[금융수학] 17. 마팅게일 방법, 델타헤징
확률측도 P에 대해 Wt는 브라운 운동이고, 주가를 나타내는 확률과정 {St}t≥0는 다음과 같이 기하 브라운 운동이다.dSt=μStdt+σStdWt이 확률미분방정식의 해는 St=S0e(μ−12σ2)t+σWt이고, μ와 σ는 상수이다.
r>0을 리스크 없는 이자율(무위험 이자율)이라 하고, Bt=ert를 무위험 예금의 가치, θ=μ−rσ라 하고, Xt=Wt+θt라 하자. 그러면 확률미분방정식 dXt=dWt+θdt를 얻는다.
확률측도 Q를 임의의 0≤t≤T에 대해 다음을 만족하는 측도라고 하자.E(dPdQ|Ft)=e−12θ2t−θWt기르사노프 정리에 의해 확률측도 P와 Q는 서로 동치이고 {Xt}t≥0는 Q에 대한 브라운 운동이다. ~St를 ~St=e−rtSt로 정의하고, 이것을 할인된 주가라고 하자. 그러면~St=S0e(μ−r−12σ2)t+σWt=S0e(σθ−12σ2)t+σWt=~S0e−12σ2t+σXt이고 따라서 {~St}t≥0는 Q−마팅게일이고, 확률미분방정식 d~St=σ~StdXt를 얻는다.
CT를 시간 T에서의 수익함수라 하자. CT는 주가를 나타내는 과정 {St}0≤t≤T에 의존한다. 즉 CT∈FT
두 개의 확률과정 Vt와 ~Vt를 다음과 같이 여과 Ft에 대한 조건부기댓값을 이용해 정의한다.Vt=EQ(e−r(T−t)CT|FT)~Vt=e−rtVt=EQ(e−rTCT|Ft)이때VT=erT~VT=EQ(CT|FT)=CT이므로 수익함수의 복제(replication, 주어진 포트폴리오와 같은 가치를 갖는 다른 포트폴리오를 구성하는 것)를 얻는다.
확률과정 ~Vt는 Q−마팅게일이므로 마팅게일 표현정리로부터 예측가능한 과정 {αt}t≥0가 존재해서 다음이 성립한다.~Vt=~V0+∫t0αudXu=~V0+∫t0αuσ~Sud˜Suϕt=αtσ~St라 하자. 그러면 ~Vt=~V0+∫t0ϕud~Su, 즉 d~Vt=ϕtd~St이므로 d(e−rtVt)=ϕtd(e−rtSt)이고 따라서−re−rtVtdt+e−rtdVt=ϕt(−re−rtStdt+e−rtdSt)이고−rVtdt+dVt=ϕt(−rStdt+dSt)이다. 이때 e−rtdBt=rdt이므로dVt=(Vt−ϕtSt)e−rtdBt+ϕtdSt이고 ψt=(Vt−ϕtSt)e−rt라 하자. 그러면 Vt=ψtBt+ϕtSt이고 dVt=ψtdBt+ϕtdSt이므로 ψt와 ϕt는 자체 조달적인(self-financing, 포트폴리오에 추가 자산이 늘거나 줄어들 때 필요한 자금이 자체적으로 조달되어야 함을 뜻한다) 포트폴리오 Vt를 생성한다. 따라서 시간 t일 때 옵션의 가격은 Vt이다.
시간 t=0에서 t=T까지의 브라운 운동의 경로들의 집합을 Ω라 하자. 만기일이 T이고 수익함수(payoff function)가 CT인 유러피언 옵션의 t=0일 때의 가격 V0는 다음과 같이 Ω에서 정의된 확률측도 Q에 대한 적분이다.V0=∫Ωe−rTCT(ST)dQ=EQ(e−rTCT(ST))=EQ(e−rTCT(e−rT~ST))=EQ(e−rTCT(erTS0eσXt−12σ2T))=EQ(e−rTCT(S0eσXT+(r−12σ2)T))여기서 확률과정 Zt=S0eσXt+(r−12σ2)t,t≥0는 확률미분방정식 dZt=rZtdt+σZtdXt를 만족하고 따라서 Q를 이용해 적분하는 방법은 헤지를 고려하지 않고 μ=r로 놓고 구한 St의 경로를 이용해 CT(ST)의 할인된 기댓값을 확률측도 P에 대해 구하는 것과 같다. 즉V0=EP(erTCT(S0eσXt+(r−12σ2)T))이 방법을 마팅게일 방법 또는 위험중립(risk-neutral)방법이라고 한다.
구체적으로 만기일이 T, 만기일의 자산가격이 ST, 수익함수가 CT(ST)로 주어진 유러피언 옵션인 경우, 자산가격 St가 기하 브라운 운동을 하면 ST=eσWT+(μ−12σ2)T으로 주어지고, x=ST라고 하면lnxS0−(μ−12σ2)Tσ=WT∼N(0,T)이다. 확률변수 WT가 갖는 값을 y라고 하면 y의 확률밀도함수는f(y)=1√2πTe−12T(lnxS0−(μ−12σ2)Tσ)2이고 dydx=1σx이므로 옵션의 가격은 다음과 같다.e−rTE(CT(ST))=e−rT∫T0CT(x)f(y((x))dydxdx=e−rT∫∞0CT(x)xσ√2πTe−(lnxS0−(μ−12σ2)T)22Tσ2dx리스크 중립(위험중립)방법을 이용하기 위해 μ=r이라고 하면 옵션의 가격은 다음과 같다.e−rT∫∞0CT(x)xσ√2πTe−(lnxS0−(r−12σ2)T)22Tσ2dx유러피언 콜 옵션의 가격을 구하자. 여기서 Z는 표준정규분포 확률변수이다.V0=e−rTEQ(CT(ST))=e−rTEQ(CT(erT~ST))=e−rTEQ(CT(erTS0eσXT−12σ2T))=e−rTEQ(CT(S0eσ√TZ+(r−12σ2)T))=e−rT∫∞−∞CT(S0eσ√Tx+(r−12σ2)T)1√2πe−x22dx여기서 행사가격이 K로 주어진 유러피언 콜옵션을 생각하면 적분영역은 {x|S0eσ√Tx+(r−12σ2)T≥K}이고x≥x0=lnKS0−(r−12σ2)Tσ√T이고 앞에서의 적분을 다음과 같이 나타낼 수 있다.e−rT∫∞x0(S0eσ√Tx+(r−12σ2)T−K)1√2πe−x22dx여기서d1=lnS0K+(r+12σ2)Tσ√T,d2=lnS0K+(r−12σ2)Tσ√T라 하고 y=−x라 하면 dy=−dx이고e−rT∫d2−∞(S0e−σ√Ty+(r−12σ2)T)1√2πe−y22dy=S0∫d2−∞e−σ√Ty−12σ2T1√2πe−y22dy−Ke−rT∫d2−∞1√2πe−y22dy이며 이때∫d2−∞1√2πe−σ√Ty−12σ2T−y22dy=∫d2−∞1√2πe−(y+σ√T)22dy=Φ(d2+σ√T)=Φ(d1)이므로 옵션의 가격을 나타내는 원래의 적분은S0Φ(d1)−Ke−rTΦ(d2)이고 이것은 블랙-숄즈 방정식의 해와 같은 것이다.
마팅게일 방법을 이용한 블랙-숄즈 방정식의 유도
시간이 t일 때 옵션의 가격을 Vt, 수익 함수를 CT(ST)라 하자. 함수 F:[0,T]×[0,∞)→R가 Vt(ω)=F(t,St(ω))를 만족하면F(t,x)=EQ(e−r(T−t)CT(ST)|Ft)=EQ(e−r(T−t)CT(ST)|St=x)이고, Xt는 Q−브라운 운동이며 다음이 성립한다.dSt=μStdt+σStdWt=μStdt+σSt(dXt−θdt)=(μ−σθ)Stdt+σStdXt=rSt+σStdXt여기서G(t,x)=EQ(CT(ST)|Ft)=EQ(CT(ST)|St=x)라고 하면 G(t,x)=er(T−t)F(t,x)이고 G(t,x)에 대해 파인만-칵 공식을 적용하면∂∂t(er(T−t)F(x,t))|x=St+rSt∂∂x(er(T−t)F(t,x))|x=St+12σ2S2t(er(T−t)F(t,x))|x=St=0이고 위 식의 양변을 erT로 나눈 다음 미분하고 ert를 곱한 후 정리하면−rF(t,St)+∂F(t,x)∂t|x=St+rSt∂F(t,x)∂x|x=St+12σ2S2t∂2F(t,x)∂x2|x=St=0이고 St는 임의의 값을 가지므로 다음의 식을 얻고,−rF(x,t)+∂F(t,x)∂t+rx∂F(t,x)∂x+12σ2x2∂2F(t,x)∂x2=0이것은 블랙-숄즈 방정식이다.
헤징을 위해 d~Vt=ϕt~dSt를 만족하는 ϕt를 구하자. ϕt는 옵션의 델타이다.
˜F(t,x)=e−rtF(t,xert)라 하면 블랙-숄즈 방정식으로부터∂˜F∂t(t,x)=−re−rtF(t,xert)+e−rt{∂F∂t(t,xert)+∂F∂x(t,xert)rxert}=e−rt{−rF(t,xert)+∂F∂t(t,xert)+rxert∂F∂x(t,xert)}=ert{−12σ2x2e2rt∂2F∂x2(t,xert)}=−12σ2x2ert∂2F∂x2(t,xert)=−12σ2x2∂2˜F∂x2(t,x)이고 d~St=σ~StdXt로부터 (d~St)2=σ2~S2tdt이고, 이토 공식을 ˜F(t,~St)에 적용하면d˜F(t,~St)=∂˜F∂t(t,~St)dt+∂˜F∂x(t,~St)d~St+12∂2˜F∂x2(t,~St)σ2~S2tdt=∂˜F∂x(t,~St)d~St를 얻는다.~Vt=e−rtVt=e−rtF(t,St)=˜Ft,e−rtSt)=˜F(t,~St)이므로d~Vt=d˜F(t,~St)=∂˜F∂x(t,~St)d~St이고 따라서Δ=ϕt=∂˜F∂x(t,~St)=∂F∂x(t,St)이다. 이 과정을 델타 헤징(delta hedging)이라고 하고, 이 옵션 계약의 리스크를 헤지하기 위해서 Δ(델타)만큼의 주식을 보유하면 됨을 뜻한다.
참고자료:
금융수학의 방법론, 최건호, 경문사
금융수학, 김정훈, 교우사
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