[금융수학] 6. 거리공간

[금융수학] 6. 거리공간

집합 \(X\)위에 정의된 거리(metric)는 다음의 조건을 만족하는 함수 \(d:X\times X\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)이다. 

(i) \(d(x,\,y)\geq0\)이고 \(d(x,\,y)=0\)일 필요충분조건은 \(x=y\)이다. 

(ii) \(d(x,\,y)=d(y,\,x)\)  

(iii) \(d(x,\,z)\leq d(x,\,y)+d(y,\,z)\) (삼각부등식, triangle inequality)   

집합 \(X\)에 거리 \(d\)가 주어져 있을 때 이것을 \((X,\,d)\)로 나타내고 거리공간(metric space)이라고 한다. 

예:  

(1) 유클리드공간 \(\mathbb{R}^{n}\)의 두 점 \(x=(x_{1},\,...,\,x_{n}),\,y(y_{1},\,...,\,y_{n})\)에 대해 다음과 같이 정의된 거리 \(d\)는 거리함수이고 따라서 \((\mathbb{R}^{n},\,d)\)는 거리공간이다.$$d(x,\,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})^{2}}}$$(2) 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 함수들의 공간 \(C([a,\,b])\)에서의 두 연속함수 \(f,\,g\)에 대해 다음과 같이 정의된 거리 \(d\)는 거리함수이고 따라서 \((C([a,\,b]),\,d)\)는 거리공간이다.$$d(f,\,g)=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|dx}$$벡터공간 \(V\)에 정의된 노름(norm)은 다음을 조건을 만족하는 함수 \(\|\cdot\|:V\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)이다.

(i) 모든 \(v\in V\)에 대하여 \(\|v\|=0\)이고 \(\|v\|=0\)일 필요충분조건은 \(v=\mathbf{0}\)이다.  

(ii) 스칼라 \(c\)와 \(v\in V\)에 대하여 \(\|cv\|=|c|\|v\|\)이다. 

(iii) \(\|v+w\|\leq\|v\|+\|w\|\) (삼각부등식, triangle inequality)

벡터공간 \(V\)에 노름 \(\|\cdot\|\)이 주어져 있을 때 이것을 \((V,\,\|\cdot\|)\)로 나타내고 노름공간(normed space)이라고 한다. 

 

노름이 주어진 공간에서 \(d(x,\,y)=\|x-y\|\)로 거리를 정의할 수 있고 따라서 노름공간은 거리공간이다.

예: 

(1) \(1\leq p<\infty\)일 때 유클리드공간 \(\mathbb{R}^{n}\)의 원소 \(x\)에 대해$$\|x\|_{p}=\left(\sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p}}\right)^{\frac{1}{p}},\,\|x\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}{|x_{i}|}$$로 정의된 \(\|\cdot\|_{p}\)와 \(\|\cdot\|_{\infty}\)는 노름이다. 

(2) 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 함수들의 공간 \(C([a,\,b])\)에서의 연속함수 \(f\)에 대해$$\|f\|=\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}$$로 정의된 \(\|\cdot\|\)는 노름이다. 

거리공간 \((X,\,d)\)의 원소들의 수열 \(\{x_{n}\}\)에 대해 \(\{d(x_{n},\,x)\}\)가 0으로 수렴하면 수열 \(\{x_{n}\}\)은 \(x\)로 수렴(limit)한다고 하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x\)으로 나타낸다. 이것을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(d(x,\,x_{n})<\epsilon\)이다. 

거리공간에서의 수열 \(\{x_{n}\}\)이 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(m,\,n\geq N\)일때 \(d(x_{n},\,x_{m})<\epsilon\)이면, \(\{x_{n}\}\)을 코시수열(Cauchy sequence)이라고 한다. 

수렴하는 수열은 코시수열이나 그 역은 성립하지 않는다. 

유리수 \(\mathbb{Q}\)에서의 수열 \(x_{1}=1,\,x_{2}=1.41,\,x_{3}=1.414,\,...\)(\(\sqrt{2}\)의 소수 \(n\)째 자리표기)는 그 극한이 \(\sqrt{2}\)이고 \(\sqrt{2}\neq\mathbb{Q}\)이므로 수열 \(\{x_{n}\}\)은 \(\mathbb{Q}\)에서 수렴하지 않는다. 또한$$\begin{align*}\frac{\pi}{4}&=\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x^{2}}dx}=\int_{0}^{1}{\left(\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}(x)^{2n}}\right)dx}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\int_{0}^{1}{x^{2n}dx}}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{2n+1}}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\cdots\end{align*}$$이므로$$\pi=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\right)$$이고 이것은 급수 \(\displaystyle4\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{2n+1}}\)이 유리수 수열으로서 무리수인 \(\pi\)로 수렴함(유리수로 수렴하지 않음)을 뜻한다.

일반적인 거리공간에서 임의의 코시수열이 그 공간 안에서 수렴하면 그 공간을 완비(complete)라고 한다. 실수 전체의 집합과 유클리드 공간(\(\mathbb{R}^{n}\))은 완비이나 앞에서 보았듯이 유리수 전체의 집합은 완비가 아니다.   

\((X,\,d_{X})\), \((Y,\,d_{Y})\)를 거리공간, \(f:X\,\rightarrow\,Y\)를 거리공간 \(X\)에서 거리공간 \(Y\)로의 함수라 하자.

\(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x\)일 때 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=f(x)\)를 만족하면 \(f\)는 점 \(x\)에서 연속(continuous)이라고 하고, 이 성질이 모든 \(x\in X\)에 대해 성립하면 \(f\)는 \(X\)에서 연속(continuous)이라고 한다.   

다음의 명제는 서로 동치이다. 

(i) \(f\)는 \(x\)에서 연속이다.

(ii) 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(d_{X}(x,\,x')<\delta\)이면 \(d_{Y}(f(x),\,f(x'))<\epsilon\)이다. 이때 \(\delta\)는 \(x\)와 \(\epsilon\)에 의존한다. 

임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(d_{X}(x,\,x')<\delta\)이면 \(d_{Y}(f(x),\,f(x'))<\epsilon\)이고 이때 \(\delta\)가 \(\epsilon\)에만 의존하면 \(f\)는 \(X\)에서 균등연속(uniformly continuous)이라고 한다. 

\(X=[0,\,1]\)에서 \(Y=(0,\,1]\)로의 함수 \(y=\frac{1}{x}\)는 연속이나 균등연속은 아니다. 립쉬츠 연속(Lipschitz continuous: 임의의 \(x,\,y\) 에 대해 \(M>0\)이 존재해서 \(|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|\))인 함수는 균등연속이고, 도함수가 유계인 미분가능한 함수는 립쉬츠 연속이므로 따라서 균등연속이다. 

구간 \([0,\,1]\)에서 연속인 함수들의 공간 \(C([0,\,1])\)은 벡터공간이고$$\|f\|=\sup_{x\in[0,\,1]}{|f(x)|}$$는 \(C([0,\,1])\)에서의 노름이고, 이 노름을 균등노름(uniform norm)이라고 한다. 이때 \(f,\,g\in C([0,\,1])\)에 대해$$d(f,\,g)=\max_{x\in[0,\,1]}{|f(x)-g(x)|}$$는 거리함수이고 따라서 \(C([0,\,1])\)은 거리공간이며 완비공간이다. 

거리공간 \((X,\,d)\)이 주어져 있다고 하자. \(r>0\)에 대해 거리공간 \((X,\,d)\)의 부분집합 \(B_{r}(x)=\{x\in X\,|\,d(x_{0},\,x)<r\}\)을 중심이 \(r\)이고 반지름이 \(r\)인 열린 공(open ball)이라고 한다. 

\(X\)의 부분집합 \(U\)가 임의의 점 \(x\)에 대해 적당한 반지름 \(r>0\)이 존재해서 \(B_{r}(x)\subset U\)이면, \(U\)를 열린집합(open set)이라 하고, 열린집합의 여집합을 닫힌집합(closed set)이라고 한다. 

부분집합 \(K\subset X\)가 다른 부분집합들 \(\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda\}\)에 의해 덮일 때, 즉 \(\displaystyle K\subset U_{\lambda\in\Lambda}{U_{\lambda}}\)일 때, \(\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda\}\)를 \(K\)의 덮개(cover)라고 한다. 만약 \(K\)가 \(\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda\}\)의 일부만으로 덮일 수 있는 경우, 즉 \(\Lambda_{0}\subset\Lambda\)가 존재해서 \(\displaystyle K\subset\bigcup_{\lambda\in\Lambda}{U_{\lambda}}\)일 때 \(\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda_{0}\}\)를 \(K\)의 부분덮개(subcover) 또는 \(\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda\}\)의 부분덮개라고 한다. 만약 모든 \(U_{\lambda}\)가 열린집합이면 \(\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda\}\)를 열린덮개(open cover)라고 하고, \(\Lambda_{0}\)가 유한개의 원소를 가지면 \(\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda_{0}\}\)를 유한 부분덮개라고 한다. 

\(K\subset X\)의 임의의 열린 덮개에 대해 유한 부분덮개가 존재하면 \(K\)를 컴팩트 집합(compact set)이라고 한다.

예: 거리공간 \((X,\,d)\)에서 \(\emptyset\)과 유한개의 원소를 갖는 집합은 컴팩트이고, \(\mathbb{R}\)에서 닫힌구간 \([a,\,b]\)는 컴팩트이나 무한한 길이를 갖는 닫힌구간 \(R\), \((-\infty,\,a],[b,\,\infty)\)는 컴팩트 집합이 아니다. 

\((X,\,d_{X})\), \((Y,\,d_{Y})\)를 거리공간, \(f:X\,\rightarrow\,Y\)를 연속함수라고 하자. \(X\)가 컴팩트 집합이면 다음이 성립한다.

(i) \(f[X]\)는 \(Y\)의 컴팩트 부분집합이다. 

(ii) \(Y=\mathbb{R}\)이면 \(f\)는 \(X\)에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.

(iii) \(f\)는 균등연속이다.    

거리공간 \(X\)의 부분집합 \(X_{0}\)가 \(X\)의 조밀 부분집합(dense subset)이라는 것은 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(B_{r}(x)\cap X_{0}\neq\emptyset\)을 만족하는 것이다. 이것과 동치인 조건은 임의의 \(x\in X\)에 대해 \(X\)상의 수열 \(\{x_{n}\}\)이 존재해서 \(x\)로 수렴한다이고, 이 동치조건은 주로 어떤 집합이 닫힌집합임을 보일 때 자주 사용된다. 

예를들어 유리수 전체의 집합 \(\mathbb{Q}\)는 실수 전체의 집합 \(\mathbb{R}\)에서 조밀하고 무리수 전체의 집합 또한 \(\mathbb{R}\)에서 조밀하다. 반면에 정수 전체의 집합 \(\mathbb{Z}\)는 \(\mathbb{R}\)에서 조밀하지 않다. 열린구간 \((a,\,b)\)는 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 조밀하다. 

바이어슈트라스 정리(Weierstrass theorem) 주기가 1인 실수값을 갖는 삼각함수들의 집합$$\left\{\sum_{n=1}^{N}{a_{n}\cos(2n\pi  x)}+\sum_{n=1}^{N}{b_{n}\sin(2n\pi x)}\,|\,a_{n},\,b_{n}\in\mathbb{R},\,N\in\mathbb{N}\right\}$$은 \(C([0,\,1])\)에서 조밀하다. 

스톤-바이어슈트라스 정리(Stone-Weierstrass theorem) 주기가 1인 복소 삼각함수들의 집합$$\left\{\sum_{n=-N}^{N}{c_{n}e^{2n\pi x}}\,|\,c_{n}\in\mathbb{C},\,N\in\mathbb{N}\right\}$$은 구간 \([0,\,1]\)에서의 복소 연속함수들의 공간 \(C([0,\,1])\)에서 조밀하다. 

노름공간 \((X,\,\|\cdot\|_{X})\), \((Y,\,\|\cdot\|_{Y})\)가 주어져 있다(혼동의 우려가 없을 때 \(\|\cdot\|_{X}\)와 \(\|\cdot\|_{Y}\)를 모두 \(\|\cdot\|\)로 나타낸다). 함수 \(f:X\,\rightarrow\,Y\)가 임의의 \(x_{1},\,x_{2}\)에 대해 \(f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})\)이고 임의의 \(x\in X\)와 스칼라 \(c\)에 대해 \(f(cx)=cf(x)\)이면, \(f\)를 선형사상(linear map)이라고 하고, 선형사상 \(f:X\,\rightarrow\,Y\)의 노름을$$\|f\|=\sup_{x\neq0}{\frac{\|f(x)\|}{\|x\|}}=\sup_{\|x\|=1}{\|f(x)\|}$$으로 정의한다. \(\|f\|<\infty\)이면 \(f\)를 유계(bounded)사상이라 하고, 이것은 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(\|f(x)\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}\)라는 것과 동치이다. \(\|f\|\)는 이 부등식을 만족하는 \(M\)의 하한(infimum)이다. 

노름공간 \((X,\,\|\cdot\|_{X})\), \((Y,\,\|\cdot\|_{Y})\)와 선형사상 \(f:X\,\rightarrow\,Y\)에 대해 다음의 명제는 서로 동치이다.

(i) \(f\)는 유계이다.

(ii) \(f\)는 연속이다.

(iii) \(f\)는 균등연속이다. 

집합 \(X,\,Y\)와 \(X\)의 부분집합 \(X_{0}\)에 대해 함수 \(f:X_{0}\,\rightarrow\,Y\)가 정의되었다고 하자. 함수 \(F:X\,\rightarrow\,Y\)가 존재해서 모든 \(x\in X\)에 대해 \(F(x)=f(x)\)이면 \(F\)를 \(f\)의 \(X\)로의 확장(extension)이라고 하고, \(f\)를 \(F\)의 \(X_{0}\)로의 제한(restriction)이라고 한다. 

거리공간 \((X,\,d_{Y})\), \((Y,\,d_{Y})\)와 균등연속인 함수 \(f:X\,\rightarrow\,Y\)가 있다고 하자. 그러면 \(f\)는 코시수열 \(\{x_{n}\}\)을 코시수열 \(\{f(x_{n})\}\)으로 사상한다. 

이 정리로부터 다음의 정리를 얻는다.

거리공간 \((X,\,d_{x})\), \((Y,\,d_{Y})\)와 \(X\)의 조밀한 부분공간 \(X_{0}\subset X\)가 주어져 있고, \(Y\)를 완비공간이라고 하자. 사상 \(f:X_{0}\,\rightarrow\,Y\)가 균등연속일 때 \(f\)는 \(X\)전체에서 연속이고 선형사상으로 확장이 가능하다.  

이 정리로부터 다음의 결과를 얻는다.

노름공간 \((X,\,\|\cdot\|_{X})\), \((Y,\,\|\cdot\|_{Y})\)와 \(X\)의 조밀한 부분공간 \(X_{0}\subset X\)가 주어져 있고, \(Y\)를 완비공간이라고 하자. 선형사상 \(f:X_{0}\,\rightarrow\,Y\)가 연속이면 \(f\)는 균등연속이므로 \(f\)는 \(X\) 전체에서 연속이고 선형사상으로 확장이 가능하다.   

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사