[금융수학] 3. 기초 해석학
자연수 전체의 집합을 N, 정수 전체의 집합을 Z, 유리수 전체의 집합을 Q, 실수 전체의 집합을 R, 복소수 전체의 집합을 C로 나타낸다.
두 집합 A,B⊂X의
-차집합(difference): A−B={x|x∈A,x∉B}
-대칭차집합(symmetric difference): AΔB=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)
-여집합(complement): Ac=X−A
두 집합 X,Y가 주어졌을 때 X에서 Y로의 함수(function) 또는 사상(mapping) f:X→Y는 각 x∈X마다 유일한 f(x)∈Y를 대응시키는 규칙이고 X를 f의 정의역(domain), Y를 f의 공역(codomain), x∈X에 대한 f(x)를 f에 의한 x의 상(image), 정의역 X의 f에 의한 상(image)인 f[X]={f(x)|x∈X}를 f의 치역(range)이라고 한다.
{f(x)|x∈X}=Y일 때 f를 위로의(onto)함수라고 하고, x1≠x2일 때 f(x1)≠f(x2)가 성립하면 f를 일대일(one-to-one)함수라고 한다. f:X→Y가 위로의 함수이고 일대일이면, f를 일대일 대응(bijection)이라고 하고 이때 역함수(inverse function) f−1가 존재한다.
함수 f:X→Y의 역함수가 존재하지 않는 경우에 집합 E⊂Y의 역상은 존재하고 그 역상은 f−1[E]={x|f(x)∈E}이다. 이때 역상에 대해 다음이 성립한다.f−1[E∪F]=f−1[E]∪f−1[F]f−1[E∩F]=f−1[E]∩f−1[F]f−1[Y−E]=X−f−1[E](∵Y=f[X])함수 f:X→Y와 g:Y→Z에 대해 g∘f:X→Z, (g∘f)(x)=g(f(x))로 정의되는 함수 g∘f를 f와 g의 합성함수(composite function)라고 한다.
집합 A의 원소의 개수를 A의 농도(cardinality)라 하고 cardA로 나타낸다. 함수 f:X→Y가 일대일 대응이면 X와 Y는 같은 농도를 갖는다고 한다.
X가 유한개의 원소를 갖거나 N과 같은 농도를 가지면 X를 가산(countable, 셀 수 있는)집합이라고 하고, 그렇지 않은 집합을 비가산(uncountable, 셀 수 없는)집합이라고 한다. 정수 전체의 집합 Z와 유리수 전체의 집합 Q는 가산집합이고, 가산개의 가산집합들의 합집합도 가산집합이다. 반면에 구간 (0,1)={x|0<x<1}은 비가산집합이고 이 사실로부터 R은 비가산집합이며 C도 비가산집합이다.
부분집합 A⊂X의 특성함수(characteristic function) 또는 지시함수(indicator function) χA(x)는 다음과 같이 정의된다.χA(x)={1,(x∈A)0,(x∉A)자연수 N에서 실수 R로의 함수 f:N→R를 수열(sequence)이라 하고, n∈N에 대한 f의 값 f(n)=an을 수열 an의 제n항이라 하고, 수열을 {an}으로 나타낸다.
수열 {an}이 n→∞일 때 a로 수렴(converge)한다는 것은 임의의 ϵ>0에 대해 N∈N이 존재해서 n≥N일 때 |an−a|<ϵ이 성립하는 것이고, a를 {an}의 극한(limit)이라고 하며 다음과 같이 나타낸다.limn→∞an=a수열 {an}이 코시수열(cauchy sequence)이라는 것은 임의의 ϵ>0에 대해 N∈N이 존재해서 m,n≥N일 때 |am−an|<ϵ이 성립하는 것이다.
수열 {an}을 무한히 더한 식∞∑n=1an=a1+a2+⋯+an+⋯를 급수(series)라 하고, 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn=n∑k=1ak를 급수의 부분합(partial sum)이라고 한다.
부분합의 수열 {Sn}이 S로 수렴하면, 급수는 수렴(converges)한다고 하고 다음과 같이 나타낸다.∞∑n=1an=S함수 f가 x=a에서 극한(limit)값 L을 갖는다는 것은 임의의 ϵ>0에 대해 δ>0가 존재해서 0<|x−a|<δ일 때 |f(x)−L|<ϵ이 성립하는 것이고, 다음과 같이 나타낸다.limx→∞f(x)=L함수 f가 x=a에서 연속(continuous)이라는 것은 임의의 ϵ>0에 대해 δ>0가 존재해서 |x−a|<δ일 때 |f(x)−f(a)|<ϵ이 성립하는 것이다.
고등학교 수학에서는 함수의 연속을 다음의 세 가지 조건을 만족하는 것으로 정의한다.
1. x=a에서 함숫값 f(a)가 정의되어 있다.
2. limx→af(x)가 존재한다.
3. limx→af(x)=f(a)
함수 f가 닫힌구간에서 연속이면 1. 최댓값과 최솟값을 갖고(최대, 최소의 정리), 2. 최댓값과 최솟값 사이의 어떤 실수에 대해 그 실수를 함수값으로 갖는 점이 정의역 안에 존재한다(중간값 정리).
함수 f가 구간 I에서 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은 임의의 x,y∈I와 ϵ>0에 대해 δ>0가 존재해서 |x−y|<δ이면 |f(x)−f(y)|<ϵ이 성립하는 것이다.
함수 f의 정의역 D에 속하는 x=a에 대해 극한값limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx가 존재하면 f는 x=a에서 미분가능(differentiable)하다고 하고, 이 극한값을 f′(a)로 나타내며 이것을 미분계수라고 한다.
함수 f의 정의역 D의 부분집합 I의 모든 점에서 미분가능하면 f의 도함수(derivative) f′은f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx로 정의된다. 함수 f가 정의역 D의 모든 점에서 미분가능하면, f는 미분가능(differentiable)한 함수라고 한다.
도함수 f′도 함수이므로 f′이 미분가능하면 f′의 도함수는 f″로 나타내고 이것을 함수 f의 2계도함수라고 하며 다음과 같이 정의된다.f″(x)=limΔx→0f′(x+Δx)−f′(x)Δx이 과정을 계속할 수 있으면, 각 도함수를 f′,f″,f(3),...,f(n) 또는 dydx,d2ydx2,d3ydx3,...,dnydxn으로 나타내고 각각 1계(보통 생략함), 2계, 3계, ..., n계 도함수라고 한다.
[미분에 대한 평균값 정리, mean value theorem for differential calculus] 함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 열린구간 (a,b)에서 미분가능하면 c∈(a,b)가 존재해서 다음이 성립한다.f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)[테일러 정리, Taylor theorem] c∈(a,b)이고 함수 f가 구간 (a,b)에서 n+1번 미분가능하면 tx가 c와 x∈(a,b)사이에 존재해서 다음이 성립한다.f(x)=n∑k=0f(k)(c)k!(x−c)k+f(n+1)(tx)(n+1)!(x−c)n+1[연쇄법칙, chain rule] 함수 f와 g가 미분가능한 함수일 때 합성함수 h=f∘g도 미분가능하고 그 도함수는 다음과 같다.h′(x)=g′(x)f′(g(x))기본적인 함수 xn(n∈R), sinx, ex, lnx의 도함수는 각각 다음과 같다.ddxxn=nxn−1,ddxsinx=cosx,ddxex=ex,ddxlnx=1xe는 e=limx→0(1+x)1x로서 정의되는 무리수이다.
닫힌구간 [a,b]의 분할 P:a=x0<x1<⋯<xn−1<xn=b,Δx=xi−xi−1에 대해 Mi=supx∈[xi−1,xi]f(x), mi=infx∈[xi−1,xi]f(x)라 하자.U(P,f)=n∑i=1MiΔxi,L(P,f)=n∑i=1miΔxi를 각각 [a,b]에서 f의 리만 상합(upper Riemann sum), 리만 하합(lower Riemann sum)이라고 하고¯∫baf(x)dx=infPU(P,f),∫ba_f(x)dx=supPL(P,f)를 각각 [a,b]에서 f의 리만 상적분(upper Riemann integral), 리만 하적분(lower Riemann integral)이라고 한다.
[a,b]에서 함수 f의 리만 상적분과 리만 하적분이 같으면 f는 [a,b]에서 리만적분가능(Riemann integrable)하다고 그 공통값을 다음과 같이 나타낸다.∫baf(x)dx닫힌구간 [a,b]의 분할 a=x0<x1<⋯<xn−1<xn=b,Δx=xi−xi−1에 대해 ‖P‖=max1≤i≤nΔxi라 하자. 다음의 극한값lim‖P‖→0n∑i=1f(x∗i)Δxi(x∗i∈[xi−1,xi])가 x∗i의 선택에 무관하게 존재하면 f는 [a,b]에서 리만적분가능(Riemann integrable)하다고 하고,n∑i=1f(x∗i)Δxi를 리만합(Riemann sum)이라 하고, 리만합의 극한값을 ∫baf(x)dx로 나타낸다.
[적분에 관한 평균값 정리, mean value theorem for integral calculus] 함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이라고 하자. 그러면 c∈(a,b)가 존재해서 다음이 성립한다.∫baf(x)dx=f(c)(b−a)[미적분학의 기본정리, fundamental theorem of calculus] 함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능하며, f의 부정적분(역도함수)가 F, 즉 F′(x)=f(x)이면 다음이 성립한다.∫baf(x)dx=F(b)−F(a)[치환적분법, integration by substitution] 함수 g가 [α,β]에서 미분가능하고 g(α)=α, g(β)=b, f는 [a,b]에서 연속이면 다음이 성립한다.∫baf(x)dx=∫βαf(g(t))g′(t)dt[부분적분법, integration by parts] 함수 f,g가 [a,b]에서 미분가능하고 f′,g′이 [a,b]에서 리만적분가능하면 다음이 성립한다.∫baf(x)g′(x)dx={f(b)g(b)−f(a)g(a)}−∫baf′(x)g(x)dx참고자료:
금융수학의 방법론, 최건호, 경문사
금융수학, 김정훈, 교우사
Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill
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