[금융수학] 5. 미분방정식

[금융수학] 5. 미분방정식

미분연산자 $D$가 선형(linear)이라는 것은 임의의 미분가능한 $f_{1},\,f_{2}$에 대해 다음이 성립하는 것을 의미한다. $$L(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})$$ 상수 $a_{n},\,a_{n-1},\,...,\,a_{1},\,a_{0}$가 주어졌을 때 선형 미분방정식(linear differential equation) $$a_{n}\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+\cdots+a_{1}\frac{dy}{dx}+a_{0}y=g(x)$$ 의 풀이는 먼저 동차(homogeneous)방정식 $$a_{n}\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+\cdots+a_{1}\frac{dy}{dx}+a_{0}y=0$$ 의 일반해(general solution) $y_{h}$를 구한 후, 원래 미분방정식의 특수해(particular solution) $y_{p}$를 더한다. 그러면 이 둘을 더한 $y=y_{h}+y_{p}$가 이 선형 상미분방정식의 해이다. 

미분방정식의 해는 기본적으로 $e^{\lambda x}$형태이고(지수함수 $e^{x}$의 도함수는 자기 자신인 $e^{x}$이다) 이를 미분방정식에 대입해 다음의 다항방정식을 얻는다. $$a_{n}\lambda^{n}+\cdots+a_{1}\lambda+a_{0}=0$$ (i) 실근 $\lambda$를 얻으면 중근이 아닐 때 $e^{\lambda x}$형태의 해를 갖고, 중근이면 $e^{\lambda}$와 $e^{\lambda}$에 $x$를 곱한 $xe^{\lambda x}$형태의 해를 갖는다.

(ii) 복소수근 $\lambda=a+bi\,(i=\sqrt{-1})$을 얻으면 $e^{ax}\cos bx$, $e^{ax}\sin bx$형태의 해를 갖는다.

미분방정식의 동차해들의 집합은 $n$차원(차수가 차원이다) 벡터공간이고, 일반해들의 집합은 동차해에 각각 특수해를 더한 집합이다.

예: 미분방정식 $y''-3y'=0$의 일반해는 $e^{-\sqrt{3}x}$, $e^{\sqrt{3}x}$이므로 해집합은 $\{a_{1}e^{-\sqrt{3}x}+a_{2}e^{\sqrt{3}x}\,|\,a_{1},\,a_{2}\in\mathbb{R}\}$이다. 

미분방정식을 다음과 같이 벡터장으로 정의할 수 있다.

$n$차원 벡터장 $\vec{F}$에 대해 다음의 미분방정식 $$\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{F}(\vec{r}(t))$$ 를 만족하는 곡선 $\vec{r}(t)$를 벡터장 $\vec{F}$의 적분곡선이라고 한다. 

곡선 $\vec{x}:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}$에 대해 $n\times n$행렬 $A$로 정의되는 미분방정식 $$\frac{d}{dt}\vec{x}(t)=A\vec{x}(t),\,\vec{x}(0)=\vec{x}_{0}$$ 의 해는 $\vec{x}(t)=e^{tA}\vec{x}_{0}$이고 여기서 $$e^{tA}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(tA)^{n}}{n!}}=I+tA+\frac{t^{2}A^{2}}{2!}+\cdots$$ 이다. 

$t\geq0$에서 정의된 함수 $f(t)$의 라플라스 변환(Laplace transformation)을 다음과 같이 정의한다. $$F(s)=\mathcal{L}(f(t))(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt}$$ 라플라스 변환에 대해 다음의 성질이 성립한다.

(1) $\displaystyle\mathcal{L}(1)=\frac{1}{s}$ 

(2) $\displaystyle\mathcal{L}(e^{at})=\frac{1}{s-a}$ 

(3) $\displaystyle\mathcal{t^{\alpha}}=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{n+1}}\,(\alpha>0)$ 

(4) $\mathcal{L}(f'(t))=s\mathcal{L}(f(t))-f(0)$ 

(5) $\mathcal{L}(f''(t))=s^{2}\mathcal{L}(f(t))-sf(0)-f'(0)$ 

(6) $\mathcal{L}(tf(t))=-F'(s)$ 

(7) $\displaystyle\mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}{f(\tau)d\tau}\right)=\frac{1}{s}\mathcal{L}(f(t))$ 

(8) $\displaystyle\mathcal{L}\left(\frac{f(t)}{t}\right)=\int_{s}^{\infty}{F(z)dz}$

(9) $\displaystyle\mathcal{L}(e^{at}f(t))=F(s-a)$ 

(10) $\mathcal{L}(f(t-a))=e^{-as}\mathcal{L}(f(t))$ 

(11) $\mathcal{L}(\delta(t-a))=e^{-as}\,(a>0)$ 

(12) $\mathcal{L}((f*g)(t))=\mathcal{L}(f(t))\mathcal{L}(g(t))$ $\displaystyle(f*g)(t)=\int_{0}^{t}{f(\tau)g(t-\tau)d\tau}$      

라플라스 변환을 이용해서 미분방정식을 대수방정식으로 변환할 수 있다. 다음의 미분방정식 $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=1,\,f'(0)=f(0)=0$$ 를 라플라스 변환해서 풀자. $\mathcal{L}(y(t))(s)=F(s)$라고 하면 $$s^{2}F(s)+2sF(s)+F(s)=\frac{1}{s}$$ 이므로 $$F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{2}}$$ 이고 $$\mathcal{L}(1)=\frac{1}{s},\,\mathcal{L}(e^{-t})=\frac{1}{s+1},\,\mathcal{L}(te^{-t})=\frac{1}{(s+1)^{2}}$$ 이므로 $$y(t)=1-e^{-t}-te^{-t}$$ 이다.  

다변수 함수의 편도함수에 대한 미분방정식을 편미분방정식(partial differential equation)이라고 한다. 다음은 대표적인 편미분방정식이다.

-라플라스 방정식(Laplace equation)은 조화함수를 연구하는데 이용된다. $$\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0$$ -파동 방정식(wave equation)은 파동의 움직임을 나타내는 방정식이다. $$\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}f}{\partial^{2}y}=0$$ -열 방정식(heat equation)은 확산 방정식(diffusion equation)이라고도 불리며, 나중에 블랙-숄즈 편미분방정식의 해를 구하는데 사용된다. $$\frac{\partial u}{\partial t}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$ -슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)은 양자역학에서 주로 사용되며, $\hslash$는 플랑크 상수 $h$를 $2\pi$로 나눈 값, $m$은 질량, $V$는 퍼텐셜(위치에너지), 그 해인 $f$를 파동함수(wave function)라 하며, 복소수의 값을 갖고, 그 크기 $|f(x)|^{2}$는 입자가 존재할 확률밀도를 나타낸다. $$i\hslash\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+V\psi$$ 함수 $f(t)$의 푸리에 변환(Fourier transformation) $F(\omega)$를 다음과 같이 정의되고 $$\hat{f}(\omega)=\mathcal{F}(f(t))(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{i\omega t}f(t)dt}$$ 그 역변환은 다음과 같이 정의된다. $$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}d\omega}$$ 푸리에 변환에 대해 다음의 성질이 성립한다.

(1) $\displaystyle\mathcal{F}(f'(t))=i\omega\mathcal{F}(f(t))$ 

(2) $\displaystyle\mathcal{F}(f^{(n)}(t))=(i\omega)^{n}\mathcal{F}(f(t))\,\left(\lim_{t\,\rightarrow\,\pm\infty}{f^{(n)}(t)}\right)=0$

(3) $\mathcal{F}(tf(t))=i\hat{f}'(\omega)$

(4) $\mathcal{F}(f(t-a))=e^{-ia\omega}\mathcal{F}(f(t))$

(5) $\mathcal{F}(e^{iat}f(t))=\hat{f}(\omega-a)$

(6) $\displaystyle\mathcal{F}(f(at))=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\omega}{a}\right)$ 

 

다음의 열방정식의 해를 구하자. 이때 $x$가 양 또는 음의 무한대로 갈 때 $u(x,\,t)$와 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}(x,\,t)$는 0으로 수렴한다. $$\frac{\partial u}{\partial t}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\,u(x,\,0)=f(x)\,-\infty<x<\infty,\,t>0$$ 열방정식의 양변을 각각 $x$에 대해 푸리에 변환하고, $u$의 $x$에 대한 푸리에 변환을 $\hat{u}(\omega,\,t)$라 하자. 그러면 $$\mathcal{F}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)=\frac{\partial\hat{u}}{\partial t},\,\mathcal{F}\left(c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right)=-c^{2}\omega^{2}\hat{u}$$ 이고, 초기조건 $u(x,\,0)=f(x)$의 푸리에 변환을 $\hat{f}(\omega)$라 하면 $$\frac{\partial\hat{u}}{\partial t}=-c^{2}\omega^{2}\hat{u},\,\hat{u}(\omega,\,t)=\hat{f}(\omega)e^{-\omega^{2}c^{2}t}\,\left(\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(\xi)e^{-i\omega\xi}d\xi}\right)$$ 이고 $$\begin{align*}u(x,\,t)&=\mathcal{F}^{-1}\left(\hat{f}(\omega)e^{-\omega^{2}c^{2}t}\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{f}(\omega)e^{-\omega^{2}c^{2}t}e^{i\omega x}d\omega}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(\xi)e^{-i\omega\xi}d\xi}e^{-i\omega x}e^{-\omega^{2}c^{2}t}d\omega}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(\xi)e^{-i\omega(\xi-x)}e^{-\omega^{2}c^{2}t}d\xi}d\omega}\end{align*}$$ 이며 이 적분식의 실수부가 $u(x,\,t)$이므로 $$u(x,\,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)\cos(\omega(\xi-x))e^{-\omega^{2}c^{2}t}d\xi d\omega}$$ 이다. 이때 $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\omega^{2}c^{2}t}\cos(\omega(x-\xi))d\omega}=\sqrt{\frac{\pi}{c^{2}t}}e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{4c^{2}t}}$$ 이므로 따라서 이 열방정식의 해는 다음과 같다. $$u(x,\,t)=\frac{1}{2c\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{4c^{2}t}}f(\xi)d\xi}$$ 참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사

Advanced Engineering Mathematics 5th edition, Peter V. O' Neil, Thomson