2009학년도 경희대(서울) 수시2-1 수리논술(자연계II)

2009학년도 경희대(서울) 수시2-1 수리논술(자연계II)

II. 다음 <제시문>을 읽고 <논제>에 답하시오. <제시문> [가] 현대 사회에서 은행예금은 개인들의 가장 기본적인 재테크 수단이다. 은행에 원금 P를 예금하여 이자를 연이율 10%로 받기로 약정했을 때 단리인 경우와 복리인 경우로 나누어 생각할 수 있다. 단리인 경우 1년 후에는 원리합계가 1.1P, 2년 후에는 1.1P에 대한 이자가 붙어 1.21P, 3년 후에는 1.21P에 대한 이자가 붙어 1.331P가 된다. 따라서 단리 예금보다는 복리 예금이 예금자에게 유리한 조건이다.  <논제 II-1> 제시문 [가]를 참조하여 다음 물음에 답하시오. (1) 원금 P를 1년마다 이율 10% (복리 산정기간 1년), 6개월마다 이율 5% (복리 산정기간 6개월), 3개월마다 이율 2.5% (복리 산정기간 3개월)의 조건으로 1년 동안 복리 예금했을 때, 세 가지 경우에 대한 1년 후의 원리합계를 추정하시오. (2) 원금은 P로 예금 기간은 1년으로 고정하고 (1)과 같은 방법으로 계속 복리 산정기간을 줄여 무한히 작게 하였을 때 1년 후의 원리합계가 얼마인지 $e$를 사용하여 추정하고, 그 방법에 대하여 논술하시오. 단, $e$는 $\displaystyle e=\lim_{t\,\rightarrow\,0}{(1+t)^{\frac{1}{t}}}$이며, 복리 산정기간이 $\displaystyle\frac{1}{m}$년이면 매 $\displaystyle\frac{1}{m}$년마다 이율 $\displaystyle\frac{10}{m}\text{%}$로 1년간 복리 예금하는 것으로 한다. (3) $n$명이 똑같이 원금 1 (P=1)을 가지고 복리 산정기간은 모두 $\displaystyle\frac{1}{m}$년, 이율은 각각 $\displaystyle\frac{x}{m}\text{%},\,\frac{2x}{m}\text{%},\,\frac{3x}{m}\text{%},\,...,\,\frac{nx}{m}\text{%}$로 1년간 복리 예금에 가입한다고 가정하고, (2)와 마찬가지로 복리 산정기간을 무한히 작게 한다고 하자. 이때 1년 후의 원리합계의 금액을 각각 $Q(x),\,Q(2x),\,Q(3x),\,...,\,Q(nx)$라고 하면, $n$명의 원리합계 평균은 $\displaystyle\frac{Q(x)+Q(2x)+\cdots+Q(nx)}{n}$가 된다. (2)의 결과를 참조하여 극한값 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\left[\frac{1}{x}\ln\left\{\frac{Q(x)+Q(2x)+\cdots+Q(nx)}{n}\right\}\right]}$를 추정하고, 그 방법에 대하여 논술하시오. 단, $\ln x=\log_{e}x$

(1) 이율 10%로 복리 산정기간이 1년일 때의 1년후 원리합계는 $P(1+0.1)^{1}$, 이율 5%로 복리 산정기간이 6개월일 때의 1년후 원리합계는 $\displaystyle P\left(1+\frac{0.1}{2}\right)^{2}$, 이율 2.5%로 복리 산정기간이 3개월일 때의 1년 후 원리합계는 $\displaystyle P\left(1+\frac{0.1}{4}\right)^{4}$이다. 

(2) 복리 산정기간을 $\displaystyle\frac{1}{m}$년으로 매 $\displaystyle\frac{1}{m}$년마다 이율 $\displaystyle\frac{10}{m}\text{%}$로 1년간 복리예금하므로 이때의 1년 후 원리합계는 $$P\left(1+\frac{0.1}{m}\right)^{m}=P\left(1+\frac{1}{10m}\right)^{m}$$ 이고 복리 산정기간이 무한히 작으면 $m\,\rightarrow\,\infty$이므로 이때의 1년 후 원리합계는 $\displaystyle\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{P\left(1+\frac{1}{10m}\right)^{m}}$이다.

$\displaystyle t=\frac{1}{10m}$이라고 하면 $m\,\rightarrow\,\infty$일 때 $t\,\rightarrow\,0+$이므로 따라서 $$\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{P\left(1+\frac{1}{10m}\right)^{m}}=P\left\{\lim_{t\,\rightarrow\,0+}{(1+t)^{\frac{1}{10t}}}\right\}=P\left\{\lim_{t\,\rightarrow\,0+}{(1+t)^{\frac{1}{t}}}\right\}^{\frac{1}{10}}=Pe^{0.1}$$ 이다.     

(3) $1\leq k\leq n$인 자연수 $k$에 대하여 문제 (2)의 결과를 참고하면 $$Q(kx)=\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{kx}{100m}\right)^{\frac{1}{m}}}=e^{\frac{kx}{100}}$$ 이고 $$\frac{Q(x)+Q(2x)+\cdots+Q(nx)}{n}=\frac{e^{\frac{x}{100}}+e^{\frac{2x}{100}}+\cdots+e^{\frac{nx}{100}}}{n}$$ 이다. $$f(x)=\ln\left(\frac{e^{\frac{x}{100}}+e^{\frac{2x}{100}}+\cdots+e^{\frac{nx}{100}}}{n}\right)$$ 이라 하자. 그러면 $$f(0)=\ln\left(\frac{1+1+\cdots+1}{n}\right)=\ln\frac{n}{n}=\ln1=0$$ 이므로 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{x}\ln\left\{\frac{Q(x)+Q(2x)+\cdots+Q(nx)}{n}\right\}}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)-f(0)}{x}}=f'(0)$$ 이고 $$f'(x)=\frac{\displaystyle\frac{1}{100}e^{\frac{x}{100}}+\frac{2}{100}e^{\frac{2x}{100}}+\cdots+\frac{n}{100}e^{\frac{n}{100}}}{\displaystyle e^{\frac{x}{100}}+e^{\frac{2x}{100}}+\cdots+e^{\frac{nx}{100}}}$$ 이므로 따라서 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{x}\ln\left\{\frac{Q(x)+Q(2x)+\cdots+Q(nx)}{x}\right\}}=f'(0)=\frac{1+2+\cdots+n}{100n}=\frac{n+1}{200}$$ 이다.