[금융수학] 10. 확률과정, 브라운운동

[금융수학] 10. 확률과정, 브라운운동

시간과 불확실성은 수학에서 시간의 흐름(process, sequence)과 확률(probability, randomness/risk)이라는 형태로 표현되고, 그 결과 확률과정(stochastic process)이 금융수학의 언어가 되었다. 

$(X,\,\mathcal{F},\,P)$를 표본공간이라고 하자. 

(여과, filtration) $A\subset[0,\,\infty]$일 때, 확률공간 $(\Omega,\,\mathcal{F})$에 정의된 부분 $\sigma-$체를 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in A}$라 하자. $s\leq t$인 $s,\,t\in A$에 대하여 $$\mathcal{F}_{s}\subset\mathcal{F}_{t}\subset\mathcal{F}$$ 이면, $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in A}$를 여과라고 한다. 여기서의 첨자 $t$는 일반적으로 시간을 나타낸다.   

(확률과정, stochastic process) $t\in A$에 의해 순서가 매겨진 확률변수 $$X_{t}:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$$ 들의 집합족을 확률과정이라고 한다. $A\subset\mathbb{N}\cup\{0\}$이면 이산확률과정, $A$가 구간이면 연속확률과정이라고 한다. 각각의 $\omega\in\Omega$에 대해 $t\,\mapsto\,X_{t}(\omega)$를 표본경로(sample path)라고 한다. 

(적응, adapted) 확률공간 $(\Omega,\,\mathcal{F})$에 정의된 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in A}$에 대해 확률과정 $\{X_{t}\}_{t\in A}$가 존재해서 임의의 $t$에 대해 $X_{t}$가 $\mathcal{F}_{t}-$가측이면 $\{X_{t}\}_{t\in A}$는 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in A}$에 적응되어 있다고 한다.  

(예측가능성, predictable/previsible) 확률과정 $\{X_{t}\}_{t\geq0}$이 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$에 적응되어 있을 때, 모든 $t$에 대해 $X_{t}$가 부분 $\sigma-$대수 $\displaystyle\bigcup_{s<t}{\mathcal{F}_{s}}$에 적응되어 있다면, $\{X_{t}\}_{t\geq0}$는 예측가능하다고 한다.  

(마팅게일, martingale) 확률과정 $\{X_{t}\}_{t\in A}$가 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in A}$에 적응되어 있고, 모든 $t$에 대해 $X_{t}:(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 적분가능하다($E(|X_{t}|)<\infty$)고 하자. 임의의 $s\leq t$에 대해 $$X_{s}=E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})$$ 이면, $\{X_{t}\}_{t\in A}$를 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in A}$에 대한 마팅게일이라고 한다.

대칭 랜덤워크(symmetric random walk)를 $Y_{n}$이라 하자. 즉 $Z_{1},\,...,\,Z_{n}$을 서로 독립이고 동일한 확률분포 $$P(Z_{n}=1)=P(Z_{n}=-1)=\frac{1}{2}$$ 를 갖는 확률변수라고 할 때 $$Y_{n}=Z_{1}+\cdots+Z_{n}$$ 이다. 이때 확률과정 $Y_{n}^{2}-n$은 여과 $\sigma(Z_{1},\,...,\,Z_{n})$에 대해 마팅게일이다.

증명: $$\begin{align*}E(Y_{n+1}^{2}-(n+1)|\mathcal{F}_{n})&=E((Y_{n}+Z_{n+1})^{2}-(n+1)|\mathcal{F}_{n})\\&=E(Y_{n}^{2}+2Y_{n}Z_{n}+Z_{n+1}^{2}-(n+1)|\mathcal{F}_{n})\\&=E(Y_{n}^{2}+2Y_{n}Z_{n}+1-(n+1)|\mathcal{F}_{n})\\&=E(Y_{n}^{2}+2Y_{n}Z_{n+1}-n|\mathcal{F}_{n})\\&=E(Y_{n}^{2}|\mathcal{F}_{n})+E(2Y_{n}Z_{n+1}|\mathcal{F}_{n})-E(n|\mathcal{F}_{n})\\&=Y_{n}^{2}+2Y_{n}E(Z_{n+1}|\mathcal{F}_{n})-n\\&=Y_{n}^{2}-n\end{align*}$$ 위의 마지막 식에서 $Z_{n+1}$과 $\mathcal{F}_{n}$는 서로 독립이므로 $E(Z_{n+1}|\mathcal{F}_{n})=0$이다. 

대칭 랜덤워크의 연속적 극한(continuous limit)은 브라운 운동 $W_{t}$이다. 따라서 $Y_{n}^{2}-n$이 마팅게일이라는 사실은 $W_{t}^{2}-t$가 마팅게일이라는 사실로 이어진다. 

표본공간 $(\Omega,\,\mathcal{F}_{T},\,P)$에 대해 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{0\leq t\leq T}$와 $\mathcal{F}_{T}-$가측인 확률변수 $X$가 주어졌다고 하자. $$X_{t}=E(X|\mathcal{F}_{t})$$ 라고 하면 $\{X_{t}\}_{0\leq t\leq T}$는 마팅게일이다. 

증명: 젠센의 부등식에 의해 $$|X_{t}|=|E(X|\mathcal{F}_{t})|\leq E(|X||\mathcal{F}_{t})$$ 이 성립하므로 $$E(|X_{t}|)\leq E(E(|X||\mathcal{F}_{t}))=E(|X|)<\infty$$ 이다. 그리고 조건부기댓값의 tower property(성질 iii)에 의해 $s<t$일 때 $$E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=E(E(X|\mathcal{F}_{t})|\mathcal{F}_{s})=E(X|\mathcal{F}_{s})=X_{s}$$ 이므로 따라서 $\{X_{t}\}_{0\leq t\leq T}$는 마팅게일이다. 

브라운 운동은 바슐리에가 옵션 가격의 공식을 연구하는데 이용했고, 아인슈타인은 독립적으로 연구했다. 여기서는 1차원 브라운 운동을 다루도록 하겠다.

시간 $t=0$일 때 입자가 $0$(원점)에 위치해 있고, 시간이 흐름에 따라 양 또는 음의 방향으로 연속적으로 움직인다고 하자. 입자가 시간 $t>0$일 때 구간 $[a,\,b]$안에 위치할 확률은 $$\int_{a}^{b}{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}$$ 이라 하자. 

공리적인 설명을 위해 시간 $\Delta t$동안 점 $x$에서 $y$로의 전이확률(transition probability)을 정규분포의 밀도함수 $$\frac{1}{2\pi\Delta t}e^{-\frac{(x-y)^{2}}{2\Delta t}}$$ 를 정의하고, 이 분포는 분산 $\Delta t$와 평균 $x$를 갖는다. 

브라운 운동의 표본경로. 확률공간 $(\Omega,\,\mathcal{F})$에서 $\Omega$는 다음의 성질들을 만족하는 $\omega:[0,\,\infty)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$인 표본 경로들의 집합이다.

(i) $\omega(0)=0$ 

(ii) $\omega$는 연속함수이다. 

임의의 시간 $0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}$과 구간 $I_{1},\,...,\,I_{n}\subset\mathbb{R}$에 대해 원통집합 $$C(t_{1},\,...,\,t_{n};I_{1},\,...,\,I_{n})=\{\omega\in\Omega\,|\,\omega(t_{1})\in I_{1},\,...,\,\omega(t_{n})\in I_{n}\}$$ 을 정의하자. 이 원통집합들로 생성된 $\sigma-$체를 $\mathcal{F}_{t}$라고 정의하면 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$는 여과이다. $\Omega$위의 $\sigma-$체 $\mathcal{F}$는 $\displaystyle\bigcup_{t\geq0}{\mathcal{F}_{t}}$로 생성된다.

브라운 운동의 확률. $\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1}$라고 하고 원통집합 $C(t_{1},\,...,\,t_{n};I_{1},\,...,\,I_{n})$의 측도를 다음과 같이 정의한다. $$\begin{align*}&P(C(t_{1},\,...,\,t_{n};I_{1},\,...,\,I_{n}))\\&=\int_{I_{1}}\cdots\int_{I_{n}}p(\Delta t_{1},\,0,\,x_{1})p(\Delta t_{2},\,x_{1},\,x_{2})\cdots p(\Delta t_{n},\,x_{n-1},\,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}\end{align*}$$ 콜모고로프 확장정리에 의해 $P$는 $\mathcal{F}$전체에 정의된 측도로 확장된다.

브라운운동/위너과정 브라운운동은 표본공간 $(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$에 정의된 확률변수 $W_{t}:(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$들의 집합으로서 $W_{t}(\omega)=\omega(t)$로 정의된다. 시간 $0\leq t<\infty$에 의해 순서가 정해져 있고, $I\subset\mathbb{R}$에 대해 $W_{t}^{-1}[I]=C(t,\,I)$이므로 $\sigma(W_{t})\subset\mathcal{F}_{t}$이다. 즉 $\{W_{t}\}_{t\geq0}$는 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}$에 적응되어 있다.

*$\Omega$를 처음부터 연속함수들의 집합이 아닌 브라운 운동이 정의되어 있는 어떤 표본공간이라고 하면 브라운 운동을 다음과 같이 공리적으로 정의할 수 있다.    

(i) 거의 모든 $\omega\in\Omega$에 대하여 $W_{0}(\omega)=0$이다.

(ii) 거의 모든 $\omega\in\Omega$에 대하여 표본경로 $t\,\mapsto\,W_{t}$는 연속이다.

(iii) 임의의 시점 $0=t_{0}<t_{2}<\cdots<t_{n}$과 구간 $I_{1},\,...,\,I_{n}\subset\mathbb{R}$에 대하여 $\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1}$라 하면 다음이 성립한다. $$\begin{align*}&P(W_{t_{1}}\in I_{1},\,...,\,W_{t_{n}}\in I_{n})\\&=\int_{I_{1}}\cdots\int_{I_{n}}p(\Delta t_{1},\,0,\,x_{1})p(\Delta t_{2},\,x_{1},\,x_{2})\cdots p(\Delta t_{n},\,x_{n-1},\,x_{n})dx_{n}\cdots dx_{1}\end{align*}$$ 수학적 브라운 운동은 물리적 현상의 근사적 모델일 수 밖에 없는데 자연계에서 발견되는 브라운 운동은 속도가 유한할 수 밖에 없으나 수학적으로 확률이 아주 작지만 큰 속도도 가능하기 때문이다. 이러한 이유로 수학적 브라운 운동을 물리적 브라운 운동과 구별하려고 할 때 브라운 운동이라는 용어 대신 위너과정(Wiener process)이라고 하면 그 혼동을 피할 수 있다. 또한 $$\frac{dW_{t}}{dt}=\frac{W_{t+dt}-W_{t}}{dt}\,\sim\,\frac{1}{\sqrt{dt}}N(0,\,1^{2})$$ 이므로 $dt\,\rightarrow\,0$일 때 브라운 운동의 경로는 미분가능하지 않다.   

$\{W_{t}\}_{t\geq0}$가 브라운 운동일 때 $X=W_{1}$의 밀도함수는 $\displaystyle f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}$이고 $Y=\sqrt{t}W_{1}$의 밀도함수는 $\displaystyle f_{Y}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{2t^{2}}}$이다. 이 사실은 $Y=\sqrt{t}W_{1}$과 $W_{t}$의 확률밀도함수가 같다는 사실로부터 유도할 수 있다. 

다음은 브라운운동이 갖는 성질이다. 

(i) $0\leq s\leq t$에 대해 $W_{t}-W_{s}\,\sim\,N(0,\,t-s)$($W_{t}-W_{s}$는 기댓값이 0이고 분산이 $t-s$인 정규분포를 따른다)

(ii) $0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{2n-1}<t_{2n}$에 대해 확률변수 $$W_{t_{2}}-W_{t_{1}},\,...,\,W_{t_{2n}}-W_{t_{2n-1}}$$ 는 서로 독립이다. 

증명:

(i) 임의의 보렐집합 $B\subset\mathbb{R}$에 대해 $$\begin{align*}P(W_{t}-W_{s}\in B)&=\iint_{\{(x,\,y)\,|\,y-x\in B\}}{p(s,\,0,\,x)p(t-s,\,x,\,y)dxdy}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{p(s,\,0,\,x)\left(\int_{\{y\,|\,y-x\in B\}}{p(t-s,\,x,\,y)dy}\right)dx}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{p(s,\,0,\,x)\left(\int_{B}{p(t-s,\,x,\,x+z)dz}\right)dx}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{p(s,\,0,\,x)\left(\int_{B}{p(t-s,\,0,\,z)dz}\right)dx}\\&=\int_{B}{p(t-s,\,0,\,z)dz}\int_{-\infty}^{\infty}{p(s,\,0,\,x)dx}\\&=\int_{B}{p(t-s,\,0,\,z)dz}\end{align*}$$ 이고 따라서 $Z=W_{t}-W_{s}$의 확률밀도함수 $f_{Z}(z)=p(t-s,\,0,\,z)$이다. $f_{Z}(z)$는 기댓값이 0이고 분산이 $t-s$인 정규분포의 밀도함수이므로 증명을 완료했다.

(ii) 생략

브라운 운동의 연속성. 임의의 $\epsilon>0$에 대해 다음이 성립한다. $$\lim_{dt\,\rightarrow\,0}{P(\{\omega\,|\,|W_{t+dt}(\omega)-W_{t}(\omega)|>\epsilon\})}=0$$ 증명: 체비셰프 부등식에 의해 고정된 $\epsilon>0$에 대해 $dt\,\rightarrow\,0$이면 $$\begin{align*}P(|W_{t+dt}-W_{t}|>\epsilon)&=P(|W_{t+dt}-E(W_{t+\delta t}|\mathcal{F}_{t})|>\epsilon)\\&\leq\frac{1}{\epsilon^{2}}\text{Var}(W_{t+dt}|\mathcal{F}_{t})\\&=\frac{dt}{\epsilon}\,\rightarrow\,0\end{align*}$$ 이다.  

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사