[금융수학] 8. 기초 확률론

[금융수학] 8. 기초 확률론

러시아의 수학자 콜모고로프(Kolmogorov)는 르베그 적분이 확률론의 언어와 방법론이 될 수 있음을 주장했다. 다음은 르베그 적분론과 확률론에서 사용되는 용어와 표기법을 비교한 것이다. 여기서는 확률론의 표기를 사용할 것이다. 

르베그 적분	확률론
측도공간 $(X,\,\mathcal{A},\,\mu)$	표본공간 $(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$
$x\in X$	$\omega\in\Omega$
$\sigma-$대수 $\mathcal{A}$	$\sigma-$체(field) $\mathcal{F}$
가측집합 $A$ 여집합 $A^{c}$	사건 $E$ 여사건 $E^{c}$
측도수렴	확률수렴
측도 $\mu$	확률측도 $P$
$A$의 크기 $\mu(A)$	$E$의 확률 $P(E)$
가측함수 $f$	확률변수 $X(\omega)$
특성함수 $\chi_{E}$	지시함수 $\mathbf{1}_{E}$
적분 $\displaystyle\int_{X}{fd\mu}$	기댓값 $\displaystyle E(X)=\int_{\Omega}{XdP}$
거의 모든곳에서(a.e.)	거의 확실히(almost surely, a.s.), 확률 1로
조건부 측도 $\mu_{A}(B)$	조건부 확률 $P(B|A)$
푸리에 변환 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{i\omega t}f(t)dt}$	특성함수 $\displaystyle E(e^{itX})=\int_{\Omega}{e^{itX}dP}$

표본공간 $(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$에서 함수 $X:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 임의의 $x\in\mathbb{R}$에 대해 $$\{X\leq x\}=X^{-1}[(-\infty,\,x]\in\mathcal{F}$$ 이면 가측함수의 정의에 의해 $X$는 가측함수이고, 이 함수 $X$를 확률변수(random variable)라고 하고, $X$의 분포(distribution)라고 정의되는 확률측도 $\mu_{X}$는 다음과 같이 정의된다. $$\mu_{X}(A)=P(X^{-1}[A])$$ 여기서 $A$는 $\mathbb{R}$의 보렐가측 부분집합이고, $\mu_{X}(A)$는 $x\in X$가 $A$에 속할 확률 $$P(X\in A)=P(X^{-1}[A])$$ 를 나타낸다. 

가측함수 $h:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$에 대하여 다음의 등식이 성립하고, $$\int_{\Omega}{h(XdP}=\int_{-\infty}^{\infty}{h(x)d\mu_{X}(x)}$$ $h(x)=|x|^{p}$라 하면 다음이 성립한다. $$E(|X|^{p})=\int_{\Omega}{|X|^{p}dP}=\int_{-\infty}^{\infty}{|x|^{p}d\mu_{X}(x)}$$ 모든 $A\in\mathcal{F}$에 대하여 다음이 성립하면 $$\mu_{X}(A)=\int_{A}{f(x)dx}$$ $f$를 $X$의 확률밀도함수(probability density function)라고 하고 이때 $X$의 특성함수(characteristic function)를 다음과 같이 정의한다. $$E(e^{itX})=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{itx}f(x)dx}$$ $X$의 기댓값(expectation) 또는 평균(mean)을 다음과 같이 정의하고 $$\mu=E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}{xd\mu_{X}(x)}\left(=\int_{\Omega}{XdP}\right)$$ $X$의 분산(variance)을 $$\text{Var}(X)=E((X-E(X))^{2})=\int_{-\infty}^{\infty}{(x-\mu)^{2}d\mu_{X}(x)}$$ 로, $X$의 표준편차(standard deviation)를 분산의 양의 제곱근으로 다음과 같이 정의한다. $$\sigma(X)=\sqrt{\text{Var}(X)}$$ 동전을 던져서 앞면이 나올 확률을 $p$라고 하면 뒷면이 나올 확률은 $1-p$이다. $\Omega=\{\omega_{1},\,\Omega_{2}\}$라 하고 $\sigma-$체 $\mathcal{F}$를 $\mathcal{F}=\{\emptyset,\,\Omega,\,\{\omega_{1}\},\,\{\omega_{2}\}\}$, 확률측도 $P$를 $$P(\{\omega_{1}\})=p,\,P(\{\omega_{2}\})=1-p\,(P(\emptyset)=0,\,P(\Omega)=1)$$ 로 정의한다. 동전의 앞면을 $\omega_{1}$로, 뒷면을 $\omega_{2}$로 대응시키고, 확률변수 $X:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $$X(\omega_{1})=0,\,X(\omega_{2})=1$$ 이라 하자. 그러면 $$P(X^{-1}[\{0\}])=p,\,P(X^{-1}[\{1\}])=1-p$$ 이다. 

(시겔의 역설) $X$를 달러화(USD)와 원화(KRW) 사이의 미래의 환율을 나타내는 확률변수라고 하면 함수 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$는 $x>0$에서 볼록함수이므로 젠센의 부등식에 의해 다음이 성립한다. $$\frac{1}{E(X)}\leq E\left(\frac{1}{X}\right)$$ 여기서 $\displaystyle\frac{1}{X}$는 원화를 달러로 바꾸는 환율이고 $\displaystyle\frac{1}{E(X)}\neq E\left(\frac{1}{X}\right)$이다. 이것은 어느 주어진 통화(달러화)의 관점에서 환율의 상승을 $X$의 평균 $E(X)$만큼 상대 통화(원화)의 관점에서 그만큼 비율로 환율의 평균이 감소할 필요가 없다는 것이다. 현재 1000(KRW/USD)인 환율이 1년 후 각각 $\displaystyle\frac{1}{2}$의 확률로 $X=2000$(KRW/USD)와 $X=500$(KRW/USD)의 값을 갖는다고 하면, 그 반대 방향의 환율 $\displaystyle\frac{1}{X}$는 현재 0.001(USD/KRW)이며, 각각 $\displaystyle\frac{1}{2}$의 확률로 $\displaystyle\frac{1}{X}=0.0005$(USD/KRW)과 $\displaystyle\frac{1}{X}=0.002$(USD/KRW)의 값을 가지므로 따라서 $$\begin{align*}E(X)&=\frac{1}{2}\times2000+\frac{1}{2}\times500=1250(\text{KRW/USD})\\E\left(\frac{1}{X}\right)&=\frac{1}{2}\times0.0005+\frac{1}{2}\times0.002=0.00125(\text{USD/KRW})\end{align*}$$ 이므로 원화를 달러화로 환전해 보유하거나 반대로 달러화를 원화로 환전하든지 환율이 평균적으로 1.25배 오른다. 즉 어느 경우에나 같은 기대 수익률을 얻게 되고, 이것을 시겔의 역설(Siegel's paradox)이라고 한다. 역설은 틀린게 아닌 직관과 다르다는 것이다.

사건 $A_{1},\,...,\,A_{n}$이 다음의 식을 만족하면 $$P(A_{1}\cap\cdots\cap A_{n})=P(A_{1})\cdots P(A_{n})$$ $A_{1},\,...,\,A_{n}$는 서로 독립(independent)이라고 한다. 무한히 많은 사건들의 집합족 $\{A_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$에 대해서 임의의 유한개의 부분집합 $A_{\gamma_{1}},\,...,\,A_{\gamma_{n}}$이 서로 독립이면 $\{A_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$는 서로 독립이라고 한다.

두 사건 $A,\,B$가 서로 독립이면 $A^{c},\,B$, $A,\,B^{c}$, $A^{c},\,B^{c}$는 모두 서로 독립이다.

확률변수들의 열 $X_{i}:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 임의의 보렐가측 $B_{i}\subset\mathbb{R}$에 대해 부분집합들의 열 $\{X^{-1}[B_{i}]\}$가 서로 독립이면 $\{X_{i}\}$를 서로 독립인 확률변수라고 한다.

(i) 부분 $\sigma-$체 $\mathcal{F}_{i}$들이 주어졌을 때 임의의 $A_{1}\in\mathcal{F}_{1},\,...,\,A_{n}\in\mathcal{F}_{n}$가 독립이면 $\mathcal{F}_{i}$를 서로 독립인 부분 $\sigma-$대수들이라고 한다.  

(ii) 확률변수 $X$와 부분 $\sigma-$체 $\mathcal{F}$가 주어졌을 때, 임의의 보렐 부분집합 $I\subset\mathbb{R}$와 $A\in\mathcal{F}$에 대해 $X^{-1}[I]$와 $A$가 서로 독립이면 $X$와 $\mathcal{F}$를 서로 독립이라고 한다. 

(iii) $I\subset\mathbb{R}$이 임의의 보렐집합을 나타낼 때 $X^{-1}[I]$를 포함하는 최소의 $\sigma-$대수를 $\sigma(X)$로 정의한다. 따라서 $X$와 $\mathcal{F}$가 서로 독립인 것은 $\sigma(X)$와 $\mathcal{F}$가 서로 독립인 것과 동치이다.

확률변수 $X$와 $Y$가 서로 독립이라고 하자. 그러면 임의의 보렐 가측함수 $f:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$와 $g:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$에 대해 $f(X)$와 $g(Y)$는 서로 독립이다. 

*참고: $\sigma(f(X))\subset\sigma(X),\,\sigma(g(Y))\subset\sigma(Y)$  

서로 독립인 확률변수 

(i) 임의의 보렐 가측집합 $B_{i}\subset\mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다. $$P(X_{1}\in B_{1},\,...,\,X_{n}\in B_{n})=P(X_{1}\in B_{1})\cdots P(X_{n})$$ 참고: $P(X_{1}\in B_{1},\,X_{2}\in B_{2})=P(X_{1}^{-1}[B_{1}]\cap X_{2}^{-1}[B_{2}])=P(X_{1}^{-1}[B_{1}]\cap X_{2}^{-1}[B_{2}])=P(X_{1}\in B_{1})P(X_{2}\in B_{2})$   

(ii) 모든 $i$에 대해 $|E(X_{i})|<\infty$이면 다음이 성립한다. $$E(X_{1}\cdots X_{n})=E(X_{1})\cdots E(X_{n})$$ 참고: $\displaystyle X_{1}=\sum_{i}{\alpha_{i}\mathbf{1}_{A_{i}}},\,X_{2}=\sum_{j}{\beta_{j}\mathbf{1}_{j}}$일 때 $$E(X_{1}X_{2})=\sum_{i,\,j}{\alpha_{i}\beta_{j}P(A_{i}\cap B_{j})}=\left(\sum_{i}{\alpha_{i}P(A_{i})}\right)\left(\sum_{j}{\beta_{j}P(B_{j})}\right)=E(X_{1})E(X_{2})$$ (iii) 모든 $i$에 대해 $E(X_{i}^{2})<\infty$이면 다음이 성립한다. $$\text{Var}(X_{1}+\cdots+X_{n})=\text{Var}(X_{1})+\cdots+\text{Var}(X_{n})$$ $\mathbb{R}$에서 확률 $P$의 누적분포함수(cumulative distribution function, cdf)는 다음과 같이 정의되고 $$F(x)=P(X\leq x)$$ 누적분포함수가 다음과 같을 때 $$F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t)dt}$$ $f(x)$를 확률밀도함수라고 한다.  

누적분포함수는 단조증가함수이고 다음의 성질이 성립한다. $$\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{F(x)}=0,\,\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{F(x)}=1,\,F(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{F(x+h)},\,P(X<c)=\lim_{x\,\rightarrow\,c-}{F(x)}$$ 즉 누적분포함수는 우연속 함수이다.

표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$의 확률밀도함수는 $\displaystyle f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}$이고 따라서 다음이 성립한다. $$P(Z\leq z)=\int_{-\infty}^{z}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}dz}$$ 앞으로 표준정규분포의 누적분포함수를 $\Phi(z)$로 나타내겠다.         

확률변수 $X$의 모멘트 생성함수(moment generating function)는 0에 가까운 실수 $t$에 대해 다음과 같이 정의하고 $$M_{X}(t)=E(e^{tx})$$ 두 확률분포가 같은지 확인하는데 이용된다. 

확률변수 $X$가 연속확률밀도함수 $f_{X}$를 갖는다고 하자. $y=g(x)$가 미분가능한 단조함수일 때 $Y=g(X)$라고 하면 다음이 성립한다. $$f_{Y}(y)=\frac{1}{|g'(g^{-1}(y))|}f_{X}(g^{-1}(y))$$ $g$를 단조증가함수라 하자. $a<b$일 때 $$P(X\in[a,\,b])=\int_{a}^{b}{f_{X}(x)dx}$$ 이고 $$P(Y\in[g(a),\,g(b)])=\int_{g(a)}^{g(b)}{f_{Y}(y)dy}$$ 이다. $$\int_{a}^{b}{f_{X}(x)dx}=\int_{g(a)}^{g(b)}{f_{Y}(y)dy}$$ 이므로 위 식을 $b$에 대해 미분하면 $f_{X}(b)=g'(b)f_{Y}(g(b))$이고 $y=g(b)$라 하면 결과를 얻는다. $g$가 단조감소함수인 경우도 위와 같은 방법으로 보일 수 있다. 

$X$가 평균이 $\mu$고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포의 확률변수일 때 그 확률밀도함수는 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$이고 $Y=e^{X}\,(X=\ln Y)$라 하면 $Y$의 확률밀도함수는 다음과 같다. $$f_{Y}(y)=\frac{1}{\sigma y\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\ln y-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$$ 이 확률변수 $Y$를 로그정규분포(lognormal distribution)의 확률밀도함수라고 한다. 

금융자산 $S_{t}$가 기하 브라운운동을 하면 $\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma W_{t}}$로 나타낼 수 있고, $$\ln Y_{t}=\ln S_{0}+\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t+\sigma W_{t}$$ 이므로 $X=\ln Y$는 평균이 $\displaystyle\ln S_{0}+\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)t$이고 분산이 $\sigma^{2}t$(참고: 브라운 운동을 나타내는 $W_{t}$에 대해 $\text{Var}(W_{t})=t$)인 정규분포를 따른다. 

확률변수 $X$가 연속확률밀도함수 $f_{X}$를 갖고 $y=g(x)$가 미분가능한 함수일 때 $Y=g(X)$라 하면 다음이 성립한다. $$f_{Y}(y)=\sum_{g(z)=y}{\frac{1}{|g'(z)|}f_{X}(z)}$$ 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대해 $\displaystyle f_{Z}(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}$이고, $Y=Z^{2}$의 확률밀도함수를 구하자. $g(z)=z^{2}$라 하면 $y\geq0$에 대해 $g^{-1}(y)=\pm\sqrt{y}$이고 $$\begin{align*}f_{Y}(y)&=\frac{1}{|-2\sqrt{y}|}f_{Z}(-\sqrt{y})+\frac{1}{|2\sqrt{y}|}f_{X}(\sqrt{y})\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-\frac{y}{2}}\end{align*}$$ 이고 $y<0$일 때 $f_{Y}(y)=0$이다. 

큰 수의 약법칙(weak law of large numbers) $X_{1},\,...,\,X_{n}$이 서로 독립이고 분포가 동일하며 평균이 $\mu$, 분산이 $\sigma^{2}$인 $L^{2}$확률변수라고 하자. $$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}$$ 라 하자. 그러면 임의의 $\epsilon>0$에 대해 다음이 성립한다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{P\left(\left|\frac{S_{n}}{n}-\mu\right|>\epsilon\right)}=0$$ 즉 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle\frac{1}{n}S_{n}$은 $\mu$로 확률수렴(converge in probability)한다.

$p=2$인 경우의 체비셰프 부등식으로부터 $$P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(S_{i}-\mu)}\right|>\epsilon\right)\leq\frac{1}{n^{2}\epsilon^{2}}\sum_{i=1}^{n}{E((X_{i}-\mu)^{2})}=\frac{\sigma^{2}}{n\epsilon^{2}}$$ 이고 극한 $n\,\rightarrow\,\infty$을 취하면 결과를 얻는다. 

큰 수의 강법칙(strong law of large numbers) $X_{1},\,...,\,X_{n}$이 서로 독립이고 분포가 동일하며 평균이 $\mu$인 $L^{1}$확률변수라고 하자. $$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}{S_{i}}$$ 라고 하면 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle\frac{1}{n}S_{n}\,\rightarrow\,\mu\,a.s.$이다.  

중심극한정리(central limit theorem) $X_{1},\,...,\,X_{n}$이 독립이고 동일한 분포를 갖는 $L^{2}$확률변수이고 평균이 $\mu$, 분산이 $\sigma^{2}$이라 하자. 그러면 다음이 성립하고 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{P\left(\frac{S_{n}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\leq x\right)}=\Phi(x)$$ 여기서 $\Phi(x)$는 표준정규분포의 누적분포함수이다. 

두 확률변수 $X,\,Y$에 대해 공분산(covariance)을 $$\text{Cov}(X,\,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))$$ 으로, 상관계수(correlation)를 $$\rho(X,\,Y)=\frac{\text{Cov}(X,\,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)}\sqrt{\text{Var}(Y)}}$$ 로 정의한다. 

확률변수 $X,\,Y,\,Z$에 대해 다음의 성질이 성립한다. 

(1) $\text{Cov}(X,\,Y)=\text{Cov}(Y,\,X)$ 

(2) $\text{Cov}(X,\,X)=\text{Var}(X)$

(3) $\text{Cov}(X,\,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$

(4) $\text{Cov}(X+Y,\,Z)=\text{Cov}(X,\,Z)+\text{Cov}(Y,\,Z)$

(5) 상수 $a$에 대해 $\text{Cov}(X,\,aY)=a\text{Cov}(X,\,Y)$ 

(6) 상수 $a$에 대해 $\text{Cov}(X,\,a)=0$

위의 성질과 코시-슈바르츠 정리에 의해 $-1\leq\rho(X,\,Y)\leq1$이고 $Y=aX+b$일 때 다음이 성립한다. $$\rho(X,\,Y)=\begin{cases}1&\,a>0\\-1&\,a<0\end{cases}$$

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사