2010학년도 성균관대 모의 수리논술
[문제3] 다음 [제시문 3-1]에서 [제시문 3-3]을 읽고 (문제 3-i)과 (문제 3-ii)에 답하시오.
[제시문 3-1] 물체의 운동 에너지 K와 위치 에너지 U의 합을 역학적 에너지라고 한다. 마찰력이나 공기의 저항을 무시하고 물체가 중력만 받아 운동할 때 물체의 역학적 에너지는 보존되는데 이것을 역학적 에너지 보존 법칙이라고 한다.U+K=(일정).[제시문 3-2] <그림3>과 같이 질량 m인 물체를 지구 표면에서 처음 속력 v로 수직방향으로 발사한다고 하자. 이 때, 지구 표면에서 물체의 운동에너지는 K=12mv2이다. 지구 표면에서 높이 h까지 도달한 물체의 중력 위치 에너지의 변화는 다음과 같이 적분식으로 정의된다.U(R+h)−U(R)=GMm∫R+hR1r2dr⋯⋯⋯(1)여기서 R=6×106(m)은 지구의 반지름이며, G=7×10−11(m3/kg⋅s2)는 만유인력 상수이며, M=6×1024(kg)은 지구의 질량이다. [제시문 3-3] 물체가 지구 중력 영향으로부터 탈출하기 위한 처음 속력의 최솟값을 탈출속력이라 한다. |
(문제 3-i) [제시문 3-2]에서 주어진 질량 m인 물체가 지구 표면에서 높이 h인 지점에 도달했을 때 속력을 vf라면, (1)의 적분결과를 이용하여 지구 표면과 지구 표면에서 높이 h인 지점에서의 역학적 에너지를 각각 논하시오.
(문제 3-ii) 지구 표면에서 탈출속력으로 발사된 질량 m=1000kg인 물체는 지구 표면으로부터 무한히 멀어지면 (즉, h→∞), 속력이 0에 가까워 질 것이다(즉, vf→0 이다). 이 사실과 [제시문 3-1]에 주어진 역학적 에너지 보존 법칙을 이용하여 [제시문 3-3]에 주어진 물체의 지구 표면에서 탈출속력 v에 대해 논하시오
(문제 3-i) 제시문 3-2의 적분식 (1)을 풀면U(R+h)−U(R)=GMm[−1r]R+rr=−GMmR+h+GMmR이고 이 식으로부터 질량이 m인 물체의 지구 표면에서 높이 h인 지점에서의 위치에너지는 U(R+h)=−GMmR+h이고 지구 표면에서의 위치에너지는 U(R)=−GMmR이며, 지구 표면에서 처음 속력 v로 발사되고, 높이 h인 지점에서의 속력이 vf이므로 지구 표면에서 높이 h인 지점에서의 운동에너지는 12mv2f이고, 지구 표면에서의 운동에너지는 12mv2이다.
따라서 지구 표면에서의 역학적 에너지는 12mv2−GMmR이고 지구 표면에서 높이 h인 지점에서의 역학적 에너지는 12mv2f−GMmR+h이다.
(문제 3-ii) 문제로부터 질량이 m=1000kg인 물체가 지구 표면에서 무한히 멀어지면 그 지점에서 위치에너지는limh→∞U(R+h)=limh→∞(−GMmR+h)=0이고, 속도도 0에 가까워지므로 위치에너지도 0이고 따라서 무한히 먼 지점에서의 역학적 에너지는 0이다.
이 물체가 지구 표면에서 탈출속력 v로 발사되었으므로 문제 3-i의 결과에 의해 지구 표면에서의 역학적 에너지는 12mv2−GMmR이고 역학적 에너지 보존법칙은 역학적 에너지가 상수임을 뜻하므로 이 법칙에 의해12mv2−GMmR=0이다. 그러면 v2=2GMR이고 따라서 탈출속력은v=√2GMR=√2(7×10−11)(6×1024)6×106=√14×107=103√140m/s=√140km/s이다.
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