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[금융수학] 3. 기초 해석학



자연수 전체의 집합을 N, 정수 전체의 집합을 Z, 유리수 전체의 집합을 Q, 실수 전체의 집합을 R, 복소수 전체의 집합을 C로 나타낸다. 

두 집합 A,BX의 

-차집합(difference): AB={x|xA,xB}

-대칭차집합(symmetric difference): AΔB=(AB)(BA)=(AB)(AB)

-여집합(complement): Ac=XA


두 집합 X,Y가 주어졌을 때 X에서 Y로의 함수(function) 또는 사상(mapping) f:XY는 각 xX마다 유일한 f(x)Y를 대응시키는 규칙이고 Xf의 정의역(domain), Yf의 공역(codomain), xX에 대한 f(x)f에 의한 x의 상(image), 정의역 Xf에 의한 상(image)인 f[X]={f(x)|xX}f의 치역(range)이라고 한다. 

{f(x)|xX}=Y일 때 f를 위로의(onto)함수라고 하고, x1x2일 때 f(x1)f(x2)가 성립하면 f를 일대일(one-to-one)함수라고 한다. f:XY가 위로의 함수이고 일대일이면, f를 일대일 대응(bijection)이라고 하고 이때 역함수(inverse function) f1가 존재한다.

함수 f:XY의 역함수가 존재하지 않는 경우에 집합 EY의 역상은 존재하고 그 역상은 f1[E]={x|f(x)E}이다. 이때 역상에 대해 다음이 성립한다.f1[EF]=f1[E]f1[F]f1[EF]=f1[E]f1[F]f1[YE]=Xf1[E](Y=f[X])함수 f:XYg:YZ에 대해 gf:XZ, (gf)(x)=g(f(x))로 정의되는 함수 gffg의 합성함수(composite function)라고 한다.

집합 A의 원소의 개수를 A의 농도(cardinality)라 하고 cardA로 나타낸다. 함수 f:XY가 일대일 대응이면 XY는 같은 농도를 갖는다고 한다. 

X가 유한개의 원소를 갖거나 N과 같은 농도를 가지면 X를 가산(countable, 셀 수 있는)집합이라고 하고, 그렇지 않은 집합을 비가산(uncountable, 셀 수 없는)집합이라고 한다. 정수 전체의 집합 Z와 유리수 전체의 집합 Q는 가산집합이고, 가산개의 가산집합들의 합집합도 가산집합이다. 반면에 구간 (0,1)={x|0<x<1}은 비가산집합이고 이 사실로부터 R은 비가산집합이며 C도 비가산집합이다. 

부분집합 AX의 특성함수(characteristic function) 또는 지시함수(indicator function) χA(x)는 다음과 같이 정의된다.χA(x)={1,(xA)0,(xA)자연수 N에서 실수 R로의 함수 f:NR를 수열(sequence)이라 하고, nN에 대한 f의 값 f(n)=an을 수열 an의 제n항이라 하고, 수열을 {an}으로 나타낸다. 

수열 {an}n일 때 a로 수렴(converge)한다는 것은 임의의 ϵ>0에 대해 NN이 존재해서 nN일 때 |ana|<ϵ이 성립하는 것이고, a{an}의 극한(limit)이라고 하며 다음과 같이 나타낸다.limnan=a수열 {an}이 코시수열(cauchy sequence)이라는 것은 임의의 ϵ>0에 대해 NN이 존재해서 m,nN일 때 |aman|<ϵ이 성립하는 것이다. 

수열 {an}을 무한히 더한 식n=1an=a1+a2++an+를 급수(series)라 하고, 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn=nk=1ak를 급수의 부분합(partial sum)이라고 한다.

부분합의 수열 {Sn}S로 수렴하면, 급수는 수렴(converges)한다고 하고 다음과 같이 나타낸다.n=1an=S함수 fx=a에서 극한(limit)값 L을 갖는다는 것은 임의의 ϵ>0에 대해 δ>0가 존재해서 0<|xa|<δ일 때 |f(x)L|<ϵ이 성립하는 것이고, 다음과 같이 나타낸다.limxf(x)=L함수 fx=a에서 연속(continuous)이라는 것은 임의의 ϵ>0에 대해 δ>0가 존재해서 |xa|<δ일 때 |f(x)f(a)|<ϵ이 성립하는 것이다. 

고등학교 수학에서는 함수의 연속을 다음의 세 가지 조건을 만족하는 것으로 정의한다. 

1. x=a에서 함숫값 f(a)가 정의되어 있다.

2. limxaf(x)가 존재한다.

3. limxaf(x)=f(a)

함수 f가 닫힌구간에서 연속이면 1. 최댓값과 최솟값을 갖고(최대, 최소의 정리), 2. 최댓값과 최솟값 사이의 어떤 실수에 대해 그 실수를 함수값으로 갖는 점이 정의역 안에 존재한다(중간값 정리).  

함수 f가 구간 I에서 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은 임의의 x,yIϵ>0에 대해 δ>0가 존재해서 |xy|<δ이면 |f(x)f(y)|<ϵ이 성립하는 것이다.  


함수 f의 정의역 D에 속하는 x=a에 대해 극한값limΔx0f(a+Δx)f(a)Δx가 존재하면 fx=a에서 미분가능(differentiable)하다고 하고, 이 극한값을 f(a)로 나타내며 이것을 미분계수라고 한다.

함수 f의 정의역 D의 부분집합 I의 모든 점에서 미분가능하면 f의 도함수(derivative) ff(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx로 정의된다. 함수 f가 정의역 D의 모든 점에서 미분가능하면, f는 미분가능(differentiable)한 함수라고 한다. 

도함수 f도 함수이므로 f이 미분가능하면 f의 도함수는 f로 나타내고 이것을 함수 f의 2계도함수라고 하며 다음과 같이 정의된다.f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx이 과정을 계속할 수 있으면, 각 도함수를 f,f,f(3),...,f(n) 또는 dydx,d2ydx2,d3ydx3,...,dnydxn으로 나타내고 각각 1계(보통 생략함), 2계, 3계, ..., n계 도함수라고 한다.

[미분에 대한 평균값 정리, mean value theorem for differential calculus] 함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 열린구간 (a,b)에서 미분가능하면 c(a,b)가 존재해서 다음이 성립한다.f(b)f(a)=f(c)(ba)[테일러 정리, Taylor theorem] c(a,b)이고 함수 f가 구간 (a,b)에서 n+1번 미분가능하면 txcx(a,b)사이에 존재해서 다음이 성립한다.f(x)=nk=0f(k)(c)k!(xc)k+f(n+1)(tx)(n+1)!(xc)n+1[연쇄법칙, chain rule] 함수 fg가 미분가능한 함수일 때 합성함수 h=fg도 미분가능하고 그 도함수는 다음과 같다.h(x)=g(x)f(g(x))기본적인 함수 xn(nR), sinx, ex, lnx의 도함수는 각각 다음과 같다.ddxxn=nxn1,ddxsinx=cosx,ddxex=ex,ddxlnx=1xee=limx0(1+x)1x로서 정의되는 무리수이다.   


닫힌구간 [a,b]의 분할 P:a=x0<x1<<xn1<xn=b,Δx=xixi1에 대해 Mi=supx[xi1,xi]f(x), mi=infx[xi1,xi]f(x)라 하자.U(P,f)=ni=1MiΔxi,L(P,f)=ni=1miΔxi를 각각 [a,b]에서 f의 리만 상합(upper Riemann sum), 리만 하합(lower Riemann sum)이라고 하고¯baf(x)dx=infPU(P,f),ba_f(x)dx=supPL(P,f)를 각각 [a,b]에서 f의 리만 상적분(upper Riemann integral), 리만 하적분(lower Riemann integral)이라고 한다. 

[a,b]에서 함수 f의 리만 상적분과 리만 하적분이 같으면 f[a,b]에서 리만적분가능(Riemann integrable)하다고 그 공통값을 다음과 같이 나타낸다.baf(x)dx닫힌구간 [a,b]의 분할 a=x0<x1<<xn1<xn=b,Δx=xixi1에 대해 P=max1inΔxi라 하자. 다음의 극한값limP0ni=1f(xi)Δxi(xi[xi1,xi])xi의 선택에 무관하게 존재하면 f[a,b]에서 리만적분가능(Riemann integrable)하다고 하고,ni=1f(xi)Δxi를 리만합(Riemann sum)이라 하고, 리만합의 극한값을 baf(x)dx로 나타낸다.

[적분에 관한 평균값 정리, mean value theorem for integral calculus] 함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이라고 하자. 그러면 c(a,b)가 존재해서 다음이 성립한다.baf(x)dx=f(c)(ba)[미적분학의 기본정리, fundamental theorem of calculus] 함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능하며, f의 부정적분(역도함수)가 F, 즉 F(x)=f(x)이면 다음이 성립한다.baf(x)dx=F(b)F(a)[치환적분법, integration by substitution] 함수 g[α,β]에서 미분가능하고 g(α)=α, g(β)=b, f[a,b]에서 연속이면 다음이 성립한다.baf(x)dx=βαf(g(t))g(t)dt[부분적분법, integration by parts] 함수 f,g[a,b]에서 미분가능하고 f,g[a,b]에서 리만적분가능하면 다음이 성립한다.baf(x)g(x)dx={f(b)g(b)f(a)g(a)}baf(x)g(x)dx참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사

금융수학, 김정훈, 교우사

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

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Posted by skywalker222