[금융수학] 2. 사회과학으로서의 금융수학(2)

[금융수학] 2. 사회과학으로서의 금융수학(2)

금융수학의 인물

-로버트 브라운(Robert Brown): 식물학자로 앵초 종류인 Clarkia pulchella라고 불리는 식물의 꽃가루를 터트렸을 때 나온 아주 작은 알갱이들이 물 속에서 불규칙하게 움직이는 모습을 현미경으로 관찰하고, 이 입자들의 불규칙한 움직임에 대한 체계적인 연구를 했다(이러한 입자들의 운동을 브라운 운동이라고 한다).

*브라운 운동의 연구는 브라운의 100%혼자서 한 것이 아닌 타인들이 해 놓은 연구를 참고해서 이루어졌다.

-루이 바슐리에(Louis Bachelier): 박사학위 논문인 "투기이론"에서 옵션의 가격에 대한 이론을 제시했고, 주식 가격의 모델로 브라운 운동을 도입하고, 주식가격의 변동이 정규분포를 따른다고 가정했다. 지도교수인 수학자 푸앵카레는 이 논문을 높게 평가했으나 이 논문에서 주가가 정규분포를 따르기 때문에 음의 값을 가질 수 있다는 문제점과 헤지의 개념이 없어서 현실과 거리가 있었기에 학계로부터 인정을 받지 못했다. 

-알베르트 아인슈타인(Albert Einstein): 상대성이론과 광전효과(노벨물리학상 수상)외에도 브라운 운동을 연구했다.

*브라운 운동에 대해 당시에 받아들여지던 사실:

1. 입자의 움직임이 불규칙하고, 움직인 자취는 미분불가능하다.

2. 두 입자가 매우 가까이 접근해 움직일 때도 서로 독립적이다.

3. 입자의 크기가 작을수록, 온도가 높을수록 움직임이 활발하다.

4. 입자의 움직임이 지속적이고 멈추지 않는다.

브라운 운동을 하는 용액 안의 입자의 위치의 변위를 \(r\), 확산계수를 \(\displaystyle D=\frac{k_{B}T}{6\pi\eta a}\)라고 할 때 아인슈타인은 용액에 있는 입자의 브라운운동이 식 \(E(r^{2})=2Dt\)를 만족한다고 추론했다. 여기서 \(k_{B}\)는 볼츠만 상수, \(T\)는 절대온도, \(\eta\)는 용액의 점도, \(a\)는 입자의 반지름, \(t\)는 경과된 시간이다. 

-폴 랑주뱅(Paul Langevin): 브라운 운동을 하는 개별 입자의 운동방정식을 세워 아인슈타인의 결과를 도출했다.

-장 페랭(Jean Perrin): 아인슈타인의 이론을 실험적으로 검증하여 원자의 존재에 대해 입증했다.

-앙리 르베그(Henri Lebesgue): 일반적인 집합에서 정의된 함수의 적분이 가능하도록 하는 르베그 적분 이론을 만들었다. 르베그 적분이론은 확률적 개념을 명확히 나타낼 수 있어서 확률론의 언어의 역할을 한다.

유리수에서 0, 무리수에서 1의 값을 갖는 디리클레 함수는 리만적분 가능하지 않다(디리클레 함수는 르베그 적분가능하고 그 값은 0이다). 

이러한 문제와 함수의 푸리에 급수가 수렴하지 않는 점들의 집합의 크기를 구하는 문제를 해결하기 위해 에밀 보렐(Emile Borel)이 측도론의 기초를 세웠고, 그의 제자이자 동료인 르베그가 이를 토대로 르베그 적분이론을 완성했다.    

르베그 적분을 정의하기 위해서는 측도(measure)를 정의해야 하는데 보렐은 유한개의 사각형이 아닌 가산무한개의 사각형으로 넓이를 근사시켰다. 즉 주어진 집합을 가산개의 직사각형으로 덮고 그 넓이의 합을 상한으로 잡았다. 이러한 과정을 거쳐 르베그 측도가 만들어졌고, 이것을 추상화(측도공간)하여 일반적인 집합의 크기를 재는 도구로 사용되었다. 

-노버트 위너(Nobert Wiener): 브라운 운동을 르베그 적분이론을 사용해 브라운 운동경로의 집합에 확률측도를 부여하고 확률과정의 관점에서 연구했다.

-폴 레비(Paul Levy): 확률론과 오차에 관한 가우스 법칙에 대한 강의를 했고, 이것은 현대 확률론의 시작점이 되었다. 또한 확률과정의 기반을 닦고, 큰 수의 법칙, 중심극한정리, 브라운 운동, 레비 과정 등을 연구했다.

*바슐리에가 대학 교수에 지원했을 때 레비가 바슐리에의 업적을 오해해서 안 좋은 평가를 주었고, 그 결과 바슐리에는 교수가 되지 못했다. 1933년에 콜모고로프가 자신의 확률론 책에 바슐리에의 업적을 언급하자 레비는 자신이 업적을 오해해서 안 좋은 평가를 준 것에 대해 사과했다.

-조지프 둡(Joseph Leo Doob): 확률론의 수학적 토대를 마련한 인물로 브라운 운동, 마팅게일 이론을 체계적으로 전개했다.

-이토 기요시(伊藤 淸): 조지프 둡의 연구결과를 이용해 이토 적분, 이토 적분의 미분형인 확률미분방정식을 창안했다. 이것은 예측불가능한 요인에 의한 운동을 나타낼 수 있게 했다.  

-해리 마코위츠(Harry Markowitz): 주식 시장의 위험과 수익을 평가하고 기업의 주식과 채권의 가치를 평가하는 자산구성 이론(portfolio theory)으로 노벨 경제학상을 (공동)수상했다.

자산구성 이론은 자산을 다양하게 분산 보유하여 수익을 극대화하는 동시에 위험을 극소화할 수 있는 자산 관리의 가능성을 입증했고, 이 방법이 보편적 투자방식이 되었다.

1958년에 제임스 토빈은 마코위츠 이론에 현금 자산을 포함시킨 리스크 수준에 따라 현금 자산과 리스크 있는 자산의 비율이 결정된다고 주장했고, 마코위츠와 토빈 이론에서 각 자산 사이의 공분산을 모두 구해야 했다.

1961, 1964년에 윌리엄 샤프가, 1965년에 존 린트너가 자본 자산 가격 모형(capital asset pricing model, CAPM)을 만들어 각 자산과 시장 포트폴리오 사이의 공분산만 구하면 됨을 보였고, 그 이후로 금융계에서는 CAPM을 이용한다.

-폴 새뮤얼슨(Paul Samuelson): 주식 옵션을 연구하기 위해 기하 브라운 운동을 이용해 기초 자산의 불규칙한 움직임을 보델로 만들었고, 두 가지 개념의 존재를 가정했다.

1. 주가의 기대수익률(expected rate of return)은 \(\alpha\)이다.

2. 만기일의 옵션 가치를 현재 시점과 비교하는 할인율(discount rate)은 \(\beta\)이다. 

이 값들은 각각 기초 자산과 옵션의 리스크 수준에 따라 정해지고, 금융시장에서 관찰할 수 없기 때문에 사람에 따라 다른 값을 부여할 수 있었고, 옵션의 거래 당사자들은 옵션의 가격을 결정할 수 없었다.

-피셔 블랙(Fischer Black), 마이런 숄즈(Myron Scholes): 1973년에 공동으로 발표한 논문 "The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy"에서 확률 미적분학(stochastic calculus)와 동적 헤징(dynamic hedging)을 이용해 옵션 가격 모델에 관한 확산 방정식(열 방정식) 형태의 편미분방정식(블랙-숄즈 방정식)을 유도하고 유러피언 콜옵션의 가격의 공식을 얻었다. 

블랙-숄즈 방정식은 다음의 가정을 기반으로 유도되었다.

1. 주식은 0 이상의 모든 실수값을 갖는다(음의 값을 갖지 않는다). 이것은 주식회사는 주주가 주식을 가진 만큼 책임만을 짐을 뜻한다.

2. 옵션의 만기 전에는 언제라도 원하는 양만큼 주식을 팔고 살 수 있다.

3. 주시그이 매도 매수 가격은 같다.

4. 주식을 팔고 살 때 수수료나 경비는 발생하지 않는다.

5. 보유 주식에 대한 배당이나 주식 분할은 없다.

6. 현재 주식이 없더라도 주식을 나중에 갚기로 하고 빌려서 파는 공매도가 가능하다.

7. 리스크가 없고, 시간이 지나도 변동이 없는 이자율이 존재한다.

8. 주식 한 주는 임의의 크기로 나누어 거래할 수 있다.

이 가정들은 현실과 거리가 있으나 금융시장의 본질적인 움직임을 나타낸다.    

-존 콕스(John Cox), 스티븐 로스(Stephen Ross), 마크 루빈스타인(Mark Rubinstein): 옵션 계산을 위해 이항나무방법(binomial tree method)을 제안하고, 리스크 중립(risk neutral)방법을 이용해 옵션의 가격을 구할 수 있음을 보였다. 이 방법은 실제 기대수익률 대신 모든 금융자산이 리스크 없는 수익률을 갖는다고 가정하고 옵션을 구하는 것이고, 금융산업계에서 많이 사용된다.

-케네스 애로(Kenneth Arrow), 제라르 드브루(Gerard Debreu): 애로-드브루 모델을 세워 초과 수요나 초과 공급이 없는 평형(equilibrium)의 존재를 증명했고, 이때 다음의 두 가지 가정을 했다.

1. 경제활동에 참여하는 각 개인이 시장에서 팔리는 모든 상품을 일정 기간동안 소유하면 경쟁적인 평형이 존재한다.

2. 원하는 상품이나 용역을 생산하는데 쓰일 수 있는 노동 자원이 존재해서 사용이 가능하다. 

애로-드브루 자산(Arrow-Debreu security)은 특정 상태에서만 1단위의 지불을 하고 다른 상태에서 아무 지불을 하지 않는 자산이다. \(K\)개의 상태가 미래에 가능하면 서로 다른 애로-드브루 자산은 \(K\)가지가 존재한다. 

-크렙스(David M. Kreps), 해리슨(J. Michael Harrison), 플리스카(Stanley Pliska): 공동연구를 통해 마팅게일을 파생상품 가격 계산에 활용했다. 

마팅게일은 "과거 및 현재의 모든 알려진 정보에 의해 미래의 결과의 기댓값을 구하면 그것은 현재의 값"을 뜻한다. 

두 시점을 \(s\leq t\)로, 시점 \(u\)에서의 자산 가격과 정보를 각각 \(X_{u}\), \(\mathcal{F}_{u}\)로 나타내면 \(E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=X_{s}\)이다. 

금융수학적 인생관

농업을 기반으로 한 전통적 경제사회에서는 노동력이 생산에 있어서 매우 중요하기 때문에 공동체적 일체감을 중시하나, 자본주의 사회에서는 많은 종류의 가치가 화폐 가치로 환산되어 나타난다. 이것은 금전적 가치를 최우선으로 삼아야 한다는 것이 아닌 작은 체계 안에서 효율적이던 사고방식이 더 큰 체계에서는 비효율적으로 작용할 수 있음을 뜻한다. 

금융수학적 개념이 개인이나 사회의 인생관에 적용되었을 때 다음의 결론을 이끌어낸다.

-불확실성: 미래에 일어날 사건에 대한 예측불가능성. 이러한 점에 대한 금융상품 개발은 재난에 대비하는 것과 같다.

-돈의 시간가치: 내일 지불해도 되는 돈을 오늘 지불한다면 그에 따른 보상(이자)이 있어야 한다.  

-차익거래 불가의 원칙: 세상에 공짜 점심은 없고, 쉽게 돈 벌 수 있는 기회는 없다. 즉 리스크 없이 이익을 얻을 수 없다.

-리스크: 위험에 대한 노출을 전제로 한다. 고수익을 얻으려면 높은 위험을 감수해야 한다.

-리스크 없는 이자율(무위험 이자율): 은행 예금의 금리는 주식 투자의 평균 수익률보다 낮다(안정적인 직업(예: 공무원, 공기업)은 일반적으로 보수가 적다).

-옵션: 미래의 불확실성에 대한 대비책

-공정한 가격: 일상 생활에서 타인에게 손해를 주거나 타인으로부터 손해를 보는 일이 없어야 한다(주는 게 있으면 받는 것도 있다).

-수익 함수: 상황의 전개에 따라 예상되는 목표 달성의 정도

-복제: 현재 하고 있는 활동(금융거래 기법)이 미래의 자신의 목표를 이루는 과정이어야 한다. 실현된 결과가 같으면 중간 과정은 같은 가지를 가져야 된다(모로 가도 서울만 가면 된다). 

-완비적인 시장: 사회적 억압없이 개인이 자신의 의지와 창의성을 발휘해 각자의 목표가 실현될 수 있는 사회가 필요하다. 

-마르코프 성질: 과거에 일어났던 일들이 미래에 일어날 일에 영향을 끼치지 않는다. 이 말은 어려움에 처했을 때 여태까지 투자된 자본에 연연하지 말고 손실을 줄이는 것이 중요함을 뜻한다. 

*경제학에서는 과거에 지불한 후 되찾을 수 없는 비용을 매몰비용(sunk cost)이라고 하고, 현재의 의사결정에는 장래의 비용과 편익만을 고려 대상에 넣고, 이미 파묻힌 원가는 계산하지 않아야 한다. 

-최종값의 후향적 해법: 먼저 목표를 세우고 그것을 달성하기 위해 구체적인 중간 목표들을 세워서 노력해야 한다.

-헤지: 불확실성으로부터 초래될 지 모르는 위기에 대비해야 한다(우산과 소금을 준비해서 비가 내릴 때는 우산을, 비가 그치면 소금을 판다). 현실의 세계에서 헤지를 하기 위해서는 비용이 들기 때문에(보험을 들 때 내는 보험료) 필요없는 과도한 헤지는 피해야 한다. 

-\(\delta t(dt)\): 짧은 기간 동안 상황의 변화를 관찰해 보아 이익이 되는 행동을 정한다. 변화는 짧은 시간동안에도 일어나기 때문에 상황에 지속적으로 대처해야 한다. 

-순간적 헤지: 불확실성을 그때그때 제거해야 한다.

-연속적 헤지: 연속적으로 위험을 제거해야 한다.

-공매도: '없는 것을 판다'는 의미로 현물 거래와 대비되는 개념이다. 자신의 신용으로 실물 없이 주식 등의 금융상품을 팔고 사는 행위이고, 금융의 관점에서는 없는 주식이나 채권을 빌려서 매각한 후 나중에 매각했던 주식이나 채권을 구해 매입자에게 돌려주면 되는 것이다. 주로 가격의 하락이 예상되는 금융상품을 공매도해서 가격이 하락한 만큼의 이익을 얻을 수 있다.

-기하 브라운 운동: 주변 상황이 급격히 변화하고 있어서 개인의 노력이 큰 효과를 볼 수 없다면 사회의 체제가 변화함에 따라 발생하는 drift효과가 크고 개인적인 창의성과 노력에 의한 변동은 적다.

-변동성: 변화 가능성이 많은 사람이 인생에서 겅공하기 쉽고, 이리저리 노력하다 보면 목표를 달성할 가능성이 높아진다. 

*전문적인 지식이 없이 어설픈 시도만 하는 것은 성공과 거리가 있다.

-옵션의 시간가치: 젊은 사람이 나이 많은 사람보다 목표를 달성할 가능성이 높은 것처럼 만기일까지의 남은 기간이 길수록 옵션의 시간가치가 크다. 인생이 아직 끝나지 않은 한 어려움에 부딪혀도 낙심하지 말고 꾸준히 노력하면 성공할 가능성이 있다.

-분산 투자: "모든 달걀을 한 바구니에 넣지 마라"와 같고, 같은 기대 수익수준에서 리스크를 최소화하라는 뜻이다. 한편으로 "한 우물을 파라"라는 말이 있는데 이 말의 의미는 '선택과 집중'이라는 원칙을 강조한 것으로 이것저것 손대다가 어느 부문에서 임계값을 넘는 투자가 이루어지지 못해 아무런 수익을 얻을 수 없는 것을 경계하는 말이다. 

-여과: 영어로 filtration이고 사건의 진행에 따라 금융시장의 정보가 드러나는 것 또는 새로운 사건이 생기는 것을 확률과정론의 개념인 여과를 사용해 이론적인 모형을 만든다. 금융수학은 시장 구성원의 의도나 심리상태를 파악할 수 없고 시간이 흐름에 따라 나타나는 사람들의 행동이나 반응을 보고 그때그때 정보를 새롭게 고쳐야 한다. 

*여과의 예: 스무고개(스무 번의 질문을 거쳐 답을 찾는 놀이)

금융수학을 공부하기 위한 필요한 수학과목으로 학부(대학 4년)과정에서는 미적분학, 해석학, 선형대수, 확률 및 통계, 수치해석학 등이 있고, 그 외에 확률론, 푸리에 해석, 미분방정식(상미분방정식, 편미분방정식), 전산 프로그래밍, 실해석학(측도론), 확률과정론 등이 필요하다. 

금융산업계에서 이용하는 금융통신회사로 로이터(Reuters)와 블룸버그(Bloomberg)가 있고, 일간 경제지로 미국의 월 스트리트 저널(Wall Street Journal)과 영국의 파이낸셜 타임즈(Financial Times)가 있다. 

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사