2009학년도 수시 2-2 서강대 수리논술

2009학년도 수시 2-2 서강대 수리논술

◆다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

[가] 이태리의 경제학자 파레토는 100여 년 전 당시 이태리 인구의 20%가 전체 부(wealth)의 80% 이상을 소유하고 있고, 다른 국가들의 경우도 비슷하다는 것을 관찰하였다. 1992년 유엔의 한 보고서에서도 세계 인구의 20%가 전체 소득의 82.7%를 차지하고 있다고 발표하였다. 분배의 불균형에 관한 이런 관찰은 이제 일반화되어 파레토의 법칙(혹은 80-20 법칙)이라는 이름으로 여러 맥락에서 사용된다. 즉, 전체 인원의 20%가 전체 결과의 80% 이상을 가져오는 상황에 대해 파레토의 법칙을 언급한다. 예를 들어, 20%가 전체 매출의 80%를 차지하는 현상을 설명할 때 이 용어를 사용한다.  [나] 여러 통계에 따르면, 한 국가에서의 소득에 따른 인구분포는 $$(소득이\,a와\,b\,사이에\,있는\,사람들의\,수)=\int_{a}^{b}{x^{-p}dx}$$ 로 추정할 수 있다. 여기서 $p$는 1보다 큰 상수이고, 사람 수와 소득의 단위는 편의상 무시한다. 그러면, 소득이 $a$와 $b$ 사이에 있는 사람들의 소득의 합은 $\displaystyle\int_{a}^{b}{x^{1-p}dx}$와 같다. [다] 지니 계수는 국가 내에서의 소득의 불평등 정도를 나타내는 지표로 많이 이용된다. 이것은 0과 1 사이의 수로 표현되는데, 지니 계수가 낮을수록 더 평등하고 높을수록 불평등한 분배를 의미한다. 대개의 자유시장경제 국가들은 0.25에서 0.5사이의 지니 계수를 가진다. 한 국가의 지니 계수를 설명하기 위해 변수  $\alpha$는 (소득 하위로부터의 누적인구)÷(전체인구),  $\beta$는 (소득 하위로부터의 누적소득)÷(전체소득)  을 나타낸다고 하자. 소득분포함수 $\beta=f(\alpha)$는 $\alpha$에 해당하는 인구가 $\beta$에 해당하는 소득을 가진다는 것을 나타낸다. 예를 들어 $f(0.4)=0.3$이면, 소득 하위 40%의 인구가 전체 소득의 30%를 가진다는 의미이다. 모든 사람의 소득이 동일한 국가의 소득분포함수는 $f(\alpha)=\alpha$이다. 소득분포함수가 $\beta=f(\alpha)$인 국가의 지니 계수는, 소득의 완벽한 평등 상태를 나타내는 $\beta=\alpha$ 직선과 $\beta=f(\alpha)$ 곡선 사이의 영역(아래 그림의 음영 부분)의 넓이의 두 배로 정의된다.

<문제 1>

1. 정적분의 정의를 써서, 제시문 [나]의 밑줄 친 내용이 타당함을 설명하라.

2. 제시문 [나]에서, 어떤 국가의 소득에 따른 인구분포가 $\displaystyle p=\frac{3}{2}$인 경우로 조사되었고, 소득의 분포는 1에서 100까지 사이에 있었다. 소득 분배의 관점에서 이 국가는 파레토의 법칙을 만족하는지 혹은 아닌지를 논하라.

3. 위 <문항 2>에 나타난 국가의 지니 계수를 구하라(단, $\ln2\approx0.7$, $\ln5\approx1.6$을 이용할 것).

1. 소득이 $a$와 $b$사이에 있는 사람들의 수가 $\displaystyle\int_{a}^{b}{x^{-p}dx}$이므로 $x^{-p}$는 소득에 따른 인구밀도이다. 소득을 나타내는 구간 $[a,\,b]$를 $a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b$로 $n$등분하고 등분된 소득구간의 길이를 $\Delta x=x_{k}-x_{k-1}$이라 하자. 소득이 $[x_{k-1},\,x_{k}]$에 있는 사람들의 수가 $x_{k}^{-p}\Delta x$이므로 소득이 $[x_{k-1},\,x_{k}]$에 있는 사람들의 소득은 $x_{k}\times x_{k}^{p}\Delta x=x_{k}^{1-p}\Delta x$이고, 따라서 소득이 $[a,\,b]$에 있는 사람들의 소득의 합은 다음과 같고 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{x_{k}^{1-p}\Delta x}}=\int_{a}^{b}{x^{1-p}dx}$$ 밑줄 친 내용은 타당하다.     

2. $\displaystyle p=\frac{3}{2}$이고 소득의 분포가 1에서 100이므로 이 국가의 전체 인구는 $$\int_{1}^{100}{x^{-\frac{3}{2}}dx}=\left[2x^{-\frac{1}{2}}\right]_{1}^{100}=\frac{9}{5}$$ , 전체 소득은 $$\int_{1}^{100}{x^{-\frac{1}{2}}dx}=\left[2x^{\frac{1}{2}}\right]_{1}^{100}=18$$ 이다. 

상위 20%의 인구는 전체 인구의 $\displaystyle\frac{1}{5}$를 차지하므로 $\displaystyle\frac{1}{5}\times\frac{9}{5}=\frac{9}{25}$이고, 이 상위 20%의 인구의 소득이 $h$에서 100까지라고 하면 $$\begin{align*}\frac{9}{25}&=\int_{h}^{100}{x^{-\frac{3}{2}}dx}=2\left(-\frac{1}{10}+\frac{1}{\sqrt{h}}\right)\\&=-\frac{1}{5}+\frac{2}{\sqrt{h}}\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{h}}=\frac{9}{25}+\frac{5}{25}=\frac{14}{25}$이므로 $\displaystyle\sqrt{h}=\frac{25}{7}$이고 $\displaystyle h=\frac{625}{49}$이다.

그러면 상위 20%의 인구의 소득은 $$\int_{\frac{625}{49}}^{100}{x^{-\frac{1}{2}}dx}=\left[2\sqrt{x}\right]_{\frac{625}{49}}^{100}=20-2\times\frac{25}{7}=\frac{140-50}{7}=\frac{90}{7}$$ 이고 전체 소득의 80%는 $\displaystyle\frac{4}{5}\times18=\frac{72}{5}$이다. $$\frac{90}{7}=\frac{450}{35}<\frac{504}{35}=\frac{72}{5}$$ 이므로 파레토 법칙이 성립하지 않는다. 

3. 소득분포가 1부터 $h$인 인구수를 $P(h)$, 소득을 $E(h)$라고 하면 $$P(h)=\int_{1}^{h}{x^{-\frac{3}{2}}dx}=2-\frac{2}{\sqrt{h}},\,E(h)=\int_{1}^{h}{x^{-\frac{1}{2}}dx}=2\sqrt{h}-2$$ 이고, 전체 인구가 $\displaystyle\frac{9}{5}$, 전체 소득이 18이므로 $$\alpha=\frac{P(h)}{\frac{9}{5}}=\frac{10}{9}-\frac{10}{9\sqrt{h}},\,\beta=\frac{E(h)}{18}=\frac{\sqrt{h}}{9}-\frac{1}{9}$$ 이다.

$\displaystyle\frac{9}{10}\alpha=1-\frac{1}{\sqrt{h}}$이므로 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{h}}=1-\frac{9}{10}\alpha=\frac{10-9\alpha}{10}$이고 $\displaystyle\sqrt{h}=\frac{10}{10-9\alpha}$이므로 $$\beta=\frac{1}{9}(\sqrt{h}-1)=\frac{\alpha}{10-9\alpha}$$ 이다. 그러면 소득분포함수는 $\displaystyle f(\alpha)=\frac{\alpha}{10-9\alpha}$이고 지니계수는 $\displaystyle2\int_{0}^{1}{\{\alpha-f(\alpha)\}d\alpha}$이다. $$\frac{\alpha}{10-\alpha}=\frac{1}{9}\cdot\frac{9\alpha}{10-9\alpha}=\frac{1}{9}\left(\frac{10}{10-9\alpha}-1\right)$$ 이므로 $$\begin{align*}2\int_{0}^{1}{\{\alpha-f(\alpha)\}d\alpha}&=2\int_{0}^{1}{\left\{\alpha+\frac{1}{9}+\frac{10}{9\alpha-10}\right\}d\alpha}\\&=2\left[\frac{1}{2}\alpha^{2}+\frac{1}{9}\alpha+\frac{10}{81}\ln|9\alpha-10|\right]_{0}^{1}\\&=\frac{11}{9}-\frac{20}{81}\ln10=\frac{99-20(0.7+1.6)}{81}\\&=\frac{53}{81}\end{align*}$$ 따라서 지니계수는 $\displaystyle\frac{53}{81}$이다.