[금융수학] 7. 르베그 측도

[금융수학] 7. 르베그 측도

집합 \(X\)의 부분집합 \(A\)의 크기를 구한다고 하자. \(A\)가 유한집합이거나 가산무한집합이라면 원소의 개수로 설정하면 되나 비가산집합이면, 엄밀하고 체계적인 방법이 필요하다. 

대부분의 경우 논리적 모순없이 \(X\)의 모든 부분집합의 크기를 재는 방법을 정할 수 없고(르베그 비가측 집합의 존재), 일부의 부분집합들만의 크기를 재야 한다. 그러기 위해서는 크기의 정의가 필요하다.

크기를 정의할 수 있는 집합을 가측집합(measurable set)이라 하고, 가측집합들을 모은 집합을 \(\sigma-\)대수(\(\sigma-\)algebra)라고 하는데 '대수'라는 말을 사용하는 이유는 합집합이나 교집합 연산을 합과 곱으로 대응시킬 수 있기 때문이다. 다음은 \(\sigma-\)대수의 정의이다.

집합 \(X\)위의 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{A}\)는 다음의 성질을 만족하는 \(X\)의 부분집합족이다.

(i) \(\emptyset,\,X\in\mathcal{A}\)

(ii) \(A\in\mathcal{A}\)이면 \(A^{c}\in\mathcal{A}\)

(iii) \(A_{1},\,A_{2},\,...,\,\in\mathcal{A}\)이면 \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\in\mathcal{A}\)이다. 

\(\sigma-\)대수 \(\mathcal{A}\)의 원소들에 대해 다음과 같이 측도를 정의할 수 있다.

측도(measure)는 각각의 가측집합에 대해 0이상의 실수 또는 무한대를 대응시키는 규칙으로 다음과 같이 정의된다.

측도 \(\mu\)는 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{A}\)에서 정의된 함수 \(\mu:\mathcal{A}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)로 다음의 조건을 만족한다.

(i) 각 \(A\in\mathcal{A}\)에 대하여 \(\mu(A):\mathcal{A}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)이다.

(ii) \(\mu(\emptyset)=0\)이다.

(iii) \(A_{1},\,A_{2},\,...\in\mathcal{A}\)가 서로소이면 다음이 성립한다.$$\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}}$$집합 \(X\)에 \(\sigma=\)대수 \(\mathcal{A}\)가 주어지면 \(X\)를 가측공간(measurable space)이라 하고 \((X,\,\mathcal{A})\)로 나타낸다. 측도 \(\mu\)가 가측공간 \((X,\,\mathcal{A})\)에 주어지면 \(X\)를 측도공간(measure space)이라 하고 \((X,\,\mathcal{A},\,\mu)\)로 나타낸다. 만약 \(\mu(X)=1\)이면, \(\mu\)를 확률측도(probability measure)라고 한다. 

\(\mathbb{R}^{n}\)에서 \(n\)차원 직사각형 \(\mathcal{R}=[a_{1},\,b_{1}]\times\cdots\times[a_{n},\,b_{n}]\)은 \(\mathbb{R}^{n}\)의 부분집합이고 \(\mathbb{R}\)에서 부피의 개념을 이용해 정의된 측도 \(\mu_{\mathcal{R}}:\mathcal{R}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)(1차원일 경우는 길이, 2차원일 경우는 넓이)를 \(\mathcal{R}\)에 의해 생성된 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{A}_{0}\)에서 정의된 측도 \(\mu_{0}\)로 확장할 수 있다. 여기서 \(\mathcal{A}_{0}\)를 보렐(Borel) \(\sigma-\)대수라고 하고 이 \(\sigma-\)대수의 원소(가측집합)들을 보렐집합이라고 한다. 다음으로 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{A}_{0}\)에 \(\mu_{0}=0\)인 집합의 모든 부분집합도 포함한 확장 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{A}\)를 얻는다. 다시 \(\mu_{0}\)를 확장시킨 새로운 측도 \(\mu\)를 \(\mathcal{A}\)위에서 정의하는데 이 측도를 르베그 측도(Lebesgue measure)라고 한다. 이때 \(\mathcal{A}\)에 속하는 가측집합 중 \(\mu=0\)인 집합의 부분집합은 \(\mathcal{A}\)에 속하고 그 부분집합의 르베그 측도값은 0이다. 이러한 측도를 완비측도(complete measure)라고 한다. 

측도의 연속성(continuity of measure)

(i) 측도공간 \((X,\,\mathcal{A},\,\mu)\)와 단조감소하는 가측집합열 \(A_{1}\supset A_{2}\supset\cdots\)가 주어지고, \(\mu(A_{1})<\infty\)일 때 다음이 성립한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(A_{n})}=\mu\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\right)$$(ii) 측도공간 \((X,\,\mathcal{A},\,\mu)\)와 단조증가하는 가측집합열 \(A_{1}\subset A_{2}\subset\cdots\)가 주어지면 다음이 성립한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(A_{n})}=\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\right)$$\(\mathcal{D}=\{0,\,1\}\), \(\displaystyle X=\prod_{i=1}^{\infty}{\mathcal{D}}=\mathcal{D}\times\mathcal{D}\times\cdots\)라 하자. \(X\)의 원소는 \(x_{i}=0\) 또는 \(x_{i}=1\)인 무한한 길이의 이진열(binary sequence) \(x=x_{1}x_{2}x_{3}\cdots_{(2)}\)이고, 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$x=\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}2^{-i}}\,(a_{i}\in\{0,\,1\})$$\(X\)에서 길이가 \(n\)인 원통집합(cylinder set)을 다음과 같이 정의하고$$[a_{1},\,...,\,a_{n}]=\{x\in X\,|\,x_{1}=a_{1},\,...,\,x_{n}=a_{n}\}$$원통집합들의 집합족을 \(\mathcal{R}\)로 나타내고, \(0\leq p\leq1\)일 때 집합함수 \(\mu_{p}:\mathcal{R}\,\rightarrow\,[0,\,\infty)\)를$$\mu_{p}([a_{1},\,...,\,a_{n}])=p^{k}(1-p)^{n-k}$$로 정의하는데 이때 \(k\)는 0이 \(a_{1},\,...,\,a_{n}\)에서 나타나는 횟수이다. 그러면 \(\mu_{p}\)는 \(\mathcal{R}\)로 생성되는 \(\sigma-\)대수 위에서 정의되는 측도로 확장되고, 확장된 측도도 \(\mu_{p}\)로 나타낸다. 이 측도를 \((p,\,1-p)-\)베르누이 측도(Bernoulli measure)라고 한다. 

\((X,\,\mathcal{A}\,\mu)\)를 측도공간이라 하고 성질 \(P(x)\)가 \(x\in X\)에 의존한다고 하자. 집합 \(A\subset X\)가 존재해서 \(\mu(A^{c})=0\)이고 모든 \(x\in A\)에 대해 \(P(x)\)가 성립하면, \(P(x)\)는 \(\mu\)에 대해 거의 모든곳(almost everywhere, a.e.) 또는 거의 모든(almost all) \(x\in X\)에 대해 성립한다고 한다. 

측도공간 \((X,\,\mathcal{A},\,\mu)\)의 가측 부분집합 \(A\)가 주어지고 \(\mu(A)>0\)일 때, 새 측도 \(\mu_{A}\)를$$\mu_{A}(E)=\frac{\mu(A\cap E)}{\mu(A)}$$로 정의하자. \(\mu_{A}\)를 조건부 측도(conditional measure)라고 한다.    

함수 \(f:(X,\,\mathcal{A})\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 임의의 \(a<b\)에 대해 \(f^{-1}[(a,\,b)]\in\mathcal{A}\)이면, \(f\)를 가측함수(measurable function)라고 한다. 이 조건은 임의의 \(a\in\mathbb{R}\)에 대해 다음이 성립한다는 것과 동치이다.$$\begin{align*}f^{-1}[(-\infty,\,a]]&\in\mathcal{A}\\f^{-1}[(-\infty,\,a)]&\in\mathcal{A}\\f^{-1}[(a,\,\infty)]&\in\mathcal{A}\\f^{-1}[[a,\,\infty)]&\in\mathcal{A}\end{align*}$$가측 단순함수(simple function) \(s(x)\)는 다음과 같이 유한개를 갖는 함수이고$$s(x)=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}}$$여기서 \(E_{i}\)는 가측집합, \(a_{i}\)는 상수이다. 

가측함수 \(f\geq0\)에 대해 단조증가 단순함수열 \(s_{n}(x)\)가 존재하고 다음과 같다.$$s_{n}(x)=\sum_{k=0}^{2^{2n}-1}{\frac{k}{2^{n}}\chi_{E_{k,\,n}}}+2^{n}\chi_{F_{n}},\,E_{k,\,n}=f^{-1}\left[\left(\frac{k}{2^{n}},\,\frac{k+1}{2^{n}}\right]\right],\,F_{n}=f^{-1}[(2^{n},\,\infty]]$$가측함수 \(\rho(x)\geq0\)가 존재해서 임의의 가측집합 \(E\)에 대해 다음이 성립하면$$\mu(E)=\int{E}{\rho(x)dx}$$\(\mu\)를 절대연속(absolutely continuous)측도, \(\rho\)를 밀도함수(density function)라 하고, \(d\mu=\rho dx\)로 나타낸다. 이때 가측함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\int_{X}{fd\mu}=\int_{X}{f(x)\rho(x)dx}$$프랑스의 수학자 앙리 르베그(Henri Lebesgue)는 리만 적분(Riemann integral)을 일반화한 르베그 적분(Lebesgue integral)을 창시했다.

리만 적분은 정의역인 \(x\)축을 분할하지만 르베그 적분은 공역(치역)인 \(y\)축을 분할하고 그 역상을 통해 정의역을 분할한다. 때문에 르베그 적분의 피적분함수의 정의역이 반드시 유클리드 공간일 필요가 없고, 추상적인 집합이더라도 적분이 정의된다. 이렇게 정의된 르베그 적분은 적당한 조건 하에서 함수열의 적분과 극한의 순서를 교환해도 등식이 성립한다는 장점이 있다.

단순함수 \(\displaystyle s=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}}\)의 르베그 적분은 다음과 같이 정의되고$$\int_{X}{sd\mu}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mu(E_{i})}$$이고, 가측함수 \(f\geq0\)의 르베그 적분은 다음과 같이 정의된다.$$\int_{X}{fd\mu}=\sup_{s\leq f}{\int_{X}{sd\mu}}$$여기서 \(s\)는 단순함수이고, 다시 말하자면, 가측함수 \(f\geq0\)의 르베그 적분은 \(s\leq f\)인 단순함수 \(s\)의 르베그 적분 \(\displaystyle\int_{X}{sd\mu}\)의 최소상계로 정의된다. 

앞에서 가측함수 \(f\geq0\)에 대해 \(f\)로 수렴하는 단조증가 단순함수열 \(s_{n}\)이 존재하고, 단조수렴정리(나중에 다룸)에 의해 다음과 같이 \(s_{n}\)의 르베그 적분의 극한은 \(f\)의 르베그 적분과 같다.$$\int_{X}{fd\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{s_{n}d\mu}}$$\(f\)가 실수값을 가지면$$f_{+}(x)=\max\{f(x),\,0\}\geq0,\,f_{-}(x)=\max\{-f(x),\,0\}\geq0$$이므로 \(f=f_{+}-f_{-}\), \(|f|=f_{+}+f_{-}\)로 나타낼 수 있고, 따라서 실수값 함수 \(f\)의 르베그 적분을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\int_{X}{fd\mu}=\int_{X}{f_{+}d\mu}-\int_{X}{f_{-}d\mu}$$가측집합 \(E\)의 특성함수(characteristic function) \(\chi_{E}\)는 가측함수이고 다음이 성립한다.$$\int_{X}{\chi_{E}d\mu}=\mu(E),\,\int_{X}{f\chi_{E}d\mu}=\int_{E}{fd\mu}$$유한 구간 위에서 연속함수의 리만 적분은 르베그 적분과 일치한다. 즉 \(E=[a,\,b]\)일 때 연속함수 \(f\)에 대하여$$\int_{E}{fd\mu}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$가측함수 \(f\)가 르베그 적분가능하다는 것은 \(|f|\)의 적분이 유한한 값을 갖는 것이다. 즉$$\int_{X}{|f|d\mu}<\infty$$앞에서 르베그 적분은 적당한 조건 하에서 함수열의 적분과 극한의 순서를 교환해도 등식이 성립한다고 했다. 

단조수렴정리(monotone convergence theorem) 측도공간 \((X,\,\mathcal{A},\,\mu)\)에서 단조증가하는 가측함수열 \(\{f_{n}\}(f_{n}\geq0)\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{X}{\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}}d\mu}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}$$파투의 보조정리(Fatou's lemma) 측도공간 \((X,\,\mathcal{A},\,\mu)\)에서 가측함수열 \(\{f_{n}\}(f_{n}\geq0)\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{X}{\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf f_{n}}d\mu}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\int_{X}{f_{n}d\mu}}$$르베그 지배수렴정리(Lebesgue dominated convergence theorem) 측도공간 \((X,\,\mathcal{A},\,\mu)\)에서 가측함수열 \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 점별수렴하고, 적분가능한 함수 \(g\)가 존재해서 \(|f_{n}|\leq g\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}=\int_{X}{fd\mu}$$실수 \(1\leq p<\infty\)에 대해 \(L^{p}\)공간을 정의하자.$$L^{p}(X,\,\mu)=\{f\,|\,\|f\|_{p}<\infty\},\,\|f\|_{p}=\left(\int_{X}{|f|^{p}d\mu}\right)^{\frac{1}{p}}$$\(L^{p}(X,\,\mu)\)는 벡터공간이고 \(\|\cdot\|_{p}\)는 노름이다. \(\mu(X)<\infty\)이면 \(r<p\)일 때 \(L^{p}(X)\subset L^{r}(X)\)이다. 따라서 임의의 \(p\geq1\)에 대해 \(L^{p}(X)\subset L^{1}(X)\)이고, \(p=\infty\)일 때$$\|f\|_{\infty}=\inf\{K\geq0\,|\,|f(x)|\leq K\,a.e.\,x\},\,L^{\infty}(X,\,\mu)=\{f\,|\,\|f\|_{\infty}<\infty\}$$로 정의되고 이러한 \(L^{p}\)공간들은 완비이다. 

함수열 \(\{f_{n}\}\subset L^{p}\)이 어떤 \(f\in L^{p}\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|f_{n}-f\|_{p}}=0\)이면 \(\{f_{n}\}\)은 \(f\)로 \(L^{p}\)수렴한다고 한다. 가측함수열 \(\{g_{n}\}\)이 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(\{x\,|\,|g_{n}(x)-g(x)|>\epsilon\})}=0$$을 만족하면 \(\{g_{n}\}\)은 \(g\)로 측도수렴(converge in measure)한다고 한다. 

\(1\leq p<\infty\)라 하자. 

(i) \(f_{n}\)이 \(f\)로 \(L^{p}\)수렴하면, \(f_{n}\)은 \(f\)로 측도수렴한다.

(ii) \(f_{n}\)이 \(f\)로 측도수렴하고, 모든 \(n\)에 대해 \(|f_{n}|\leq g,\,g\in L^{p}\)이면, \(f_{n}\)은 \(f\)로 \(L^{p}\)수렴한다.

(iii) \(f_{n},\,f\in L^{p}\)이고 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\,a.e.\)일 때 \(f_{n}\)의 \(f\)로의 \(L^{p}\)수렴은 \(\|f_{n}\|_{p}\,\rightarrow\,\|f\|_{p}\)와 동치이다.

\(\mu(X)<\infty\)라 하자.

(i) \(1\leq p\leq\infty\)일 때 \(f_{n}\)이 \(f\)로 \(L^{p}\)수렴하면, \(f_{n}\)은 \(f\)로 측도수렴한다.  

(ii) 만일 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\,a.e.\)이면 \(f_{n}\)은 \(f\)로 측도수렴한다.

\(1\leq p\leq\infty\)일 때 \(f_{n}\)이 \(f\)로 \(L^{p}\)수렴하면, 자연수들의 부분수열 \(\{n_{k}\}\)가 존재해서 \(f_{n_{k}}(\omega)\,\rightarrow\,f(\omega)\,a.e.\)이다. 

함수 \(\phi:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)이 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}}=1\)인 \(\lambda_{1},\,...,\,\lambda_{n}\geq0\)과 \(x_{1},\,...,\,x_{n}\in\mathbb{R}\)에 대해$$\phi\left(\sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}x_{i}}\right)\leq\sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}\phi(x_{i})}$$이면, \(\phi\)를 볼록함수(convex function)라 하고, 부등식의 방향이 반대이면 오목함수(concave function)라고 한다. 이때 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}x_{i}}\)를 \(x_{i}\)들의 볼록결합(convex combination)이라고 한다.

젠센 부등식(Jensen inequality) 측도공간 \((X,\,\mathcal{A},\,\mu)\)위에 가측함수 \(f:X\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 정의되었다고 하자. \(\phi:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 볼록함수이고 \(\phi\circ f\)가 적분가능하면 다음의 부등식이 성립하고$$\phi\left(\int_{\Omega}{fd\mu}\right)\leq\int_{\Omega}{\phi\circ fd\mu}$$오목함수의 경우는 부등호의 방향이 반대이다. 

횔더 부등식(Hölder inequality) \(1<p,\,q<\infty\), \(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)이라 하자. 그러면 다음의 부등식이 성립하고$$\|fg\|_{1}\leq\|f\|_{p}\|g\|_{q}$$이고, 등호가 성립할 필요충분조건은 상수 \(C_{1},\,C_{2}\geq0(C_{1}C_{2}\neq0)\)가 존재해서 \(C_{1}|f|^{p}=C_{2}|g|^{q}\,a.e.\)이다. \(p=2\)이면 \(q=2\)이고 이 경우의 부등식은 코시-슈바르츠 부등식이다.       

민코프스키 부등식(Minkowski inequality) \(p\geq1\)일 때 다음의 부등식이 성립한다.$$\|f+g\|_{p}\leq\|f\|_{p}+\|g\|_{p}$$\(1<p<\infty\)일 때에 등호가 성립할 필요충분조건은 상수 \(C_{1},\,C_{2}\geq0(C_{1}C_{2}\neq0)\)가 존재해서 \(C_{1}f=C_{2}g\,a.e.\)이다. \(p=1\)일 때 등호가 성립할 필요충분조건은 가측함수 \(h\geq0\)가 존재해서 \(f(x)g(x)\neq0\)인 \(x\)중 거의 모든 \(x\)에 대해 \(f(x)h(x)=g(x)\)가 성립하는 것이다.

체비셰프 부등식(Chebyshev inequality) \(p\geq1\)이고 \(f\in L^{p}(X,\,\mu)\)이면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 다음의 부등식이 성립한다.$$\mu(\{x\,|\,|f(x)|>\epsilon\})\leq\frac{1}{\epsilon^{p}}\int_{X}{|f|^{p}d\mu}$$가측공간 \((X,\,\mathcal{A})\)에서의 두 측도 \(\mu,\,\nu\)가 있다고 하자. 모든 \(E\in\mathcal{A}\)에 대해 \(\mu(E)=0\)일 때 \(\nu(E)=0\)이면, \(\nu\)는 \(\mu\)에 대해 절대연속(absolutely continuous)이라고 하고 \(\nu\ll\mu\)로 나타낸다. 예를들어 가측함수 \(f\)와 모든 \(E\in\mathcal{A}\)에 대하여$$\nu(E)=\int_{E}{fd\mu}$$로 정의된 측도 \(\nu\)는 \(\mu\)에 대해 절대연속이므로 \(\nu\ll\mu\)이다. 

만약 \(\mu\ll\nu\)이고 동시에 \(\nu\ll\mu\)이면, \(\mu\)와 \(\nu\)는 동치(equivalent)라 하고, \(\mu\approx\nu\)로 나타낸다. 

라돈-니코딤 정리(Radon-Nikodym theorem) 가측공간 \((X,\,\mathcal{A})\)에서의 두 측도 \(\mu\), \(\nu\)가 있다고 하자. \(\nu\ll\mu\)이면, 가측함수 \(f:X\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 존재해서 임의의 \(E\in\mathcal{A}\)에 대해 다음이 성립한다.$$\nu(E)=\int_{E}{fd\mu}$$이때 \(f\)를 \(\mu\)에 대한 \(\nu\)의 밀도함수로 볼 수 있고, 라돈-니코딤 도함수(Radon-Nikodym derivative)라 하고, 다음과 같이 나타낸다.$$f=\frac{d\nu}{d\mu}$$이때 \(\displaystyle\left(\frac{d\mu}{d\nu}\right)=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}\)이고, 확률측도 \(P,\,Q\)와 임의의 가측함수(확률변수) \(X:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)에 대해 다음이 성립한다$$E^{Q}(X)=E\left(X\frac{dQ}{dP}\right)$$여기서 \(E\)는 확률측도 \(P\)에 대한 기댓값, \(E^{Q}\)는 확률측도 \(Q\)에 대한 기댓값이다.

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사

Real Analysis second edition, Folland, Wiley