2011학년도 연세대 모의 수리논술

2011학년도 연세대 모의 수리논술 

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

실수의 집합과 무한한 직선 위의 점들의 집합은 일대일 대응이라 배웠다. 실수 0에 대응되는 임의의 기준점 $o$와 그 우측에 실수 1이 대응되는 다른 어떤 점 $e$를 정하고 선분 $\overline{oe}$의 길이를 단위거리로 하면 임의의 양의 실수 $a$는 기준점 $o$의 우측에 있고 거리가 $a$인 점에 대응되고, 임의의 음의 실수 $a$는 기준점 $o$의 좌측에 있고 거리가 $-a$인 점에 대응한 무한한 한 직선을 실선이라고 부르자. 그러면 실수 간의 덧셈과 곱셈에 해당되는 연산을 실선 위의 점들 간에도 정의할 수 있을 것이다.  (가) $R$은 실수 0에 대응되는 기준점이 $o$이고 실수 1이 대응되는 점이 $e$인 실선이다.  $S$는 실선 $R$과 같은 평면에 놓여 있고, $R$과 일치하지 않으며 평행인 보조 직선이다. $x_{1}$과 $x_{2}$는 실선 $R$위의 임의의 두 점이다. $p$는 $S$위의 임의의 한 점이다. $q$는 선분 $\overline{op}$와 평행이며 점 $x_{1}$을 지나는 직선과 $S$의 교점이다.  $x_{3}$은 선분 $\overline{px_{2}}$와 평행이며 $q$를 지나는 직선과 실선 $R$의 교점이다. * 위 그림은 $x_{1}$과 $x_{2}$가 모두 기준점 $o$ 우측에 있는 예제임 (나) $R'$은 실수 0에 대응되는 기준점이 $o'$이고 실수 1이 대응되는 점이 $e'$인 실선이다. $T$는 실선 $R'$과 같은 평면에 놓여 있고, $R'$과 일치하지 않으며 점 $o'$을 지나는 임의의 보조 직선이다. $y_{1}$과 $y_{2}$는 실선 $R'$위의 임의의 두 점이다. $v$는 $o'$에 일치하지 않는 $T$위의 임의의 한 점이다. $w$는 선분 $\overline{ve'}$과 평행이고 점 $y_{2}$를 지나는 직선과 $T$의 교점이다. $y_{3}$는 선분 $\overline{vy_{1}}$과 평행이고 점 $w$를 지나는 직선과 실선 $R'$의 교점이다. *위 그림은 $y_{1}$과 $y_{2}$가 모두 기준점 $o'$ 우측에 있는 예제임

[1-1] 

가. 임의의 두 실수 $a_{1}$과 $a_{2}$가 각각 실선 $R$ 상의 두 점인 $x_{1}$과 $x_{2}$에 대응된다면, 점 $x_{3}$로 대응하는 실수 $a_{3}$을 찾고 그 이유를 설명하시오. 그리고 실수 $a_{3}$에 대응하는 점 $x_{3}$를 찾는 다른 방법을 그림으로 예를 들어 설명하시오.

나. 임의의 두 실수 $b_{1}$과 $b_{2}$가 각각 실선 $R'$ 상의 두 점인 $y_{1}$과 $y_{2}$에 대응된다면, 점 $y_{3}$에 대응하는 실수 $b_{3}$를 찾고 그 이유를 설명하시오. 그리고 실수 $b_{3}$에 대응하는 점 $y_{3}$를 찾는 다른 방법을 그림으로 예를 들어 설명하시오.

[1-2] 함수 $f$는 실수의 집합을 정의역과 공역으로 가지고 미분가능하며 증가하며 $f'(0)=1$이다. 정의역과 공역을 각각 예제에 정의한 실선 $R$과 $R'$에 일대일 대응을 시키면, 이 함수는 실선 $R$ 상의 점 $o$를 점 $e'$으로 보내고, (가)에서 정의된 실선 $R$ 상의 점 $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$를 각각 (나)에서 정의된 실선 $R'$상의 점 $y_{1},\,y_{2},\,y_{3}$로 보낸다. 적분 $\displaystyle\int_{a_{1}}^{a_{2}}{f(t)dt}$ 값에 해당하는 점을 실선 $R'$ 상에 작도하시오. 

[1-3] 제1항 $c_{1}$과 제2항 $c_{2}$가 각각 0이 아닌 어떤 실수이며, 점화식 $c_{n}=c_{n-1}+c_{n-2}$를 만족하는 어떤 수열이 있다. 그리고 위 수열은 어떤 자연수 $k>4$ 에서 처음으로 $c_{k}=0$을 만족한다고 가정하자. 실수 $c_{1}$과 $c_{2}$를 각각 한 실선 위의 두 점 $z_{1}$과 $z_{2}$에 대응한 아래의 그림에서 점 $p$를 지나고 선분 $\overline{qz_{1}}$과 평행한 직선과 실선의 교점 $x$에 대응되는 실수가 정수가 아님을 설명하시오.

[1-1]

가

직선 $S$와 $R$은 평행하므로 $\overline{ox_{1}}$과 $\overline{pq}$, $\overline{x_{2}x_{3}}$은 평행하고, 또한 $\overline{op}$와 $\overline{x_{1}q}$가 평행하고, $\overline{px_{2}}$와 $\overline{qx_{3}}$은 평행하므로 사각형 $opqx_{1}$과 $px_{2}x_{1}q$는 평행사변형이고 $\overline{ox_{1}}=\overline{pq}=\overline{x_{2}x_{3}}$이다. 

실수 $a_{1},\,a_{2},\,a_{3}$은 각각 점 $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$에 대응되고, 또한 0은 점 $o$에 대응되므로 $\overline{ox_{1}}=a_{1}$, $\overline{x_{2}x_{3}}=a_{3}-a_{2}$, $\overline{ox_{1}}=\overline{x_{2}x_{3}}=a_{3}-a_{2}$이고 $a_{3}-a_{2}=a_{1}$이므로 따라서 $a_{3}=a_{1}+a_{2}$이다. 

*$x_{3}$을 찾는 다른 방법을 찾지 못했습니다.

나

삼각형 $ovy_{1}$과 $owy_{3}$은 닮은 삼각형이고, 삼각형 $o've'$과 $o'wy_{2}$도 닮은 삼각형이므로 $\overline{o'e'}=\overline{o'y_{1}}=\overline{o'y_{2}}:\overline{o'y_{3}}$이고 $\overline{o'y_{1}}\cdot\overline{o'y_{2}}=\overline{o'e'}\cdot\overline{o'y_{3}}$이다. 

실수 $b_{1},\,b_{2},\,b_{3}$은 각각 점 $y_{1},\,y_{2},\,y_{3}$에 대응되고, 또한 1은 점 $e'$에 대응되므로 $\overline{o'e'}=1$, $\overline{o'y_{1}}=b_{1}$, $\overline{o'y_{2}}=b_{2}$, $\overline{o'y_{3}}=b_{3}$이고 따라서 $b_{3}=b_{1}b_{2}$이다. 

*$y_{3}$을 찾는 다른 방법을 찾지 못했습니다.

[1-2] 함수 $f$는 $R$ 상의 점 $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$을 점 $y_{1},\,y_{2},\,y_{3}$으로 보내므로 $b_{1}=f(a_{1})$, $b_{2}=f(a_{2})$, $b_{3}=f(a_{3})$이고 $a_{3}=a_{1}+a_{2}$, $b_{3}=b_{1}b_{2}$이므로 $f(a_{1}+a_{2})=f(a_{1})f(a_{2})$이다. 또한 $f$는 점 $o$를 점 $e'$으로 보내므로 $f(0)=1$이다. 그러면 $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{f(x)f(h)-f(x)}{h}=\frac{f(h)-1}{h}f(x)$$ 이고 $1=f(0)$이므로 $$\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(h)-1}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(h)-f(0)}{h}}=f'(0)=1$$ 이고 $$f'(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\left(\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(h)-1}{h}}\right)f(x)=f(x)$$ 이다. 그러면 $$\int_{a_{1}}^{a_{2}}{f(t)dt}=\int_{a_{1}}^{a_{2}}{f'(t)dt}=\left[f(t)\right]_{a_{1}}^{a_{2}}=f(a_{2})-f(a_{1})=b_{2}-b_{1}$$ 이고 적분값인 $b_{2}-b_{1}$에 해당하는 점을 작도하자. 문제 [1-1] 가의 결과를 이용하면 다음과 같이 작도할 수 있다.

[1-3]

삼각형 $pxe$와 $qz_{1}z_{2}$는 닮은 삼각형이므로 $\overline{oe}:\overline{ox}=\overline{oz_{2}}:\overline{oz_{1}}$이고 $\overline{ox}\cdot\overline{oz_{2}}=\overline{oe}\cdot\overline{oz_{1}}$이다. 

실수 $c_{1},\,c_{2}$는 점 $z_{1},\,z_{2}$에 대응되고, 0은 점 $o$에 대응되므로 점 $x$에 대응되는 실수를 $c$라 하자. 그러면 $cc_{2}=c_{1}$이고 $\displaystyle c_{2}=\frac{c_{1}}{c}$이며, 점화식에 의해 $$c_{3}=c_{1}+c_{2}=c_{1}\left(1+\frac{1}{c}\right),\,c_{4}=c_{3}+c_{2}=c_{1}\left(1+\frac{2}{c}\right),\,c_{5}=c_{4}+c_{3}=c_{1}\left(2+\frac{3}{c}\right),\,...$$ 이 계산을 반복하면 $\displaystyle c_{n+2}=c_{1}\left(a_{n}+\frac{a_{n+1}}{c}\right)$로 나타낼 수 있다. 이때 $$a_{1}=1,\,a_{2}=1,\,a_{3}=2,\,a_{4}=3,\,a_{5}=5,\,...$$ 이므로 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$이고, 이때 적당한 자연수 $k>4$에 대해 $c_{k}=0$이므로 $\displaystyle c=-\frac{a_{k-1}}{a_{k-2}}$이다. $a_{k}=a_{k-1}+a_{k-2}$이므로 $$c=-\frac{a_{k-2}-a_{k}}{a_{k-2}}=-1+\frac{a_{k}}{a_{k-2}}$$ 이고 $a_{n}$은 증가하는 정수 수열이므로 $a_{k}>a_{k-2}$이고 $\displaystyle0<\frac{a_{k}}{a_{k-2}}<1$이다. 따라서 $c$는 정수가 아니다.