[금융수학] 1. 사회과학으로서의 금융수학(1)

[금융수학] 1. 사회과학으로서의 금융수학(1)

금융수학은 경제학 또는 경영학의 사회과학과 추상적인 수학의 결합이다. 금융수학은 본질적으로 사회과학적인 목표와 방법론을 갖고 있어서, 사회 현상에 대해 사후 계량적 분석을 할 수 있어도 미리 앞으로 일어날 일에 대한 정량적(대상의 분량을 측정해 정하는 것)이고 정성적(성질을 밝힘)인 예측을 할 수 있는 능력은 자연과학에 비해 많이 떨어지고, 공학적 특징인 작은 오차의 한계 안에서 도구를 이용해 물질적 환경을 제어할 수 있는 특징도 갖추기 어렵다.

순수수학에 대비한 응용수학의 특징

1. 사용하기 쉽다. 자연과학, 공학, 사회과학 분야에서 수학을 사용하는 사람들은 수학을 어느 정도만 익혀서 자신들의 문제를 해결하기 때문에 수학 이론이 사용하기 편해야 한다. 미분을 나타내는데 \(\displaystyle\frac{dy}{dx},\,f'(x)\) 또는 \(\dot{x}\)(주로 물리학에서 사용)등의 다른 기호들을 사용한다. 

금융수학은 수학, 물리, 공학, 경영, 경제 전문가들이 이룩한 종합적 학문이여서 기호의 표기법이 서로 충돌하는 경우가 있다.

(예: 델타(\(\Delta\))는 헤지(hedge)할 때 필요한 주식의 수(share)이므로 미적분에서 증분을 \(\delta\)(혼동의 여지가 없을 때는 \(d\)로 나타내겠다)로 나타낸다.)

2. 응용분야에서는 이론적으로 완벽한 이해를 못해도 어느 정도까지 수학적 사실을 이용할 수 있어야 한다. 

-푸리에 급수는 수학적 엄밀성 보다 직관적 이해가 더 중요하다.

-확률론을 측도론적 공리 체계로 이해할 필요가 없다.

3. 수학의 어느 이론 체계가 어느 한 응용분야에서 자리를 잡으려면 바로 그 이론 체계의 연구결과가 아니면 도저히 해결하기 어려운 중요한 응용 예가 있어야 한다.(예: 대수학에서의 암호, 오류정정 이론, 금융수학에서의 블랙-숄즈 방정식)

4. 이미 사용되고 있는 수학적 성과 및 기술과의 호환성이 있어야 한다(새 버전의 소프트웨어는 이전 버전과 호환되어야 한다). 

 

사회과학에서 정량적 연구를 하기 위해서는 모델에 포함된 인수(parameter)들의 값을 구해야 하는데 사회과학에서는 어려운 일이다. 주로 통계적 조사에 의존할 수 밖에 없는 경우 비용과 소요시간을 고려할 때 작은 오차 범위 안에서 인수를 추정하는 것은 매우 어렵다. 반면 자연과학이나 공학에서는 이런 경우가 드물다. 더욱이 사회과학에서 모델의 예측능력이나 실제 현상과 더 부합하게 하려면 인수들의 개수를 자연과학 또는 공학의 수준보다 더 많이 필요하다. 이러한 점 때문에 사회과학에 수학을 도입하기 어렵다. 그럼에도 불구하고 추상적 수학이 사회과학에 응용되는데 대표적인 예가 옵션가격이론이다. 

금융수학의 기본개념

1. 리스크(risk)

리스크는 사전적 의미로는 위험(danger)이나 여기서는 손실(loss)에 노출될 가능성을 뜻한다. 리스크는 미래에 대한 불확실성(uncertainty)과 위험에 대한 노출성(exposure)이다. 

리스크가 적은 경우를 선호하는 것을 리스크 회피적(risk averse)이다. 그 반대는 리스크 추구이고 다른 조건이 모두 같을 때 리스크가 큰 쪽을 좋아함을 뜻한다. 리스크 회피와 리스크 추구 사이에 리스크 중립(risk neutrality)이고 이것은 투자자의 결정이 리스크의 많고 적음에 의존하지 않음을 뜻하고, 옵션가격결정에서 중요한 역할을 한다. 

*헤지펀드는 고수익을 추구하기 위해 높은 리스크를 무릎쓰고 투자를 한다. 

2. 돈의 시간가치

은행에 돈을 예금하면 이자를 받고, 대출을 받으면 이자를 포함해서 갚아야 한다. 시간의 진행은 불확실성을 초래하고 빌려준 돈을 떼이는(채무불이행) 위험이 존재한다.

정부발행 국채의 금리와 일반 회사가 발행한 사채의 금리는 다른데 채권의 금리는 신용도에 따라 결정된다. 정부발행 국채는 채무불이행의 위험이 없는 대신 금리가 낮고, 신용도가 낮은 기관의 채권의 금리는 높다. 

*금융수학에서 정부발행 국채에는 리스크가 전무하다(risk free)고 본다. 

3. 차익거래 불가능의 원칙

차익거래(arbitrage)는 어떤 상품의 가격이 시장 사이에 서로 다른 경우, 가격이 싼 시장에서 매입, 비싼 시장에서 매각하여 매입 차익을 얻는 행위이다. 이때 두 시장은 공간적, 시간적으로 다를 수 있다.

금융수학에서는 시장 참여자는 시장의 모든 정보를 갖고, 합리적으로 행동한다고 가정한다. 따라서 차익거래가 존재할 수 없다고 가정한다(세상에는 공짜점심이 없다). 차익거래가 없다는 것은 금융수학의 기본적 공리들 중 하나이다.

옵션가격이론에서 만기일의 옵션의 수익함수가 다른 자산들로 구성된 포트폴리오로 복제될 수 있다면 '차익거래불가'의 원칙에 따라 옵션의 현재가격은 포트폴리오와 현금 가격과 같음을 뜻한다. 

*위험을 감수하지 않고 높은 수익을 얻을 수 없다.  

4. 효율적 시장 가설

모든 정보는 이미 주가에 반영되어 있고, 주가 곡선의 경향을 연구해도 미래의 주가를 예측할 수 없다. 

*떠도는 소문, 거짓 정보, 투자자들의 비이성적 심리상태, 비공개 내부자 정보 등의 영향으로 주가가 움직일 수 있다고 가정하지 않는다.

-바슐리에: 주가는 랜덤워크(random walk)를 하기 때문에 예측할 수 없다.

-망델브로: 이러한 예측불가능성은 금융시장이 경제학적 법칙을 잘 따르기 때문에 발생한다. 

망델브로의 주장은 가격변동의 예측이 가능하고 이러한 정보가 공유된다면 수익을 추구하는 자들이 거래를 통해 이득을 취하게 되므로 더 이상 이익을 추구하기에 필요한 예측가능성의 여지를 남기지 않는다는 것이다. 

 

금융수학의 분야

1. 포트폴리오

포트폴리오는 보통 사진이나 디자인, 그림을 모아놓은 화첩으로 알려져 있지만 금융에서는 한 개인 또는 기관이 보유한 각종 금융자산의 집합을 뜻한다.

포트폴리오 운용은 채권, 주식 같은 자산을 안정적으로 증식시키려면 어떻게 하는지 연구하는 것이다.

*영어 격언에 "모든 계란을 한 바구니에 담지 마라(Don't put all your eggs in one basket)"이라는 말이 있는데 금융에서 한 가지 자산에 모든 것을 투자하면 손실을 입을 가능성이 있기 때문에 여러 종류의 자산에 분산 투자하라는 뜻이다. 

시간 \(t=0\)에서 1의 가치를 갖는 은행 예금(bond)이 시간 \(t\)에서 \(B_{t}\)의 값을 갖고, 어느 주식이 시간 \(t\)에 한 주(share)에 \(S_{t}\)의 값을 갖는다고 하자. 그러면 시간 \(t=0\)일 때 \(a\)의 가치를 갖는 예금증서와 \(b\)주의 주식으로 이루어진 포트폴리오는 중간에 자산을 매매하지 않는다면 그 가치는 다음과 같다.$$aB_{t}+bS_{t}$$여기서 \(a\)와 \(b\)는 음의 값을 가질 수 있고, 이 경우는 타인으로부터 예금 또는 주식을 빌려서(차입) 포트폴리오를 구성하는 것이다. 

2. 파생금융상품

파생금융상품 중 대표적인것은 옵션(option)이고, 이것은 두 사람 사이의 계약으로 옵션 소지자는 상대방인 발행자에게 계약서에 명시한 일을 시킬 수 있는 권리가 있고, 옵션 발행자는 계약서에 명시한 일을 해야 하는 의무가 있다. 

그 예로 주식을 미리 정한 가격과 시기에 사거나 팔 수 있는 권리에 대한 옵션이 있다. 

금융에서 이러한 계약은 금전적 가치가 있어서 가치가 결정되고 발행자는 옵션을 팔 수 있다. 이러한 옵션은 주식, 채권, 외국환등의 다른 기초자산에 의해 가격이 정해지므로 파생상품(derivative)이라고 한다.  

옵션을 행사(exercise)할 수 있는 마지막 날짜를 만기일(maturity date)이라 하고, 옵션은 거래소(exchange)에서 매매가 가능하다. 

옵션행사에는 아메리칸(American), 유러피언(European)옵션이 있는데 아메리칸 옵션은 만기일 이전에 권리를 행사할 수 있으나 유러피언 옵션은 만기일에만 권리를 행사할 수 있다. 

콜옵션(call option)은 소지자에게 계약에 정해진 가격(strike price, 행사가격)에 특정 기초자산을 살 수 있는 권리를 부여하고, 풋옵션(put option)은 소지자에게 팔 수 있는 권리를 부여한다. 수익함수(payoff function)는 옵션의 가격을 고려하지 않은 옵션의 보유자 또는 매도자의 손익이고 유러피언 콜옵션과 풋옵션의 수익함수는 각각 다음과 같이 정의할 수 있다.$$콜옵션:\,\max\{S_{T}-K,\,0\},\,풋옵션:\,\max\{K-S_{T},\,0\}$$옵션의 가격을 나타내는 함수들의 집합은 벡터공간이기 때문에 몇 가지 수익함수들의 선형결합으로 새로운 옵션을 만들 수 있다.  

간단한 형태의 옵션을 바닐라(vanilla)옵션, 복잡한 형태의 옵션을 이색(exotic)옵션이라고 한다. 

이색옵션의 예:

-버뮤다(Bermuda)옵션은 만기전에 미리 정한 날짜 중에서 골라 행사할 수 있는 옵션이다.

*버뮤다 제도는 아메리카 대륙과 유럽의 중간에 위치해 있고, 이 옵션의 성격이 아메리칸 옵션과 유러피언 옵션의 중간이기 때문에 '버뮤다'라는 이름이 붙었다.

-바이너리(binary)(또는 디지털)옵션은 만기일까지 자산 가치가 미리 정해진 범위에 있을 때 

cash-or-nothing binary옵션: 미리 고정된 액수를 만기일에 지급한다.

asset-or-nothing binary옵션: 기초 자산의 가격을 지불하고, 그렇지 않고 자산 가치가 정해진 범위 바깥에 있으면 아무것도 지불하지 않는다.

유러피언 asset-or-nothing binary옵션: 기초 자산의 가격이 만기일에 행사가격보다 높으면 기초 자산의 가격을 지불한다.

-배리어(barrier)옵션은 한 개 이상의 가격으로 울타리(barrier)를 만들어 자산 가격이 옵션의 유효 기간동안 이 울타리 안에 계속 머무르는지 아니면 울타리를 벗어나는지에 따라 옵션의 유효성이 결정된다. 

노크아웃(knock-out)옵션인 경우, 가격이 정해진 범위를 벗어나면 무효화되고, 노크인(knock-in)옵션인 경우 가격이 주어진 수준에 도달해야 만기일에 유효화된다.  

-바스켓(basket)옵션은 다양한 기초상품의 집합으로 포트폴리오를 구성한 것으로 그 총 가치변동에 따라 가격이 결정되고, 외국환 리스크에 노출되는 위험을 헤지하는데 사용한다. 

-아시안(Asian)옵션은 가격이 만기일 \(T\)까지의 날짜 중에서 미리 정한 날들 \(0<T_{1}<T_{2}<\cdots<T_{n}=T\)에 얻어진 기초 상품가격 \(S_{1},\,...,\,S_{n}\)의 평균에 의존한다. 이때 평균은 산술평균 \(\displaystyle\frac{S_{1}+\cdots+S_{n}}{n}\) 또는 기하평균 \((S_{1}\cdots S_{n})\frac{1}{n}\)으로 주어진다.

아시안 옵션은 광물가격이나 원유가격 또는 환율변동에 의한 리스크를 회피하는데 이용된다. 

-룩백(lookback)옵션은 만기일까지의 기초 자산가격의 최고값 또는 최저값에 의해 가치가 결정된다. 룩백이라는 이름은 만기가 된 후 기초자산의 가격을 뒤돌아보고(look back) 옵션을 행사한다는 뜻이다. 일정 기간동안 기초자산 가격 중 가장 낮았던 가격으로 기초자산을 매입하거나 기초자산 가격 중 가장 높았던 가격으로 매도하고자 하는 경우에 이용되고, 가격이 상대적으로 높으며 투기 목적으로 이용된다.

금융회사에서는 다음의 세 가지 리스크들을 염두한다.

1. 신용 리스크(credit risk, 채무불이행의 위험), 2. 시장 리스크(market risk, 자산 가격의 급격한 변동에 의한 위험), 3. 운영 리스크(operational risk, 전산망의 오작동 또는 직원의 부정 등에 의한 위험)

리스크 관리를 위해 수학적으로 VaR(Value at Risk)라는 값을 사용하고, 이것은 재무 위험의 정도를 측정하는 것으로서 주어진 기간 동안 신뢰 수준 아래 발생할 수 있는 최대 손실액이다.

*워렌버핏은 파생상품을 '대량살상 금융무기'라고 했는데 그 이유는 헤지의 수단이 아닌 투기의 수단으로 파생상품을 이용하면 큰 위기가 닥칠 수 있기 때문이다.

금융수학에서 브라운운동은 주가 등의 금융자산의 가치 변동에 대한 모델에서 이용된다. 주가의 움직임보다 주가 변동폭의 상대적 크기가 브라운 운동을 따른다고 가정한다. 

시점 \(t\)에서의 주가를 \(S_{t}\)라고 하자. 매우 짧은 시간 \(dt>0\)동안 주가의 움직임을 표현하는 기본 모델로 기하 브라운 운동(geometric Brownian motion)을 사용한다. 기하 브라운 운동은 적당한 상수 \(\mu\)와 \(\sigma\)에 대해 다음과 같고$$\frac{S_{t+dt}-S_{t}}{S_{t}}=\mu dt+\sigma\sqrt{dt}X_{t}$$여기서 \(X_{t}\)는 시간 \(t\)에서의 예측불가능한 확률적(random, stochastic) 움직임을 나타내는 부분으로서 각 시점 \(t\)에서의 \(X_{t}\)의 값들은 표준정규분포를 따르고 서로 독립, \(\sqrt{dt}X_{t}\)는 시점 \(t\)에서 \(t+dt\)까지의 브라운 운동의 증분이다. 이것은 시간 \(dt\)동안 변화의 기댓값은 0, 분산은 \(dt\)임을 뜻한다. 여기서 \(\sigma\)를 변동성(volatility)이라고 하고 위 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}\ln\frac{S_{t+dt}}{S_{t}}&=\ln(1+\mu dt+\sigma\sqrt{dt}X_{t})\\&\approx\mu dt+\sigma\sqrt{dt}X_{t}-\frac{1}{2}(\mu dt+\sigma\sqrt{dt}X_{t})^{2}\\&=\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)dt+\sigma\sqrt{dt}X_{t}\end{align*}$$여기서 \((\sqrt{dt}X_{t})^{2}=dt\)이고, \(X_{t}^{2}\)의 기댓값이 1이기 때문이다. 따라서$$\ln\frac{S_{t+dt}}{S_{t}}\approx\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)dt+\sigma\sqrt{dt}X_{t}$$임을 알 수 있고, 실제로 모든 \(t\geq0\)에 대해 다음이 성립한다.$$\ln\frac{S_{t}}{S_{0}}=\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma\sqrt{t}X_{0}$$(\(dt\,\rightarrow\,t\), \(t\,\rightarrow\,0\))

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사