2008학년도 서울대 정시 수리논술

2008학년도 서울대 정시 수리논술

[문항 4]

다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가) 닫힌구간(폐구간) \([a,\,b]\)에서 연속인 함수 \(f\)에 대하여 \(\displaystyle\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}=f(c)\)를 만족하는 \(c\)가 \(a\)와 \(b\)사이에 적어도 하나 존재한다는 사실이 잘 알려져 있다.  이를 '적분에 관한 평균값의 정리'라고 한다. 이것은 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 \(f(x)\geq0\)일 때, 곡선 \(y=f(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x=a\), \(x=b\)로 둘러싸인 도형의 넓이가 밑변의 길이가 \(b-a\)이고 높이가 \(f(c)\)인 직사각형의 넓이와 같다는 것을 의미한다. (나) 1852년 물리학자 맥스웰은 기체분자의 속도분포 문제를 해결하였다. 맥스웰-볼츠만의 속도분포는 기체분자의 속도 \(v\)의 확률분포함수$$P(v)=4\pi\left(\frac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac{3}{2}}v^{2}e^{-\frac{Mv^{2}}{2RT}}$$로 주어진다. 여기서 \(M\)은 몰 질량, \(R\)은 기체상수, \(T\)는 (절대)온도이다. 예를들어 \(300\text{K}\)에서 산소분자의 속도분포는 다음과 같다. 이 경우 산소분자의 속도가 \(v_{1}=590\text{m/s}\)와 \(v_{2}=610\text{m/s}\)사이의 값을 가질 확률을 구하기 위해서는 \(\displaystyle\int_{v_{1}}^{v_{2}}{P(v)dv}\)를 계산해야 하는데, 적분에 관한 평균값의 정리에 의해 이 적분은 근사적으로 \(\displaystyle(v_{2}-v_{1})P\left(\frac{v_{1}+v_{2}}{2}\right)\)와 같다.  과학의 여러 분야에서 나타나는 함수를 작은 구간에서 적분해야 할 필요가 있을 때, 이와 같이 구간 안에서 함수의 적당한 값과 구간의 길이를 곱하여 적분값의 근사값으로 사용한다.  (다) 적분에 관한 평균값의 정리로부터 도함수 \(f'\)이 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면 \(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\)를 만족하는 \(c\)가 \(a\)와 \(b\)사이에 적어도 하나 존재한다는 '미분에 관한 평균값의 정리'를 유도할 수 있다.  곡선 \(y=f(x)\)위의 두 점 \(A(a,\,f(a))\)와 \(B(b,\,f(b))\)를 지나는 직선 \(AB\)의 기울기는 \(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)이고, \(f'(c)\)는 점 \((c,\,f(c))\)에서 곡선 \(y=f(x)\)에 접하는 직선의 기울기이다. 따라서 미분에 관한 평균값의 정리는 곡선 \(y=f(x)\)의 접선 중에 직선 \(AB\)와 평행한 것이 적어도 하나 존재한다는 것을 의미한다. 미분에 관한 평균값의 정리는 여러 가지 부등식을 증명하거나 다양한 함수의 근사값을 구하는 데 이용된다.  (라) 함수 \(f\)가 닫힌구간 \([a,\,b]\)를 포함하는 열린구간(개구간)에서 미분가능하고 \(f'\)이 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속일 때, 곡선 \(y=f(x)\)위의 점 \((a,\,f(a))\)에서 점 \((b,\,f(b))\)까지의 곡선의 길이는 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}\)이다.

논제 1. 적분에 관한 평균값의 정리를 이용하여 도함수 \(f'\)이 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$를 만족하는 \(c\)가 \(a\)와 \(b\)사이에 적어도 하나 존재한다는 것을 설명하시오.

논제 2. 함수 \(f(x)=x^{3}\)에 대하여 닫힌구간 \([1,\,2]\)에서 논제 1의 등식을 만족하는 \(c\)의 값을 구하시오.

논제 3. 도함수가 0인 함수에 대하여 알아보자.

3-1. 열린구간 \((a,\,b)\)에 속하는 모든 \(x\)에 대하여 \(f'(x)=0\)이면, \(f\)는 열린구간 \((a,\,b)\)에서 상수함수가 됨을 설명하시오.

3-2. 상수함수가 아닌 함수 \(\displaystyle g(x)=\begin{cases}1,&\,x>0\\0,&\,x<0\end{cases}\)에 대하여 \(g'(x)\)를 구하고, 이 결과를 논제 3-1의 내용과 연관시켜 설명하시오.

논제 4. \((1+x)^{\frac{1}{4}}\)의 근사식을 찾아보려고 한다. 

4-1. \(\displaystyle|x|\leq\frac{1}{2}\)일 때 부등식 \(\displaystyle|(1+x)^{\frac{1}{4}}-1|\leq\frac{|x|}{2}\)가 성립함을 설명하시오.

4-2. \(\displaystyle|x|\leq\frac{1}{2}\)일 때 부등식 \(\displaystyle\left|(1+x)^{\frac{1}{4}}-\left(1+\frac{1}{4}x\right)\right|\leq\frac{3}{4}x^{2}\)이 성립함을 설명하시오.

논제 5. 임의의 실수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y=x^{3}\)위의 점 \((t,\,t^{3})\)에서 점 \((m(t),\,\{m(t)\}^{3})\)까지 곡선의 길이가 1이 되도록 \(m(t)\)를 정의하자(단, \(0<t<m(t)\)). 이렇게 정의한 \(m(t)\)가 \(t\)의 함수로서 미분가능하다고 할 때, \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{t^{3}(1-\{m'(t)\}^{2})}\)의 값을 구하고 그 과정을 설명하시오.

논제 1: 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이므로 적분에 관한 평균값의 정리에 의해 \(c\)가 \(a\)와 \(b\) 사이에 존재해서 \(\displaystyle\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f'(x)dx}=f'(c)\)이고 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f'(x)dx}=f(b)-f(a)\)이므로 따라서 \(c\)가 \(a\)와 \(b\) 사이에 존재해서 \(\displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)이다.

논제 2: \(\displaystyle\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{2^{3}-1^{3}}{2-1}=7\), \(f'(c)=3c^{2}\), \(c\in[1,\,2]\)이므로 \(3c^{2}=7\)이고 따라서 \(\displaystyle c=\sqrt{\frac{7}{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}\)이다.

논제 3-1. 함수 \(f(x)\)는 \((a,\,b)\)에서 미분가능하므로 임의의 \(x_{1},\,x_{2}\in(a,\,b)\,(x_{1}\neq x_{2})\)에 대해 \(x_{1}\)과 \(x_{2}\)사이에 \(c\)가 존재해서 \(\displaystyle\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}=f'(c)=0\)이고 \(f(x_{1})=f(x_{2})\)이다. \(x_{1},\,x_{2}\)는 \((a,\,b)\)의 임의의 원소이므로 따라서 \(f\)는 \((a,\,b)\)에서 상수함수이다. 

논제 3-2. 문제의 함수 \(g(x)\)는 \(x=0\)에서 불연속이므로 \(x=0\)에서 미분가능하지 않고 \(x<0\)에서 \(g(x)=-1\), \(x>0\)에서 \(g(x)=1\)이므로 0을 제외한 모든 실수 \(x\)에 대해 \(g'(x)=0\)이고 따라서 \(g'(x)\)는 \(x=0\)에서 불연속이다. 이것은 도함수가 불연속이면 \(g'(x)=0\)이더라도 \(g(x)\)는 상수함수가 아님을 의미한다. 

논제 4-1. \(f(x)=(1+x)^{\frac{1}{4}}\)라 하자. \(f(0)=1\)이고 \(f(x)\)는 \(\displaystyle\left[-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right]\)에서 미분가능하므로 논제 1의 결과에 의해 \(c\)가 0과 \(x\)사이에 존재해서 \(f(x)-f(0)=(x-0)f'(c)=f'(c)\)이다. 또한 \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{4}}\)이고 \(\displaystyle f''(x)=-\frac{3}{16}(1+x)^{-\frac{7}{4}}\)이고 \(\displaystyle\left[-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right]\)에서 \(f''(x)<0\)이므로 \(f'(x)\)는 감소함수이고 \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\)에서 최댓값을 가지며$$f'\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}2^{\frac{3}{4}}\leq\frac{1}{4}2^{1}=\frac{1}{2}$$이다. \(f(x)\)의 최솟값이\(\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)>0\)이므로 다음의 결과를 얻고$$|(1+x)^{\frac{1}{4}}-1|=|f(x)-f(0)|=|f'(c)||x|\leq\frac{1}{2}|x|$$\(x=0\)에서 등호가 성립한다.

논제 4-2. \(\displaystyle g(x)=(1+x)^{\frac{1}{4}}-\left(1+\frac{1}{4}x\right)\)라 하자. \(g(0)=0\)이고 \(g(x)\)는 \(\displaystyle\left[-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right]\)에서 미분가능하므로 논제 1의 결과에 의해 \(c\)가 0과 \(x\)사이에 존재해서 \(g(x)-g(0)=(x-0)g'(c)\)이다. 또한 \(\displaystyle g'(x)=\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{4}}-\frac{1}{4}\)이므로$$\begin{align*}|g(x)-g(0)|&=|x||g'(c)|=\frac{|x|}{4}\left|(1+x)^{-\frac{3}{4}}-1\right|=\frac{|x||(1+c)^{\frac{1}{4}}-(1+c)|}{4(1+c)}\\&\leq|x|\frac{|(1+c)^{\frac{1}{4}}-1|+|c|}{4(1+c)}\\&\leq|x|\frac{\frac{|c|}{2}+|c|}{4}2=\frac{3}{4}|cx|\,(\because\,\frac{1}{2}<c+1<\frac{3}{2})\\&<\frac{3}{4}x^{2}\,(\because\,0<|c|<|x|)\end{align*}$$이고 따라서 다음의 결과를 얻고$$\left|(1+x)^{\frac{1}{4}}-\left(1+\frac{1}{4}x\right)\right|\leq\frac{3}{4}x^{2}$$\(x=0\)에서 등호가 성립한다. 

논제 5. \(m(t)\)는 제시문 (라)에 의해 \(y'=3x^{2}\)이므로 식 \(\displaystyle1=\int_{t}^{m(t)}{\sqrt{1+9x^{4}}dx}\)을 만족하고, 이 식을 \(t\)에 대해 미분하면 \(0=m'(t)\sqrt{1+9\{m(t)\}^{4}}-\sqrt{1+9t^{4}}\)이므로 \(\displaystyle m'(t)=\sqrt{\frac{1+9t^{4}}{1+9\{m(t)\}^{4}}}\)이고$$1-\{m'(t)\}^{2}=\frac{9\{m(t)\}^{4}-t^{4}}{1+9\{m(t)\}^{4}}=\frac{9(m(t)-t)(m(t)+t)(\{m(t)\}^{2}+t^{2})}{1+9\{m(t)\}^{4}}$$이다. 또한 적분에 관한 평균값의 정리로부터 \(c\)가 \(t\)와 \(m(t)\)사이에 존재해서$$\sqrt{1+9c^{4}}=\frac{1}{m(t)-t}\int_{t}^{m(t)}{\sqrt{1+9x^{4}}dx}=\frac{1}{m(t)-t}$$이므로 \(\displaystyle m(t)-t=\frac{1}{\sqrt{1+9c^{4}}}\)이고 \(t<c<m(t)\)이므로 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{m(t)}=\infty\), \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{m(t)}}=0\)이고 \(\displaystyle1-\frac{t}{m(t)}=\frac{1}{m(t)\sqrt{1+9c^{4}}}\)이므로 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{\frac{t}{m(t)}}=1\)이고 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{\frac{c}{m(t)}}=1\)이다. 

\(\displaystyle m(t)-t=\frac{1}{\sqrt{1+9c^{4}}}\)이므로$$\begin{align*}t^{3}(1-\{m'(t)\}^{2})&=\frac{9t^{3}(m(t)+t)(\{m(t)\}^{2}+t^{2})}{(1+9\{m(t)\}^{4})\sqrt{1+9c^{4}}}\\&=\frac{\displaystyle9\left\{\frac{t}{m(t)}\right\}^{3}\left(1+\frac{t}{m(t)}\right)\left(1+\left\{\frac{t}{m(t)}\right\}^{2}\right)}{\displaystyle\left(\frac{1}{\{m(t)\}^{4}}+9\right)\sqrt{\frac{1}{\{m(t)\}^{4}}+9\left\{\frac{t}{m(t)}\right\}^{4}}}\end{align*}$$이고 따라서$$\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{t^{3}(1-\{m'(t)\}^{2})}=\frac{9\cdot1^{3}(1+1)(1+1^{2})}{(9+0)(\sqrt{0+9})}=\frac{4}{3}$$이다.