2010학년도 성균관대 모의 수리논술

2010학년도 성균관대 모의 수리논술 

[문제3] 다음 [제시문 3-1]에서 [제시문 3-3]을 읽고 (문제 3-i)과 (문제 3-ii)에 답하시오.

[제시문 3-1] 물체의 운동 에너지 \(K\)와 위치 에너지 \(U\)의 합을 역학적 에너지라고 한다. 마찰력이나 공기의 저항을 무시하고 물체가 중력만 받아 운동할 때 물체의 역학적 에너지는 보존되는데 이것을 역학적 에너지 보존 법칙이라고 한다.$$U+K=(일정).$$[제시문 3-2] <그림3>과 같이 질량 \(m\)인 물체를 지구 표면에서 처음 속력 \(v\)로 수직방향으로 발사한다고 하자. 이 때, 지구 표면에서 물체의 운동에너지는 \(\displaystyle K=\frac{1}{2}mv^{2}\)이다. 지구 표면에서 높이 \(h\)까지 도달한 물체의 중력 위치 에너지의 변화는 다음과 같이 적분식으로 정의된다.$$U(R+h)-U(R)=GMm\int_{R}^{R+h}{\frac{1}{r^{2}}dr}\cdots\cdots\cdots(1)$$여기서 \(R=6\times10^{6}(\text{m})\)은 지구의 반지름이며, \(G=7\times10^{-11}(\text{m}^{3}/\text{kg}\cdot\text{s}^{2})\)는 만유인력 상수이며, \(M=6\times10^{24}(\text{kg})\)은 지구의 질량이다. [제시문 3-3] 물체가 지구 중력 영향으로부터 탈출하기 위한 처음 속력의 최솟값을 탈출속력이라 한다.

  

(문제 3-i) [제시문 3-2]에서 주어진 질량 \(m\)인 물체가 지구 표면에서 높이 \(h\)인 지점에 도달했을 때 속력을 \(v_{f}\)라면, (1)의 적분결과를 이용하여 지구 표면과 지구 표면에서 높이 \(h\)인 지점에서의 역학적 에너지를 각각 논하시오.

(문제 3-ii) 지구 표면에서 탈출속력으로 발사된 질량 \(m=1000\text{kg}\)인 물체는 지구 표면으로부터 무한히 멀어지면 (즉, \(h\,\rightarrow\,\infty\)), 속력이 0에 가까워 질 것이다(즉, \(v_{f}\,\rightarrow\,0\) 이다). 이 사실과 [제시문 3-1]에 주어진 역학적 에너지 보존 법칙을 이용하여 [제시문 3-3]에 주어진 물체의 지구 표면에서 탈출속력 \(v\)에 대해 논하시오

(문제 3-i) 제시문 3-2의 적분식 (1)을 풀면$$U(R+h)-U(R)=GMm\left[-\frac{1}{r}\right]_{r}^{R+r}=-\frac{GMm}{R+h}+\frac{GMm}{R}$$이고 이 식으로부터 질량이 \(m\)인 물체의 지구 표면에서 높이 \(h\)인 지점에서의 위치에너지는 \(\displaystyle U(R+h)=-\frac{GMm}{R+h}\)이고 지구 표면에서의 위치에너지는 \(\displaystyle U(R)=-\frac{GMm}{R}\)이며, 지구 표면에서 처음 속력 \(v\)로 발사되고, 높이 \(h\)인 지점에서의 속력이 \(v_{f}\)이므로 지구 표면에서 높이 \(h\)인 지점에서의 운동에너지는 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_{f}^{2}\)이고, 지구 표면에서의 운동에너지는 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^{2}\)이다.

따라서 지구 표면에서의 역학적 에너지는 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^{2}-\frac{GMm}{R}\)이고 지구 표면에서 높이 \(h\)인 지점에서의 역학적 에너지는 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{GMm}{R+h}\)이다. 

(문제 3-ii) 문제로부터 질량이 \(m=1000\text{kg}\)인 물체가 지구 표면에서 무한히 멀어지면 그 지점에서 위치에너지는$$\lim_{h\,\rightarrow\,\infty}{U(R+h)}=\lim_{h\,\rightarrow\,\infty}{\left(-\frac{GMm}{R+h}\right)}=0$$이고, 속도도 0에 가까워지므로 위치에너지도 0이고 따라서 무한히 먼 지점에서의 역학적 에너지는 0이다.  

이 물체가 지구 표면에서 탈출속력 \(v\)로 발사되었으므로 문제 3-i의 결과에 의해 지구 표면에서의 역학적 에너지는 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^{2}-\frac{GMm}{R}\)이고 역학적 에너지 보존법칙은 역학적 에너지가 상수임을 뜻하므로 이 법칙에 의해$$\frac{1}{2}mv^{2}-\frac{GMm}{R}=0$$이다. 그러면 \(\displaystyle v^{2}=\frac{2GM}{R}\)이고 따라서 탈출속력은$$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{2(7\times10^{-11})(6\times10^{24})}{6\times10^{6}}}=\sqrt{14\times10^{7}}=10^{3}\sqrt{140}\text{m/s}=\sqrt{140}\text{km/s}$$이다.