2009학년도 인하대 수시2-2 수리논술

2009학년도 인하대 수시2-2 수리논술

■ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[다] 구분구적법은 적분의 기본 원리로서, 어떤 도형의 넓이나 부피를 구할 때 그 도형을 여러 개의 간단한 도형으로 세분하여 이들 도형의 넓이나 부피의 합을 구한 후, 이 합의 극한값으로 원래 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법이다. 닫힌구간(폐구간) \([a,\,b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)의 정적분을 구분구적법을 이용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}}\,\left(\Delta x=\frac{b-a}{n},\,x_{k}=a+k\Delta x\right)$$[라] 도선의 저항은 도선의 길이가 길수록 커지며 단면적이 클수록 작아진다. 이것은 도선의 길이가 길수록 자유 전자와 금속 원자의 충돌 횟수가 많아져서 저항이 커지고, 도선의 단면이 클수록 단면을 통과하는 자유 전자의 수가 많아져서 전류가 잘 흐르기 때문이다. 따라서 [그림 1]과 같은 도선의 저항 \(R\)은 도선의 길이 \(l\)에 비례하고 단면적 \(S\)에 반비례한다. 비례상수를 \(\rho\)라 하면 \(\displaystyle R=\rho\frac{l}{S}\)이다. 여기서 \(\rho\)는 물질의 종류에 따라 정해지는 상수로서 물질의 비저항이라고 한다.   [마] [그림 2]와 같이 잘려진 원뿔형 도선의 저항은 잘게 세분한 원기둥 도선의 저항의 합을 구한 후, 이것의 극한으로 구할 수 있다. 즉, 작은 원기둥을 이용한 구분구적법을 이용하여 구할 수 있다. 잘려진 원뿔형 도선의 중심 길이를 \(L\)이라 하고 이것을 \(n\)등분하여 작은 원기둥의 합으로 근사시키자. \(\displaystyle\Delta x=\frac{L}{n}\), \(x_{k}=k\Delta x\,(0\leq k\leq n)\)라 놓고, \(x_{k}\) 지점에서 단면의 반지름을 \(y_{k}\), 단면적을 \(S_{k}\), 두께가 \(\Delta x\)인 원기둥 조각의 저항을 \(\Delta R_{k}\)라고 하면, \(\Delta R_{k}\)는 \(\displaystyle\rho\frac{\Delta x}{S_{k}}\)가 된다. 그러면 잘려진 원뿔형 도선의 전체 저항은 구분구적법에 의해서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\rho\frac{\Delta x}{S_{k}}}}\)로 주어진다. 여기에서 \(\rho\)는 도선을 이루는 물질의 비저항이다.

[논제 2] 제시문 [다], [라], [마]에 주어진 내용을 바탕으로 다음을 기술하시오.

(1) 제시문 [마]의 [그림 2]에서 주어진 원기둥 조각의 저항 \(\Delta R_{k}\)을 구하시오. 

(2) 제시문 [마]의 [그림 2]에서 주어진 중심 길이가 \(L\)인 잘려진 원뿔형 도선의 전체 저항을 구하시오.

(1)

먼저 그림 [2에서] 점 \((0,\,a)\)와 \((L,\,b)\)를 잇는 직선의 방정식을 구하면$$y=\frac{b-a}{L}x+a$$이고, 원기둥 조각의 단면의 반지름은 \(\displaystyle y_{k}=\frac{b-a}{L}x_{k}+a\)이므로 단면의 넓이는$$\pi y_{k}^{2}=\pi\left\{\frac{b-a}{L}x_{k}+a\right\}^{2}$$이고, 길이는 \(\Delta x\)이므로, 제시문 [라]에 의해 원기둥 조각의 저항은$$\Delta R_{k}=\rho\frac{\Delta x}{\pi y_{k}^{2}}=\pi\frac{\Delta x}{\left\{\frac{b-a}{L}x_{k}+a\right\}^{2}}$$이다.

(2) 제시문 [마]와 구분구적법(제시문 [다]), 문제 (1)의 결과에 의해 원뿔형 도선의 전체 저항은$$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\Delta R_{k}}}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\rho\frac{\Delta x}{\pi\left\{\frac{b-a}{L}x_{k}+a\right\}^{2}}}}\\&=\frac{\rho}{\pi}\int_{0}^{1}{\frac{1}{\left\{\frac{b-a}{L}x+a\right\}^{2}}dx}\\&=\frac{\rho}{\pi}\left[-\frac{L}{b-a}\left(\frac{b-a}{L}x+a\right)^{-1}\right]_{0}^{L}\\&=\frac{\rho L}{\pi(b-a)}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\\&=\frac{\rho L}{\pi ab}\end{align*}$$이다.