[금융수학] 9. 조건부 기댓값

[금융수학] 9. 조건부 기댓값

표본공간 $(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$에 $\mathcal{F}-$가측 확률변수 $X$가 주어져 있고, $A\in\mathcal{F}$는 양의 확률을 갖는 사건이라 하자. $E(X|A)$를 $$E(X|A)=\frac{1}{P(A)}\int_{A}{XdP}=\frac{E(\mathbf{1}_{A}X)}{P(A)}$$ 라고 정의하고 '사건 $A$에 대한 $X$의 조건부 기댓값(conditional expectation)'이라고 한다. 이 조건부 기댓값의 정의에서 $X=\mathbf{1}_{B}$이면 $\displaystyle E(X|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$이고 이것을 $E(B|A)$로 나타낸다. 

양의 확률을 갖고 배반사건(동시에 일어나지 않는 사건)들 $A_{1},\,...,\,A_{n}$들이 주어져있고, $\Omega=A_{1}\cup\cdots\cup A_{n}$와 같이 부분집합들로 분할되어 있다고 하자. $\mathcal{F}$를 $A_{1},\,...,\,A_{n}$으로 생성되는 $\sigma-$체라고 하면 $\mathcal{F}_{0}$는 $\mathcal{F}$의 부분 $\sigma-$체 이다. 이때 새로운 확률변수 $E(X|\mathcal{F}_{0})$를 다음과 같이 정의한다. $$E(X|\mathcal{F}_{0})(\omega)=E(X|A_{i}),\,\omega\in A_{i}$$ 즉 $$E(X|\mathcal{F}_{0})=\sum_{i=1}^{n}{E(X|A_{i})\mathbf{1}_{A_{i}}}$$ 이고 이때 $E(X|\mathcal{F}_{0})$는 $\mathcal{F}_{0}$에 대해 가측이고, 또한 임의의 $B\in\mathcal{F}_{0}$에 대해 다음이 성립한다. $$\int_{B}{E(X|\mathcal{F}_{0})dP}=\int_{B}{XdP}$$ *참고 $$\begin{align*}\int_{\Omega}{E(X|\mathcal{F}_{0})dP}&=\int_{\Omega}{\left(\sum_{i=1}^{n}{E(X|A_{i})\mathbf{1}_{A_{i}}}\right)dP}\\&=\sum_{i=1}^{n}{E(X|A_{i})P(A_{i})}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{E(\mathbf{1}_{A_{i}}X)}{P(A_{i})}P(A_{i})}\\&=\sum_{i=1}^{n}{E(\mathbf{1}_{A_{i}}X)}=\sum_{i=1}^{n}{\int_{A_{i}}{XdP}}\\&=\int_{\Omega}{XdP}\,(\because\Omega=A_{1}\cup\cdots\cup A_{n})\end{align*}$$ 일반적인 부분 $\sigma-$체에 대해 고려하자. 이 경우는 충분히 작은 부분집합 $A\in\mathcal{F}_{0}$위에서 함수 $E(X|\mathcal{F}_{0})$의 값을 정의하더라도 $A$에 포함되는 더 작은 부분집합 $B\in\mathcal{F}_{0}$위에서 다시 세밀하게 정의해야 하는데 이때 $$\frac{1}{P(B)}\int_{B}{E(X|\mathcal{F}_{0})dP}=\frac{1}{P(B)}\int_{B}{XdP}=E(X|B)$$ 이어야 한다. 즉 $A=B\cup(A-B)$일 때 $B$와 $A-B$위에서의 $X$의 평균인 $E(X|B)$와 $E(X|A-B)$의 평균값이 $E(X|A)$가 되어야 한다. 만약 $C\in\mathcal{F}_{0}$이고 $C\subset B$인 또다른 부분집합이 존재하면 이 과정을 반복해야 하고, 따라서 $E(X|\mathcal{F}_{0})$를 추상적으로 정의할 수 밖에 없다. 

다음은 조건부 기댓값의 정의이다. 

표본공간 $(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$에 정의된 $\mathcal{F}-$가측 확률변수 $X$와 부분 $\sigma-$체 $\mathcal{F}_{0}\subset\mathcal{F}$에 대해 가측 확률변수 $Y$가 존재해서 임의의 $A\in\mathcal{F}_{0}$에 대해 $$\int_{A}{YdP}=\int_{A}{XdP}$$ 가 성립하면 $Y$를 $\mathcal{F}_{0}$에 대한 $X$의 조건부 기댓값이라 하고, $Y$를 $E(X|\mathcal{F}_{0})$로 나타낸다. 이때 조건부 기댓값 $Y$는 유일하다. 

$Y$의 유일성의 증명: $X=X^{+}-X^{-}\,(X^{+}=\max\{X,\,0\},\,X^{-}=\max\{-X,\,0\})$로 나타낼 수 있고, $\mathcal{F}_{0}$와 $A\in\mathcal{F}_{0}$에 대해 $\displaystyle Q(A)=\int_{A}{X^{+}dP}$라 하자. $Q$는 $P|_{\mathcal{F}_{0}}$에 대해 절대연속이므로 라돈-니코딤 정리에 의해 $\mathcal{F}_{0}-$가측 확률변수 $Y^{+}$가 존재해서 다음이 성립하고 $$\int_{A}{X^{+}dP}=Q(A)=\int_{A}{Y^{+}dP},\,A\in\mathcal{F}_{0}$$ 또한 $X^{-}$에 대해서도 $\mathcal{F}_{0}-$가측 확률변수 $Y^{-}$가 존재해서 다음이 성립한다. $$\int_{A}{X^{-}dP}=\int_{A}{Y^{-}dP},\,A\in\mathcal{F}_{0}$$ $Y=Y^{+}-Y^{-}$라고 하면 $Y$는 $\mathcal{F}_{0}-$가측이고 $$\int_{A}{XdP}=\int_{A}{YdP}$$ 유일성을 보이기 위해 모든 $A\in\mathcal{F}_{0}$에 대해 $\mathcal{F}_{0}-$가측 확률변수 $Y_{1},\,Y_{2}$가 존재해서 다음이 성립한다고 하자. $$\int_{A}{YdP}=\int_{A}{Y_{1}dP}=\int_{A}{Y_{2}dP}$$ 그러면 모든 $A\in\mathcal{F}_{0}$에 대해 $\displaystyle\int_{A}{(Y_{1}-Y_{2})dP}=0$이므로 확률 0인 부분집합을 제외하면 $Y_{1}-Y_{2}=0$, 즉 $Y_{1}=Y_{2}$이다.  

다음은 조건부 기댓값이 갖는 성질이다. 

$\mathcal{G}$와 $\mathcal{H}$를 $\mathcal{F}$의 부분 $\sigma-$체라 하자. 그러면 다음의 성질이 성립한다. 

(i) $E(aX+bY|\mathcal{G})=aE(X|\mathcal{G})+bE(Y|\mathcal{G})$

(ii) $E(E(X|\mathcal{G}))=E(X)$ 

(iii) $X$가 $\mathcal{G}-$가측이면, $E(XY|\mathcal{G})=XE(Y|\mathcal{G})$(tower property) 

(iv) $X$와 $\mathcal{G}$가 서로 독립이면 $E(X|\mathcal{G})=E(X)$ 

(v) $\mathcal{H}\subset\mathcal{G}$이면 $E(E(X|\mathcal{G})|\mathcal{H})=E(X|\mathcal{H})$이고 따라서 $\mathcal{H}=\mathcal{G}$일 때 조건부기댓값은 사영(projection), 즉 $E(E(X|\mathcal{G})|\mathcal{G})=E(X|\mathcal{G})$

(vi) $X\geq0$이면 $E(X|\mathcal{G})\geq0$  

증명: 

(i) 임의의 $A\in\mathcal{G}$에 대해 $$\begin{align*}\int_{A}{(aE(X|\mathcal{G})+bE(Y|\mathcal{G}))dP}&=a\int_{A}{E(X|\mathcal{G})dP}+b\int_{A}{E(Y|\mathcal{G})dP}\\&=a\int_{A}{XdP}+b\int_{A}{YdP}\\&=\int_{A}{(aX+bY)dP}\end{align*}$$ 가 성립함을 이용한다.

(ii) 조건부기댓값의 정의에서 $A=\Omega$인 경우이다.

(iii) $A\in\mathcal{G}$이고 $X=\mathbf{1}_{A}$일 때 임의의 $B\in\mathcal{G}$에 대해 $$\int_{B}{\mathbf{1}_{A}E(Y|\mathcal{G})dP}=\int_{A\cap B}{E(Y|\mathcal{G})dP}=\int_{A\cap B}{YdP}=\int_{B}{\mathbf{1}_{A}YdP}$$ 이고 따라서 $\mathbf{1}_{A}E(Y|\mathcal{G})=E(\mathbf{1}_{A}Y|\mathcal{G})$이다. 이 결과와 임의의 확률변수 $X\geq0$로 수렴하는 단순함수열이 존재함을 이용하여 일반적인 결과를 얻을 수 있다.     

(iv) $X$와 $\mathcal{G}$가 서로 독립이므로 $X$의 치역을 $0=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots$로 분할하면 임의의 $A\in\mathcal{G}$에 대해 $P(X^{-1}[[a_{i},\,a_{i+1}]\cap A])=P(X^{-1}[[a_{i},\,a_{i+1}]])P(A)$이고 따라서 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{A}{XdP}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i}^{n}a_{i}P(X^{-1}[a_{i},\,a_{i+1}]\cap A)}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}P(X^{-1}[a_{i},\,a_{i+1}])P(A)}\\&=E(X)P(A)\\&=\int_{A}{E(X)dP}\end{align*}$$ (v) 임의의 $B\in\mathcal{G}$에 대하여 $\displaystyle\in_{B}{E(X|\mathcal{G})dP}=\int_{B}{XdP}$이고 임의의 $B\in\mathcal{H}$에 대하여 $\displaystyle\int_{B}{E(X|\mathcal{H})dP}=\int_{B}{XdP}$이므로 $\mathcal{H}\subset\mathcal{G}$이면 임의의 $B\in\mathcal{H}$에 대하여 $$\int_{B}{E(X|\mathcal{G})dP}=\int_{B}{E(X|\mathcal{H})dP}$$ 이고 조건부기댓값의 정의에 의해 $E(E(X|\mathcal{G})|\mathcal{H})=E(X|\mathcal{H})$이다. 

(vi) 임의의 $n$에 대하여 $\displaystyle A_{n}=\left\{\omega\,|\,E(X|\mathcal{G})(\omega)\leq-\frac{1}{n}\right\}$이라 하면 $A_{n}\subset A_{n+1}$이므로 $A_{n}$은 단조증가열이고 $$A=\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}=\{\omega\,|\,E(X|\mathcal{G})<0\}$$ 이다. $X\geq0$이면 $A_{n}\in\mathcal{G}$이므로 $$0\leq\int_{A_{n}}{XdP}=\int_{A_{n}}{E(X|\mathcal{G})dP}\leq-\frac{1}{n}P(A_{n})$$ 이고 $P(A_{n})=0$이므로 따라서 $P(A)=0$이다.

조건부 기댓값에 대한 젠센 부등식. 표본공간 $(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$위에 적분가능한 확률변수 $X:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 정의되고, $\mathcal{G}$가 $\mathcal{F}$의 부분 $\sigma-$체일 때, $\phi:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 볼록함수이고, $\phi\circ X$가 적분가능하면 다음의 부등식이 성립한다. $$\phi(E(X|\mathcal{G}))\leq E(\phi(X)|\mathcal{G})$$ 오목함수의 경우는 부등호의 방향이 반대이다. 

증명: 각 $x_{0}$에 대해 $$\phi(x_{0})=\sup\{ax_{0}+b\,|\,ay+b\leq\phi(y)\,y\in\mathbb{R}\}$$ 이고, $aX+b\leq\phi(X)$이므로 $$aE(X|\mathcal{G})+b=E(aX+b|\mathcal{G})\leq E(\phi(X)|\mathcal{G})$$ 이고, 위의 부등식의 좌변에 최소상계를 취하면 $\phi(E(X|\mathcal{G}))$가 된다. 

따름정리. $\mathcal{G}$가 $\mathcal{F}$의 부분 $\sigma-$체일 때 $|X|^{p}$가 적분가능하면, 임의의 $1\leq p<\infty$에 대해 다음의 부등식이 성립한다. $$\|E(X|\mathcal{G})\|_{p}\leq\|X\|_{p}$$ 즉 선형변환 $$E(\cdot|\mathcal{G}):L^{p}(\Omega,\,\mathcal{F})\,\rightarrow\,L^{p}(\Omega,\,\mathcal{G})(\subset L^{p}(\Omega,\,\mathcal{F}))$$ 는 노름이 1이고 따라서 연속이다.

증명: $\phi(x)=|x|^{p}$라 하면 $\phi$는 볼록함수이고, 젠센 부등식에 의해 $|E(X|\mathcal{G})|^{p}\leq E(|X|^{p}|\mathcal{G})$을 얻고, 다음의 부등식을 얻는데 $$E(|E(X|\mathcal{G})|^{p})\leq E(E(|X|^{p}|\mathcal{G}))=E(|X|^{p})$$ 위 부등식의 양변에 $\displaystyle\frac{1}{p}$제곱을 취하면 된다. 그러면 선형변환 $E(\cdot|\mathcal{G})$의 노름은 1 이하이고, $E(1|\mathcal{G})=1$이므로 따라서 이 선형변환의 노름은 1이다. 

$\mathcal{G}$가 $\mathcal{F}$의 부분 $\sigma-$체일때 $L^{2}(\Omega,\,\mathcal{G})$는 $L^{2}(\Omega,\,\mathcal{F})$의 부분공간이고, 여기서 $X,\,Y\in L^{2}(\Omega,\,\mathcal{F})$의 내적을 $E(XY)$라 하자. 선형변환 $$E(\cdot|\mathcal{G}):L^{2}(\Omega,\,\mathcal{F})\,\rightarrow\,L^{2}(\Omega,\,\mathcal{G})(\subset L^{2}(\Omega,\,\mathcal{F}))$$ 는 $L^{2}(\Omega,\,\mathcal{G})$공간으로의 직교사영(orthogonal projection)이다.     

증명: $E(X|\mathcal{G})$와 $X-E(X|\mathcal{G})$가 서로 수직임을 보이자. $$\begin{align*}E(E(X|\mathcal{G})(X-E(X|\mathcal{G})))&=E(E(X|\mathcal{G})X)-E(E(X|\mathcal{G})E(X|\mathcal{G}))\\&=E(E(X|\mathcal{G})X)-E(E(E(X|\mathcal{G})X|\mathcal{G}))\\&=E(E(X|\mathcal{G})X)-E(E(X|\mathcal{G})X)\\&=0\end{align*}$$ $E(X|\mathcal{G})$이 $\mathcal{G}$에 대해 가측이라는 사실과 조건부기댓값의 성질 (iii)에 의해 $$E(X|\mathcal{G})E(X|\mathcal{G})=E(E(X|\mathcal{G})X|\mathcal{G})$$ 이를 이용해 위의 식을 얻었고, 마지막 식은 성질 (ii)에 의해 성립한다. 

표본공간 $(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$가 다음과 같다고 하자. $$\begin{align*}\Omega&=\{\omega_{1},\,\omega_{2},\,\omega_{3}\},\,\mathcal{F}=\sigma(\{\omega_{1}\},\,\{\omega_{2}\},\,\{\omega_{3}\})\\&P(\{\omega_{1}\})=P(\{\omega_{2}\})=P(\{\omega_{3}\})=\frac{1}{3}\end{align*}$$ 이때 $$X(\omega_{1})=x_{1},\,X(\omega_{2})=x_{2},\,X(\omega_{3})=x_{3},\,\mathcal{G}=\sigma(\{\omega_{1}\},\,\{\omega_{2},\,\omega_{3}\})$$ 라 하면 $$E(X|\mathcal{G})(\omega)=\begin{cases}x_{1}&\,\omega\in\{\omega_{1}\} \\ \displaystyle\frac{1}{2}(x_{2}+x_{3})&\,\omega\in\{\omega_{2},\,\omega_{3}\}\end{cases}$$ 이고 $$X(\omega)-E(X|\mathcal{G})(\omega)=\begin{cases}0&\,\omega=\omega_{1}\\ \displaystyle\frac{1}{2}(x_{2}-x_{3})&\,\omega=\omega_{2}\\ \displaystyle\frac{1}{2}(-x_{2}+x_{3})&\,\omega=\omega_{3}\end{cases}$$ 그러면 $E(X|\mathcal{G})(X-E(X|\mathcal{G}))=0$이므로 그 기댓값도 0이다. 

*$E(X^{2})<\infty$일 때 $L^{2}(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$에서의 최소제곱법의 관점에서 조건부기댓값을 보면 다음이 성립한다. $$E((X-E(X|\mathcal{G}))^{2})=\inf_{Y\in L^{2}(\Omega,\,\mathcal{G},\,P)}E((X-Y)^{2})$$ 이것은 $E(X|\mathcal{G})$가 $\mathcal{G}$에 의한 정보를 토대로 한 최상의 예측이라고 할 수 있다.

표본공간 $(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$에 $\mathcal{F}-$가측 확률변수 $X,\,Y$가 정의되어있고, $X$는 적분가능하다고 하자. 이때 $Y$에 대한 $X$의 조건부기댓값 $E(X|Y)$는 $$E(X|Y)=E(X|\sigma(Y))$$ 라고 정의한다. 따라서 $E(X|Y)=E(X|\sigma(Y))$는 $\sigma(Y)$에 대해 가측이고, 임의의 구간 $[a,\,b]\subset\mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다. $$\int_{\{\omega\,|\,a\leq Y(\omega)\leq b\}}{E(X|Y)dP}=\int_{\{\omega\,|\,a\leq Y(\omega)\leq b\}}{XdP}$$ 위의 조건들을 만족되었을 때 $E(X|Y)$는 $Y$의 함수이다. 즉 적당한 가측함수 $f:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 존재해서 $E(X|Y)=f\circ Y$이다. 

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사