[금융수학] 3. 기초 해석학

[금융수학] 3. 기초 해석학

자연수 전체의 집합을 $\mathbb{N}$, 정수 전체의 집합을 $\mathbb{Z}$, 유리수 전체의 집합을 $\mathbb{Q}$, 실수 전체의 집합을 $\mathbb{R}$, 복소수 전체의 집합을 $\mathbb{C}$로 나타낸다. 

두 집합 $A,\,B\subset X$의 

-차집합(difference): $A-B=\{x\,|\,x\in A,\,x\notin B\}$

-대칭차집합(symmetric difference): $A\Delta B=(A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)$

-여집합(complement): $A^{c}=X-A$

두 집합 $X,\,Y$가 주어졌을 때 $X$에서 $Y$로의 함수(function) 또는 사상(mapping) $f:X\,\rightarrow\,Y$는 각 $x\in X$마다 유일한 $f(x)\in Y$를 대응시키는 규칙이고 $X$를 $f$의 정의역(domain), $Y$를 $f$의 공역(codomain), $x\in X$에 대한 $f(x)$를 $f$에 의한 $x$의 상(image), 정의역 $X$의 $f$에 의한 상(image)인 $f[X]=\{f(x)\,|\,x\in X\}$를 $f$의 치역(range)이라고 한다. 

$\{f(x)\,|\,x\in X\}=Y$일 때 $f$를 위로의(onto)함수라고 하고, $x_{1}\neq x_{2}$일 때 $f(x_{1})\neq f(x_{2})$가 성립하면 $f$를 일대일(one-to-one)함수라고 한다. $f:X\,\rightarrow\,Y$가 위로의 함수이고 일대일이면, $f$를 일대일 대응(bijection)이라고 하고 이때 역함수(inverse function) $f^{-1}$가 존재한다.

함수 $f:X\,\rightarrow\,Y$의 역함수가 존재하지 않는 경우에 집합 $E\subset Y$의 역상은 존재하고 그 역상은 $f^{-1}[E]=\{x\,|\,f(x)\in E\}$이다. 이때 역상에 대해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}f^{-1}[E\cup F]&=f^{-1}[E]\cup f^{-1}[F]\\f^{-1}[E\cap F]&=f^{-1}[E]\cap f^{-1}[F]\\ f^{-1}[Y-E]&=X-f^{-1}[E]\,(\because Y=f[X])\end{align*}$$ 함수 $f:X\,\rightarrow\,Y$와 $g:Y\,\rightarrow\,Z$에 대해 $g\circ f:X\,\rightarrow\,Z$, $(g\circ f)(x)=g(f(x))$로 정의되는 함수 $g\circ f$를 $f$와 $g$의 합성함수(composite function)라고 한다.

집합 $A$의 원소의 개수를 $A$의 농도(cardinality)라 하고 $\text{card}A$로 나타낸다. 함수 $f:X\,\rightarrow\,Y$가 일대일 대응이면 $X$와 $Y$는 같은 농도를 갖는다고 한다. 

$X$가 유한개의 원소를 갖거나 $\mathbb{N}$과 같은 농도를 가지면 $X$를 가산(countable, 셀 수 있는)집합이라고 하고, 그렇지 않은 집합을 비가산(uncountable, 셀 수 없는)집합이라고 한다. 정수 전체의 집합 $\mathbb{Z}$와 유리수 전체의 집합 $\mathbb{Q}$는 가산집합이고, 가산개의 가산집합들의 합집합도 가산집합이다. 반면에 구간 $(0,\,1)=\{x\,|\,0<x<1\}$은 비가산집합이고 이 사실로부터 $\mathbb{R}$은 비가산집합이며 $\mathbb{C}$도 비가산집합이다. 

부분집합 $A\subset X$의 특성함수(characteristic function) 또는 지시함수(indicator function) $\chi_{A}(x)$는 다음과 같이 정의된다. $$\chi_{A}(x)=\begin{cases}1,&\,(x\in A)\\0,&\,(x\notin A)\end{cases}$$ 자연수 $\mathbb{N}$에서 실수 $\mathbb{R}$로의 함수 $f:\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 수열(sequence)이라 하고, $n\in\mathbb{N}$에 대한 $f$의 값 $f(n)=a_{n}$을 수열 $a_{n}$의 제$n$항이라 하고, 수열을 $\{a_{n}\}$으로 나타낸다. 

수열 $\{a_{n}\}$이 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $a$로 수렴(converge)한다는 것은 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때 $|a_{n}-a|<\epsilon$이 성립하는 것이고, $a$를 $\{a_{n}\}$의 극한(limit)이라고 하며 다음과 같이 나타낸다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a$$ 수열 $\{a_{n}\}$이 코시수열(cauchy sequence)이라는 것은 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $m,\,n\geq N$일 때 $|a_{m}-a_{n}|<\epsilon$이 성립하는 것이다. 

수열 $\{a_{n}\}$을 무한히 더한 식 $$\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+\cdots$$ 를 급수(series)라 하고, 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}$를 급수의 부분합(partial sum)이라고 한다.

부분합의 수열 $\{S_{n}\}$이 $S$로 수렴하면, 급수는 수렴(converges)한다고 하고 다음과 같이 나타낸다. $$\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}=S$$ 함수 $f$가 $x=a$에서 극한(limit)값 $L$을 갖는다는 것은 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\delta>0$가 존재해서 $0<|x-a|<\delta$일 때 $|f(x)-L|<\epsilon$이 성립하는 것이고, 다음과 같이 나타낸다. $$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=L$$ 함수 $f$가 $x=a$에서 연속(continuous)이라는 것은 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\delta>0$가 존재해서 $|x-a|<\delta$일 때 $|f(x)-f(a)|<\epsilon$이 성립하는 것이다. 

고등학교 수학에서는 함수의 연속을 다음의 세 가지 조건을 만족하는 것으로 정의한다. 

1. $x=a$에서 함숫값 $f(a)$가 정의되어 있다.

2. $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}$가 존재한다.

3. $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=f(a)$

함수 $f$가 닫힌구간에서 연속이면 1. 최댓값과 최솟값을 갖고(최대, 최소의 정리), 2. 최댓값과 최솟값 사이의 어떤 실수에 대해 그 실수를 함수값으로 갖는 점이 정의역 안에 존재한다(중간값 정리).  

함수 $f$가 구간 $I$에서 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은 임의의 $x,\,y\in I$와 $\epsilon>0$에 대해 $\delta>0$가 존재해서 $|x-y|<\delta$이면 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$이 성립하는 것이다.  

함수 $f$의 정의역 $D$에 속하는 $x=a$에 대해 극한값 $$\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}$$ 가 존재하면 $f$는 $x=a$에서 미분가능(differentiable)하다고 하고, 이 극한값을 $f'(a)$로 나타내며 이것을 미분계수라고 한다.

함수 $f$의 정의역 $D$의 부분집합 $I$의 모든 점에서 미분가능하면 $f$의 도함수(derivative) $f'$은 $$f'(x)=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$ 로 정의된다. 함수 $f$가 정의역 $D$의 모든 점에서 미분가능하면, $f$는 미분가능(differentiable)한 함수라고 한다. 

도함수 $f'$도 함수이므로 $f'$이 미분가능하면 $f'$의 도함수는 $f''$로 나타내고 이것을 함수 $f$의 2계도함수라고 하며 다음과 같이 정의된다. $$f''(x)=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}}$$ 이 과정을 계속할 수 있으면, 각 도함수를 $f',\,f'',\,f^{(3)},\,...,\,f^{(n)}$ 또는 $\displaystyle\frac{dy}{dx},\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}},\,\frac{d^{3}y}{dx^{3}},\,...,\,\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$으로 나타내고 각각 1계(보통 생략함), 2계, 3계, ..., $n$계 도함수라고 한다.

[미분에 대한 평균값 정리, mean value theorem for differential calculus] 함수 $f$가 닫힌구간 $[a,\,b]$에서 연속이고 열린구간 $(a,\,b)$에서 미분가능하면 $c\in(a,\,b)$가 존재해서 다음이 성립한다. $$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$ [테일러 정리, Taylor theorem] $c\in(a,\,b)$이고 함수 $f$가 구간 $(a,\,b)$에서 $n+1$번 미분가능하면 $t_{x}$가 $c$와 $x\in(a,\,b)$사이에 존재해서 다음이 성립한다. $$f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^{k}}+\frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}$$ [연쇄법칙, chain rule] 함수 $f$와 $g$가 미분가능한 함수일 때 합성함수 $h=f\circ g$도 미분가능하고 그 도함수는 다음과 같다. $$h'(x)=g'(x)f'(g(x))$$ 기본적인 함수 $x^{n}\,(n\in\mathbb{R})$, $\sin x$, $e^{x}$, $\ln x$의 도함수는 각각 다음과 같다. $$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1},\,\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\,\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},\,\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$ $e$는 $\displaystyle e=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}$로서 정의되는 무리수이다.   

닫힌구간 $[a,\,b]$의 분할 $P:a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b,\,\Delta x=x_{i}-x_{i-1}$에 대해 $\displaystyle M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}$, $\displaystyle m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}$라 하자. $$U(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x_{i}},\,L(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}$$ 를 각각 $[a,\,b]$에서 $f$의 리만 상합(upper Riemann sum), 리만 하합(lower Riemann sum)이라고 하고 $$\overline{\int_{a}^{b}}f(x)dx=\inf_{P}{U(P,\,f)},\,\underline{\int_{a}^{b}}f(x)dx=\sup_{P}{L(P,\,f)}$$ 를 각각 $[a,\,b]$에서 $f$의 리만 상적분(upper Riemann integral), 리만 하적분(lower Riemann integral)이라고 한다. 

$[a,\,b]$에서 함수 $f$의 리만 상적분과 리만 하적분이 같으면 $f$는 $[a,\,b]$에서 리만적분가능(Riemann integrable)하다고 그 공통값을 다음과 같이 나타낸다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 닫힌구간 $[a,\,b]$의 분할 $a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b,\,\Delta x=x_{i}-x_{i-1}$에 대해 $\displaystyle\|P\|=\max_{1\leq i\leq n}{\Delta x_{i}}$라 하자. 다음의 극한값 $$\lim_{\|P\|\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*})\Delta x_{i}}}\,(x_{i}^{*}\in[x_{i-1},\,x_{i}])$$ 가 $x_{i}^{*}$의 선택에 무관하게 존재하면 $f$는 $[a,\,b]$에서 리만적분가능(Riemann integrable)하다고 하고, $$\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*})\Delta x_{i}}$$ 를 리만합(Riemann sum)이라 하고, 리만합의 극한값을 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}$로 나타낸다.

[적분에 관한 평균값 정리, mean value theorem for integral calculus] 함수 $f$가 닫힌구간 $[a,\,b]$에서 연속이라고 하자. 그러면 $c\in(a,\,b)$가 존재해서 다음이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=f(c)(b-a)$$ [미적분학의 기본정리, fundamental theorem of calculus] 함수 $f$가 닫힌구간 $[a,\,b]$에서 연속이고, 열린구간 $(a,\,b)$에서 미분가능하며, $f$의 부정적분(역도함수)가 $F$, 즉 $\displaystyle F'(x)=f(x)$이면 다음이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$ [치환적분법, integration by substitution] 함수 $g$가 $[\alpha,\,\beta]$에서 미분가능하고 $g(\alpha)=\alpha$, $g(\beta)=b$, $f$는 $[a,\,b]$에서 연속이면 다음이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}$$ [부분적분법, integration by parts] 함수 $f,\,g$가 $[a,\,b]$에서 미분가능하고 $f',\,g'$이 $[a,\,b]$에서 리만적분가능하면 다음이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}=\{f(b)g(b)-f(a)g(a)\}-\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}$$ 참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사

금융수학, 김정훈, 교우사

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill