2011학년도 연세대 모의 수리논술

2011학년도 연세대 모의 수리논술 

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

실수의 집합과 무한한 직선 위의 점들의 집합은 일대일 대응이라 배웠다. 실수 0에 대응되는 임의의 기준점 \(o\)와 그 우측에 실수 1이 대응되는 다른 어떤 점 \(e\)를 정하고 선분 \(\overline{oe}\)의 길이를 단위거리로 하면 임의의 양의 실수 \(a\)는 기준점 \(o\)의 우측에 있고 거리가 \(a\)인 점에 대응되고, 임의의 음의 실수 \(a\)는 기준점 \(o\)의 좌측에 있고 거리가 \(-a\)인 점에 대응한 무한한 한 직선을 실선이라고 부르자. 그러면 실수 간의 덧셈과 곱셈에 해당되는 연산을 실선 위의 점들 간에도 정의할 수 있을 것이다.  (가) \(R\)은 실수 0에 대응되는 기준점이 \(o\)이고 실수 1이 대응되는 점이 \(e\)인 실선이다.  \(S\)는 실선 \(R\)과 같은 평면에 놓여 있고, \(R\)과 일치하지 않으며 평행인 보조 직선이다. \(x_{1}\)과 \(x_{2}\)는 실선 \(R\)위의 임의의 두 점이다. \(p\)는 \(S\)위의 임의의 한 점이다. \(q\)는 선분 \(\overline{op}\)와 평행이며 점 \(x_{1}\)을 지나는 직선과 \(S\)의 교점이다.  \(x_{3}\)은 선분 \(\overline{px_{2}}\)와 평행이며 \(q\)를 지나는 직선과 실선 \(R\)의 교점이다. * 위 그림은 \(x_{1}\)과 \(x_{2}\)가 모두 기준점 \(o\) 우측에 있는 예제임 (나) \(R'\)은 실수 0에 대응되는 기준점이 \(o'\)이고 실수 1이 대응되는 점이 \(e'\)인 실선이다. \(T\)는 실선 \(R'\)과 같은 평면에 놓여 있고, \(R'\)과 일치하지 않으며 점 \(o'\)을 지나는 임의의 보조 직선이다. \(y_{1}\)과 \(y_{2}\)는 실선 \(R'\)위의 임의의 두 점이다. \(v\)는 \(o'\)에 일치하지 않는 \(T\)위의 임의의 한 점이다. \(w\)는 선분 \(\overline{ve'}\)과 평행이고 점 \(y_{2}\)를 지나는 직선과 \(T\)의 교점이다. \(y_{3}\)는 선분 \(\overline{vy_{1}}\)과 평행이고 점 \(w\)를 지나는 직선과 실선 \(R'\)의 교점이다. *위 그림은 \(y_{1}\)과 \(y_{2}\)가 모두 기준점 \(o'\) 우측에 있는 예제임

[1-1] 

가. 임의의 두 실수 \(a_{1}\)과 \(a_{2}\)가 각각 실선 \(R\) 상의 두 점인 \(x_{1}\)과 \(x_{2}\)에 대응된다면, 점 \(x_{3}\)로 대응하는 실수 \(a_{3}\)을 찾고 그 이유를 설명하시오. 그리고 실수 \(a_{3}\)에 대응하는 점 \(x_{3}\)를 찾는 다른 방법을 그림으로 예를 들어 설명하시오.

나. 임의의 두 실수 \(b_{1}\)과 \(b_{2}\)가 각각 실선 \(R'\) 상의 두 점인 \(y_{1}\)과 \(y_{2}\)에 대응된다면, 점 \(y_{3}\)에 대응하는 실수 \(b_{3}\)를 찾고 그 이유를 설명하시오. 그리고 실수 \(b_{3}\)에 대응하는 점 \(y_{3}\)를 찾는 다른 방법을 그림으로 예를 들어 설명하시오.

[1-2] 함수 \(f\)는 실수의 집합을 정의역과 공역으로 가지고 미분가능하며 증가하며 \(f'(0)=1\)이다. 정의역과 공역을 각각 예제에 정의한 실선 \(R\)과 \(R'\)에 일대일 대응을 시키면, 이 함수는 실선 \(R\) 상의 점 \(o\)를 점 \(e'\)으로 보내고, (가)에서 정의된 실선 \(R\) 상의 점 \(x_{1},\,x_{2},\,x_{3}\)를 각각 (나)에서 정의된 실선 \(R'\)상의 점 \(y_{1},\,y_{2},\,y_{3}\)로 보낸다. 적분 \(\displaystyle\int_{a_{1}}^{a_{2}}{f(t)dt}\) 값에 해당하는 점을 실선 \(R'\) 상에 작도하시오. 

[1-3] 제1항 \(c_{1}\)과 제2항 \(c_{2}\)가 각각 0이 아닌 어떤 실수이며, 점화식 \(c_{n}=c_{n-1}+c_{n-2}\)를 만족하는 어떤 수열이 있다. 그리고 위 수열은 어떤 자연수 \(k>4\) 에서 처음으로 \(c_{k}=0\)을 만족한다고 가정하자. 실수 \(c_{1}\)과 \(c_{2}\)를 각각 한 실선 위의 두 점 \(z_{1}\)과 \(z_{2}\)에 대응한 아래의 그림에서 점 \(p\)를 지나고 선분 \(\overline{qz_{1}}\)과 평행한 직선과 실선의 교점 \(x\)에 대응되는 실수가 정수가 아님을 설명하시오.

[1-1]

가

직선 \(S\)와 \(R\)은 평행하므로 \(\overline{ox_{1}}\)과 \(\overline{pq}\), \(\overline{x_{2}x_{3}}\)은 평행하고, 또한 \(\overline{op}\)와 \(\overline{x_{1}q}\)가 평행하고, \(\overline{px_{2}}\)와 \(\overline{qx_{3}}\)은 평행하므로 사각형 \(opqx_{1}\)과 \(px_{2}x_{1}q\)는 평행사변형이고 \(\overline{ox_{1}}=\overline{pq}=\overline{x_{2}x_{3}}\)이다. 

실수 \(a_{1},\,a_{2},\,a_{3}\)은 각각 점 \(x_{1},\,x_{2},\,x_{3}\)에 대응되고, 또한 0은 점 \(o\)에 대응되므로 \(\overline{ox_{1}}=a_{1}\), \(\overline{x_{2}x_{3}}=a_{3}-a_{2}\), \(\overline{ox_{1}}=\overline{x_{2}x_{3}}=a_{3}-a_{2}\)이고 \(a_{3}-a_{2}=a_{1}\)이므로 따라서 \(a_{3}=a_{1}+a_{2}\)이다. 

*\(x_{3}\)을 찾는 다른 방법을 찾지 못했습니다.

나

삼각형 \(ovy_{1}\)과 \(owy_{3}\)은 닮은 삼각형이고, 삼각형 \(o've'\)과 \(o'wy_{2}\)도 닮은 삼각형이므로 \(\overline{o'e'}=\overline{o'y_{1}}=\overline{o'y_{2}}:\overline{o'y_{3}}\)이고 \(\overline{o'y_{1}}\cdot\overline{o'y_{2}}=\overline{o'e'}\cdot\overline{o'y_{3}}\)이다. 

실수 \(b_{1},\,b_{2},\,b_{3}\)은 각각 점 \(y_{1},\,y_{2},\,y_{3}\)에 대응되고, 또한 1은 점 \(e'\)에 대응되므로 \(\overline{o'e'}=1\), \(\overline{o'y_{1}}=b_{1}\), \(\overline{o'y_{2}}=b_{2}\), \(\overline{o'y_{3}}=b_{3}\)이고 따라서 \(b_{3}=b_{1}b_{2}\)이다. 

*\(y_{3}\)을 찾는 다른 방법을 찾지 못했습니다.

[1-2] 함수 \(f\)는 \(R\) 상의 점 \(x_{1},\,x_{2},\,x_{3}\)을 점 \(y_{1},\,y_{2},\,y_{3}\)으로 보내므로 \(b_{1}=f(a_{1})\), \(b_{2}=f(a_{2})\), \(b_{3}=f(a_{3})\)이고 \(a_{3}=a_{1}+a_{2}\), \(b_{3}=b_{1}b_{2}\)이므로 \(f(a_{1}+a_{2})=f(a_{1})f(a_{2})\)이다. 또한 \(f\)는 점 \(o\)를 점 \(e'\)으로 보내므로 \(f(0)=1\)이다. 그러면$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{f(x)f(h)-f(x)}{h}=\frac{f(h)-1}{h}f(x)$$이고 \(1=f(0)\)이므로$$\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(h)-1}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(h)-f(0)}{h}}=f'(0)=1$$이고$$f'(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\left(\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(h)-1}{h}}\right)f(x)=f(x)$$이다. 그러면$$\int_{a_{1}}^{a_{2}}{f(t)dt}=\int_{a_{1}}^{a_{2}}{f'(t)dt}=\left[f(t)\right]_{a_{1}}^{a_{2}}=f(a_{2})-f(a_{1})=b_{2}-b_{1}$$이고 적분값인 \(b_{2}-b_{1}\)에 해당하는 점을 작도하자. 문제 [1-1] 가의 결과를 이용하면 다음과 같이 작도할 수 있다.

[1-3]

삼각형 \(pxe\)와 \(qz_{1}z_{2}\)는 닮은 삼각형이므로 \(\overline{oe}:\overline{ox}=\overline{oz_{2}}:\overline{oz_{1}}\)이고 \(\overline{ox}\cdot\overline{oz_{2}}=\overline{oe}\cdot\overline{oz_{1}}\)이다. 

실수 \(c_{1},\,c_{2}\)는 점 \(z_{1},\,z_{2}\)에 대응되고, 0은 점 \(o\)에 대응되므로 점 \(x\)에 대응되는 실수를 \(c\)라 하자. 그러면 \(cc_{2}=c_{1}\)이고 \(\displaystyle c_{2}=\frac{c_{1}}{c}\)이며, 점화식에 의해$$c_{3}=c_{1}+c_{2}=c_{1}\left(1+\frac{1}{c}\right),\,c_{4}=c_{3}+c_{2}=c_{1}\left(1+\frac{2}{c}\right),\,c_{5}=c_{4}+c_{3}=c_{1}\left(2+\frac{3}{c}\right),\,...$$이 계산을 반복하면 \(\displaystyle c_{n+2}=c_{1}\left(a_{n}+\frac{a_{n+1}}{c}\right)\)로 나타낼 수 있다. 이때$$a_{1}=1,\,a_{2}=1,\,a_{3}=2,\,a_{4}=3,\,a_{5}=5,\,...$$이므로 \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\)이고, 이때 적당한 자연수 \(k>4\)에 대해 \(c_{k}=0\)이므로 \(\displaystyle c=-\frac{a_{k-1}}{a_{k-2}}\)이다. \(a_{k}=a_{k-1}+a_{k-2}\)이므로$$c=-\frac{a_{k-2}-a_{k}}{a_{k-2}}=-1+\frac{a_{k}}{a_{k-2}}$$이고 \(a_{n}\)은 증가하는 정수 수열이므로 \(a_{k}>a_{k-2}\)이고 \(\displaystyle0<\frac{a_{k}}{a_{k-2}}<1\)이다. 따라서 \(c\)는 정수가 아니다.