2008학년도 고려대 정시 수리논술(문제일부)

2008학년도 고려대 정시 수리논술(문제일부)

*2008학년도 고려대 정시 수리논술 문제의 일부입니다.

(사)

그림 3과 같이 좌표평면 위에 원점 \(O\)를 중심으로 하고 반지름이 1인 원이 있다. 이 원의 바깥쪽에 있는 두 점 \(A(x_{1},\,y_{1})\)와 \(B(x_{2},\,y_{2})\)가 \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<\angle OAB<\pi\)를 만족한다. 선분 \(AB\)를 \(n\)등분하는 점들을 \(P_{1},\,P_{2},\,...,\,P_{n-1}\)이라 하고 \(P_{0}=A\), \(P_{n}=B\)라 하자. 이 원이 선분 \(OP_{k-1}\)과 만나는 점을 \(Q_{k-1}\)이라 하고 선분 \(OP_{k}\)와 만나는 점을 \(Q_{k}\)라 하자. \(Q_{k-1}\)에서 원에 접하는 직선이 선분 \(OP_{k}\)와 만나는 점을 \(S_{k}\)라 하고, \(Q_{k}\)에서 선분 \(OP_{k-1}\)에 내린 수선의 발을 \(R_{k-1}\)이라 하면 호의 길이 \(\widehat{Q_{k-1}Q_{k}}\)는$$\overline{R_{k-1}Q_{k}}\leq\widehat{Q_{k-1}Q_{k}}\leq\overline{Q_{k-1}S_{k}}\,(k=1,\,2,\,...,\,n)\,(1)$$를 만족한다. 원점 \(O\)와 직선 \(AB\)사이의 거리를 \(d\)라 할 때$$d=\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\overline{AB}}\,(2)$$이다. 따라서$$\sin(\angle OP_{k-1}A)=\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\overline{AB}}\,(k=1,\,2,\,...,\,n)\,(3)$$이다. (1)과 (3)을 이용하면 다음 성질도 성립함을 보일 수 있다.$$\angle AOB=\int_{0}^{1}{\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\{x_{1}+t(x_{2}-x_{1})\}^{2}+\{y_{1}+t(y_{2}-y_{1})\}^{2}}dt}\,(4)$$4. 제시문 (사)의 (2)와 (4)가 성립함을 설명하시오.   

그림 3은 좌표평면 위에 있고 점 \(A(x_{1},\,y_{2})\)와 \(B(x_{2},\,y_{2})\) 또한 좌표평면 위의 점이다. 두 점 \(A\)와 \(B\)를 지나는 직선의 방정식은$$y=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})+y_{1}$$이고 이 직선의 방정식을 음함수 형태로 나타내면 다음과 같다.$$(y_{2}-y_{1})x-(x_{2}-x_{1})y-(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$$따라서 원점에서 직선 \(AB\)사이의 거리 \(d\)는 다음과 같고 (2)가 성립한다.$$d=\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\sqrt{(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}=\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\overline{AB}}\,(\because\overline{AB}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}})$$다음의 그림에서

부채꼴 \(Q_{k-1}OQ_{k}\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}\angle Q_{k-1}OQ_{k}\)이고 삼각형 \(R_{k-1}OQ_{k}\)의 넓이인 \(\displaystyle\frac{1}{2}\sin(\angle P_{k-1}OP_{k})\)보다 크고, 삼각형 \(Q_{k-1}OS_{k}\)의 넓이인 \(\displaystyle\frac{1}{2}\tan(\angle Q_{k-1}OQ_{k})\)보다 작다. 그러면 다음의 부등식을 얻고$$\sin(\angle Q_{k-1}OQ_{k})\leq\angle Q_{k-1}OQ_{k}\leq\tan(\angle Q_{k-1}OQ_{k})$$이때 삼각형 \(OAB\)의 넓이는 \(\displaystyle\frac{1}{2}d\cdot\overline{AB}\)이므로 다음이 성립한다.$$\frac{1}{2}d\cdot\overline{AB}=\frac{1}{2}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|$$\(\overline{P_{k-1}P_{k}}\,(k=1,\,2,\,...,\,n)\)는 선분 \(\overline{AB}\)의 \(n\)등분된 선분 중 하나이므로 \(\displaystyle\overline{P_{k-1}P_{k}}=\frac{1}{n}\overline{AB}\)이고 따라서 삼각형 \(P_{k-1}OP_{k}\)의 넓이는 삼각형 \(OAB\)의 넓이의 \(\displaystyle\frac{1}{n}\)이다. 즉$$\frac{1}{2}\overline{OP_{k-1}}\cdot\overline{OP_{k}}\sin(\angle P_{k-1}OP_{k})=\frac{1}{2n}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|$$그러면$$\sin(\angle P_{k-1}OP_{k})=\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k-1}}\cdot\overline{OP_{k}}}$$이고$$\overline{OP_{0}}\leq\overline{OP_{1}}\leq\cdots\leq\overline{OP_{n-1}}\leq\overline{OP_{n}}\\ \frac{\pi}{2}\geq\angle P_{0}OP_{1}\geq\angle P_{1}OP_{2}\geq\cdots\geq\angle P_{n-2}OP_{n-1}\geq\angle P_{n-1}OP_{n}\geq0$$이므로 코사인 법칙에 의해$$\cos(\angle P_{k-1}OP_{k})=\frac{\overline{OP_{k-1}}^{2}+\overline{OP_{k}}^{2}-\overline{P_{k-1}P_{k}}^{2}}{2\overline{OP_{k-1}}\cdot\overline{OP_{k}}}\geq\frac{\overline{OP_{k-1}}^{2}+\overline{OP_{k-1}}^{2}}{2\overline{OP_{k-1}}\cdot\overline{OP_{k}}}=\frac{\overline{OP_{k-1}}}{\overline{OP_{k}}}$$이고$$\cos(\angle P_{k-1}OP_{k-1})\geq\cdots\geq\cos(\angle P_{0}OP_{1})\geq\frac{\overline{OP_{0}}}{\overline{OP_{1}}}$$이다. 그러면 \(\displaystyle\frac{1}{\cos(\angle P_{k-1}OP_{k})}\leq\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}\)이므로$$\tan(\angle P_{k-1}OP)=\frac{\sin(\angle P_{k-1}OP_{k})}{\cos(\angle P_{k-1}OP_{k})}\leq\sin(\angle P_{k-1}OP_{k})\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}$$이고 \(\overline{OP_{k-1}}\leq\overline{OP_{k}}\)이므로 \(\displaystyle\frac{1}{\overline{OP_{k}}}\leq\frac{1}{\overline{OP_{k-1}}}\)이고 다음이 성립한다.$$\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k}}^{2}}\leq\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k-1}}\cdot\overline{OP_{k}}}\leq\angle P_{k-1}OP_{k}\leq\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k-1}}\cdot\overline{OP_{k}}}\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}\leq\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k-1}}^{2}}\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}$$\(\displaystyle\angle AOB=\sum_{k=1}^{n}{\angle P_{k-1}OP_{k}}\)이므로 다음의 부등식이 성립하고$$\sum_{k=1}^{n}{\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k}}^{2}}}\leq\angle AOB\leq\sum_{k=1}^{n}{\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k-1}}^{2}}\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}}$$점 \(P_{k}\)는 선분 \(AB\)의 \(n\)등분점이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$P_{k}=\left(x_{1}+(x_{2}-x_{1})\frac{k}{n},\,y_{1}+(y_{2}-y_{1})\frac{k}{n}\right)$$그러면$$\overline{OP_{k}}^{2}=\left\{x_{1}+(x_{2}-x_{1})\frac{k}{n}\right\}^{2}+\left\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})\frac{k}{n}\right\}^{2}$$이므로$$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k}}^{2}}}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\left\{x_{1}+(x_{2}-x_{1})\frac{k}{n}\right\}^{2}+\left\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})\frac{k}{n}\right\}^{2}}\frac{1}{n}}\\&=\int_{0}^{1}{\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\{x_{1}+(x_{2}-x_{1})t\}^{2}+\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})t\}^{2}}dt}\end{align*}$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}}=1\)이므로$$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{n\overline{OP_{k-1}}^{2}}\frac{\overline{OP_{1}}}{\overline{OP_{0}}}}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\left\{x_{1}+(x_{2}-x_{1})\frac{k-1}{n}\right\}^{2}+\left\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})\frac{k-1}{n}\right\}^{2}}\frac{1}{n}}\\&=\int_{0}^{1}{\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\left\{x_{1}+(x_{2}-x_{1})t\right\}^{2}+\left\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})t\right\}^{2}}dt}\end{align*}$$따라서 조임정리(샌드위치 정리)에 의해 다음의 등식을 얻고, (4)가 성립한다.$$\angle AOB=\int_{0}^{1}{\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\{x_{1}+(x_{2}-x_{1})t\}^{2}+\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})t\}^{2}}dt}$$