2010학년도 연세대 수시 수리논술

2010학년도 연세대 수시 수리논술

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

갑은 좌표공간에서 시각 \(t\)에 따라 연속적으로 움직이는 평면도형 \(\text{F}\)를 관찰하고 있다. \(\text{F}\)는 모든 시각에 평면도형을 유지하나 그 넓이와 모양은 연속적으로 변하고 있다. 갑은 을에게 관찰한 정보의 일부만을 알려주고, 을은 주어진 정보를 수학적으로 분석하여 좌표공간에서 \(\text{F}\)의 변화와 움직임을 알아내려고 한다. -시각 \(t\)에서 도형 \(\text{F}\)의 \(xy\)평면, \(yz\)평면, \(zx\)평면 위로의 정사영의 넓이를 각각 \(A(t)\), \(B(t)\), \(C(t)\)라 하고, 이들은 모든 시각 \(t\)에서 연속함수라고 가정한다.

  

[1-1] 갑은 을에게 \(A(t)\), \(B(t)\), \(C(t)\)를 각각 알려주었다. 을은 이 정보만으로 도형 \(\text{F}\)의 넓이 \(S(t)\)를 알아내었다. 을의 해결 방법을 설명하고, \(S(t)\)와 \(A(t)\), \(B(t)\), \(C(t)\) 사이의 관계식을 구하시오.

[1-2] 갑은 을에게 시각 \(t(0\leq t\leq1)\)에서 \(B(t)\)와 \(A(t)=C(t)=0\)임을 알려주었다. 또한, 도형 \(\text{F}\)위에 항상 존재하는 점 \(P\)의 좌표 \(P(f(t),\,g(t),\,0)\)도 알려 주었다. 그리고 \(f(t)\)와 \(g(t)\)는 구간 \(0\leq t\leq1\)에서 증가함수이고, 미분 가능하며, 또한 이들의 도함수가 연속이라는 조건을 알려주었다. 을은 \(t=0\)에서 \(t=1\)까지 도형 \(\text{F}\)가 만든 입체도형의 정적분으로 표현할 수 있었다. 그 이유를 설명하고, 입체도형의 부피를 적분변수 \(t\)를 사용한 정적분으로 나타내시오.

[1-3] 갑은 시각 \(t(1\leq t\leq 2)\)에서 \(A(t)\), \(B(t)\), \(C(t)\) 각각을 모두 알고 있으나, 을에게는 이들의 합인 함수 \(G(t)=A(t)+B(t)+C(t)\)만을 알려주었다. 또한 이 구간에서 도형 \(\text{F}\)의 넓이 \(S(t)\)가 변하지 않았다는 정보도 알려주었다. 을은 이 두 가지 정보를 사용하여 어떤 조건하에서는 \(S(t)\)를 정확하게 구할 수 있었다. 을은 먼저 함수 \(G(t)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\) 사이의 관계식을 구하였다. 을이 구한 이 관계식을 구하고, 이로부터 \(\text{F}\)의 넓이 \(S(t)\)를 구하는 방법을 설명하시오. 

[1-1] \(xy\)평면, \(yz\)평면, \(zx\)평면의 법선벡터는 각각$$\vec{n}_{1}=(1,\,0,\,0),\,\vec{n}_{2}=(0,\,1,\,0),\,\vec{n}_{3}=(0,\,0,\,1)$$이고, \(\text{F}\)는 평면도형이므로 그 법선벡터를 \(\vec{n}=(a,\,b,\,c)\)라 하자. 또한 도형 \(\text{F}\)가 \(xy\)평면, \(yz\)평면, \(zx\)평면과 이루는 각을 각각 \(\theta_{1}\), \(\theta_{2}\), \(\theta_{3}\)이라고 하면$$A(t)=S(t)\cos\theta_{1},\,B(t)=S(t)\cos\theta_{2},\,C(t)=S(t)\cos\theta_{3}$$이고$$\cos\theta_{1}=\frac{\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}_{1}||\vec{n}|}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\,\cos\theta_{2}=\frac{\vec{n}_{2}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}_{2}||\vec{n}|}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\,\cos\theta_{3}=\frac{\vec{n}_{3}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}_{3}||\vec{n}|}=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$$이므로 다음의 식을 얻고$$\cos^{2}\theta_{1}+\cos^{2}\theta_{2}+\cos\theta_{3}=1$$따라서 이 식으로부터 관계식 \(\{A(t)\}^{2}+\{B(t)\}^{2}+\{C(t)\}^{2}=\{S(t)\}^{2}\)를 얻는다.

[1-2] 시각 \(t(0\leq t\leq1)\)에서 \(A(t)=C(t)=0\)이므로 문제 1-1의 결과에 의해 \(B(t)=S(t)\)이고 도형 \(\text{F}\)는 \(yz\)평면과 평행하다.  

시간을 나타내는 구간 \([0,\,1]\)을 \(0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=1\)로 분할(\(n\)등분)하고, 도형 \(\text{F}\)도 시간에 따라 \(n\)등분해서 \(\text{F}\)의 부피를 구하자. 분할된 구간 \([t_{k-1},\,t_{k}]\)에서 분할된 \(\text{F}\)의 부피는 \(f(t)\)가 증가함수이고, 높이가 \(x\)축과 평행하므로 그 부피를 \(B(t_{k})\{f(t_{k})-f(t_{k-1})\}\)로 나타낼 수 있고, \(f(t)\)는 미분가능하므로 평균값 정리에 의해 \(t_{k}'\)이 \(t_{k}\)와 \(t_{k-1}\)사이에 존재해서$$f(t_{k})-f(t_{k-1})=f'(t_{k}')(t_{k}-t_{k-1})$$이다. 그러면$$B(t_{k})\{f(t_{k})-f(t_{k-1})\}=B(t_{k})f'(t_{k-1})(t_{k}-t_{k-1})$$이고 도형 \(\text{F}\)의 부피는 이들의 합으로 나타낼 수 있으므로 다음과 같이 정적분으로 나타낼 수 있다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{B(t_{k})f'(t_{k}')(t_{k}-t_{k-1})}}=\int_{0}^{1}{B(t)f'(t)dt}$$그러므로 도형 \(F\)의 부피는 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{B(t)f'(t)dt}\)이다. 

[1-3] 시각 \(t(1\leq t\leq2)\)에서 \(S(t)\)가 변하지 않으므로 \(S(t)=S\)(상수함수)로 나타낼 수 있다. 또한 \(A(t),\,B(t),\,C(t)\geq0\)이므로 문제 1-1의 결과에 의해 \(\{A(t)\}^{2}+\{B(t)\}^{2}+\{C(t)\}^{2}=S^{2}\)이고 이것은 반지름이 \(S\)인 8등분 된 구면이라고 할 수 있다. 

\(A(t)+B(t)+C(t)=G(t)\)를 평면으로 볼 수 있고, 평면과 구면이 만나는 범위에서 \(G(t)\)는 최댓값과 최솟값을 갖는다.

먼저 평면이 구면과 접한다고 하자. 그러면$$S=\frac{|-G(t)|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{G(t)}{\sqrt{3}}\,(\because\,G(t)\geq0)$$이고 \(G(t)=\sqrt{3}S\)이다.

평면이 세 점 \((S,\,0,\,0),\,(0,\,S,\,0),\,(0,\,0,\,S)\)를 지난다고 하자. 그러면 \(G(t)=S\)이다. 

평면과 구면이 만날 때 \(G(t)\)는 최댓값 \(M=\sqrt{3}S\)를 갖고, 최솟값 \(m=S\)를 갖는다. 최댓값과 최솟값의 곱은 \(Mm=\sqrt{3}S^{2}\)이고 따라서 도형 \(\text{F}\)의 넓이는 \(\displaystyle S=\frac{\sqrt{Mm}}{\sqrt[4]{3}}\)이다.