[금융수학] 3. 기초 해석학

[금융수학] 3. 기초 해석학

자연수 전체의 집합을 \(\mathbb{N}\), 정수 전체의 집합을 \(\mathbb{Z}\), 유리수 전체의 집합을 \(\mathbb{Q}\), 실수 전체의 집합을 \(\mathbb{R}\), 복소수 전체의 집합을 \(\mathbb{C}\)로 나타낸다. 

두 집합 \(A,\,B\subset X\)의 

-차집합(difference): \(A-B=\{x\,|\,x\in A,\,x\notin B\}\)

-대칭차집합(symmetric difference): \(A\Delta B=(A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)\)

-여집합(complement): \(A^{c}=X-A\)

두 집합 \(X,\,Y\)가 주어졌을 때 \(X\)에서 \(Y\)로의 함수(function) 또는 사상(mapping) \(f:X\,\rightarrow\,Y\)는 각 \(x\in X\)마다 유일한 \(f(x)\in Y\)를 대응시키는 규칙이고 \(X\)를 \(f\)의 정의역(domain), \(Y\)를 \(f\)의 공역(codomain), \(x\in X\)에 대한 \(f(x)\)를 \(f\)에 의한 \(x\)의 상(image), 정의역 \(X\)의 \(f\)에 의한 상(image)인 \(f[X]=\{f(x)\,|\,x\in X\}\)를 \(f\)의 치역(range)이라고 한다. 

\(\{f(x)\,|\,x\in X\}=Y\)일 때 \(f\)를 위로의(onto)함수라고 하고, \(x_{1}\neq x_{2}\)일 때 \(f(x_{1})\neq f(x_{2})\)가 성립하면 \(f\)를 일대일(one-to-one)함수라고 한다. \(f:X\,\rightarrow\,Y\)가 위로의 함수이고 일대일이면, \(f\)를 일대일 대응(bijection)이라고 하고 이때 역함수(inverse function) \(f^{-1}\)가 존재한다.

함수 \(f:X\,\rightarrow\,Y\)의 역함수가 존재하지 않는 경우에 집합 \(E\subset Y\)의 역상은 존재하고 그 역상은 \(f^{-1}[E]=\{x\,|\,f(x)\in E\}\)이다. 이때 역상에 대해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}f^{-1}[E\cup F]&=f^{-1}[E]\cup f^{-1}[F]\\f^{-1}[E\cap F]&=f^{-1}[E]\cap f^{-1}[F]\\ f^{-1}[Y-E]&=X-f^{-1}[E]\,(\because Y=f[X])\end{align*}$$함수 \(f:X\,\rightarrow\,Y\)와 \(g:Y\,\rightarrow\,Z\)에 대해 \(g\circ f:X\,\rightarrow\,Z\), \((g\circ f)(x)=g(f(x))\)로 정의되는 함수 \(g\circ f\)를 \(f\)와 \(g\)의 합성함수(composite function)라고 한다.

집합 \(A\)의 원소의 개수를 \(A\)의 농도(cardinality)라 하고 \(\text{card}A\)로 나타낸다. 함수 \(f:X\,\rightarrow\,Y\)가 일대일 대응이면 \(X\)와 \(Y\)는 같은 농도를 갖는다고 한다. 

\(X\)가 유한개의 원소를 갖거나 \(\mathbb{N}\)과 같은 농도를 가지면 \(X\)를 가산(countable, 셀 수 있는)집합이라고 하고, 그렇지 않은 집합을 비가산(uncountable, 셀 수 없는)집합이라고 한다. 정수 전체의 집합 \(\mathbb{Z}\)와 유리수 전체의 집합 \(\mathbb{Q}\)는 가산집합이고, 가산개의 가산집합들의 합집합도 가산집합이다. 반면에 구간 \((0,\,1)=\{x\,|\,0<x<1\}\)은 비가산집합이고 이 사실로부터 \(\mathbb{R}\)은 비가산집합이며 \(\mathbb{C}\)도 비가산집합이다. 

부분집합 \(A\subset X\)의 특성함수(characteristic function) 또는 지시함수(indicator function) \(\chi_{A}(x)\)는 다음과 같이 정의된다.$$\chi_{A}(x)=\begin{cases}1,&\,(x\in A)\\0,&\,(x\notin A)\end{cases}$$자연수 \(\mathbb{N}\)에서 실수 \(\mathbb{R}\)로의 함수 \(f:\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 수열(sequence)이라 하고, \(n\in\mathbb{N}\)에 대한 \(f\)의 값 \(f(n)=a_{n}\)을 수열 \(a_{n}\)의 제\(n\)항이라 하고, 수열을 \(\{a_{n}\}\)으로 나타낸다. 

수열 \(\{a_{n}\}\)이 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(a\)로 수렴(converge)한다는 것은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(|a_{n}-a|<\epsilon\)이 성립하는 것이고, \(a\)를 \(\{a_{n}\}\)의 극한(limit)이라고 하며 다음과 같이 나타낸다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a$$수열 \(\{a_{n}\}\)이 코시수열(cauchy sequence)이라는 것은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(m,\,n\geq N\)일 때 \(|a_{m}-a_{n}|<\epsilon\)이 성립하는 것이다. 

수열 \(\{a_{n}\}\)을 무한히 더한 식$$\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+\cdots$$를 급수(series)라 하고, 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\)를 급수의 부분합(partial sum)이라고 한다.

부분합의 수열 \(\{S_{n}\}\)이 \(S\)로 수렴하면, 급수는 수렴(converges)한다고 하고 다음과 같이 나타낸다.$$\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}=S$$함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 극한(limit)값 \(L\)을 갖는다는 것은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(0<|x-a|<\delta\)일 때 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이 성립하는 것이고, 다음과 같이 나타낸다.$$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=L$$함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 연속(continuous)이라는 것은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|x-a|<\delta\)일 때 \(|f(x)-f(a)|<\epsilon\)이 성립하는 것이다. 

고등학교 수학에서는 함수의 연속을 다음의 세 가지 조건을 만족하는 것으로 정의한다. 

1. \(x=a\)에서 함숫값 \(f(a)\)가 정의되어 있다.

2. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}\)가 존재한다.

3. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=f(a)\)

함수 \(f\)가 닫힌구간에서 연속이면 1. 최댓값과 최솟값을 갖고(최대, 최소의 정리), 2. 최댓값과 최솟값 사이의 어떤 실수에 대해 그 실수를 함수값으로 갖는 점이 정의역 안에 존재한다(중간값 정리).  

함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은 임의의 \(x,\,y\in I\)와 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|x-y|<\delta\)이면 \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\)이 성립하는 것이다.  

함수 \(f\)의 정의역 \(D\)에 속하는 \(x=a\)에 대해 극한값$$\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}$$가 존재하면 \(f\)는 \(x=a\)에서 미분가능(differentiable)하다고 하고, 이 극한값을 \(f'(a)\)로 나타내며 이것을 미분계수라고 한다.

함수 \(f\)의 정의역 \(D\)의 부분집합 \(I\)의 모든 점에서 미분가능하면 \(f\)의 도함수(derivative) \(f'\)은$$f'(x)=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$로 정의된다. 함수 \(f\)가 정의역 \(D\)의 모든 점에서 미분가능하면, \(f\)는 미분가능(differentiable)한 함수라고 한다. 

도함수 \(f'\)도 함수이므로 \(f'\)이 미분가능하면 \(f'\)의 도함수는 \(f''\)로 나타내고 이것을 함수 \(f\)의 2계도함수라고 하며 다음과 같이 정의된다.$$f''(x)=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}}$$이 과정을 계속할 수 있으면, 각 도함수를 \(f',\,f'',\,f^{(3)},\,...,\,f^{(n)}\) 또는 \(\displaystyle\frac{dy}{dx},\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}},\,\frac{d^{3}y}{dx^{3}},\,...,\,\frac{d^{n}y}{dx^{n}}\)으로 나타내고 각각 1계(보통 생략함), 2계, 3계, ..., \(n\)계 도함수라고 한다.

[미분에 대한 평균값 정리, mean value theorem for differential calculus] 함수 \(f\)가 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a,\,b)\)에서 미분가능하면 \(c\in(a,\,b)\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$[테일러 정리, Taylor theorem] \(c\in(a,\,b)\)이고 함수 \(f\)가 구간 \((a,\,b)\)에서 \(n+1\)번 미분가능하면 \(t_{x}\)가 \(c\)와 \(x\in(a,\,b)\)사이에 존재해서 다음이 성립한다.$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^{k}}+\frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}$$[연쇄법칙, chain rule] 함수 \(f\)와 \(g\)가 미분가능한 함수일 때 합성함수 \(h=f\circ g\)도 미분가능하고 그 도함수는 다음과 같다.$$h'(x)=g'(x)f'(g(x))$$기본적인 함수 \(x^{n}\,(n\in\mathbb{R})\), \(\sin x\), \(e^{x}\), \(\ln x\)의 도함수는 각각 다음과 같다.$$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1},\,\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\,\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},\,\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$\(e\)는 \(\displaystyle e=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}\)로서 정의되는 무리수이다.   

닫힌구간 \([a,\,b]\)의 분할 \(P:a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b,\,\Delta x=x_{i}-x_{i-1}\)에 대해 \(\displaystyle M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}\), \(\displaystyle m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}\)라 하자.$$U(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x_{i}},\,L(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}$$를 각각 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 리만 상합(upper Riemann sum), 리만 하합(lower Riemann sum)이라고 하고$$\overline{\int_{a}^{b}}f(x)dx=\inf_{P}{U(P,\,f)},\,\underline{\int_{a}^{b}}f(x)dx=\sup_{P}{L(P,\,f)}$$를 각각 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 리만 상적분(upper Riemann integral), 리만 하적분(lower Riemann integral)이라고 한다. 

\([a,\,b]\)에서 함수 \(f\)의 리만 상적분과 리만 하적분이 같으면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 리만적분가능(Riemann integrable)하다고 그 공통값을 다음과 같이 나타낸다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$닫힌구간 \([a,\,b]\)의 분할 \(a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b,\,\Delta x=x_{i}-x_{i-1}\)에 대해 \(\displaystyle\|P\|=\max_{1\leq i\leq n}{\Delta x_{i}}\)라 하자. 다음의 극한값$$\lim_{\|P\|\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*})\Delta x_{i}}}\,(x_{i}^{*}\in[x_{i-1},\,x_{i}])$$가 \(x_{i}^{*}\)의 선택에 무관하게 존재하면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 리만적분가능(Riemann integrable)하다고 하고,$$\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*})\Delta x_{i}}$$를 리만합(Riemann sum)이라 하고, 리만합의 극한값을 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)로 나타낸다.

[적분에 관한 평균값 정리, mean value theorem for integral calculus] 함수 \(f\)가 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속이라고 하자. 그러면 \(c\in(a,\,b)\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=f(c)(b-a)$$[미적분학의 기본정리, fundamental theorem of calculus] 함수 \(f\)가 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고, 열린구간 \((a,\,b)\)에서 미분가능하며, \(f\)의 부정적분(역도함수)가 \(F\), 즉 \(\displaystyle F'(x)=f(x)\)이면 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$[치환적분법, integration by substitution] 함수 \(g\)가 \([\alpha,\,\beta]\)에서 미분가능하고 \(g(\alpha)=\alpha\), \(g(\beta)=b\), \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이면 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}$$[부분적분법, integration by parts] 함수 \(f,\,g\)가 \([a,\,b]\)에서 미분가능하고 \(f',\,g'\)이 \([a,\,b]\)에서 리만적분가능하면 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}=\{f(b)g(b)-f(a)g(a)\}-\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}$$참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사

금융수학, 김정훈, 교우사

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill