2}\sigma^{2}T}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^{2}}{2}}dy}-Ke^{-rT}\int_{-\infty}^{d_{2}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^{2}}{2}}dy}\end{align*}$$이며 이때$$\begin{align*}&\int_{-\infty}^{d_{2}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\sigma\sqrt{T}y-\frac{1}{2}\sigma^{2}T-\frac{y^{2}}{2}}dy}\\&=\int_{-\infty}^{d_{2}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(y+\sigma\sqrt{T})^{2}}{2}}dy}\\&=\Phi(d_{2}+\sigma\sqrt{T})\\&=\Phi(d_{1})\end{align*}$$이므로 옵션의 가격을 나타내는 원래의 적분은$$S_{0}\Phi(d_{1})-Ke^{-rT}\Phi(d_{2})$$이고 이것은 블랙-숄즈 방정식의 해와 같은 것이다.

마팅게일 방법을 이용한 블랙-숄즈 방정식의 유도

시간이 \(t\)일 때 옵션의 가격을 \(V_{t}\), 수익 함수를 \(C_{T}(S_{T})\)라 하자. 함수 \(F:[0,\,T]\times[0,\,\infty)\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 \(V_{t}(\omega)=F(t,\,S_{t}(\omega))\)를 만족하면$$\begin{align*}F(t,\,x)&=E^{Q}(e^{-r(T-t)}C_{T}(S_{T})|\mathcal{F}_{t})\\&=E^{Q}(e^{-r(T-t)}C_{T}(S_{T})|S_{t}=x)\end{align*}$$이고, \(X_{t}\)는 \(Q-\)브라운 운동이며 다음이 성립한다.$$\begin{align*}dS_{t}&=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}\\&=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}(dX_{t}-\theta dt)\\&=(\mu-\sigma\theta)S_{t}dt+\sigma S_{t}dX_{t}\\&=rS_{t}+\sigma S_{t}dX_{t}\end{align*}$$여기서$$\begin{align*}G(t,\,x)&=E^{Q}(C_{T}(S_{T})|\mathcal{F}_{t})\\&=E^{Q}(C_{T}(S_{T})|S_{t}=x)\end{align*}$$라고 하면 \(G(t,\,x)=e^{r(T-t)}F(t,\,x)\)이고 \(G(t,\,x)\)에 대해 파인만-칵 공식을 적용하면$$\frac{\partial}{\partial t}(e^{r(T-t)}F(x,\,t))|_{x=S_{t}}+rS_{t}\frac{\partial}{\partial x}(e^{r(T-t)}F(t,\,x))|_{x=S_{t}}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S_{t}^{2}(e^{r(T-t)}F(t,\,x))|_{x=S_{t}}=0$$이고 위 식의 양변을 \(e^{rT}\)로 나눈 다음 미분하고 \(e^{rt}\)를 곱한 후 정리하면$$-rF(t,\,S_{t})+\frac{\partial F(t,\,x)}{\partial t}|_{x=S_{t}}+rS_{t}\frac{\partial F(t,\,x)}{\partial x}|_{x=S_{t}}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S_{t}^{2}\frac{\partial^{2}F(t,\,x)}{\partial x^{2}}|_{x=S_{t}}=0$$이고 \(S_{t}\)는 임의의 값을 가지므로 다음의 식을 얻고,$$-rF(x,\,t)+\frac{\partial F(t,\,x)}{\partial t}+rx\frac{\partial F(t,\,x)}{\partial x}+\frac{1}{2}\sigma^{2}x^{2}\frac{\partial^{2}F(t,\,x)}{\partial x^{2}}=0$$이것은 블랙-숄즈 방정식이다.   

헤징을 위해 \(d\tilde{V_{t}}=\phi_{t}\tilde{dS_{t}}\)를 만족하는 \(\phi_{t}\)를 구하자. \(\phi_{t}\)는 옵션의 델타이다. 

\(\tilde{F}(t,\,x)=e^{-rt}F(t,\,xe^{rt})\)라 하면 블랙-숄즈 방정식으로부터$$\begin{align*}\frac{\partial\tilde{F}}{\partial t}(t,\,x)&=-re^{-rt}F(t,\,xe^{rt})+e^{-rt}\left\{\frac{\partial F}{\partial t}(t,\,xe^{rt})+\frac{\partial F}{\partial x}(t,\,xe^{rt})rxe^{rt}\right\}\\&=e^{-rt}\left\{-rF(t,\,xe^{rt})+\frac{\partial F}{\partial t}(t,\,xe^{rt})+rxe^{rt}\frac{\partial F}{\partial x}(t,\,xe^{rt})\right\}\\&=e^{rt}\left\{-\frac{1}{2}\sigma^{2}x^{2}e^{2rt}\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}(t,\,xe^{rt})\right\}\\&=-\frac{1}{2}\sigma^{2}x^{2}e^{rt}\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}(t,\,xe^{rt})\\&=-\frac{1}{2}\sigma^{2}x^{2}\frac{\partial^{2}\tilde{F}}{\partial x^{2}}(t,\,x)\end{align*}$$이고 \(d\tilde{S_{t}}=\sigma\tilde{S_{t}}dX_{t}\)로부터 \((d\tilde{S_{t}})^{2}=\sigma^{2}\tilde{S_{t}^{2}}dt\)이고, 이토 공식을 \(\tilde{F}(t,\,\tilde{S_{t}})\)에 적용하면$$\begin{align*}d\tilde{F}(t,\,\tilde{S_{t}})&=\frac{\partial\tilde{F}}{\partial t}(t,\,\tilde{S_{t}})dt+\frac{\partial\tilde{F}}{\partial x}(t,\,\tilde{S_{t}})d\tilde{S_{t}}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\tilde{F}}{\partial x^{2}}(t,\,\tilde{S_{t}})\sigma^{2}\tilde{S_{t}^{2}}dt\\&=\frac{\partial\tilde{F}}{\partial x}(t,\,\tilde{S_{t}})d\tilde{S_{t}}\end{align*}$$를 얻는다.$$\tilde{V_{t}}=e^{-rt}V_{t}=e^{-rt}F(t,\,S_{t})=\tilde{F}t,\,e^{-rt}S_{t})=\tilde{F}(t,\,\tilde{S_{t}})$$이므로$$d\tilde{V_{t}}=d\tilde{F}(t,\,\tilde{S_{t}})=\frac{\partial\tilde{F}}{\partial x}(t,\,\tilde{S_{t}})d\tilde{S_{t}}$$이고 따라서$$\Delta=\phi_{t}=\frac{\partial\tilde{F}}{\partial x}(t,\,\tilde{S_{t}})=\frac{\partial F}{\partial x}(t,\,S_{t})$$이다. 이 과정을 델타 헤징(delta hedging)이라고 하고, 이 옵션 계약의 리스크를 헤지하기 위해서 \(\Delta\)(델타)만큼의 주식을 보유하면 됨을 뜻한다. 

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사  

금융수학, 김정훈, 교우사