2010학년도 아주대 수시2차 수리논술(문제일부)

2010학년도 아주대 수시2차 수리논술(문제일부)

[2번 문항] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

(가) 두 곡선이 접한다는 것을 기하학적으로 엄밀하게 정의하는 것은 간단하지 않다. 원과 직선이 접하는 경우는 예외적으로 간단하다. 원과 직선의 관계는 만나지 않거나, 한 점에서 만나거나, 두 점에서 만나는 세 가지인데, 이 중에서 한 점에서 만나는 경우가 바로 접하는 경우이기 때문이다.  일반적으로 두 곡선이 접한다는 것은 접점 근처의 국지적인 현상이다. 접점에서 멀리 떨어진 곳에서 두 곡선은 다시 접하거나 교차할 수 있다. 따라서 "두 곡선 $C_{1},\,C_{2}$가 점 $P$에서 접한다"처럼 접점을 언급해야 두 곡선이 접한다는 것의 의미가 명확해진다. 함수의 그래프에 접하는 직선의 경우에는 대개 주어진 함수에 대한 미분을 이용하여 접선의 기울기를 설명하지만, 이 글에서는 미분을 사용하지 않고 접하는 조건을 설명하려고 한다.  다음과 같이 두 곡선 $C_{1},\,C_{2}$ 중에서 곡선 $C_{1}$은 고정하고, 곡선 $C_{2}$를 곡선 $C_{1}$을 향해 연속적으로 평행이동해 보자. 이를 통해, 두 곡선이 접하는 경우는 일순간의 현상이며 그 전과 후에 접점은 사라지거나 두 개 이상의 교점으로 분리되는 것을 관찰할 수 있다. 접점이 두 개 이상의 교점으로 분리되면 이 교점들은 평행이동이 진행됨에 따라 일단 거리가 멀어진다. 또는 이 과정을 역으로 생각해서, 한 곡선의 평행이동에 따라 두 개 이상의 교점이 점점 가까워져서 한 점으로 겹쳐지는 순간 두 곡선이 접하게 된다는 것을 알 수 있다.  다음으로 한 곡선 $C$ 위의 점 $P$에서 이 곡선에 접하는 직선에 대해 생각해 보자. 먼저 점 $P$를 지나는 직선 $\ell$을 임의로 잡자. 이 직선을 점 $P$를 중심으로 해서 회전시켜 보면, $\ell$과 $C$의 두 개 이상의 교점이 점 $P$에서 겹쳐지는 순간이 있다. 이 순간의 직선이 점 $P$에서 곡선 $C$에 접하는 직선이 된다는 것을 알 수 있다.  이상의 관찰을 통해, 두 곡선이 접하는 것은 접점이 생겼을 때인데, 접점은 두 개 이상의 교점이 겹쳐진 점이라고 결론지을 수 있다.  (나) 제시문 (가)를 통해 우리는 다음과 같은 사실을 알 수 있다: 미지수 $x,\,y$에 관한 방정식 $f(x,\,y)=0$과 $g(x,\,y)=0$으로 각각 주어진 두 곡선이 서로 접하기 위해서는 두 방정식 $f(x,\,y)=0$과 $g(x,\,y)=0$에서 한 미지수를 소거하여 얻은 $x$에 관한 방정식 또는 $y$에 관한 방정식이 중근을 가지면 된다. 몇 가지 특별한 경우에 대해 이 조건을 구체적으로 살펴 보기로 한다. 포물선과 직선: 포물선 $y=ax^{2}+bx+c$와 직선 $y=mx+k$가 접할 조건은 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=mx+k$가 중근을 가지는 것이다. 판별식을 사용해 이는 다음 등식이 성립하는 것임을 알 수 있다: (수식 1) $(b-m)^{2}-4a(c-k)=0$ 특히, 포물선 $y=x^{2}$ 위의 점 $(t,\,t^{2})$에서 그은 접선의 방정식은 $a=1,\,b=c=0$, $k=t^{2}-mt$을 (수식 1)에 대입해서 구한 $y=2tx-t^{2}$이 된다. 원과 직선: 원 $(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$과 직선 $y=mx+k$가 접할 조건은 이차방정식 $(x-p)^{2}+(mx+k-q)^{2}=r^{2}$이 중근을 가지는 것이다. 판별식을 사용해 이는 다음 등식이 성립하는 것임을 알 수 있다: (수식 2) $(m^{2}+1)r^{2}=(mp+k-q)^{2}$ 한 편, 원 $(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$ 위의 한 점 $(u,\,v)$에서 그은 접선은 이 접점과 원의 중심 $(p,\,q)$를 이은 직선이 이 접선과 수직이라는 사실에 의해 $\displaystyle y=-\frac{u-p}{v-q}(x-u)+v$가 됨을 알 수 있다. 이 접선의 방정식은 $(u,\,v)$과 원 위의 점이라는 사실을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수도 있다. $$(u-p)(x-p)+(v-q)(y-q)=r^{2}$$ 포물선과 원: 포물선과 원은 최대 4개의 점에서 만날 수 있다. 이것은 포물선의 방정식 $y=ax^{2}+bx+c$을 원의 방정식 $(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$에 대입한 방정식이 $x$에 관한 4차방정식인 것과 관련된다. 이 때문에 포물선과 원이 접하는 조건을 중근조건으로 파악하기는 용이하지 않다. 포물선과 원을 직접 관련짓는 대신, 포물선과 원이 접할 조건을 "접점에서 이 두 곡선이 공통인 접선을 갖는다"는 것에 의해 파악할 수 있다.  (다) 포락선(envelope): $F$가 곡선들의 집합이고 $C$가 곡선일 때, $F$에 속한 모든 곡선들이 각각 $C$에 접하고, $C$위의 각 점마다 그 점에서 $C$에 접하고 $F$에 속하는 곡선이 있을 때, $C$를 $F$의 포락선이라고 한다. <그림 2>는 $F$가 포물선들의 집합이고 직선 $C$가 이 포물선들의 포락선인 예이다.  <그림 3>은 점 $O$에서 서로 수직으로 만나는 두 직선 위에 각각 위치한, $\overline{AO}+\overline{OB}$가 일정한 값이 되는 점 $A$와 점 $B$를 연결한 직선들의 포락선 $C$를 보여주고 있다.

[문제 2-1] 미분을 사용하지 말고 다음 물음에 답하라. 

(1) 직선 $y=mx+k$가 포물선 $x=ay^{2}+by+c$에 접할 조건을 $a,\,b,\,c,\,m,\,k$에 관한 등식으로 나타내어라.

(2) 포물선 $x=-y^{2}$에 접하고 기울기가 1인 직선의 방정식을 구하라. 

(3) 기울기가 1인 직선이 포물선 $x=-y^{2}$과 중심이 $(p,\,0)$이고 반지름이 1인 원에 동시에 접할 때, $p$의 값을 구하라. (단, $p>0$)

[문제 2-2] 점 $P(0,\,1)$와 직선 $y=-1$ 위의 임의의 점 $Q(t,\,-1)$를 잇는 선분의 수직이등분선들의 집합의 포락선은 포물선이 된다. 이 포물선 $C$를 다음에 따라 구하라.

(1) 선분 $PQ$의 수직이등분선 $\ell_{t}$의 방정식을 구하라. 

(2) 모든 직선 $\ell_{t}$에 접하는 포물선 $C$의 방정식을 구하라. 

(3) 포물선 $C$ 위의 임의의 점에 접하는 직선이 적당한 $t$에 대한 직선 $\ell_{t}$가 됨을 보여라.  

[문제 2-3] 방정식이 $y=x^{2}$인 포물선 $P$에 바깥쪽으로부터 접하면서 동시에 $x-$축에 접하는 원 $C$의 중심 $p,\,q$에 대해 다음에 답하라. (단, $p>0$)

(1) $P$와 $C$의 접점의 좌표가 $(t,\,t^{2})$일 때, $p$와 $q$를 $t$에 관한 식으로 나타내어라.

(2) 위에서 구한 식을 이용하여 극한값 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{\frac{p}{q}}$를 구하라. 

[문제 2-1]

(1) 직선 $y=mx+k$를 $\displaystyle x=\frac{y-k}{m}$이고 이 직선이 포물선 $x=ay^{2}+by+c$에 접하려면 $y$에 대한 2차방정식 $\displaystyle\frac{y-k}{m}=ay^{2}+by+c$가 중근을 가져야 한다. 이 2차방정식을 정리하면 $amy^{2}+(bm-1)y+c+k=0$이고, 중근을 가지기 위해서 판별식이 0이어야 한다. 즉 $(bm-1)^{2}-4am(c+k)=0$이어야 한다. 

(2) 문제 (1)의 결과에 $a=-1,\,b=0,\,c=0,\,m=1$을 대입하면 $(-1)^{2}-4(-1)k=0$이고 $\displaystyle k=-\frac{1}{4}$이므로 따라서 포물선 $x=-y^{2}$에 접하고 기울기가 1인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=x-\frac{1}{4}$이다. 

(3) 문제 (2)의 결과에 의해 포물선 $x=-y^{2}$과 접하고 기울기가 1인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=x-\frac{1}{4}$이고, 이 직선은 중심이 $(p,\,0)$이고 반지름이 1인 원에 접한다. 

제시문 (나)의 원과 직선이 접할 조건에서 $\displaystyle m=1,\,k=-\frac{1}{4},\,q=0,\,r=1$을 대입하면 $\displaystyle2=\left(p-\frac{1}{4}\right)^{2}$이고 $p>0$이므로 따라서 $\displaystyle\sqrt{2}=p-\frac{1}{4}$이고 $\displaystyle p=\frac{1}{4}+\sqrt{2}$이다. 

[문제 2-2]

(1) 점 $P(0,\,1)$과 $Q(t,\,-1)$를 잇는 직선의 기울기는 $\displaystyle\frac{-1-1}{t-0}=-\frac{2}{t}$이고, 이 두 점의 중점은 $\displaystyle\left(\frac{t}{2},\,0\right)$이므로 수직이등분선 $\ell_{t}$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{t}{2}\left(x-\frac{t}{2}\right)$이고 $\displaystyle y=\frac{t}{2}x-\frac{t^{2}}{4}$이다. 

(2) 문제 (1)의 결과에 의해 $\ell_{t}$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{t}{2}x-\frac{t^{2}}{4}$이고, 제시문 (나)의 포물선과 직선이 접할 조건에서 $\displaystyle m=\frac{t}{2},\,k=-\frac{t^{2}}{4}$를 대입하면 $\displaystyle\left(b-\frac{t}{2}\right)^{2}-4a\left(c+\frac{t^{2}}{4}\right)=0$이고 식을 정리하면 $$\left(\frac{t^{2}}{4}-bt+b^{2}\right)-4ac-at^{2}=\left(\frac{1}{4}-a\right)t^{2}-bt+b^{2}-4ac=0$$ 이다. 이 식은 임의의 $t$에 대해 성립하므로 $\displaystyle a=\frac{1}{4},\,b=0$이고, $b^{2}-4ac=-c=0$이어야 하므로 $c=0$이다. 따라서 모든 직선 $\ell_{t}$에 접하는 포물선 $C$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{1}{4}x^{2}$이다. 

(3) 문제 (2)의 결과에 의해 포물선 $C$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{1}{4}x^{2}$이고, 이 포물선 위의 임의의 점 $\displaystyle\left(t,\,\frac{t^{2}}{4}\right)$에서 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=m(x-t)+\frac{t^{2}}{4}$이다. 제시문 (나)의 포물선과 직선이 접할 조건에서 $\displaystyle a=\frac{1}{4},\,b=0,\,c=0,\,k=-mt+\frac{t^{2}}{4}$를 대입하면 $$m^{2}-\left(mt-\frac{t^{2}}{4}\right)=m^{2}-tm+\frac{t^{2}}{4}=\left(m-\frac{t}{2}\right)^{2}=0$$ 이므로 $\displaystyle m=\frac{t}{2}$고, 포물선 $C$ 위의 임의의 점 $\displaystyle\left(t,\,\frac{t^{2}}{4}\right)$를 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{t}{2}x-\frac{t^{2}}{4}$이고 이것은 문제 (1)에서 구한 $\ell_{t}$이다. 

[문제 2-3]

(1) 포물선 $P$와 원 $C$의 접점의 좌표 $t,\,t^{2}$를 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=m(x-t)+t^{2}$이고, 제시문 (나)의 포물선과 직선이 접할 조건에서 $a=1,\,b=0,\,c=0,\,k=-mt+t^{2}$를 대입하면 $$m^{2}-4(mt-t^{2})=m^{2}-4tm+4t^{2}=(m-2t)^{2}=0$$ 이므로 $m=2t$이고, 따라서 접점 $(t,\,t^{2})$에 접하는 직선의 방정식은 $y=2tx-t^{2}$이다.

문제에서 원 $C$는 포물선과 $x$축에 접하고 중심의 $x$좌표 $p$가 0보다 크므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

접점과 접선의 $x$절편 사이의 거리는 $\displaystyle\sqrt{\left(t-\frac{t}{2}\right)^{2}+(t^{2})^{2}}=\frac{\sqrt{t^{2}+4t^{4}}}{4}$이고 이 값은 $\displaystyle p-\frac{t}{2}$와 같으므로 $\displaystyle p=\frac{t+\sqrt{t^{2}+4t^{4}}}{2}$이다. 

점 $p,\,q$와 $(t,\,t^{2})$를 잇는 직선의 기울기는 공통접선 $y=2tx-t^{2}$의 기울기와 수직이므로 $\displaystyle\frac{t^{2}-q}{t-p}=-\frac{1}{2t}$이고 $$\begin{align*}q&=t^{2}+\frac{t-p}{2t}=t^{2}+\frac{1}{2}-\frac{t+\sqrt{t^{2}+4t^{4}}}{4t}\\&=\frac{4t^{2}+1-\sqrt{1+4t^{2}}}{4}\end{align*}$$ 따라서 $\displaystyle q=\frac{4t^{2}+1-\sqrt{1+4t^{2}}}{4}$이다. 

(2) 문제 (1)의 결과에 의해 $\displaystyle p=\frac{t+\sqrt{t^{2}+4t^{4}}}{2}$, $\displaystyle q=\frac{4t^{2}+1-\sqrt{1+4t^{2}}}{4}$이므로 $\displaystyle\frac{p}{q}=\frac{2t+2\sqrt{t^{2}+4t^{4}}}{4t^{2}+1-\sqrt{1+4t^{2}}}$이고 따라서 $$\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{\frac{p}{q}}=\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{\frac{2t+2\sqrt{t^{2}+4t^{4}}}{4t^{2}+1-\sqrt{1+4t^{2}}}}=1$$ 이다.