2008학년도 연세대 수시 수리논술

2008학년도 연세대 수시 수리논술

[문제 1] 다음 제시문은 적분의 개념에 관한 것이다. (아래 문제에서 $x_{k}=a+k\Delta x$이다.)

적분의 기본 개념 및 원리는 17세기 뉴턴과 라이프니쯔에 의해 독립적으로 체계화되었고, 적분에 관한 엄밀한 수학적 정의는 코시와 리만이 극한의 개념을 도입함으로써 완성되었다. 적분의 기본 원리인 구분구적법은 어떤 도형의 넓이나 부피를 구할 때, 그 도형을 여러 개의 간단한 도형으로 세분하여 이들 도형의 넓이나 부피의 합을 구한 후, 이 합의 극한값으로 원래 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법이다. 폐(열린)구간 $[a,\,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대해서 정적분을 다음과 같이 구분구적법의 형태로 정의할 수 있다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}}\,\left(\Delta x=\frac{b-a}{n}\right)$$ 다음 (가)와 (나)는 적분의 기본 개념 및 원리를 바탕으로 유도한 결과이다. (가) 함수 $f(x)$가 폐구간 $[a,\,b]$에서 연속일 때, 다음 등식이 성립하는 $p_{1},\,p_{2},\,p_{3}$ 와 $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,q_{4}$가 무한히 많이 존재한다. ㉠ $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{(p_{1}f(x_{2k})+p_{2}f(x_{2k-1})+p_{3}f(x_{2k-2}))\Delta x}}\,\left(\Delta x=\frac{b-a}{2n}\right)$  ㉡ $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{(q_{1}f(x_{3k})+q_{2}f(x_{3k-1})+q_{2}f(x_{3k-2})+q_{4}f(x_{3k-3}))\Delta x}}\,\left(\Delta x=\frac{b-a}{3n}\right)$ (나) 아래 그림과 같이 폐구간 $[a,\,b]$에서 연속 함수 $y=f(x)$와 직선 $y=mx+c\,(m\neq0)$가 주어질 때, 곡선 $y=f(x)$와 세 직선 $y=mx+c$, $\displaystyle y=-\frac{1}{m}(x-a)+f(a)$, $\displaystyle y=-\frac{1}{m}(x-b)+f(b)$로 둘러싸인 넓이를 구하고자 한다. 아래 그림과 같이 색칠된 부분의 사다리꼴 도형의 넓이의 합을 $S_{n}$이라 할 때, 다음 등식이 성립한다. $$㉢\,S_{n}=\frac{1}{1+m^{2}}\sum_{k=1}^{n}{\left(\frac{f(x_{k})+f(x_{k-1})}{2}-m\frac{x_{k}+x_{k-1}}{2}-c\right)\left(1+m\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{\Delta x}\right)\Delta x}$$ 따라서 적분의 개념으로부터 다음과 같은 간단한 공식을 얻게 된다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=\frac{1}{1+m^{2}}\int_{a}^{b}{(f(x)-mx-c)(1+mf'(x))dx}$$

1-1. 등식 ㉠이 성립하기 위한 $p_{1},\,p_{2},\,p_{3}$의 조건과 등식 ㉡이 성립하기 위한 $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,q_{4}$의 조건을 구하고, 그 이유를 논리적으로 설명하시오.

1-2. (a) 모든 2차 다항함수 $f(x)=Ax^{2}+Bx+C$에 대하여 $\displaystyle\int_{-1}^{1}{f(x)dx}=p_{1}f(-1)+p_{2}f(0)+p_{3}f(1)$이 성립되게 하는 $p_{1},\,p_{2},\,p_{3}$를 구하시오. (3점)

(b) 앞에서 구한 $p_{1},\,p_{2},\,p_{3}$는 모든 2차 다항함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\sum_{k=1}^{10}{(pf(x_{2k})+pf(x_{2k-1})+pf(x_{2k-2}))\Delta x}\,\left(\Delta x=\frac{b-a}{20}\right)$이 성립됨을 논리적으로 설명하시오.

1-3. 등식 ㉢이 성립함을 증명하시오.  

1-1. $$\begin{align*}f(x_{2k})&=f(a+2k\Delta x)=f\left(a+\frac{k(b-a)}{n}\right)\\f(x_{2k-1})&=f(a+(2k-1)\Delta x)=f\left(a+\frac{(2k-1)(b-a)}{2n}\right)=f\left(a+\frac{k(b-a)}{n}-\frac{b-a}{2n}\right)\\f(x_{2k-2})&=f(a+(2k-2)\Delta x)=f\left(a+\frac{(k-1)(b-a)}{n}\right)=f\left(a+\frac{k(b-a)}{n}-\frac{b-a}{n}\right)\end{align*}$$ 이므로 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{2k})}\Delta x}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{2k-1})\Delta x}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{2k-2})\Delta x}}=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}{f(x)dx}\,\left(\because\,\Delta x=\frac{b-a}{2n}\right)$$ 이고 $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\{p_{1}f(x_{2k})+p_{2}f(x_{2k-1})+p_{3}f(x_{2k-2})\}\Delta x}}=\frac{p_{1}+p_{2}+p_{3}}{2}\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 이므로 따라서 등식 ㉠이 성립하기 위한 $p_{1},\,p_{2},\,p_{3}$의 조건은 $p_{1}+p_{2}+p_{3}=2$이다. $$\begin{align*}f(x_{3k})&=f(a+3k\Delta x)=f\left(a+\frac{k(b-a)}{n}\right)\\f(x_{3k-1})&=f(a+(3k-1)\Delta x)=f\left(a+\frac{(3k-1)(b-a)}{3n}\right)=f\left(a+\frac{k(b-a)}{n}-\frac{b-a}{3n}\right)\\f(x_{3k-2})&=f(a+(3k-2)\Delta x)=f\left(a+\frac{(3k-2)(b-a)}{3n}\right)=f\left(a+\frac{k(b-a)}{n}-\frac{2(b-a)}{3n}\right)\\f(x_{3k-3})&=f(a+(3k-3)\Delta x)=f\left(a+\frac{(3k-3)(b-a)}{3n}\right)=f\left(a+\frac{k(b-a)}{n}-\frac{b-a}{n}\right)\end{align*}$$ 이므로 $$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{3k})\Delta x}}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{3k-1})\Delta x}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{3k-2})\Delta x}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{3k-3})\Delta x}}\\&=\frac{1}{3}\int_{a}^{b}{f(x)dx}\,\left(\because\,\Delta x=\frac{b-a}{3n}\right)\end{align*}$$ 이고 $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\{q_{1}f(x_{3k})+q_{2}f(x_{3k-1})+q_{3}f(x_{3k-2})+q_{4}f(x_{3k-3})\}\Delta x}}=\frac{q_{1}+q_{2}+q_{3}+q_{4}}{3}\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 이므로 따라서 등식 ㉡이 성립하기 위한 $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,q_{4}$의 조건은 $q_{1}+q_{2}+q_{3}+q_{4}=3$이다.    

1-2. (a) 2차함수 $f(x)=Ax^{2}+Bx+C$에 대해 $$\int_{-1}^{1}{f(x)dx}=2\int_{0}^{1}{(Ax^{2}+C)dx}=\frac{2}{3}A+2C,\,f(-1)=A-B+C,\,f(0)=C,\,f(1)=A+B+C$$ 이므로 등식 $$\int_{-1}^{1}{f(x)dx}=p_{1}f(-1)+p_{2}f(0)+p_{3}f(1)$$ 이 성립하려면 $$\begin{align*}\frac{2}{3}A+2C&=p_{1}(A-B+C)+p_{2}C+p_{3}(A+B+C)\\&=(p_{1}+p_{3})A+(-p_{1}+p_{3})B+(p_{1}+p_{2}+p_{3})C\end{align*}$$ 이어야 하고 $$p_{1}+p_{3}=\frac{2}{3},\,-p_{1}+p_{3}=0,\,p_{1}+p_{2}+p_{3}=2$$ 이므로 $\displaystyle p_{1}=\frac{1}{3},\,p_{2}=\frac{4}{3},\,p_{3}=\frac{1}{3}$이다.

(b) $$\frac{1}{3}f(x_{2k})=\frac{1}{3}(Ax_{2k}^{2}+Bx_{2k}+C),\,\frac{4}{3}f(x_{2k-1})=\frac{4}{3}(Ax_{2k-1}^{2}+Bx_{2k-1}+C),\,\frac{1}{3}f(x_{2k-2})=\frac{1}{3}(Ax_{2k-2}^{2}+Bx_{2k-2}+C)$$ 이므로 $$\frac{1}{3}f(x_{2k})+\frac{4}{3}f(x_{2k-1})+\frac{1}{3}f(x_{2k-2})=\frac{1}{3}(x_{2k}^{2}+4x_{2k-1}^{2}+x_{2k-2}^{2})+\frac{1}{3}B(x_{2k}+4x_{2k-1}+x_{2k-2})+2C$$ 이고 이때 $$\Delta x=x_{2k}-x_{2k-1}=x_{2k-1}-x_{2k-2}=\frac{b-a}{20}$$ 이므로 $2x_{2k-1}=x_{2k}+x_{2k-2}$, $\displaystyle\Delta x=\frac{x_{2k}-x_{2k-2}}{2}$이고 $$4x_{2k-1}^{2}=(x_{2k}+x_{2k-2})^{2}=x_{2k}^{2}+2x_{2k}x_{2k-2}+x_{2k-2}^{2},\,4x_{2k-1}=2x_{2k}+2x_{2k-2}$$ 이므로 $$\begin{align*}\left\{\frac{1}{3}f(x_{2k})+\frac{4}{3}f(x_{2k-1})+\frac{1}{3}f(x_{2k-2})\right\}\Delta x&=\left\{\frac{2}{3}A(x_{2k}^{2}+x_{2k}x_{2k-2}+x_{2k-2}^{2})+B(x_{2k}+x_{2k-2})+2C\right\}\frac{x_{2k}-x_{2k-2}}{2}\\&=\frac{1}{3}A(x_{2k}^{3}-x_{2k-2}^{3})+\frac{1}{2}B(x_{2k}^{2}-x_{2k-2}^{2})+C(x_{2k}-x_{2k-2})\\&=\int_{x_{2k-2}}^{x_{2k}}{(Ax^{2}+Bx+C)dx}\\&=\int_{x_{2k-2}}^{x_{2k}}{f(x)dx}\end{align*}$$ 이다. 이때 $x_{0}=a$, $x_{20}=b$, $\displaystyle p_{1}=\frac{1}{3},\,p_{2}=\frac{4}{3},\,p_{3}=\frac{1}{3}$이므로 따라서 다음의 등식을 얻는다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\sum_{k=1}^{10}{\int_{x_{2k-2}}^{x_{2k}}{f(x)dx}}=\sum_{k=1}^{10}{\{p_{1}f(x_{2k})+p_{2}f(x_{2k-1})+p_{3}f(x_{2k-2})\}\Delta x}$$ 1-3. $k$번째 사다리꼴의 넓이를 $A_{k}$라 하자. 곡선 $y=f(x)$위의 점 $(x_{k},\,f(x_{k}))$를 지나고 직선 $y=mx+c$와 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{1}{m}(x-x_{k})+f(x_{k})$이고, 이 직선과 직선 $y=mx+c$와의 교점의 $x$좌표를 $x_{k}'$이라 하자. 그러면 $x_{k}'>x_{k-1}'$이고 $$mx_{k}'+c=-\frac{1}{m}(x_{k}'-x_{k})+f(x_{k})$$ 이므로 $$x_{k}'=\frac{1}{1+m^{2}}\{x_{k}+mf(x_{k}-mc)\}$$ 이고, $k$번째 사다리꼴의 두 옆면의 길이는 각각 $$\frac{f(x_{k-1})-mx_{k-1}-c}{\sqrt{1+m^{2}}},\,\frac{f(x_{k})-mx_{k}-c}{\sqrt{1+m^{2}}}\,(\because\,f(x)>mx+c)$$ 이고, $$x_{k}'-x_{k-1}'=\frac{1}{1+m^{2}}\{(x_{k}-x_{k-1})+m(f(x_{k})-f(x_{k-1}))\}$$ 이므로 밑면의 길이는 $$\begin{align*}\sqrt{(x_{k}'-x_{k-1}')^{2}+\{(mx_{k}'+c)-(mx_{k-1}'+c)\}^{2}}&=\sqrt{m^{2}+1}(x_{k}'-x_{k-1})\,(\because\,x_{k}'>x_{k-1}')\\&=\frac{\sqrt{1+m^{2}}}{1+m^{2}}\{(x_{k}-x_{k-1})+m(f(x_{k})-f(x_{k-1}))\}\end{align*}$$ 이다. 그러면 $$\begin{align*}A_{k}&=\frac{1}{2}\left(\frac{f(x_{k})-mx_{k}-c}{\sqrt{1+m^{2}}}+\frac{f(x_{k-1})-mx_{k-1}-c}{\sqrt{1+m^{2}}}\right)\frac{\sqrt{1+m^{2}}}{1+m^{2}}\{(x_{k}-x_{k-1})+m(f(x_{k})-f(x_{k-1}))\}\\&=\frac{1}{1+m^{2}}\left\{\frac{f(x_{k})+f(x_{k-1})}{2}-m\frac{x_{k}+x_{k-1}}{2}-c\right\}\left\{1+m\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}\right\}(x_{k}-x_{k-1})\end{align*}$$ 이고 $\Delta x=x_{k}-x_{k-1}$이므로 다음과 같이 등식 ㉢이 성립한다. $$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{A_{k}}=\frac{1}{1+m^{2}}\sum_{k=1}^{n}{\left\{\frac{f(x_{k})+f(x_{k-1})}{2}-m\frac{x_{k}+x_{k-1}}{2}-c\right\}\left\{1+m\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}\right\}\Delta x}$$