[금융수학] 5. 미분방정식

[금융수학] 5. 미분방정식

미분연산자 \(D\)가 선형(linear)이라는 것은 임의의 미분가능한 \(f_{1},\,f_{2}\)에 대해 다음이 성립하는 것을 의미한다.$$L(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})$$상수 \(a_{n},\,a_{n-1},\,...,\,a_{1},\,a_{0}\)가 주어졌을 때 선형 미분방정식(linear differential equation)$$a_{n}\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+\cdots+a_{1}\frac{dy}{dx}+a_{0}y=g(x)$$의 풀이는 먼저 동차(homogeneous)방정식$$a_{n}\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+\cdots+a_{1}\frac{dy}{dx}+a_{0}y=0$$의 일반해(general solution) \(y_{h}\)를 구한 후, 원래 미분방정식의 특수해(particular solution) \(y_{p}\)를 더한다. 그러면 이 둘을 더한 \(y=y_{h}+y_{p}\)가 이 선형 상미분방정식의 해이다. 

미분방정식의 해는 기본적으로 \(e^{\lambda x}\)형태이고(지수함수 \(e^{x}\)의 도함수는 자기 자신인 \(e^{x}\)이다) 이를 미분방정식에 대입해 다음의 다항방정식을 얻는다.$$a_{n}\lambda^{n}+\cdots+a_{1}\lambda+a_{0}=0$$(i) 실근 \(\lambda\)를 얻으면 중근이 아닐 때 \(e^{\lambda x}\)형태의 해를 갖고, 중근이면 \(e^{\lambda}\)와 \(e^{\lambda}\)에 \(x\)를 곱한 \(xe^{\lambda x}\)형태의 해를 갖는다.

(ii) 복소수근 \(\lambda=a+bi\,(i=\sqrt{-1})\)을 얻으면 \(e^{ax}\cos bx\), \(e^{ax}\sin bx\)형태의 해를 갖는다.

미분방정식의 동차해들의 집합은 \(n\)차원(차수가 차원이다) 벡터공간이고, 일반해들의 집합은 동차해에 각각 특수해를 더한 집합이다.

예: 미분방정식 \(y''-3y'=0\)의 일반해는 \(e^{-\sqrt{3}x}\), \(e^{\sqrt{3}x}\)이므로 해집합은 \(\{a_{1}e^{-\sqrt{3}x}+a_{2}e^{\sqrt{3}x}\,|\,a_{1},\,a_{2}\in\mathbb{R}\}\)이다. 

미분방정식을 다음과 같이 벡터장으로 정의할 수 있다.

\(n\)차원 벡터장 \(\vec{F}\)에 대해 다음의 미분방정식$$\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{F}(\vec{r}(t))$$를 만족하는 곡선 \(\vec{r}(t)\)를 벡터장 \(\vec{F}\)의 적분곡선이라고 한다. 

곡선 \(\vec{x}:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}\)에 대해 \(n\times n\)행렬 \(A\)로 정의되는 미분방정식$$\frac{d}{dt}\vec{x}(t)=A\vec{x}(t),\,\vec{x}(0)=\vec{x}_{0}$$의 해는 \(\vec{x}(t)=e^{tA}\vec{x}_{0}\)이고 여기서$$e^{tA}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(tA)^{n}}{n!}}=I+tA+\frac{t^{2}A^{2}}{2!}+\cdots$$이다. 

\(t\geq0\)에서 정의된 함수 \(f(t)\)의 라플라스 변환(Laplace transformation)을 다음과 같이 정의한다.$$F(s)=\mathcal{L}(f(t))(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt}$$라플라스 변환에 대해 다음의 성질이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\mathcal{L}(1)=\frac{1}{s}\) 

(2) \(\displaystyle\mathcal{L}(e^{at})=\frac{1}{s-a}\) 

(3) \(\displaystyle\mathcal{t^{\alpha}}=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{n+1}}\,(\alpha>0)\) 

(4) \(\mathcal{L}(f'(t))=s\mathcal{L}(f(t))-f(0)\) 

(5) \(\mathcal{L}(f''(t))=s^{2}\mathcal{L}(f(t))-sf(0)-f'(0)\) 

(6) \(\mathcal{L}(tf(t))=-F'(s)\) 

(7) \(\displaystyle\mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}{f(\tau)d\tau}\right)=\frac{1}{s}\mathcal{L}(f(t))\) 

(8) \(\displaystyle\mathcal{L}\left(\frac{f(t)}{t}\right)=\int_{s}^{\infty}{F(z)dz}\)

(9) \(\displaystyle\mathcal{L}(e^{at}f(t))=F(s-a)\) 

(10) \(\mathcal{L}(f(t-a))=e^{-as}\mathcal{L}(f(t))\) 

(11) \(\mathcal{L}(\delta(t-a))=e^{-as}\,(a>0)\) 

(12) \(\mathcal{L}((f*g)(t))=\mathcal{L}(f(t))\mathcal{L}(g(t))\) \(\displaystyle(f*g)(t)=\int_{0}^{t}{f(\tau)g(t-\tau)d\tau}\)      

라플라스 변환을 이용해서 미분방정식을 대수방정식으로 변환할 수 있다. 다음의 미분방정식$$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=1,\,f'(0)=f(0)=0$$를 라플라스 변환해서 풀자. \(\mathcal{L}(y(t))(s)=F(s)\)라고 하면$$s^{2}F(s)+2sF(s)+F(s)=\frac{1}{s}$$이므로$$F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{2}}$$이고$$\mathcal{L}(1)=\frac{1}{s},\,\mathcal{L}(e^{-t})=\frac{1}{s+1},\,\mathcal{L}(te^{-t})=\frac{1}{(s+1)^{2}}$$이므로$$y(t)=1-e^{-t}-te^{-t}$$이다.  

다변수 함수의 편도함수에 대한 미분방정식을 편미분방정식(partial differential equation)이라고 한다. 다음은 대표적인 편미분방정식이다.

-라플라스 방정식(Laplace equation)은 조화함수를 연구하는데 이용된다.$$\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0$$-파동 방정식(wave equation)은 파동의 움직임을 나타내는 방정식이다.$$\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}f}{\partial^{2}y}=0$$-열 방정식(heat equation)은 확산 방정식(diffusion equation)이라고도 불리며, 나중에 블랙-숄즈 편미분방정식의 해를 구하는데 사용된다.$$\frac{\partial u}{\partial t}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$-슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)은 양자역학에서 주로 사용되며, \(\hslash\)는 플랑크 상수 \(h\)를 \(2\pi\)로 나눈 값, \(m\)은 질량, \(V\)는 퍼텐셜(위치에너지), 그 해인 \(f\)를 파동함수(wave function)라 하며, 복소수의 값을 갖고, 그 크기 \(|f(x)|^{2}\)는 입자가 존재할 확률밀도를 나타낸다.$$i\hslash\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+V\psi$$함수 \(f(t)\)의 푸리에 변환(Fourier transformation) \(F(\omega)\)를 다음과 같이 정의되고$$\hat{f}(\omega)=\mathcal{F}(f(t))(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{i\omega t}f(t)dt}$$그 역변환은 다음과 같이 정의된다.$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}d\omega}$$푸리에 변환에 대해 다음의 성질이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\mathcal{F}(f'(t))=i\omega\mathcal{F}(f(t))\) 

(2) \(\displaystyle\mathcal{F}(f^{(n)}(t))=(i\omega)^{n}\mathcal{F}(f(t))\,\left(\lim_{t\,\rightarrow\,\pm\infty}{f^{(n)}(t)}\right)=0\)

(3) \(\mathcal{F}(tf(t))=i\hat{f}'(\omega)\)

(4) \(\mathcal{F}(f(t-a))=e^{-ia\omega}\mathcal{F}(f(t))\)

(5) \(\mathcal{F}(e^{iat}f(t))=\hat{f}(\omega-a)\)

(6) \(\displaystyle\mathcal{F}(f(at))=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\omega}{a}\right)\) 

 

다음의 열방정식의 해를 구하자. 이때 \(x\)가 양 또는 음의 무한대로 갈 때 \(u(x,\,t)\)와 \(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}(x,\,t)\)는 0으로 수렴한다.$$\frac{\partial u}{\partial t}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\,u(x,\,0)=f(x)\,-\infty<x<\infty,\,t>0$$열방정식의 양변을 각각 \(x\)에 대해 푸리에 변환하고, \(u\)의 \(x\)에 대한 푸리에 변환을 \(\hat{u}(\omega,\,t)\)라 하자. 그러면$$\mathcal{F}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)=\frac{\partial\hat{u}}{\partial t},\,\mathcal{F}\left(c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right)=-c^{2}\omega^{2}\hat{u}$$이고, 초기조건 \(u(x,\,0)=f(x)\)의 푸리에 변환을 \(\hat{f}(\omega)\)라 하면$$\frac{\partial\hat{u}}{\partial t}=-c^{2}\omega^{2}\hat{u},\,\hat{u}(\omega,\,t)=\hat{f}(\omega)e^{-\omega^{2}c^{2}t}\,\left(\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(\xi)e^{-i\omega\xi}d\xi}\right)$$이고$$\begin{align*}u(x,\,t)&=\mathcal{F}^{-1}\left(\hat{f}(\omega)e^{-\omega^{2}c^{2}t}\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{f}(\omega)e^{-\omega^{2}c^{2}t}e^{i\omega x}d\omega}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(\xi)e^{-i\omega\xi}d\xi}e^{-i\omega x}e^{-\omega^{2}c^{2}t}d\omega}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(\xi)e^{-i\omega(\xi-x)}e^{-\omega^{2}c^{2}t}d\xi}d\omega}\end{align*}$$이며 이 적분식의 실수부가 \(u(x,\,t)\)이므로$$u(x,\,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)\cos(\omega(\xi-x))e^{-\omega^{2}c^{2}t}d\xi d\omega}$$이다. 이때$$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\omega^{2}c^{2}t}\cos(\omega(x-\xi))d\omega}=\sqrt{\frac{\pi}{c^{2}t}}e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{4c^{2}t}}$$이므로 따라서 이 열방정식의 해는 다음과 같다.$$u(x,\,t)=\frac{1}{2c\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{4c^{2}t}}f(\xi)d\xi}$$참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사

Advanced Engineering Mathematics 5th edition, Peter V. O' Neil, Thomson