2008학년도 고려대 정시 수리논술(문제일부)

2008학년도 고려대 정시 수리논술(문제일부)

*2008학년도 고려대 정시 수리논술 문제의 일부입니다.

(사)

그림 3과 같이 좌표평면 위에 원점 $O$를 중심으로 하고 반지름이 1인 원이 있다. 이 원의 바깥쪽에 있는 두 점 $A(x_{1},\,y_{1})$와 $B(x_{2},\,y_{2})$가 $\displaystyle\frac{\pi}{2}<\angle OAB<\pi$를 만족한다. 선분 $AB$를 $n$등분하는 점들을 $P_{1},\,P_{2},\,...,\,P_{n-1}$이라 하고 $P_{0}=A$, $P_{n}=B$라 하자. 이 원이 선분 $OP_{k-1}$과 만나는 점을 $Q_{k-1}$이라 하고 선분 $OP_{k}$와 만나는 점을 $Q_{k}$라 하자. $Q_{k-1}$에서 원에 접하는 직선이 선분 $OP_{k}$와 만나는 점을 $S_{k}$라 하고, $Q_{k}$에서 선분 $OP_{k-1}$에 내린 수선의 발을 $R_{k-1}$이라 하면 호의 길이 $\widehat{Q_{k-1}Q_{k}}$는 $$\overline{R_{k-1}Q_{k}}\leq\widehat{Q_{k-1}Q_{k}}\leq\overline{Q_{k-1}S_{k}}\,(k=1,\,2,\,...,\,n)\,(1)$$ 를 만족한다. 원점 $O$와 직선 $AB$사이의 거리를 $d$라 할 때 $$d=\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\overline{AB}}\,(2)$$ 이다. 따라서 $$\sin(\angle OP_{k-1}A)=\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\overline{AB}}\,(k=1,\,2,\,...,\,n)\,(3)$$ 이다. (1)과 (3)을 이용하면 다음 성질도 성립함을 보일 수 있다. $$\angle AOB=\int_{0}^{1}{\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\{x_{1}+t(x_{2}-x_{1})\}^{2}+\{y_{1}+t(y_{2}-y_{1})\}^{2}}dt}\,(4)$$ 4. 제시문 (사)의 (2)와 (4)가 성립함을 설명하시오.   

그림 3은 좌표평면 위에 있고 점 $A(x_{1},\,y_{2})$와 $B(x_{2},\,y_{2})$ 또한 좌표평면 위의 점이다. 두 점 $A$와 $B$를 지나는 직선의 방정식은 $$y=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})+y_{1}$$ 이고 이 직선의 방정식을 음함수 형태로 나타내면 다음과 같다. $$(y_{2}-y_{1})x-(x_{2}-x_{1})y-(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$$ 따라서 원점에서 직선 $AB$사이의 거리 $d$는 다음과 같고 (2)가 성립한다. $$d=\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\sqrt{(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}=\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\overline{AB}}\,(\because\overline{AB}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}})$$ 다음의 그림에서

부채꼴 $Q_{k-1}OQ_{k}$의 넓이는 $\frac{1}{2}\angle Q_{k-1}OQ_{k}$이고 삼각형 $R_{k-1}OQ_{k}$의 넓이인 $\displaystyle\frac{1}{2}\sin(\angle P_{k-1}OP_{k})$보다 크고, 삼각형 $Q_{k-1}OS_{k}$의 넓이인 $\displaystyle\frac{1}{2}\tan(\angle Q_{k-1}OQ_{k})$보다 작다. 그러면 다음의 부등식을 얻고 $$\sin(\angle Q_{k-1}OQ_{k})\leq\angle Q_{k-1}OQ_{k}\leq\tan(\angle Q_{k-1}OQ_{k})$$ 이때 삼각형 $OAB$의 넓이는 $\displaystyle\frac{1}{2}d\cdot\overline{AB}$이므로 다음이 성립한다. $$\frac{1}{2}d\cdot\overline{AB}=\frac{1}{2}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|$$ $\overline{P_{k-1}P_{k}}\,(k=1,\,2,\,...,\,n)$는 선분 $\overline{AB}$의 $n$등분된 선분 중 하나이므로 $\displaystyle\overline{P_{k-1}P_{k}}=\frac{1}{n}\overline{AB}$이고 따라서 삼각형 $P_{k-1}OP_{k}$의 넓이는 삼각형 $OAB$의 넓이의 $\displaystyle\frac{1}{n}$이다. 즉 $$\frac{1}{2}\overline{OP_{k-1}}\cdot\overline{OP_{k}}\sin(\angle P_{k-1}OP_{k})=\frac{1}{2n}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|$$ 그러면 $$\sin(\angle P_{k-1}OP_{k})=\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k-1}}\cdot\overline{OP_{k}}}$$ 이고 $$\overline{OP_{0}}\leq\overline{OP_{1}}\leq\cdots\leq\overline{OP_{n-1}}\leq\overline{OP_{n}}\\ \frac{\pi}{2}\geq\angle P_{0}OP_{1}\geq\angle P_{1}OP_{2}\geq\cdots\geq\angle P_{n-2}OP_{n-1}\geq\angle P_{n-1}OP_{n}\geq0$$ 이므로 코사인 법칙에 의해 $$\cos(\angle P_{k-1}OP_{k})=\frac{\overline{OP_{k-1}}^{2}+\overline{OP_{k}}^{2}-\overline{P_{k-1}P_{k}}^{2}}{2\overline{OP_{k-1}}\cdot\overline{OP_{k}}}\geq\frac{\overline{OP_{k-1}}^{2}+\overline{OP_{k-1}}^{2}}{2\overline{OP_{k-1}}\cdot\overline{OP_{k}}}=\frac{\overline{OP_{k-1}}}{\overline{OP_{k}}}$$ 이고 $$\cos(\angle P_{k-1}OP_{k-1})\geq\cdots\geq\cos(\angle P_{0}OP_{1})\geq\frac{\overline{OP_{0}}}{\overline{OP_{1}}}$$ 이다. 그러면 $\displaystyle\frac{1}{\cos(\angle P_{k-1}OP_{k})}\leq\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}$이므로 $$\tan(\angle P_{k-1}OP)=\frac{\sin(\angle P_{k-1}OP_{k})}{\cos(\angle P_{k-1}OP_{k})}\leq\sin(\angle P_{k-1}OP_{k})\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}$$ 이고 $\overline{OP_{k-1}}\leq\overline{OP_{k}}$이므로 $\displaystyle\frac{1}{\overline{OP_{k}}}\leq\frac{1}{\overline{OP_{k-1}}}$이고 다음이 성립한다. $$\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k}}^{2}}\leq\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k-1}}\cdot\overline{OP_{k}}}\leq\angle P_{k-1}OP_{k}\leq\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k-1}}\cdot\overline{OP_{k}}}\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}\leq\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k-1}}^{2}}\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}$$ $\displaystyle\angle AOB=\sum_{k=1}^{n}{\angle P_{k-1}OP_{k}}$이므로 다음의 부등식이 성립하고 $$\sum_{k=1}^{n}{\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k}}^{2}}}\leq\angle AOB\leq\sum_{k=1}^{n}{\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k-1}}^{2}}\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}}$$ 점 $P_{k}$는 선분 $AB$의 $n$등분점이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$P_{k}=\left(x_{1}+(x_{2}-x_{1})\frac{k}{n},\,y_{1}+(y_{2}-y_{1})\frac{k}{n}\right)$$ 그러면 $$\overline{OP_{k}}^{2}=\left\{x_{1}+(x_{2}-x_{1})\frac{k}{n}\right\}^{2}+\left\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})\frac{k}{n}\right\}^{2}$$ 이므로 $$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k}}^{2}}}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\left\{x_{1}+(x_{2}-x_{1})\frac{k}{n}\right\}^{2}+\left\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})\frac{k}{n}\right\}^{2}}\frac{1}{n}}\\&=\int_{0}^{1}{\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\{x_{1}+(x_{2}-x_{1})t\}^{2}+\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})t\}^{2}}dt}\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}}=1$이므로 $$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k-1}}^{2}}\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\left\{x_{1}+(x_{2}-x_{1})\frac{k-1}{n}\right\}^{2}+\left\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})\frac{k-1}{n}\right\}^{2}}\frac{1}{n}}\\&=\int_{0}^{1}{\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\left\{x_{1}+(x_{2}-x_{1})t\right\}^{2}+\left\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})t\right\}^{2}}dt}\end{align*}$$ 따라서 조임정리(샌드위치 정리)에 의해 다음의 등식을 얻고, (4)가 성립한다. $$\angle AOB=\int_{0}^{1}{\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\{x_{1}+(x_{2}-x_{1})t\}^{2}+\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})t\}^{2}}dt}$$