2009학년도 수시2-2 아주대 수리논술(문제일부)

2009학년도 수시2-2 아주대 수리논술(문제일부)

(1번 문항) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

원 또는 원의 일부분의 넓이를 구하는 문제는 긴 역사를 가지고 있다. [그림 1]과 같이 원호와 현으로 둘러싸인 원의 일부분에 해당하는 도형을 활꼴이라고 한다.

활꼴은 [그림 2]와 같이 현의 길이 $a$와 현으로부터 원호에 이르는 최대거리인 높이 $h$가 주어지면 결정된다.

이때, 높이는 현의 중점에서 원호에 이르는 수직거리이기도 하다. 

문헌에 의하면, 고대 중국과 이집트에서는 활꼴의 넓이를 근사적으로 구하기 위해 [그림 3]과 같이 윗변의 길이가 높이와 같은 사다리꼴을 이용하였다고 한다.

이 사다리꼴에 의한 근사공식이 얼마나 정확한지 알기 위해서는 활꼴의 넓이를 정확히 구할 수 있어야 한다.

활꼴의 넓이는 현의 길이와 높이로는 간단히 나타낼 수 없다. 그러나 [그림 4](아래그림)와 같이 중심각 $2\theta$와 반지름 $r$을 이용하면 삼각함수를 써서 넓이를 나타낼 수 있다. (단 $\displaystyle0<\theta<\frac{\pi}{2}$)  

포물선을 이용하여 활꼴의 넓이를 근사계산하는 방법이 있다. Archimedes는 포물선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이가 이 영역에 포함되는 삼각형의 최대넓이의 $\displaystyle\frac{4}{3}$배가 된다는 것을 밝혔다. 이를 이용하면 [그림 5](아래그림)와 같이 활꼴의 양 끝점 $A,\,B$를 지나고 현에서 가장 먼 원호 위의 점 $C$에 접하는 포물선을 이용하여 활꼴의 넓이를 근사계산할 수 있다.

1-1. 아래 그림과 같이 현의 길이가 $a$이고 높이가 $h$인 활꼴의 반지름이 $r$인 원의 일부분이라고 할 때 $r$을 $a$와 $h$로 나타내어라.

1-2. [그림 4]와 같이 반지름이 $r$인 원에서 중심각 $2\theta$에 대응하는 활꼴의 넓이 $A(r,\,\theta)$를 $r$과 $\theta$와 삼각함수를 써서 나타내라.

1-3. [그림 3]의 활꼴이 반지름이 $r$인 원에서 중심각 $2\theta$에 대응한다고 할 때, $a$와 $h$를 $r$과 $\theta$와 삼각함수를 써서 나타내고, 이를 이용하여 [그림 3]의 사다리꼴의 넓이 $B(r,\,\theta)$를 $r$과 $\theta$와 삼각함수를 써서 나타내라.

1-4. 포물선에 대하여 Archimedes가 발견한 사실을 이용하여 [그림 5]와 같이 활꼴을 포물선으로 근사시킨 넓이 $C(r,\,\theta)$를 $r$과 $\theta$와 삼각함수를 써서 나타내라. 단 주어진 활꼴은 반지름이 $r$인 원에서 중심각 $2\theta$에 대응하는 활꼴이다. 

1-5. $\theta$가 0에 가까운 값일 때, $\sin\theta$와 $\cos\theta$는 각각 3차다항식 $\displaystyle\theta-\frac{1}{6}\theta^{3}$과 2차다항식 $\displaystyle1-\frac{1}{2}\theta^{2}$으로 근사된다.

(1) $\theta$가 0에 가까운 값일 때, 위 근사식들을 이용하여 $A(r,\,\theta),\,B(r,\,\theta),\,C(r,\,\theta)$의 근사식을 $\theta$에 대한 오름차순으로 나타내라.

(2) $\theta$가 0에 가까운 값일 때, (1)에서 구한 식들을 이용하여 $\displaystyle\frac{B(r,\,\theta)}{A(r,\,\theta)}$와 $\displaystyle\frac{C(r,\,\theta)}{A(r,\,\theta)}$의 값을 상수로 근사하고, 이를 이용하여 사다리꼴에 의한 근삿값과 포물선에 의한 근삿값 중 어느 것이 활꼴의 넓이를 더 정확히 근사하는지 판정하라. 

1-1.

현 아랫부분 삼각형의 높이를 $x$라 하자. 그러면 $r=h+x$이므로 $x=r-h$이고, 피타고라스 정리에 의해 $$\begin{align*}r^{2}&=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+x^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+(r-h)^{2}\\&=\frac{a^{2}}{4}+(r^{2}-2rh+h^{2})\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle2rh=\frac{a^{2}}{4}+h^{2}$이고 따라서 $\displaystyle r=\frac{a^{2}}{8h}+\frac{h}{2}$이다. 

1-2. 

부채꼴의 넓이는 활꼴의 넓이와 현 밑부분 삼각형의 넓이의 합이다. 부채꼴의 넓이는 $\displaystyle\frac{1}{2}r^{2}2\theta=r^{2}\theta$이고, 현 밑부분 삼각형의 넓이는 $\displaystyle\frac{1}{2}r^{2}\sin2\theta$이므로 따라서 $\displaystyle A(r,\,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\left(\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta\right)$이다.    

1-3.

사다리꼴 밑변의 길이인 현의 길이는 $a=2r\sin\theta$이고, 현 밑부분 삼각형의 높이는 $r\cos\theta$, 이때 $r=h+r\cos\theta$이므로 $h=r(1-\cos\theta)$이고 따라서 $B(r,\,\theta)$는 다음과 같다. $$\begin{align*}B(r,\,\theta)&=\frac{1}{2}h(a+h)\\&=\frac{1}{2}r(1-\cos\theta)r(1-\cos\theta+2\sin\theta)\\&=\frac{1}{2}r^{2}(1-\cos\theta)(1-\cos\theta+2\sin\theta)\end{align*}$$ 1-4.

그림과 같이 점 $A,\,B,\,C$가 있을 때 삼각형 $ABC$는 포물선 안에서 최대넓이를 갖는다. 삼각형 $ABC$의 밑변의 길이는 현의 길이와 같고 $2r\sin\theta$, 높이는 $r-r\cos\theta=r(1-\cos\theta)$이므로 삼각형 $ABC$의 넓이는 다음과 같다. $$\frac{1}{2}\times2r\sin\theta\times r(1-\cos\theta)=r^{2}\sin\theta(1-\cos\theta)$$ 제시문에서 Archimedes는 이 삼각형 넓이의 $\displaystyle\frac{4}{3}$을 곱한것이 포물선의 넓이임을 밝혔다. 그러므로 $\displaystyle C(r,\,\theta)=\frac{4}{3}r^{2}\sin\theta(1-\cos\theta)$이다. 

1-5.

(1) $\theta$가 0에 가까울 때 

$A(r,\,\theta)$는 $\displaystyle A(r,\,\theta)=r^{2}\left(\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta\right)=r^{2}(\theta-\sin\theta\cos\theta)$이므로

$\displaystyle r^{2}\left\{\theta-\left(\theta-\frac{1}{6}\theta^{3}\right)\left(1-\frac{1}{2}\theta^{2}\right)\right\}=\frac{2}{3}r^{2}\theta^{3}-\frac{1}{12}r^{2}\theta^{5}$로 근사된다.

$B(r,\,\theta)$는 $\displaystyle\frac{1}{2}r^{2}\left(\frac{1}{2}\theta^{2}\right)\left(\frac{1}{2}\theta^{2}+2\theta-\frac{1}{3}\theta^{3}\right)=\frac{1}{2}r^{2}\theta^{3}+\frac{1}{8}r^{2}\theta^{4}-\frac{1}{12}r^{2}\theta^{5}$로 근사된다.

$C(r,\,\theta)$는 $\displaystyle\frac{4}{3}r^{2}\left(\theta-\frac{1}{6}\theta^{3}\right)\left(\frac{1}{2}\theta^{2}\right)=\frac{2}{3}r^{2}\theta^{3}-\frac{1}{9}r^{2}\theta^{5}$로 근사된다. 

(2) $\theta$가 0에 가까울 때

$\displaystyle\frac{B(r,\,\theta)}{A(r,\,\theta)}$는 $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}r^{2}\theta^{3}+\frac{1}{8}r^{2}\theta^{4}-\frac{1}{12}r^{2}\theta^{5}}{\displaystyle\frac{2}{3}r^{2}\theta^{3}-\frac{1}{12}r^{2}\theta^{5}}=\frac{\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\theta-\frac{1}{12}\theta^{2}}{\displaystyle\frac{2}{3}-\frac{1}{12}\theta^{2}}$로 근사되고       

$\displaystyle\frac{C(r,\,\theta)}{A(r,\,\theta)}$는 $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{3}r^{2}\theta^{3}-\frac{1}{9}r^{2}\theta^{5}}{\displaystyle\frac{2}{3}r^{2}\theta^{3}-\frac{1}{12}r^{2}\theta^{5}}=\frac{\displaystyle\frac{2}{3}-\frac{1}{9}\theta^{2}}{\displaystyle\frac{2}{3}-\frac{1}{12}\theta^{2}}$로 근사된다. 그러면 $$\lim_{\theta\,\rightarrow\,0+}{\frac{B(r,\,\theta)}{A(r,\,\theta)}}=\frac{3}{4},\,\lim_{\theta\,\rightarrow\,0+}{\frac{C(r,\,\theta)}{A(r,\,\theta)}}=1$$ 이고, 극한값이 1에 가까울수록 활꼴의 넓이에 근접한다고 할 수 있기 때문에 포물선에 의한 근삿값이 활꼴의 넓이를 더 정확히 근사한다.