2008학년도 서울대 수시 면접문제(일부)

2008학년도 서울대 수시 면접문제(일부)

[문제 2]

2-1. 양수 \(a,\,b,\,c\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(a^{n}+b^{n}+c^{n})^{\frac{1}{n}}}=A\)인 극한값 \(A\)를 구하라.

2-2. \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\frac{\displaystyle\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1}{\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}=0\)임을 보이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{n^{k}\frac{\displaystyle\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1}{\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}}\)가 0이 아닌 극한값을 가지는 \(k>0\)를 구하라.

(참고: 만일 \(0<a<1\)이면 \(\displaystyle1+ax-\frac{1}{2}a(1-a)x^{2}\leq(1+x)^{a}\leq1+ax\)이다.)

2-3. \(0<a<b<c\)일 때 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{(a^{n}+b^{n}+c^{n})^{\frac{1}{n}}-A}{B_{n}}}\)이 0이 아닌 극한값을 가지는 수열 \(\displaystyle B_{n}=\frac{1}{n}r^{n}\)에서 상수 \(r\)을 구하라. 

2-1. \(a\)가 \(a,\,b,\,c\)중 가장 큰 수라고 하자. 그러면$$(a^{n}+b^{n}+c^{n})=a\left(1+\left(\frac{b}{c}\right)^{n}+\left(\frac{c}{a}\right)^{n}\right)^{\frac{1}{n}}$$이고 \(\displaystyle\frac{b}{a}\leq1,\,\frac{c}{a}\leq1\)이므로$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\frac{b}{a}\right)^{n}}=0,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\frac{c}{a}\right)^{n}}=0$$이고$$a\leq a\left(1+\left(\frac{b}{a}\right)^{n}+\left(\frac{c}{a}\right)^{n}\right)^{\frac{1}{n}}\leq3^{\frac{1}{n}}a$$이며 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{3^{\frac{1}{n}}a}=a\)이므로$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(a^{n}+b^{n}+c^{n})^{\frac{1}{n}}}=a$$이다. \(b,\,c\)가 가장 큰 수인 경우는 앞과 같은 방법으로 그 극한값이 \(b,\,c\)임을 보일 수 있고 따라서 \(A=\max\{a,\,b,\,c\}\)(\(a,\,b,\,c\)중 가장 큰 수)이다.  

2-2. 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(\displaystyle0<\frac{1}{n}<1\)이므로 문제의 참고에 있는 부등식으로부터$$1+\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-\frac{1}{2n}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}\leq\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)^{\frac{1}{n}}\leq1+\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$$이고$$\frac{1}{n}-\frac{n-1}{2n^{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\leq\frac{\displaystyle\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1}{\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}\leq\frac{1}{n}\,(*)$$이며$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\frac{1}{n}-\frac{n-1}{2n^{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right\}}=0,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}}=0$$이므로 따라서$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\displaystyle\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1}{\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}}=0$$이다. 

앞에서의 부등식 (*)의 좌변과 우변에 \(n^{k}\)를 곱하면$$f(n)=n^{k}\left\{\frac{1}{n}-\frac{n-1}{2n^{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right\},\,g(n)=n^{k-1}$$이고 \(0<k<1\)이면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(n)}=0,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g(n)}=0\).

\(k=1\)이면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(n)}=1,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g(n)}=1\), \(k>1\)이면 \(f(n),\,g(n)\)은 모두 발산한다. 

그러므로 0이 아닌 극한을 갖게 하는 \(k\)의 값은 1이다.

2-3. \(0<a<b<c\)이므로 문제 2-1의 결과에 의해 \(A=c\)이고$$(a^{n}+b^{n}+c^{n})^{\frac{1}{n}}-A=c\left\{\left(1+\left(\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}\right)\right)^{\frac{1}{n}}-1\right\}$$이므로$$\frac{(a^{n}+b^{n}+c^{n})^{\frac{1}{n}}-A}{\displaystyle\frac{1}{n}r^{n}}=c\frac{\displaystyle n\left\{\left(1+\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+\left(\frac{b}{c}\right)^{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1\right\}}{\displaystyle\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+\left(\frac{b}{c}\right)^{n}}\frac{\displaystyle\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+\left(\frac{b}{c}\right)^{n}}{r^{n}}$$이다. \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+\left(\frac{b}{c}\right)^{n}\right\}}=0\)이므로 문제 2-2의 결과에 의해$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\displaystyle cn\left\{\left(1+\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+\left(\frac{b}{c}\right)^{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1\right\}}{\displaystyle\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+\left(\frac{b}{c}\right)^{n}}}=c$$이고$$h(n)=\frac{\displaystyle\left(\frac{a}{c}\right)^{n}+\left(\frac{b}{c}\right)^{n}}{r^{n}}=\left(\frac{a}{cr}\right)^{n}+\left(\frac{b}{cr}\right)^{n}=\left(\frac{b}{cr}\right)^{n}\left\{1+\left(\frac{a}{b}\right)^{n}\right\}$$이다. \(\displaystyle\frac{a}{b}<1\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\frac{a}{b}\right)^{n}}=0\)이고 \(h(n)\)은 \(\displaystyle\frac{b}{cr}<1\)이면 0으로 수렴, \(\displaystyle\frac{b}{cr}=1\)이면 1로 수렴, \(\displaystyle\frac{b}{cr}>1\)이면 발산한다. 

따라서 0이 아닌 극한값을 갖게 하는 \(r\)의 값은 \(\displaystyle r=\frac{b}{c}\)이다.