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2010학년도 성균관대 모의 수리논술 



[문제3] 다음 [제시문 3-1]에서 [제시문 3-3]을 읽고 (문제 3-i)과 (문제 3-ii)에 답하시오.

[제시문 3-1] 물체의 운동 에너지 K와 위치 에너지 U의 합을 역학적 에너지라고 한다. 마찰력이나 공기의 저항을 무시하고 물체가 중력만 받아 운동할 때 물체의 역학적 에너지는 보존되는데 이것을 역학적 에너지 보존 법칙이라고 한다.U+K=().[제시문 3-2] <그림3>과 같이 질량 m인 물체를 지구 표면에서 처음 속력 v로 수직방향으로 발사한다고 하자. 이 때, 지구 표면에서 물체의 운동에너지는 K=12mv2이다. 지구 표면에서 높이 h까지 도달한 물체의 중력 위치 에너지의 변화는 다음과 같이 적분식으로 정의된다.U(R+h)U(R)=GMmR+hR1r2dr(1)여기서 R=6×106(m)은 지구의 반지름이며, G=7×1011(m3/kgs2)는 만유인력 상수이며, M=6×1024(kg)은 지구의 질량이다.

[제시문 3-3] 물체가 지구 중력 영향으로부터 탈출하기 위한 처음 속력의 최솟값을 탈출속력이라 한다.    

  

(문제 3-i) [제시문 3-2]에서 주어진 질량 m인 물체가 지구 표면에서 높이 h인 지점에 도달했을 때 속력을 vf라면, (1)의 적분결과를 이용하여 지구 표면과 지구 표면에서 높이 h인 지점에서의 역학적 에너지를 각각 논하시오.


(문제 3-ii) 지구 표면에서 탈출속력으로 발사된 질량 m=1000kg인 물체는 지구 표면으로부터 무한히 멀어지면 (즉, h), 속력이 0에 가까워 질 것이다(즉, vf0 이다). 이 사실과 [제시문 3-1]에 주어진 역학적 에너지 보존 법칙을 이용하여 [제시문 3-3]에 주어진 물체의 지구 표면에서 탈출속력 v에 대해 논하시오


(문제 3-i) 제시문 3-2의 적분식 (1)을 풀면U(R+h)U(R)=GMm[1r]R+rr=GMmR+h+GMmR이고 이 식으로부터 질량이 m인 물체의 지구 표면에서 높이 h인 지점에서의 위치에너지는 U(R+h)=GMmR+h이고 지구 표면에서의 위치에너지는 U(R)=GMmR이며, 지구 표면에서 처음 속력 v로 발사되고, 높이 h인 지점에서의 속력이 vf이므로 지구 표면에서 높이 h인 지점에서의 운동에너지는 12mv2f이고, 지구 표면에서의 운동에너지는 12mv2이다.

따라서 지구 표면에서의 역학적 에너지는 12mv2GMmR이고 지구 표면에서 높이 h인 지점에서의 역학적 에너지는 12mv2fGMmR+h이다. 


(문제 3-ii) 문제로부터 질량이 m=1000kg인 물체가 지구 표면에서 무한히 멀어지면 그 지점에서 위치에너지는limhU(R+h)=limh(GMmR+h)=0이고, 속도도 0에 가까워지므로 위치에너지도 0이고 따라서 무한히 먼 지점에서의 역학적 에너지는 0이다.  

이 물체가 지구 표면에서 탈출속력 v로 발사되었으므로 문제 3-i의 결과에 의해 지구 표면에서의 역학적 에너지는 12mv2GMmR이고 역학적 에너지 보존법칙은 역학적 에너지가 상수임을 뜻하므로 이 법칙에 의해12mv2GMmR=0이다. 그러면 v2=2GMR이고 따라서 탈출속력은v=2GMR=2(7×1011)(6×1024)6×106=14×107=103140m/s=140km/s이다.  

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Posted by skywalker222