[금융수학] 6. 거리공간

[금융수학] 6. 거리공간

집합 $X$위에 정의된 거리(metric)는 다음의 조건을 만족하는 함수 $d:X\times X\,\rightarrow\,\mathbb{R}$이다. 

(i) $d(x,\,y)\geq0$이고 $d(x,\,y)=0$일 필요충분조건은 $x=y$이다. 

(ii) $d(x,\,y)=d(y,\,x)$  

(iii) $d(x,\,z)\leq d(x,\,y)+d(y,\,z)$ (삼각부등식, triangle inequality)   

집합 $X$에 거리 $d$가 주어져 있을 때 이것을 $(X,\,d)$로 나타내고 거리공간(metric space)이라고 한다. 

예:  

(1) 유클리드공간 $\mathbb{R}^{n}$의 두 점 $x=(x_{1},\,...,\,x_{n}),\,y(y_{1},\,...,\,y_{n})$에 대해 다음과 같이 정의된 거리 $d$는 거리함수이고 따라서 $(\mathbb{R}^{n},\,d)$는 거리공간이다. $$d(x,\,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})^{2}}}$$ (2) 구간 $[a,\,b]$에서 연속인 함수들의 공간 $C([a,\,b])$에서의 두 연속함수 $f,\,g$에 대해 다음과 같이 정의된 거리 $d$는 거리함수이고 따라서 $(C([a,\,b]),\,d)$는 거리공간이다. $$d(f,\,g)=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|dx}$$ 벡터공간 $V$에 정의된 노름(norm)은 다음을 조건을 만족하는 함수 $\|\cdot\|:V\,\rightarrow\,\mathbb{R}$이다.

(i) 모든 $v\in V$에 대하여 $\|v\|=0$이고 $\|v\|=0$일 필요충분조건은 $v=\mathbf{0}$이다.  

(ii) 스칼라 $c$와 $v\in V$에 대하여 $\|cv\|=|c|\|v\|$이다. 

(iii) $\|v+w\|\leq\|v\|+\|w\|$ (삼각부등식, triangle inequality)

벡터공간 $V$에 노름 $\|\cdot\|$이 주어져 있을 때 이것을 $(V,\,\|\cdot\|)$로 나타내고 노름공간(normed space)이라고 한다. 

 

노름이 주어진 공간에서 $d(x,\,y)=\|x-y\|$로 거리를 정의할 수 있고 따라서 노름공간은 거리공간이다.

예: 

(1) $1\leq p<\infty$일 때 유클리드공간 $\mathbb{R}^{n}$의 원소 $x$에 대해 $$\|x\|_{p}=\left(\sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p}}\right)^{\frac{1}{p}},\,\|x\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}{|x_{i}|}$$ 로 정의된 $\|\cdot\|_{p}$와 $\|\cdot\|_{\infty}$는 노름이다. 

(2) 구간 $[a,\,b]$에서 연속인 함수들의 공간 $C([a,\,b])$에서의 연속함수 $f$에 대해 $$\|f\|=\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}$$ 로 정의된 $\|\cdot\|$는 노름이다. 

거리공간 $(X,\,d)$의 원소들의 수열 $\{x_{n}\}$에 대해 $\{d(x_{n},\,x)\}$가 0으로 수렴하면 수열 $\{x_{n}\}$은 $x$로 수렴(limit)한다고 하고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x$으로 나타낸다. 이것을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때 $d(x,\,x_{n})<\epsilon$이다. 

거리공간에서의 수열 $\{x_{n}\}$이 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $m,\,n\geq N$일때 $d(x_{n},\,x_{m})<\epsilon$이면, $\{x_{n}\}$을 코시수열(Cauchy sequence)이라고 한다. 

수렴하는 수열은 코시수열이나 그 역은 성립하지 않는다. 

유리수 $\mathbb{Q}$에서의 수열 $x_{1}=1,\,x_{2}=1.41,\,x_{3}=1.414,\,...$($\sqrt{2}$의 소수 $n$째 자리표기)는 그 극한이 $\sqrt{2}$이고 $\sqrt{2}\neq\mathbb{Q}$이므로 수열 $\{x_{n}\}$은 $\mathbb{Q}$에서 수렴하지 않는다. 또한 $$\begin{align*}\frac{\pi}{4}&=\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x^{2}}dx}=\int_{0}^{1}{\left(\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}(x)^{2n}}\right)dx}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\int_{0}^{1}{x^{2n}dx}}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{2n+1}}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\cdots\end{align*}$$ 이므로 $$\pi=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\right)$$ 이고 이것은 급수 $\displaystyle4\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{2n+1}}$이 유리수 수열으로서 무리수인 $\pi$로 수렴함(유리수로 수렴하지 않음)을 뜻한다.

일반적인 거리공간에서 임의의 코시수열이 그 공간 안에서 수렴하면 그 공간을 완비(complete)라고 한다. 실수 전체의 집합과 유클리드 공간($\mathbb{R}^{n}$)은 완비이나 앞에서 보았듯이 유리수 전체의 집합은 완비가 아니다.   

$(X,\,d_{X})$, $(Y,\,d_{Y})$를 거리공간, $f:X\,\rightarrow\,Y$를 거리공간 $X$에서 거리공간 $Y$로의 함수라 하자.

$\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x$일 때 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=f(x)$를 만족하면 $f$는 점 $x$에서 연속(continuous)이라고 하고, 이 성질이 모든 $x\in X$에 대해 성립하면 $f$는 $X$에서 연속(continuous)이라고 한다.   

다음의 명제는 서로 동치이다. 

(i) $f$는 $x$에서 연속이다.

(ii) 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\delta>0$가 존재해서 $d_{X}(x,\,x')<\delta$이면 $d_{Y}(f(x),\,f(x'))<\epsilon$이다. 이때 $\delta$는 $x$와 $\epsilon$에 의존한다. 

임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\delta>0$가 존재해서 $d_{X}(x,\,x')<\delta$이면 $d_{Y}(f(x),\,f(x'))<\epsilon$이고 이때 $\delta$가 $\epsilon$에만 의존하면 $f$는 $X$에서 균등연속(uniformly continuous)이라고 한다. 

$X=[0,\,1]$에서 $Y=(0,\,1]$로의 함수 $y=\frac{1}{x}$는 연속이나 균등연속은 아니다. 립쉬츠 연속(Lipschitz continuous: 임의의 $x,\,y$ 에 대해 $M>0$이 존재해서 $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$)인 함수는 균등연속이고, 도함수가 유계인 미분가능한 함수는 립쉬츠 연속이므로 따라서 균등연속이다. 

구간 $[0,\,1]$에서 연속인 함수들의 공간 $C([0,\,1])$은 벡터공간이고 $$\|f\|=\sup_{x\in[0,\,1]}{|f(x)|}$$ 는 $C([0,\,1])$에서의 노름이고, 이 노름을 균등노름(uniform norm)이라고 한다. 이때 $f,\,g\in C([0,\,1])$에 대해 $$d(f,\,g)=\max_{x\in[0,\,1]}{|f(x)-g(x)|}$$ 는 거리함수이고 따라서 $C([0,\,1])$은 거리공간이며 완비공간이다. 

거리공간 $(X,\,d)$이 주어져 있다고 하자. $r>0$에 대해 거리공간 $(X,\,d)$의 부분집합 $B_{r}(x)=\{x\in X\,|\,d(x_{0},\,x)<r\}$을 중심이 $r$이고 반지름이 $r$인 열린 공(open ball)이라고 한다. 

$X$의 부분집합 $U$가 임의의 점 $x$에 대해 적당한 반지름 $r>0$이 존재해서 $B_{r}(x)\subset U$이면, $U$를 열린집합(open set)이라 하고, 열린집합의 여집합을 닫힌집합(closed set)이라고 한다. 

부분집합 $K\subset X$가 다른 부분집합들 $\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda\}$에 의해 덮일 때, 즉 $\displaystyle K\subset U_{\lambda\in\Lambda}{U_{\lambda}}$일 때, $\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda\}$를 $K$의 덮개(cover)라고 한다. 만약 $K$가 $\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda\}$의 일부만으로 덮일 수 있는 경우, 즉 $\Lambda_{0}\subset\Lambda$가 존재해서 $\displaystyle K\subset\bigcup_{\lambda\in\Lambda}{U_{\lambda}}$일 때 $\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda_{0}\}$를 $K$의 부분덮개(subcover) 또는 $\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda\}$의 부분덮개라고 한다. 만약 모든 $U_{\lambda}$가 열린집합이면 $\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda\}$를 열린덮개(open cover)라고 하고, $\Lambda_{0}$가 유한개의 원소를 가지면 $\{U_{\lambda}\,|\,\lambda\in\Lambda_{0}\}$를 유한 부분덮개라고 한다. 

$K\subset X$의 임의의 열린 덮개에 대해 유한 부분덮개가 존재하면 $K$를 컴팩트 집합(compact set)이라고 한다.

예: 거리공간 $(X,\,d)$에서 $\emptyset$과 유한개의 원소를 갖는 집합은 컴팩트이고, $\mathbb{R}$에서 닫힌구간 $[a,\,b]$는 컴팩트이나 무한한 길이를 갖는 닫힌구간 $R$, $(-\infty,\,a],[b,\,\infty)$는 컴팩트 집합이 아니다. 

$(X,\,d_{X})$, $(Y,\,d_{Y})$를 거리공간, $f:X\,\rightarrow\,Y$를 연속함수라고 하자. $X$가 컴팩트 집합이면 다음이 성립한다.

(i) $f[X]$는 $Y$의 컴팩트 부분집합이다. 

(ii) $Y=\mathbb{R}$이면 $f$는 $X$에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.

(iii) $f$는 균등연속이다.    

거리공간 $X$의 부분집합 $X_{0}$가 $X$의 조밀 부분집합(dense subset)이라는 것은 임의의 $x\in X$에 대하여 $B_{r}(x)\cap X_{0}\neq\emptyset$을 만족하는 것이다. 이것과 동치인 조건은 임의의 $x\in X$에 대해 $X$상의 수열 $\{x_{n}\}$이 존재해서 $x$로 수렴한다이고, 이 동치조건은 주로 어떤 집합이 닫힌집합임을 보일 때 자주 사용된다. 

예를들어 유리수 전체의 집합 $\mathbb{Q}$는 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$에서 조밀하고 무리수 전체의 집합 또한 $\mathbb{R}$에서 조밀하다. 반면에 정수 전체의 집합 $\mathbb{Z}$는 $\mathbb{R}$에서 조밀하지 않다. 열린구간 $(a,\,b)$는 닫힌구간 $[a,\,b]$에서 조밀하다. 

바이어슈트라스 정리(Weierstrass theorem) 주기가 1인 실수값을 갖는 삼각함수들의 집합 $$\left\{\sum_{n=1}^{N}{a_{n}\cos(2n\pi  x)}+\sum_{n=1}^{N}{b_{n}\sin(2n\pi x)}\,|\,a_{n},\,b_{n}\in\mathbb{R},\,N\in\mathbb{N}\right\}$$ 은 $C([0,\,1])$에서 조밀하다. 

스톤-바이어슈트라스 정리(Stone-Weierstrass theorem) 주기가 1인 복소 삼각함수들의 집합 $$\left\{\sum_{n=-N}^{N}{c_{n}e^{2n\pi x}}\,|\,c_{n}\in\mathbb{C},\,N\in\mathbb{N}\right\}$$ 은 구간 $[0,\,1]$에서의 복소 연속함수들의 공간 $C([0,\,1])$에서 조밀하다. 

노름공간 $(X,\,\|\cdot\|_{X})$, $(Y,\,\|\cdot\|_{Y})$가 주어져 있다(혼동의 우려가 없을 때 $\|\cdot\|_{X}$와 $\|\cdot\|_{Y}$를 모두 $\|\cdot\|$로 나타낸다). 함수 $f:X\,\rightarrow\,Y$가 임의의 $x_{1},\,x_{2}$에 대해 $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$이고 임의의 $x\in X$와 스칼라 $c$에 대해 $f(cx)=cf(x)$이면, $f$를 선형사상(linear map)이라고 하고, 선형사상 $f:X\,\rightarrow\,Y$의 노름을 $$\|f\|=\sup_{x\neq0}{\frac{\|f(x)\|}{\|x\|}}=\sup_{\|x\|=1}{\|f(x)\|}$$ 으로 정의한다. $\|f\|<\infty$이면 $f$를 유계(bounded)사상이라 하고, 이것은 $M>0$이 존재해서 모든 $x\in X$에 대하여 $\|f(x)\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}$라는 것과 동치이다. $\|f\|$는 이 부등식을 만족하는 $M$의 하한(infimum)이다. 

노름공간 $(X,\,\|\cdot\|_{X})$, $(Y,\,\|\cdot\|_{Y})$와 선형사상 $f:X\,\rightarrow\,Y$에 대해 다음의 명제는 서로 동치이다.

(i) $f$는 유계이다.

(ii) $f$는 연속이다.

(iii) $f$는 균등연속이다. 

집합 $X,\,Y$와 $X$의 부분집합 $X_{0}$에 대해 함수 $f:X_{0}\,\rightarrow\,Y$가 정의되었다고 하자. 함수 $F:X\,\rightarrow\,Y$가 존재해서 모든 $x\in X$에 대해 $F(x)=f(x)$이면 $F$를 $f$의 $X$로의 확장(extension)이라고 하고, $f$를 $F$의 $X_{0}$로의 제한(restriction)이라고 한다. 

거리공간 $(X,\,d_{Y})$, $(Y,\,d_{Y})$와 균등연속인 함수 $f:X\,\rightarrow\,Y$가 있다고 하자. 그러면 $f$는 코시수열 $\{x_{n}\}$을 코시수열 $\{f(x_{n})\}$으로 사상한다. 

이 정리로부터 다음의 정리를 얻는다.

거리공간 $(X,\,d_{x})$, $(Y,\,d_{Y})$와 $X$의 조밀한 부분공간 $X_{0}\subset X$가 주어져 있고, $Y$를 완비공간이라고 하자. 사상 $f:X_{0}\,\rightarrow\,Y$가 균등연속일 때 $f$는 $X$전체에서 연속이고 선형사상으로 확장이 가능하다.  

이 정리로부터 다음의 결과를 얻는다.

노름공간 $(X,\,\|\cdot\|_{X})$, $(Y,\,\|\cdot\|_{Y})$와 $X$의 조밀한 부분공간 $X_{0}\subset X$가 주어져 있고, $Y$를 완비공간이라고 하자. 선형사상 $f:X_{0}\,\rightarrow\,Y$가 연속이면 $f$는 균등연속이므로 $f$는 $X$ 전체에서 연속이고 선형사상으로 확장이 가능하다.   

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사