2010학년도 경희대(서울) 수시 1차 수리논술(자연계 I)

2010학년도 경희대(서울) 수시 1차 수리논술(자연계 I)

<논제 I> 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. [나] 코일 주변에 자석이 운동하거나 자석 주변에 코일이 운동할 때, 코일에 전류가 발생하는 현상을 전자기 유도라고 한다. 회로에 전류가 흐르려면 전지처럼 전위차를 주는 기전력이 필요하다. 코일에서는 코일과 자석의 상대 운동이 코일 양단에 기전력을 만들어 낸다. 이 기전력을 유도 기전력이라고 하고, 이 때 흐르는 전류를 유도 전류라고 한다. 코일에 생기는 유도 전류는 코일을 통과하는 자기력선의 변화를 방해하는 방향으로 생긴다. 패러데이는 이를 정리하여 유도 기전력은 단위시간당 코일 단면을 통과하는 자기력선수(자속)의 변화량과 코일의 감은 회수에 비례한다고 하였다. 이를 패러데이 법칙이라고 한다. \(N\)외 감은 코일에 시간 \(\Delta t\)동안 코일 내부를 통과하는 자속이 \(\Delta\Phi\) 만큼 변화했다면 코일 양단에 유도되는 기전력은$$V=-\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}}=-N\frac{d\Phi}{dt}$$가 된다. 코일을 통과하는 자속은 자기장이 공간적으로 균일할 때 \(\Phi=BA\)로 주어진다. 여기서 \(B\)는 자기장의 세기이고, \(A\)는 자기장에 수직한 회로(또는 코일)의 단면적이다. 유도 기전력에 붙은 '-'부호는 유도 기전력이 자속의 변화를 방해하는 방향으로 나타남을 의미한다. 자석을 코일에 가까이하면 유도 전류에 의한 자기장이 생겨서 자석의 운동을 방해한다. 따라서 유도 전류를 만들려면 일을 해주어야 한다. 즉, 전자기 유도 현상을 통해 역학적 에너지를 전기 에너지로 변환시킬 수 있다. [다] 방정식 \(f(x)=0\)의 해(또는 근)를 구하는 방법은 여러 가지가 있다. 대수적 방법과 기하학적 방법이 그 예이다. 그러나 이러한 방법으로도 해를 구할 수 없는 방정식이 존재한다. 이 경우, 다음과 같이 함수 \(y=f(x)\)의 \(x\)절편이 방정식 \(f(x)=0\)의 해와 같다는 성질과 \(y=f(x)\)의 그래프를 이용하여 해의 근삿값을 구하는 방법을 생각해 볼 수 있다.  방정식 \(f(x)=0\)의 해 중 하나를 \(x_{0}\)라 하자(\(f(x_{0})=0\)). 함수 \(y=f(x)\)의 \(x\)절편 \(x_{0}\)의 근삿값을 구하기 위해 \(f(x_{1})\neq0\)이고 \(f'(x_{1})\neq0\)이며 근 \(x_{0}\)에 충분히 가까운 임의의 초기값 \(x_{1}\)을 잡고, 함수 \(y=f(x)\)의 그래프 위의 점 \((x_{1},\,f(x_{1}))\)에서의 접선을 생각한다. 이 접선의 \(x\)절편, 즉 접선과 \(x\)측이 만나는 점을 \(x_{2}\)라 하자. 계속하여 \((x_{2},\,f(x_{2}))\)에서 접선의 \(x\)절편을 구하여 \(x_{3}\)라 하고, 이 과정을 반복하여 수열 \(x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,...\)를 구하면, 이 수열 \(\{x_{n}\}\)은 함수 \(y=f(x)\)의 \(x\)절편 \(x_{0}\) 즉 \(0=f(x)\)의 해 \(x_{0}\)에 일반적으로 수렴한다. 무한수열 \(\{x_{n}\}(n=1,\,2,\,...)\)이 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(x_{0}\)에 수렴한다고 할 때, 이를 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x_{0}\) 로 기술한다. 수렴하는 무한 수열의 중요한 성질 중 하나는 다음과 같다. 임의의 자연수 \(n\)에 대하여$$|x_{n+1}-x_{0}|\leq c|x_{n}-x_{0}|$$를 만족시키는 상수 \(0\leq c<1\)가 존재한다면, 무한 수열 \(\{x_{n}\}\)은 \(x_{0}\)로 수렴한다.     <논제 I-2> 제시문 [나]와 [다]를 참조하여 다음 물음에 답하시오. 지면 뒤쪽으로 세기 \(B\)의 균일한 자기장이 향하는 구역 내에 폭이 \(L\)인 'ㄷ'자형 구리 도선이 자기장과 수직하게 놓여 있다. 위 그림과 같이 두 평행한 구리 도선 위에 수직으로 금속 막대가 놓여 있고, 금속 막대는 외부 동력 장치에 연결되어 좌우 방향으로 움직이고 시간 \(t(\geq0)\) 후에 구리 도선 한쪽 끝으로부터 \(l(t)=L(t/\tau-1)^{2}\)만큼 떨어진 위치에 놓인다고 하자. 여기서 \(\tau\)는 임의의 시간 상수이다. 금속 막대와 구리 도선은 그 접점에서 전기적으로 연결되고, 금속 막대와 구리 도선 모두 단위 길이당 \(\rho\)의 전기 저항을 가진다.  (1) 제시문 [나]에서 설명한 현상에 따르면, 금속 막대의 운동으로 인해 금속 막대와 구리 도선으로 이루어진 회로에 유도 전류가 흐른다. 시간 \(t(\geq0)\)에 발생한 유도 전류의 크기와 방향을 시간의 함수로 추정하고, 이 전류 유도 현상에서 에너지 보존 법칙이 성립함을 논술하시오. (단, \(\tau\)가 충분히 커서 자체 유도 효과는 무시할 수 있다고 가정한다) (2) 제시문 [다]에 기술한 방법을 수학적으로 표현하고자 한다. 임의의 초기값 \(x_{1}(\neq x_{0})\)에 대하여, \(n\geq1\)일 때, \(x\)절편 \(x_{n+1}\)을 바로 전 \(x\)절편 \(x_{n}\), \(f(x_{n})\)과 \(f'(x_{n})\)으로 표시할 수 있는 관계식을 이끌어 내는 방법을 논술하고 그 관계식을 구하시오. (3) 위에서 구한 관계식을 이용하여 유도 전류가 반시계방향으로 \(\displaystyle\frac{BL}{2\rho\tau}\)만큼 흐르는 순간의 시간 \(t\)의 근삿값을 구하고자 한다. 먼저 \(x=t/\tau\)로 놓고, 유도한 방정식을 \(f(x)=0\)꼴로 변환한 후, 이 함수 \(f(x)\)에 대해 \(x_{n+1}\)과 \(x_{n}\) 사이의 관계식을 구하고, 제시문 [다]에서 기술한 수렴 성질에 의거하여 무한수열 \(\{x_{n}\}\)이 방정식 \(f(x)=0\)의 해로 수렴하는지를 논술하시오.

(1) 금속 막대와 구리 도선으로 이루어진 직사각형의 면적은 \(l(t)L\)이므로 이 직사각형에서의 자속은$$\Phi=Bl(t)L=BL\left(\frac{t}{\tau}-1\right)^{2}$$이 회로는 1번 감긴 코일과 같으므로 \(N=1\)이다. 그러면 유도되는 기전력은 제시문 [나]의 패러데이 법칙에 의해$$V=-N\frac{d\Phi}{dt}=-2BL\cdot\frac{L}{\tau}\left(\frac{t}{\tau}-1\right)=-\frac{2BL^{2}}{\tau}\left(\frac{t}{\tau}-1\right)$$직사각형 회로 전체는 단위길이당 저항 \(\rho\)를 갖고, 둘레의 길이가 \(2L+2l(t)\)이므로 회로 전체의 저항은$$R=\rho(2L+2l(t))=2\rho L+2\rho L\left(\frac{t}{\tau}-1\right)^{2}$$이다. 옴의 법칙에 의해 유도전류의 크기는$$I=\frac{V}{R}=\frac{\displaystyle\frac{2BL^{2}}{\tau}\left(\frac{t}{\tau}-1\right)}{\displaystyle2\rho L+2\rho L\left(\frac{t}{\tau}-1\right)^{2}}=\frac{BL}{\rho\tau}\frac{\displaystyle\left(\frac{t}{\tau}-1\right)}{\displaystyle1+\left(\frac{t}{\tau}-1\right)^{2}}$$이고 유도 전류와 유도기전력은 자속의 변화를 방해하는 방향으로 유도되어야 한다. 플레밍 법칙으로부터 유도 전류의 방향은 \(t<\tau\)일 때 시계방향, \(t>\tau\)일 때 반시계 방향이다. 

저항에서 발생하는 단위시간당 열에너지는$$P_{R}=I^{2}R=\frac{V^{2}}{R}=\frac{\displaystyle\frac{4B^{2}L^{2}}{\tau^{2}}\left(\frac{t}{\tau}-1\right)^{2}}{\displaystyle2\rho L\left\{1+\left(\frac{t}{\tau}-1\right)^{2}\right\}}=\frac{2B^{2}L^{3}}{\rho\tau^{2}}\frac{\displaystyle\left(\frac{t}{\tau}-1\right)^{2}}{\displaystyle1+\left(\frac{t}{\tau}-1\right)^{2}\displaystyle}$$이고 자기장에 의한 힘이$$F=BLi(t)=\frac{B^{2}L^{2}}{\rho\tau}\frac{\displaystyle\left(\frac{t}{\tau}-1\right)}{\displaystyle1+\left(\frac{t}{\tau}-1\right)^{2}}$$이므로 자기장에 의한 일률은$$P_{M}=Fv=F\frac{dl(t)}{dt}=\frac{2B^{2}L^{3}}{\rho\tau^{2}}\frac{\displaystyle\left(\frac{t}{\tau}-1\right)^{2}}{\displaystyle1+\left(\frac{t}{\tau}-1\right)^{2}}$$이다. 저항에서의 열에너지 \(P_{R}\)과 자기장에 의한 일률 \(P_{M}\)이 같으므로 전자기 유도현상으로 통해 역학적 에너지가 그대로 저항에서 열에너지로 소모된다. 

(2) 제시문 [다]의 내용대로 관계식을 구하자.

점 \((x_{1},\,f(x_{1}))\)에서의 접선의 방정식은 \(y=f'(x_{1})(x-x_{1})+f(x_{1})\)이고 \(x_{2}\)는 이 접선의 방정식의 \(x\)절편이므로 \(f'(x_{1})(x_{2}-x_{1})+f(x_{1})=0\)이고 \(\displaystyle x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\)이다.

점 \((x_{2},\,f(x_{2}))\)에서의 접선의 방정식은 \(y=f'(x_{2})(x-x_{2})+f(x_{2})\)이고 \(x_{3}\)은 이 접선의 방정식의 \(x\)절편이므로 \(f'(x_{2})(x_{3}-x_{2})+f(x_{2})=0\)이고 \(\displaystyle x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\)이다. 

이 과정을 반복하면 점 \((x_{n},\,f(x_{n}))\)에서의 접선의 방정식은 \(y=f'(x_{n})(x-x_{n})+f(x_{n})\)이고 \(x_{n+1}\)은 이 접선의 방정식의 \(x\)절편이므로 \(f'(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})+f(x_{n})=0\)이고 \(\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\)이다.    

(3) 유도 전류가 반시계방향으로 \(\displaystyle\frac{BL}{2\rho\tau}\)만큼 흐르면 (1)의 결과에 의해$$I=\frac{BL}{\rho\tau}\frac{\displaystyle\left(\frac{t}{\tau}-1\right)}{\displaystyle1+\left(\frac{t}{\tau}-1\right)^{2}}=\frac{BL}{2\rho\tau}$$이고 \(\displaystyle x=\frac{t}{\tau}\)로 치환하면$$\frac{x-1}{1+(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$$이므로 다음의 방정식을 얻는다.$$x^{2}-4x+4=0$$이 방정식의 해는 \(x_{0}=2\)이고, \(f(x)=x^{2}-4x+4\), \(x_{1}\neq2\)이라고 하면$$f(x_{n})=x_{n}^{2}-4x_{n}+4,\,f'(x_{n})=2x_{n}-4$$이므로 문제(2)의 결과에 의해$$\begin{align*}x_{n+1}&=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\\&=\frac{2x_{n}^{2}-4x_{n}-(x_{n}^{2}-4x_{n}+4)}{2x_{n}-4}\\&=\frac{x_{n}^{2}-4}{2(x_{n}-2)}=\frac{x_{n}+2}{2}\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}x_{n}+1\)이고$$x_{n+1}-2=\frac{1}{2}(x_{n}-2)$$이므로$$|x_{n+1}-2|=\frac{1}{2}|x_{n}-2|$$이며, \(\displaystyle c=\frac{1}{2}<1\)이므로 제시문 [다]에 의해 \(x_{n}\)은 방정식 \(f(x)=0\)의 해 \(x_{0}=2\)로 수렴한다.