2007학년도 서울대 정시 면접문제(일부)

2007학년도 서울대 정시 면접문제(일부)

*2007학년도 서울대 정시 면접문제의 일부입니다.

[문제 2]

2-1. \(\vec{X}(t)=(x(t),\,y(t),\,z(t))\)가 \(0\leq t\leq1\)에 반지름이 1인 단위 구에 위치해 있다고 하자. \(\vec{X}(t)\)와 \(\displaystyle\frac{d\vec{X}(t)}{dt}\)가 서로 수직임을 보여라.

2-2. \(\displaystyle\frac{dz(t)}{dt}>0\)인 경우 \(0\leq t\leq1\)에 원점과 \(\vec{X}(t)\)를 잇는 직선 \(\overline{OX(t)}\)가 휩쓸고 간 영역의 면적 \(A\)와 곡선 \(\vec{X}(t)\)의 길이 \(L\)간의 관계식이 \(\displaystyle A=\frac{1}{2}L\)임을 보여라.

 2-3. \(\displaystyle\frac{d\vec{X}}{ds}\)와 \(\displaystyle\frac{d^{2}\vec{X}}{ds^{2}}\)가 서로 수직이 되는 새로운 매개변수 \(s=s(t)\)를 찾아라.

(힌트: \(\displaystyle\frac{d\vec{X}}{ds}=\frac{d\vec{X}}{dt}\frac{ds}{dt}\))

2-1. \(\vec{X}(t)=(x(t),\,y(t),\,z(t))\)는 반지름이 1인 단위 구 위에 있으므로 다음이 성립한다.$$\{x(t)\}^{2}+\{y(t)\}^{2}+\{z(t)\}^{2}=1$$위의 식을 \(t\)에 대해 미분하면$$2x(t)x'(t)+2y(t)y'(t)+2z(t)z'(t)=0$$이고 \(\displaystyle\frac{d\vec{X}(t)}{dt}=(x'(t),\,y'(t),\,z'(t))\)이므로$$\vec{X}(t)\cdot\frac{d\vec{X}(t)}{dt}=x(t)x'(t)+y(t)y'(t)+z(t)z'(t)=0$$이고 따라서 \(\vec{X}(t)\)와 \(\displaystyle\frac{d\vec{X}(t)}{dt}\)는 서로 수직이다.

2-2. \(\overline{OX(t)}=1\)이고 점 \(X(t)\)는 단위 구 위의 점이므로 직선 \(\overline{OX(t)}\)가 휩쓸고 간 영역을 \(n\)개의 넓이가 동일한 부채꼴로 나눌 수 있고, 그 부채꼴의 호의 길이는 \(\displaystyle\frac{L}{n}\)이므로 분할된 부채꼴 한 개의 중심각은 \(\displaystyle\frac{L}{n}\), 넓이는$$\frac{1}{2}\times1^{2}\times\frac{L}{n}=\frac{L}{2n}$$이므로$$A=n\left(\frac{L}{2n}\right)=\frac{1}{2}L$$이고, \(n\,\rightarrow\,\infty\)일때도 \(\displaystyle A=\frac{1}{2}L\)이다.    

2-3. 문제 2-1에서 \(\vec{X}(t)\)는 단위구 위에 있으므로 \(|\vec{X}(t)|^{2}=1\)이고 \(\displaystyle\vec{X}(t)\cdot\frac{d\vec{X}(t)}{dt}=0\)이다. 

\(\displaystyle\frac{d\vec{X}}{ds}\cdot\frac{d^{2}\vec{X}}{ds^{2}}=0\)이려면 \(\displaystyle\left|\frac{d\vec{X}}{ds}\right|^{2}\)이 상수값을 가져야 하고, 이때 \(\displaystyle\frac{d\vec{X}}{ds}=\frac{d\vec{X}}{dt}\frac{dt}{ds}\)이므로$$\left|\frac{d\vec{X}}{dt}\right|=C^{2}\left|\frac{ds}{dt}\right|\,(C\neq0)$$이고 \(\displaystyle\frac{ds}{dt}=C\left|\frac{d\vec{X}}{dt}\right|\)이다. 따라서 새로운 매개변수 \(s(t)\)는$$\int_{0}^{t}{\frac{ds}{dz}dz}=C\int_{0}^{t}{\left|\frac{d\vec{X}(z)}{dz}\right|dz}$$이므로 \(\displaystyle s(t)=s(0)+C\int_{0}^{t}{\left|\frac{d\vec{X}(z)}{dz}\right|dz}\)이다.