[금융수학] 10. 확률과정, 브라운운동

[금융수학] 10. 확률과정, 브라운운동

시간과 불확실성은 수학에서 시간의 흐름(process, sequence)과 확률(probability, randomness/risk)이라는 형태로 표현되고, 그 결과 확률과정(stochastic process)이 금융수학의 언어가 되었다. 

\((X,\,\mathcal{F},\,P)\)를 표본공간이라고 하자. 

(여과, filtration) \(A\subset[0,\,\infty]\)일 때, 확률공간 \((\Omega,\,\mathcal{F})\)에 정의된 부분 \(\sigma-\)체를 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in A}\)라 하자. \(s\leq t\)인 \(s,\,t\in A\)에 대하여$$\mathcal{F}_{s}\subset\mathcal{F}_{t}\subset\mathcal{F}$$이면, \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in A}\)를 여과라고 한다. 여기서의 첨자 \(t\)는 일반적으로 시간을 나타낸다.   

(확률과정, stochastic process) \(t\in A\)에 의해 순서가 매겨진 확률변수$$X_{t}:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$$들의 집합족을 확률과정이라고 한다. \(A\subset\mathbb{N}\cup\{0\}\)이면 이산확률과정, \(A\)가 구간이면 연속확률과정이라고 한다. 각각의 \(\omega\in\Omega\)에 대해 \(t\,\mapsto\,X_{t}(\omega)\)를 표본경로(sample path)라고 한다. 

(적응, adapted) 확률공간 \((\Omega,\,\mathcal{F})\)에 정의된 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in A}\)에 대해 확률과정 \(\{X_{t}\}_{t\in A}\)가 존재해서 임의의 \(t\)에 대해 \(X_{t}\)가 \(\mathcal{F}_{t}-\)가측이면 \(\{X_{t}\}_{t\in A}\)는 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in A}\)에 적응되어 있다고 한다.  

(예측가능성, predictable/previsible) 확률과정 \(\{X_{t}\}_{t\geq0}\)이 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)에 적응되어 있을 때, 모든 \(t\)에 대해 \(X_{t}\)가 부분 \(\sigma-\)대수 \(\displaystyle\bigcup_{s<t}{\mathcal{F}_{s}}\)에 적응되어 있다면, \(\{X_{t}\}_{t\geq0}\)는 예측가능하다고 한다.  

(마팅게일, martingale) 확률과정 \(\{X_{t}\}_{t\in A}\)가 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in A}\)에 적응되어 있고, 모든 \(t\)에 대해 \(X_{t}:(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 적분가능하다(\(E(|X_{t}|)<\infty\))고 하자. 임의의 \(s\leq t\)에 대해$$X_{s}=E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})$$이면, \(\{X_{t}\}_{t\in A}\)를 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\in A}\)에 대한 마팅게일이라고 한다.

대칭 랜덤워크(symmetric random walk)를 \(Y_{n}\)이라 하자. 즉 \(Z_{1},\,...,\,Z_{n}\)을 서로 독립이고 동일한 확률분포$$P(Z_{n}=1)=P(Z_{n}=-1)=\frac{1}{2}$$를 갖는 확률변수라고 할 때$$Y_{n}=Z_{1}+\cdots+Z_{n}$$이다. 이때 확률과정 \(Y_{n}^{2}-n\)은 여과 \(\sigma(Z_{1},\,...,\,Z_{n})\)에 대해 마팅게일이다.

증명:$$\begin{align*}E(Y_{n+1}^{2}-(n+1)|\mathcal{F}_{n})&=E((Y_{n}+Z_{n+1})^{2}-(n+1)|\mathcal{F}_{n})\\&=E(Y_{n}^{2}+2Y_{n}Z_{n}+Z_{n+1}^{2}-(n+1)|\mathcal{F}_{n})\\&=E(Y_{n}^{2}+2Y_{n}Z_{n}+1-(n+1)|\mathcal{F}_{n})\\&=E(Y_{n}^{2}+2Y_{n}Z_{n+1}-n|\mathcal{F}_{n})\\&=E(Y_{n}^{2}|\mathcal{F}_{n})+E(2Y_{n}Z_{n+1}|\mathcal{F}_{n})-E(n|\mathcal{F}_{n})\\&=Y_{n}^{2}+2Y_{n}E(Z_{n+1}|\mathcal{F}_{n})-n\\&=Y_{n}^{2}-n\end{align*}$$위의 마지막 식에서 \(Z_{n+1}\)과 \(\mathcal{F}_{n}\)는 서로 독립이므로 \(E(Z_{n+1}|\mathcal{F}_{n})=0\)이다. 

대칭 랜덤워크의 연속적 극한(continuous limit)은 브라운 운동 \(W_{t}\)이다. 따라서 \(Y_{n}^{2}-n\)이 마팅게일이라는 사실은 \(W_{t}^{2}-t\)가 마팅게일이라는 사실로 이어진다. 

표본공간 \((\Omega,\,\mathcal{F}_{T},\,P)\)에 대해 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{0\leq t\leq T}\)와 \(\mathcal{F}_{T}-\)가측인 확률변수 \(X\)가 주어졌다고 하자.$$X_{t}=E(X|\mathcal{F}_{t})$$라고 하면 \(\{X_{t}\}_{0\leq t\leq T}\)는 마팅게일이다. 

증명: 젠센의 부등식에 의해$$|X_{t}|=|E(X|\mathcal{F}_{t})|\leq E(|X||\mathcal{F}_{t})$$이 성립하므로$$E(|X_{t}|)\leq E(E(|X||\mathcal{F}_{t}))=E(|X|)<\infty$$이다. 그리고 조건부기댓값의 tower property(성질 iii)에 의해 \(s<t\)일 때$$E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=E(E(X|\mathcal{F}_{t})|\mathcal{F}_{s})=E(X|\mathcal{F}_{s})=X_{s}$$이므로 따라서 \(\{X_{t}\}_{0\leq t\leq T}\)는 마팅게일이다. 

브라운 운동은 바슐리에가 옵션 가격의 공식을 연구하는데 이용했고, 아인슈타인은 독립적으로 연구했다. 여기서는 1차원 브라운 운동을 다루도록 하겠다.

시간 \(t=0\)일 때 입자가 \(0\)(원점)에 위치해 있고, 시간이 흐름에 따라 양 또는 음의 방향으로 연속적으로 움직인다고 하자. 입자가 시간 \(t>0\)일 때 구간 \([a,\,b]\)안에 위치할 확률은$$\int_{a}^{b}{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}$$이라 하자. 

공리적인 설명을 위해 시간 \(\Delta t\)동안 점 \(x\)에서 \(y\)로의 전이확률(transition probability)을 정규분포의 밀도함수$$\frac{1}{2\pi\Delta t}e^{-\frac{(x-y)^{2}}{2\Delta t}}$$를 정의하고, 이 분포는 분산 \(\Delta t\)와 평균 \(x\)를 갖는다. 

브라운 운동의 표본경로. 확률공간 \((\Omega,\,\mathcal{F})\)에서 \(\Omega\)는 다음의 성질들을 만족하는 \(\omega:[0,\,\infty)\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)인 표본 경로들의 집합이다.

(i) \(\omega(0)=0\) 

(ii) \(\omega\)는 연속함수이다. 

임의의 시간 \(0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}\)과 구간 \(I_{1},\,...,\,I_{n}\subset\mathbb{R}\)에 대해 원통집합$$C(t_{1},\,...,\,t_{n};I_{1},\,...,\,I_{n})=\{\omega\in\Omega\,|\,\omega(t_{1})\in I_{1},\,...,\,\omega(t_{n})\in I_{n}\}$$을 정의하자. 이 원통집합들로 생성된 \(\sigma-\)체를 \(\mathcal{F}_{t}\)라고 정의하면 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)는 여과이다. \(\Omega\)위의 \(\sigma-\)체 \(\mathcal{F}\)는 \(\displaystyle\bigcup_{t\geq0}{\mathcal{F}_{t}}\)로 생성된다.

브라운 운동의 확률. \(\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1}\)라고 하고 원통집합 \(C(t_{1},\,...,\,t_{n};I_{1},\,...,\,I_{n})\)의 측도를 다음과 같이 정의한다.$$\begin{align*}&P(C(t_{1},\,...,\,t_{n};I_{1},\,...,\,I_{n}))\\&=\int_{I_{1}}\cdots\int_{I_{n}}p(\Delta t_{1},\,0,\,x_{1})p(\Delta t_{2},\,x_{1},\,x_{2})\cdots p(\Delta t_{n},\,x_{n-1},\,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}\end{align*}$$콜모고로프 확장정리에 의해 \(P\)는 \(\mathcal{F}\)전체에 정의된 측도로 확장된다.

브라운운동/위너과정 브라운운동은 표본공간 \((\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\)에 정의된 확률변수 \(W_{t}:(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)들의 집합으로서 \(W_{t}(\omega)=\omega(t)\)로 정의된다. 시간 \(0\leq t<\infty\)에 의해 순서가 정해져 있고, \(I\subset\mathbb{R}\)에 대해 \(W_{t}^{-1}[I]=C(t,\,I)\)이므로 \(\sigma(W_{t})\subset\mathcal{F}_{t}\)이다. 즉 \(\{W_{t}\}_{t\geq0}\)는 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq0}\)에 적응되어 있다.

*\(\Omega\)를 처음부터 연속함수들의 집합이 아닌 브라운 운동이 정의되어 있는 어떤 표본공간이라고 하면 브라운 운동을 다음과 같이 공리적으로 정의할 수 있다.    

(i) 거의 모든 \(\omega\in\Omega\)에 대하여 \(W_{0}(\omega)=0\)이다.

(ii) 거의 모든 \(\omega\in\Omega\)에 대하여 표본경로 \(t\,\mapsto\,W_{t}\)는 연속이다.

(iii) 임의의 시점 \(0=t_{0}<t_{2}<\cdots<t_{n}\)과 구간 \(I_{1},\,...,\,I_{n}\subset\mathbb{R}\)에 대하여 \(\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1}\)라 하면 다음이 성립한다.$$\begin{align*}&P(W_{t_{1}}\in I_{1},\,...,\,W_{t_{n}}\in I_{n})\\&=\int_{I_{1}}\cdots\int_{I_{n}}p(\Delta t_{1},\,0,\,x_{1})p(\Delta t_{2},\,x_{1},\,x_{2})\cdots p(\Delta t_{n},\,x_{n-1},\,x_{n})dx_{n}\cdots dx_{1}\end{align*}$$수학적 브라운 운동은 물리적 현상의 근사적 모델일 수 밖에 없는데 자연계에서 발견되는 브라운 운동은 속도가 유한할 수 밖에 없으나 수학적으로 확률이 아주 작지만 큰 속도도 가능하기 때문이다. 이러한 이유로 수학적 브라운 운동을 물리적 브라운 운동과 구별하려고 할 때 브라운 운동이라는 용어 대신 위너과정(Wiener process)이라고 하면 그 혼동을 피할 수 있다. 또한$$\frac{dW_{t}}{dt}=\frac{W_{t+dt}-W_{t}}{dt}\,\sim\,\frac{1}{\sqrt{dt}}N(0,\,1^{2})$$이므로 \(dt\,\rightarrow\,0\)일 때 브라운 운동의 경로는 미분가능하지 않다.   

\(\{W_{t}\}_{t\geq0}\)가 브라운 운동일 때 \(X=W_{1}\)의 밀도함수는 \(\displaystyle f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}\)이고 \(Y=\sqrt{t}W_{1}\)의 밀도함수는 \(\displaystyle f_{Y}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{2t^{2}}}\)이다. 이 사실은 \(Y=\sqrt{t}W_{1}\)과 \(W_{t}\)의 확률밀도함수가 같다는 사실로부터 유도할 수 있다. 

다음은 브라운운동이 갖는 성질이다. 

(i) \(0\leq s\leq t\)에 대해 \(W_{t}-W_{s}\,\sim\,N(0,\,t-s)\)(\(W_{t}-W_{s}\)는 기댓값이 0이고 분산이 \(t-s\)인 정규분포를 따른다)

(ii) \(0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{2n-1}<t_{2n}\)에 대해 확률변수$$W_{t_{2}}-W_{t_{1}},\,...,\,W_{t_{2n}}-W_{t_{2n-1}}$$는 서로 독립이다. 

증명:

(i) 임의의 보렐집합 \(B\subset\mathbb{R}\)에 대해$$\begin{align*}P(W_{t}-W_{s}\in B)&=\iint_{\{(x,\,y)\,|\,y-x\in B\}}{p(s,\,0,\,x)p(t-s,\,x,\,y)dxdy}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{p(s,\,0,\,x)\left(\int_{\{y\,|\,y-x\in B\}}{p(t-s,\,x,\,y)dy}\right)dx}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{p(s,\,0,\,x)\left(\int_{B}{p(t-s,\,x,\,x+z)dz}\right)dx}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{p(s,\,0,\,x)\left(\int_{B}{p(t-s,\,0,\,z)dz}\right)dx}\\&=\int_{B}{p(t-s,\,0,\,z)dz}\int_{-\infty}^{\infty}{p(s,\,0,\,x)dx}\\&=\int_{B}{p(t-s,\,0,\,z)dz}\end{align*}$$이고 따라서 \(Z=W_{t}-W_{s}\)의 확률밀도함수 \(f_{Z}(z)=p(t-s,\,0,\,z)\)이다. \(f_{Z}(z)\)는 기댓값이 0이고 분산이 \(t-s\)인 정규분포의 밀도함수이므로 증명을 완료했다.

(ii) 생략

브라운 운동의 연속성. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 다음이 성립한다.$$\lim_{dt\,\rightarrow\,0}{P(\{\omega\,|\,|W_{t+dt}(\omega)-W_{t}(\omega)|>\epsilon\})}=0$$증명: 체비셰프 부등식에 의해 고정된 \(\epsilon>0\)에 대해 \(dt\,\rightarrow\,0\)이면$$\begin{align*}P(|W_{t+dt}-W_{t}|>\epsilon)&=P(|W_{t+dt}-E(W_{t+\delta t}|\mathcal{F}_{t})|>\epsilon)\\&\leq\frac{1}{\epsilon^{2}}\text{Var}(W_{t+dt}|\mathcal{F}_{t})\\&=\frac{dt}{\epsilon}\,\rightarrow\,0\end{align*}$$이다.  

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사