[금융수학] 18. 마팅게일 방법의 적용사례

[금융수학] 18. 마팅게일 방법의 적용사례

외국환(foreign exchange)

외국환의 거래에는 환율변동에 의한 리스크가 따른다. 미래 시점에 외국환 거래를 할 때 발생할 수 있는 리스크를 줄이기 위해 선도계약(forward contact)을 하려면 이 계약에서 미래의 시점의 환율을 정해야 하고, 얼마로 정해야 공평할 지는 마팅게일 방법으로 해결할 수 있다. 

대한민국 외환 시장에서 달러를 원화를 기준으로 거래하는 경우를 고려하자. 시간을 $t$로 나타낼 때 상수 $r$과 $u$에 대해 원화 채권의 가격은 $B_{t}=e^{rt}$, 달러화 채권의 가격은 $D=e^{ut}$이다. 1달러의 가치를 원화로 표기한 것이 환율(exchange rate) $E_{t}$인데 상수 $\nu$와 $\sigma$에 대하여 식 $E_{t}=E_{0}e^{\nu t+\sigma W_{t}}$($W_{t}$는 브라운 운동)를 만족한다고 가정한다. 즉 $$dE_{t}=\left(\nu+\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)E_{t}dt+\sigma E_{t}dW_{t}$$ 환율 자체는 거래대상이 아니나 1달러 채권의 원화가격 $S_{t}=E_{t}D_{t}$는 대한민국 시장에서 거래가능(tradable)하므로 마팅게일 방법을 적용할 수 있다.

$S_{t}=E_{t}D_{t}=e^{(\nu+u)t+\sigma W_{t}}$이므로 $\{S_{t}\}_{t\geq0}$는 기하 브라운 운동을 한다. 즉 $$dS_{t}=\left(\nu+u+\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}$$ $\displaystyle\theta=\frac{\nu+u+\frac{1}{2}\sigma^{2}-r}{\sigma}$라 하자. 시간 $0\leq t\leq T$에서 정의된 브라운 운동의 경로들로 이루어진 확률공간 $(\Omega,\,\mathcal{F}_{T})$에서 정의된 다음의 가측함수와 새로운 확률측도 $Q$를 라돈-니코딤 도함수를 이용해 다음과 같이 정의한다. $$\frac{dQ}{dP}=e^{-\theta W_{T}-\frac{1}{2}\theta^{2}T}$$ 이 경우 만기일 이전 시간 $t$에서의 여과 $\mathcal{F}_{t}$에 대해 $$E\left(\frac{dQ}{dP}|\mathcal{F}_{t}\right)=e^{-\theta W_{t}-\frac{1}{2}\theta^{2}t}$$ 이고 $X_{t}=W_{t}+\theta t$라 하면 $\{X_{t}\}_{t\geq0}$는 $Q-$브라운 운동이고, $\tilde{S_{t}}=e^{-rt}S_{t}$는 $Q-$마팅게일이다. 

환율의 선도계약. 미래의 시간 $T$에 달러화를 거래하려는 선도계약을 고려하자.

(i) 이 계약에서 거래하는 서로에게 공평한 환율은 $K=e^{(r-u)T}E_{0}$이고, 여기서 $E_{0}$는 $t=0$일 때의 환율이다.

(ii) 이 선도계약에 대한 헤징 포트폴리오는 $\phi_{t}=e^{-uT}$만큼의 달러화 표시 채권과 $\psi_{t}=-e^{-uT}E_{0}$만큼의 원화 표시 채권을 보요하는 것이다(*$\phi_{t}$와 $\psi_{t}$는 $t$에 대한 상수함수이다).

증명:

(i): 시간 $T$일 때 1달러를 $K$원에 구입하는 선도계약을 고려하자. 이 선도계약의 수익함수는 $C_{T}=E_{T}-K$로 주어지고 따라서 시간 $t$일 때의 계약의 가치는 다음과 같다 $$\begin{align*}V_{t}&=E^{Q}(e^{-r(T-t)}C_{T}|\mathcal{F}_{t})\\&=E^{Q}(e^{-r(T-t)}(E_{T}-K)|\mathcal{F}_{t})\\&=e^{-r(T-t)}(E^{Q}(E_{T}|\mathcal{F}_{t})-K)\end{align*}$$ 선도계약은 $t=0$일 때 비용이 들지 않으므로 $V_{0}=0$이고 따라서 $E^{Q}(E_{T}|\mathcal{F}_{0})-K=0$이고 $$\begin{align*}E_{t}&=E_{0}e^{\nu t+\sigma W_{t}}\\&=E_{0}e^{\nu t+\sigma\left(X_{t}-\frac{\nu+u+\frac{1}{2}\sigma^{2}-r}{\sigma}t\right)}\\&=E_{0}e^{\sigma X_{t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}t+(r-u)t}\end{align*}$$ 이다. 그러면 $$\begin{align*}E^{Q}(E_{T}|\mathcal{F}_{t})&=E_{0}e^{(r-u)T}E^{Q}\left(e^{\sigma X_{T}-\frac{1}{2}\sigma^{2}T}|\mathcal{F}_{t}\right)\\&=E_{0}e^{(r-u)T}e^{\sigma X_{t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}t}\end{align*}$$ 이고 따라서 $K=E^{Q}(E_{T}|\mathcal{F}_{0})=E_{0}e^{(r-u)T}$이다. 

(ii) 다음의 등식이 성립한다. $$\begin{align*}\tilde{V_{t}}&=e^{-rt}V_{t}\\&=E^{Q}(e^{-rT}(E_{T}-e^{(r-u)T}E_{0})|\mathcal{F}_{t})\\&=e^{-rT}E^{Q}(E_{T}|\mathcal{F}_{t})-e^{-uT}E_{0}\\&=E_{0}e^{-uT}e^{\sigma X_{t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}t}-e^{-uT}E_{0}\\&=e^{-uT}E_{t}e^{-(r-u)t}-e^{-uT}E_{0}\\&=e^{-uT}\tilde{S_{t}}-e^{-uT}E_{0}\end{align*}$$ $d\tilde{V_{t}}=e^{-uT}d\tilde{S_{t}}$이므로 $\phi_{t}=e^{-uT}$이고 $\psi_{t}=\tilde{V_{t}}-\phi_{t}\tilde{S_{t}}=-e^{-uT}E_{0}$이다. 

외환거래 문제에 있어서 기준 통화의 채택

뉴머레어(numeraire)는 통화 교환 비율 기준을 뜻하는 프랑스어로, 다른 모든 자산의 가치를 정하는 기준이 되는 자산이다. 여기서는 모든 것을 달러화의 관점에서 고려하겠다. 

달러화 시장에서 무위험 채권가격이 $D_{t}=e^{\mu t}$이고, 원화를 달러화로 환산한 값은 $\displaystyle Z_{t}=\frac{E_{t}}{B_{t}}$이다. 달러화 금리에 의해 할인된 원화 가격은 다음과 같고, $$\begin{align*}\tilde{Z_{t}}&=D_{t}^{-1}Z_{t}=D_{t}^{-1}E_{t}^{-1}B_{t}\\&=\frac{1}{E_{0}}e^{-\sigma W_{t}-(\nu+u-r)t}\end{align*}$$ 새로운 확률측도 $Q'$을 다음과 같이 정의하자. $$\frac{dQ'}{dP}|{\mathcal{F}_{t}}=e^{-\lambda W_{t}-\frac{1}{2}\lambda^{2}t}$$ 여기서 $$\lambda=\frac{-(\nu+u-r)+\frac{1}{2}(-\sigma)^{2}}{-\sigma}=\frac{\nu+u-r-\frac{1}{2}\sigma^{2}}{\sigma}$$ 이다. $\{Z_{t}\}_{t\geq0}$는 $Q'$에 대해 마팅게일이고 $X_{t}'=W_{t}+\lambda t$는 $Q'-$브라운 운동이다. 

달러화의 관점에서 옵션의 가격은 $V_{t}=E^{Q'}(e^{-u(T-t)}E_{T}^{-1}C_{T}|\mathcal{F}_{t})$이고 $V_{t}'$을 원화로 환산하면 $$E_{t}V_{t}'=E_{t}e^{-u(T-t)}E^{Q'}(E_{T}^{-1}C_{T}|\mathcal{F}_{T})$$ 이고, $\displaystyle\theta=\frac{\nu+u+\frac{1}{2}\sigma^{2}-r}{\sigma}$이므로 $$\begin{align*}X_{t}'&=W_{t}+\frac{\nu+u-r-\frac{1}{2}\sigma^{2}}{\sigma}t\\&=X_{t}-\theta t+\frac{\nu+u-r-\frac{1}{2}\sigma^{2}}{\sigma}t\\&=X_{t}-\sigma t\end{align*}$$ 이다. 여기서 $Q-$마팅게일 $X_{t}$를 $-\sigma t$만큼 평행이동한 것이 $Q'-$마팅게일이므로 기르사노프 정리로부터 $$\frac{dQ'}{dQ}|_{\mathcal{F}_{t}}=e^{-(-\sigma)X_{t}-\frac{1}{2}(-\sigma)^{2}t}=e^{\sigma X_{t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}t}$$ 이다. $\displaystyle M_{t}=\frac{dQ'}{dQ}|_{\mathcal{F}_{t}}$라 하면 $$\begin{align*}E_{t}&=E_{0}e^{\nu t+\sigma W_{t}}\\&=E_{0}e^{\sigma X_{t}-\left(u+\frac{1}{2}\sigma^{2}-r\right)t}\\&=E_{0}e^{\sigma X_{t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}t+(r-u)t}\\&=E_{0}M_{t}e^{(r-u)t}\\&=E_{0}M_{t}B_{t}D_{t}^{-1}\end{align*}$$ 이다. 일반적으로 $$\int_{X}{X(\omega)dQ'}=\int_{\Omega}{X(\omega)\frac{dQ'}{dQ}(\omega)dQ}$$ 이고, 부분 $\sigma-$체들로 이루어진 여과 $\mathcal{F}_{t}\subset\mathcal{F}_{T}$에 대한 조건부기댓값을 구할 때 $\displaystyle M_{t}=\frac{dQ'}{dQ}|_{\mathcal{F}_{t}}$라 하면 다음이 성립한다. $$E^{Q'}(X|\mathcal{F}_{t})=M_{t}^{-1}E^{Q}(XM_{T}|\mathcal{F}_{t})$$ 따라서 옵션의 원화 가치는 옵션 가격공식에서 확률측도를 $Q'$에서 $Q$로 바꾸면 다음과 같다. $$\begin{align*}&E_{t}V_{t}'\\&=E_{t}e^{-u(T-t)}M_{t}^{-1}E^{Q}(E_{T}^{-1}C_{T}M_{T}|\mathcal{F}_{t})\\&=e^{-u(T-t)}B_{t}D_{t}^{-1}E^{Q}(C_{T}B_{T}^{-1}D_{T}|\mathcal{F}_{t})\\&=B_{t}E^{Q}(C_{T}B_{T}^{-1}|\mathcal{F}_{t})\\&=E^{Q}(e^{-r(T-t)}C_{T}|\mathcal{F}{t})\\&=V_{t}\end{align*}$$ 결론적으로 기준이 되는 통화(뉴머레어)를 어느 것으로 선택하든지 아무 문제가 없다.     

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사