2009학년도 성균관대 모의 수리논술

2009학년도 성균관대 모의 수리논술

3. 다음 [제시문 3-가]에서 [제시문 3-다]를 읽고 (문제 3-i)와 (문제 3-ii)에 답하시오.

[제시문 3-가] 17세기에 페르마는 "빛이 주어진 한 지점에서 출발하여 다른 지점에 도착할 때, 이 빛은 가장 최소시간이 걸리는 경로를 따라간다"는 페르마 원리를 이야기했다. [제시문 3-나] 스넬의 법칙이란 <그림 1>처럼 굴절율이 각각 \(n_{1}\)과 \(n_{2}\)로 서로 다른 균일한 매질 1과 매질 2를 빛이 통과할 때, 경계면에서 입사각 \(\theta_{1}\)과 굴절각 \(\theta_{2}\)사이의 관계가 다음과 같은 식으로 표현된다는 것이다.$$\frac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}=\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$$단, \(v_{1}\)과 \(v_{2}\)는 각각 매질 1과 매질 2에서 빛의 진행속력으로, 빛의 진공중 속력을 \(c\)라 하면 각 매질에서의 속력은 \(\displaystyle v_{1}=\frac{c}{n_{1}}\)과 \(\displaystyle v_{2}=\frac{c}{n_{2}}\)가 된다.   <그림 1> [제시문 3-다] <그림 1>에서 빛이 \(P\)점을 출발하여 \(O\)점을 거쳐 \(Q\)점에 도착하므로 빛이 이동한 거리는 선분 \(\overline{PO}\)와 \(\overline{OQ}\)의 길이를 더한 것이다.

(문제 3-i) [제시문 3-다]를 참고하여 [제시문 3-가]의 페르마 원리로부터 [제시문 3-나]의 스넬의 법칙이 성립하는 이유를 설명하시오.

(문제 3-ii) 이 문제에서 얻은 과학적 지식을 활용하여, 호숫가 모래사장에 있는 사람이 호수에 빠진 다른 사람을 어떻게 최단시간에 구출할 수 있는지 논하시오.

문제 3-i:

위의 그림과 같이 빛이 점 \(P\)에서 \(Q\)로 갈 때의 수평(매질 1, 2의 경계면과 평행한)경로의 길이를 \(a\), 점 \(P\)에서 \(O\)로 갈 때의 수평경로의 길이를 \(x\), 수직경로의 길이를 \(y_{1}\), 점 \(O\)에서 \(Q\)로 갈 때의 수평경로의 길이를 \(a-x\), 수직경로의 길이를 \(y_{2}\)라고 하자. 

빛이 점 \(P\)에서 \(O\)로 갈 때 걸리는 시간을 \(t_{1}\), 점 \(O\)에서 \(Q\)로 갈 때 걸리는 시간을 \(t_{2}\)라고 하면,$$\overline{PO}=\sqrt{x^{2}+y_{1}^{2}},\,\overline{OQ}=\sqrt{(a-x)^{2}+y_{2}^{2}}$$이므로$$t_{1}=\frac{\overline{PO}}{v_{1}}=\frac{\sqrt{x^{2}+y_{1}^{2}}}{v_{1}},\,t_{2}=\frac{\overline{OQ}}{v_{2}}=\frac{\sqrt{(a-x)^{2}+y_{2}^{2}}}{v_{2}}$$이고 점 \(P\)에서 \(Q\)로 갈 때 걸리는 시간을 \(t\)라고 하면$$t=t_{1}+t_{2}=\frac{\sqrt{x^{2}+y_{1}^{2}}}{v_{1}}+\frac{\sqrt{(a-x)^{2}+y_{2}^{2}}}{v_{2}}$$이다.

페르마의 원리에 따르면 빛은 최소시간이 되는 경로로 이동하므로 최소시간이 되게 하는 경로 \(x\)에 대해 \(\displaystyle\frac{dt}{dx}=0\)이다. 즉$$\frac{dt}{dx}=\frac{x}{v_{1}\sqrt{x^{2}+y_{1}^{2}}}-\frac{a-x}{v_{2}\sqrt{(a-x)^{2}+y_{2}^{2}}}=0$$이고 이때$$\sin\theta_{1}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y_{1}^{2}}},\,\sin\theta_{2}=\frac{a-x}{\sqrt{(a-x)^{2}+y_{2}^{2}}}$$이므로$$\frac{\sin\theta_{1}}{v_{1}}-\frac{\sin\theta_{2}}{v_{2}}=0$$이고 식을 정리하면$$\frac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}=\frac{v_{1}}{v_{2}}$$이다. 또한 \(\displaystyle v_{1}=\frac{c}{n_{1}}\), \(\displaystyle v_{2}=\frac{c}{n_{2}}\)이므로 따라서 다음과 같이 스넬의 법칙이 성립한다.$$\frac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}=\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$$문제 3-ii: 페르마의 원리인 "빛은 최소시간의 경로로 이동한다"는 사실로부터 빛이 이동하는 거리, 즉 스넬의 법칙을 만족하는 빛의 거리를 따라서 가면 최단시간에 구출할 수 있다.