[금융수학] 9. 조건부 기댓값

[금융수학] 9. 조건부 기댓값

표본공간 \((\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\)에 \(\mathcal{F}-\)가측 확률변수 \(X\)가 주어져 있고, \(A\in\mathcal{F}\)는 양의 확률을 갖는 사건이라 하자. \(E(X|A)\)를$$E(X|A)=\frac{1}{P(A)}\int_{A}{XdP}=\frac{E(\mathbf{1}_{A}X)}{P(A)}$$라고 정의하고 '사건 \(A\)에 대한 \(X\)의 조건부 기댓값(conditional expectation)'이라고 한다. 이 조건부 기댓값의 정의에서 \(X=\mathbf{1}_{B}\)이면 \(\displaystyle E(X|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)이고 이것을 \(E(B|A)\)로 나타낸다. 

양의 확률을 갖고 배반사건(동시에 일어나지 않는 사건)들 \(A_{1},\,...,\,A_{n}\)들이 주어져있고, \(\Omega=A_{1}\cup\cdots\cup A_{n}\)와 같이 부분집합들로 분할되어 있다고 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(A_{1},\,...,\,A_{n}\)으로 생성되는 \(\sigma-\)체라고 하면 \(\mathcal{F}_{0}\)는 \(\mathcal{F}\)의 부분 \(\sigma-\)체 이다. 이때 새로운 확률변수 \(E(X|\mathcal{F}_{0})\)를 다음과 같이 정의한다.$$E(X|\mathcal{F}_{0})(\omega)=E(X|A_{i}),\,\omega\in A_{i}$$즉$$E(X|\mathcal{F}_{0})=\sum_{i=1}^{n}{E(X|A_{i})\mathbf{1}_{A_{i}}}$$이고 이때 \(E(X|\mathcal{F}_{0})\)는 \(\mathcal{F}_{0}\)에 대해 가측이고, 또한 임의의 \(B\in\mathcal{F}_{0}\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{B}{E(X|\mathcal{F}_{0})dP}=\int_{B}{XdP}$$*참고$$\begin{align*}\int_{\Omega}{E(X|\mathcal{F}_{0})dP}&=\int_{\Omega}{\left(\sum_{i=1}^{n}{E(X|A_{i})\mathbf{1}_{A_{i}}}\right)dP}\\&=\sum_{i=1}^{n}{E(X|A_{i})P(A_{i})}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{E(\mathbf{1}_{A_{i}}X)}{P(A_{i})}P(A_{i})}\\&=\sum_{i=1}^{n}{E(\mathbf{1}_{A_{i}}X)}=\sum_{i=1}^{n}{\int_{A_{i}}{XdP}}\\&=\int_{\Omega}{XdP}\,(\because\Omega=A_{1}\cup\cdots\cup A_{n})\end{align*}$$일반적인 부분 \(\sigma-\)체에 대해 고려하자. 이 경우는 충분히 작은 부분집합 \(A\in\mathcal{F}_{0}\)위에서 함수 \(E(X|\mathcal{F}_{0})\)의 값을 정의하더라도 \(A\)에 포함되는 더 작은 부분집합 \(B\in\mathcal{F}_{0}\)위에서 다시 세밀하게 정의해야 하는데 이때$$\frac{1}{P(B)}\int_{B}{E(X|\mathcal{F}_{0})dP}=\frac{1}{P(B)}\int_{B}{XdP}=E(X|B)$$이어야 한다. 즉 \(A=B\cup(A-B)\)일 때 \(B\)와 \(A-B\)위에서의 \(X\)의 평균인 \(E(X|B)\)와 \(E(X|A-B)\)의 평균값이 \(E(X|A)\)가 되어야 한다. 만약 \(C\in\mathcal{F}_{0}\)이고 \(C\subset B\)인 또다른 부분집합이 존재하면 이 과정을 반복해야 하고, 따라서 \(E(X|\mathcal{F}_{0})\)를 추상적으로 정의할 수 밖에 없다. 

다음은 조건부 기댓값의 정의이다. 

표본공간 \((\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\)에 정의된 \(\mathcal{F}-\)가측 확률변수 \(X\)와 부분 \(\sigma-\)체 \(\mathcal{F}_{0}\subset\mathcal{F}\)에 대해 가측 확률변수 \(Y\)가 존재해서 임의의 \(A\in\mathcal{F}_{0}\)에 대해$$\int_{A}{YdP}=\int_{A}{XdP}$$가 성립하면 \(Y\)를 \(\mathcal{F}_{0}\)에 대한 \(X\)의 조건부 기댓값이라 하고, \(Y\)를 \(E(X|\mathcal{F}_{0})\)로 나타낸다. 이때 조건부 기댓값 \(Y\)는 유일하다. 

\(Y\)의 유일성의 증명: \(X=X^{+}-X^{-}\,(X^{+}=\max\{X,\,0\},\,X^{-}=\max\{-X,\,0\})\)로 나타낼 수 있고, \(\mathcal{F}_{0}\)와 \(A\in\mathcal{F}_{0}\)에 대해 \(\displaystyle Q(A)=\int_{A}{X^{+}dP}\)라 하자. \(Q\)는 \(P|_{\mathcal{F}_{0}}\)에 대해 절대연속이므로 라돈-니코딤 정리에 의해 \(\mathcal{F}_{0}-\)가측 확률변수 \(Y^{+}\)가 존재해서 다음이 성립하고$$\int_{A}{X^{+}dP}=Q(A)=\int_{A}{Y^{+}dP},\,A\in\mathcal{F}_{0}$$또한 \(X^{-}\)에 대해서도 \(\mathcal{F}_{0}-\)가측 확률변수 \(Y^{-}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$\int_{A}{X^{-}dP}=\int_{A}{Y^{-}dP},\,A\in\mathcal{F}_{0}$$\(Y=Y^{+}-Y^{-}\)라고 하면 \(Y\)는 \(\mathcal{F}_{0}-\)가측이고$$\int_{A}{XdP}=\int_{A}{YdP}$$유일성을 보이기 위해 모든 \(A\in\mathcal{F}_{0}\)에 대해 \(\mathcal{F}_{0}-\)가측 확률변수 \(Y_{1},\,Y_{2}\)가 존재해서 다음이 성립한다고 하자.$$\int_{A}{YdP}=\int_{A}{Y_{1}dP}=\int_{A}{Y_{2}dP}$$그러면 모든 \(A\in\mathcal{F}_{0}\)에 대해 \(\displaystyle\int_{A}{(Y_{1}-Y_{2})dP}=0\)이므로 확률 0인 부분집합을 제외하면 \(Y_{1}-Y_{2}=0\), 즉 \(Y_{1}=Y_{2}\)이다.  

다음은 조건부 기댓값이 갖는 성질이다. 

\(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{H}\)를 \(\mathcal{F}\)의 부분 \(\sigma-\)체라 하자. 그러면 다음의 성질이 성립한다. 

(i) \(E(aX+bY|\mathcal{G})=aE(X|\mathcal{G})+bE(Y|\mathcal{G})\)

(ii) \(E(E(X|\mathcal{G}))=E(X)\) 

(iii) \(X\)가 \(\mathcal{G}-\)가측이면, \(E(XY|\mathcal{G})=XE(Y|\mathcal{G})\)(tower property) 

(iv) \(X\)와 \(\mathcal{G}\)가 서로 독립이면 \(E(X|\mathcal{G})=E(X)\) 

(v) \(\mathcal{H}\subset\mathcal{G}\)이면 \(E(E(X|\mathcal{G})|\mathcal{H})=E(X|\mathcal{H})\)이고 따라서 \(\mathcal{H}=\mathcal{G}\)일 때 조건부기댓값은 사영(projection), 즉 \(E(E(X|\mathcal{G})|\mathcal{G})=E(X|\mathcal{G})\)

(vi) \(X\geq0\)이면 \(E(X|\mathcal{G})\geq0\)  

증명: 

(i) 임의의 \(A\in\mathcal{G}\)에 대해$$\begin{align*}\int_{A}{(aE(X|\mathcal{G})+bE(Y|\mathcal{G}))dP}&=a\int_{A}{E(X|\mathcal{G})dP}+b\int_{A}{E(Y|\mathcal{G})dP}\\&=a\int_{A}{XdP}+b\int_{A}{YdP}\\&=\int_{A}{(aX+bY)dP}\end{align*}$$가 성립함을 이용한다.

(ii) 조건부기댓값의 정의에서 \(A=\Omega\)인 경우이다.

(iii) \(A\in\mathcal{G}\)이고 \(X=\mathbf{1}_{A}\)일 때 임의의 \(B\in\mathcal{G}\)에 대해$$\int_{B}{\mathbf{1}_{A}E(Y|\mathcal{G})dP}=\int_{A\cap B}{E(Y|\mathcal{G})dP}=\int_{A\cap B}{YdP}=\int_{B}{\mathbf{1}_{A}YdP}$$이고 따라서 \(\mathbf{1}_{A}E(Y|\mathcal{G})=E(\mathbf{1}_{A}Y|\mathcal{G})\)이다. 이 결과와 임의의 확률변수 \(X\geq0\)로 수렴하는 단순함수열이 존재함을 이용하여 일반적인 결과를 얻을 수 있다.     

(iv) \(X\)와 \(\mathcal{G}\)가 서로 독립이므로 \(X\)의 치역을 \(0=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots\)로 분할하면 임의의 \(A\in\mathcal{G}\)에 대해 \(P(X^{-1}[[a_{i},\,a_{i+1}]\cap A])=P(X^{-1}[[a_{i},\,a_{i+1}]])P(A)\)이고 따라서 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{A}{XdP}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i}^{n}a_{i}P(X^{-1}[a_{i},\,a_{i+1}]\cap A)}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}P(X^{-1}[a_{i},\,a_{i+1}])P(A)}\\&=E(X)P(A)\\&=\int_{A}{E(X)dP}\end{align*}$$(v) 임의의 \(B\in\mathcal{G}\)에 대하여 \(\displaystyle\in_{B}{E(X|\mathcal{G})dP}=\int_{B}{XdP}\)이고 임의의 \(B\in\mathcal{H}\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{B}{E(X|\mathcal{H})dP}=\int_{B}{XdP}\)이므로 \(\mathcal{H}\subset\mathcal{G}\)이면 임의의 \(B\in\mathcal{H}\)에 대하여$$\int_{B}{E(X|\mathcal{G})dP}=\int_{B}{E(X|\mathcal{H})dP}$$이고 조건부기댓값의 정의에 의해 \(E(E(X|\mathcal{G})|\mathcal{H})=E(X|\mathcal{H})\)이다. 

(vi) 임의의 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle A_{n}=\left\{\omega\,|\,E(X|\mathcal{G})(\omega)\leq-\frac{1}{n}\right\}\)이라 하면 \(A_{n}\subset A_{n+1}\)이므로 \(A_{n}\)은 단조증가열이고$$A=\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}=\{\omega\,|\,E(X|\mathcal{G})<0\}$$이다. \(X\geq0\)이면 \(A_{n}\in\mathcal{G}\)이므로$$0\leq\int_{A_{n}}{XdP}=\int_{A_{n}}{E(X|\mathcal{G})dP}\leq-\frac{1}{n}P(A_{n})$$이고 \(P(A_{n})=0\)이므로 따라서 \(P(A)=0\)이다.

조건부 기댓값에 대한 젠센 부등식. 표본공간 \((\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\)위에 적분가능한 확률변수 \(X:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 정의되고, \(\mathcal{G}\)가 \(\mathcal{F}\)의 부분 \(\sigma-\)체일 때, \(\phi:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 볼록함수이고, \(\phi\circ X\)가 적분가능하면 다음의 부등식이 성립한다.$$\phi(E(X|\mathcal{G}))\leq E(\phi(X)|\mathcal{G})$$오목함수의 경우는 부등호의 방향이 반대이다. 

증명: 각 \(x_{0}\)에 대해$$\phi(x_{0})=\sup\{ax_{0}+b\,|\,ay+b\leq\phi(y)\,y\in\mathbb{R}\}$$이고, \(aX+b\leq\phi(X)\)이므로$$aE(X|\mathcal{G})+b=E(aX+b|\mathcal{G})\leq E(\phi(X)|\mathcal{G})$$이고, 위의 부등식의 좌변에 최소상계를 취하면 \(\phi(E(X|\mathcal{G}))\)가 된다. 

따름정리. \(\mathcal{G}\)가 \(\mathcal{F}\)의 부분 \(\sigma-\)체일 때 \(|X|^{p}\)가 적분가능하면, 임의의 \(1\leq p<\infty\)에 대해 다음의 부등식이 성립한다.$$\|E(X|\mathcal{G})\|_{p}\leq\|X\|_{p}$$즉 선형변환$$E(\cdot|\mathcal{G}):L^{p}(\Omega,\,\mathcal{F})\,\rightarrow\,L^{p}(\Omega,\,\mathcal{G})(\subset L^{p}(\Omega,\,\mathcal{F}))$$는 노름이 1이고 따라서 연속이다.

증명: \(\phi(x)=|x|^{p}\)라 하면 \(\phi\)는 볼록함수이고, 젠센 부등식에 의해 \(|E(X|\mathcal{G})|^{p}\leq E(|X|^{p}|\mathcal{G})\)을 얻고, 다음의 부등식을 얻는데$$E(|E(X|\mathcal{G})|^{p})\leq E(E(|X|^{p}|\mathcal{G}))=E(|X|^{p})$$위 부등식의 양변에 \(\displaystyle\frac{1}{p}\)제곱을 취하면 된다. 그러면 선형변환 \(E(\cdot|\mathcal{G})\)의 노름은 1 이하이고, \(E(1|\mathcal{G})=1\)이므로 따라서 이 선형변환의 노름은 1이다. 

\(\mathcal{G}\)가 \(\mathcal{F}\)의 부분 \(\sigma-\)체일때 \(L^{2}(\Omega,\,\mathcal{G})\)는 \(L^{2}(\Omega,\,\mathcal{F})\)의 부분공간이고, 여기서 \(X,\,Y\in L^{2}(\Omega,\,\mathcal{F})\)의 내적을 \(E(XY)\)라 하자. 선형변환$$E(\cdot|\mathcal{G}):L^{2}(\Omega,\,\mathcal{F})\,\rightarrow\,L^{2}(\Omega,\,\mathcal{G})(\subset L^{2}(\Omega,\,\mathcal{F}))$$는 \(L^{2}(\Omega,\,\mathcal{G})\)공간으로의 직교사영(orthogonal projection)이다.     

증명: \(E(X|\mathcal{G})\)와 \(X-E(X|\mathcal{G})\)가 서로 수직임을 보이자.$$\begin{align*}E(E(X|\mathcal{G})(X-E(X|\mathcal{G})))&=E(E(X|\mathcal{G})X)-E(E(X|\mathcal{G})E(X|\mathcal{G}))\\&=E(E(X|\mathcal{G})X)-E(E(E(X|\mathcal{G})X|\mathcal{G}))\\&=E(E(X|\mathcal{G})X)-E(E(X|\mathcal{G})X)\\&=0\end{align*}$$\(E(X|\mathcal{G})\)이 \(\mathcal{G}\)에 대해 가측이라는 사실과 조건부기댓값의 성질 (iii)에 의해$$E(X|\mathcal{G})E(X|\mathcal{G})=E(E(X|\mathcal{G})X|\mathcal{G})$$이를 이용해 위의 식을 얻었고, 마지막 식은 성질 (ii)에 의해 성립한다. 

표본공간 \((\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\)가 다음과 같다고 하자.$$\begin{align*}\Omega&=\{\omega_{1},\,\omega_{2},\,\omega_{3}\},\,\mathcal{F}=\sigma(\{\omega_{1}\},\,\{\omega_{2}\},\,\{\omega_{3}\})\\&P(\{\omega_{1}\})=P(\{\omega_{2}\})=P(\{\omega_{3}\})=\frac{1}{3}\end{align*}$$이때$$X(\omega_{1})=x_{1},\,X(\omega_{2})=x_{2},\,X(\omega_{3})=x_{3},\,\mathcal{G}=\sigma(\{\omega_{1}\},\,\{\omega_{2},\,\omega_{3}\})$$라 하면$$E(X|\mathcal{G})(\omega)=\begin{cases}x_{1}&\,\omega\in\{\omega_{1}\} \\ \displaystyle\frac{1}{2}(x_{2}+x_{3})&\,\omega\in\{\omega_{2},\,\omega_{3}\}\end{cases}$$이고$$X(\omega)-E(X|\mathcal{G})(\omega)=\begin{cases}0&\,\omega=\omega_{1}\\ \displaystyle\frac{1}{2}(x_{2}-x_{3})&\,\omega=\omega_{2}\\ \displaystyle\frac{1}{2}(-x_{2}+x_{3})&\,\omega=\omega_{3}\end{cases}$$그러면 \(E(X|\mathcal{G})(X-E(X|\mathcal{G}))=0\)이므로 그 기댓값도 0이다. 

*\(E(X^{2})<\infty\)일 때 \(L^{2}(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\)에서의 최소제곱법의 관점에서 조건부기댓값을 보면 다음이 성립한다.$$E((X-E(X|\mathcal{G}))^{2})=\inf_{Y\in L^{2}(\Omega,\,\mathcal{G},\,P)}E((X-Y)^{2})$$이것은 \(E(X|\mathcal{G})\)가 \(\mathcal{G}\)에 의한 정보를 토대로 한 최상의 예측이라고 할 수 있다.

표본공간 \((\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\)에 \(\mathcal{F}-\)가측 확률변수 \(X,\,Y\)가 정의되어있고, \(X\)는 적분가능하다고 하자. 이때 \(Y\)에 대한 \(X\)의 조건부기댓값 \(E(X|Y)\)는$$E(X|Y)=E(X|\sigma(Y))$$라고 정의한다. 따라서 \(E(X|Y)=E(X|\sigma(Y))\)는 \(\sigma(Y)\)에 대해 가측이고, 임의의 구간 \([a,\,b]\subset\mathbb{R}\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{\{\omega\,|\,a\leq Y(\omega)\leq b\}}{E(X|Y)dP}=\int_{\{\omega\,|\,a\leq Y(\omega)\leq b\}}{XdP}$$위의 조건들을 만족되었을 때 \(E(X|Y)\)는 \(Y\)의 함수이다. 즉 적당한 가측함수 \(f:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 존재해서 \(E(X|Y)=f\circ Y\)이다. 

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사