2010학년도 연세대 수시 수리논술

2010학년도 연세대 수시 수리논술

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

갑은 좌표공간에서 시각 $t$에 따라 연속적으로 움직이는 평면도형 $\text{F}$를 관찰하고 있다. $\text{F}$는 모든 시각에 평면도형을 유지하나 그 넓이와 모양은 연속적으로 변하고 있다. 갑은 을에게 관찰한 정보의 일부만을 알려주고, 을은 주어진 정보를 수학적으로 분석하여 좌표공간에서 $\text{F}$의 변화와 움직임을 알아내려고 한다. -시각 $t$에서 도형 $\text{F}$의 $xy$평면, $yz$평면, $zx$평면 위로의 정사영의 넓이를 각각 $A(t)$, $B(t)$, $C(t)$라 하고, 이들은 모든 시각 $t$에서 연속함수라고 가정한다.

  

[1-1] 갑은 을에게 $A(t)$, $B(t)$, $C(t)$를 각각 알려주었다. 을은 이 정보만으로 도형 $\text{F}$의 넓이 $S(t)$를 알아내었다. 을의 해결 방법을 설명하고, $S(t)$와 $A(t)$, $B(t)$, $C(t)$ 사이의 관계식을 구하시오.

[1-2] 갑은 을에게 시각 $t(0\leq t\leq1)$에서 $B(t)$와 $A(t)=C(t)=0$임을 알려주었다. 또한, 도형 $\text{F}$위에 항상 존재하는 점 $P$의 좌표 $P(f(t),\,g(t),\,0)$도 알려 주었다. 그리고 $f(t)$와 $g(t)$는 구간 $0\leq t\leq1$에서 증가함수이고, 미분 가능하며, 또한 이들의 도함수가 연속이라는 조건을 알려주었다. 을은 $t=0$에서 $t=1$까지 도형 $\text{F}$가 만든 입체도형의 정적분으로 표현할 수 있었다. 그 이유를 설명하고, 입체도형의 부피를 적분변수 $t$를 사용한 정적분으로 나타내시오.

[1-3] 갑은 시각 $t(1\leq t\leq 2)$에서 $A(t)$, $B(t)$, $C(t)$ 각각을 모두 알고 있으나, 을에게는 이들의 합인 함수 $G(t)=A(t)+B(t)+C(t)$만을 알려주었다. 또한 이 구간에서 도형 $\text{F}$의 넓이 $S(t)$가 변하지 않았다는 정보도 알려주었다. 을은 이 두 가지 정보를 사용하여 어떤 조건하에서는 $S(t)$를 정확하게 구할 수 있었다. 을은 먼저 함수 $G(t)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$ 사이의 관계식을 구하였다. 을이 구한 이 관계식을 구하고, 이로부터 $\text{F}$의 넓이 $S(t)$를 구하는 방법을 설명하시오. 

[1-1] $xy$평면, $yz$평면, $zx$평면의 법선벡터는 각각 $$\vec{n}_{1}=(1,\,0,\,0),\,\vec{n}_{2}=(0,\,1,\,0),\,\vec{n}_{3}=(0,\,0,\,1)$$ 이고, $\text{F}$는 평면도형이므로 그 법선벡터를 $\vec{n}=(a,\,b,\,c)$라 하자. 또한 도형 $\text{F}$가 $xy$평면, $yz$평면, $zx$평면과 이루는 각을 각각 $\theta_{1}$, $\theta_{2}$, $\theta_{3}$이라고 하면 $$A(t)=S(t)\cos\theta_{1},\,B(t)=S(t)\cos\theta_{2},\,C(t)=S(t)\cos\theta_{3}$$ 이고 $$\cos\theta_{1}=\frac{\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}_{1}||\vec{n}|}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\,\cos\theta_{2}=\frac{\vec{n}_{2}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}_{2}||\vec{n}|}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\,\cos\theta_{3}=\frac{\vec{n}_{3}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}_{3}||\vec{n}|}=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$$ 이므로 다음의 식을 얻고 $$\cos^{2}\theta_{1}+\cos^{2}\theta_{2}+\cos\theta_{3}=1$$ 따라서 이 식으로부터 관계식 $\{A(t)\}^{2}+\{B(t)\}^{2}+\{C(t)\}^{2}=\{S(t)\}^{2}$를 얻는다.

[1-2] 시각 $t(0\leq t\leq1)$에서 $A(t)=C(t)=0$이므로 문제 1-1의 결과에 의해 $B(t)=S(t)$이고 도형 $\text{F}$는 $yz$평면과 평행하다.  

시간을 나타내는 구간 $[0,\,1]$을 $0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=1$로 분할($n$등분)하고, 도형 $\text{F}$도 시간에 따라 $n$등분해서 $\text{F}$의 부피를 구하자. 분할된 구간 $[t_{k-1},\,t_{k}]$에서 분할된 $\text{F}$의 부피는 $f(t)$가 증가함수이고, 높이가 $x$축과 평행하므로 그 부피를 $B(t_{k})\{f(t_{k})-f(t_{k-1})\}$로 나타낼 수 있고, $f(t)$는 미분가능하므로 평균값 정리에 의해 $t_{k}'$이 $t_{k}$와 $t_{k-1}$사이에 존재해서 $$f(t_{k})-f(t_{k-1})=f'(t_{k}')(t_{k}-t_{k-1})$$ 이다. 그러면 $$B(t_{k})\{f(t_{k})-f(t_{k-1})\}=B(t_{k})f'(t_{k-1})(t_{k}-t_{k-1})$$ 이고 도형 $\text{F}$의 부피는 이들의 합으로 나타낼 수 있으므로 다음과 같이 정적분으로 나타낼 수 있다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{B(t_{k})f'(t_{k}')(t_{k}-t_{k-1})}}=\int_{0}^{1}{B(t)f'(t)dt}$$ 그러므로 도형 $F$의 부피는 $\displaystyle\int_{0}^{1}{B(t)f'(t)dt}$이다. 

[1-3] 시각 $t(1\leq t\leq2)$에서 $S(t)$가 변하지 않으므로 $S(t)=S$(상수함수)로 나타낼 수 있다. 또한 $A(t),\,B(t),\,C(t)\geq0$이므로 문제 1-1의 결과에 의해 $\{A(t)\}^{2}+\{B(t)\}^{2}+\{C(t)\}^{2}=S^{2}$이고 이것은 반지름이 $S$인 8등분 된 구면이라고 할 수 있다. 

$A(t)+B(t)+C(t)=G(t)$를 평면으로 볼 수 있고, 평면과 구면이 만나는 범위에서 $G(t)$는 최댓값과 최솟값을 갖는다.

먼저 평면이 구면과 접한다고 하자. 그러면 $$S=\frac{|-G(t)|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{G(t)}{\sqrt{3}}\,(\because\,G(t)\geq0)$$ 이고 $G(t)=\sqrt{3}S$이다.

평면이 세 점 $(S,\,0,\,0),\,(0,\,S,\,0),\,(0,\,0,\,S)$를 지난다고 하자. 그러면 $G(t)=S$이다. 

평면과 구면이 만날 때 $G(t)$는 최댓값 $M=\sqrt{3}S$를 갖고, 최솟값 $m=S$를 갖는다. 최댓값과 최솟값의 곱은 $Mm=\sqrt{3}S^{2}$이고 따라서 도형 $\text{F}$의 넓이는 $\displaystyle S=\frac{\sqrt{Mm}}{\sqrt[4]{3}}$이다.