위상공간
한 집합 \(X(\neq\emptyset)\)의 한 부분집합족 \(\mathcal{T}\subset2^{X}\)가 다음의 조건을 만족하면 \(\mathcal{T}\)를 \(X\)상의 한 위상(topology)이라고 한다.
(1) \(X,\,\emptyset\in\mathcal{T}\)
(2) \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\subset\mathcal{T}\)이면, \(\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}{U_{\alpha}}\in\mathcal{T}\)이다.
(3) \(U_{1},\,U_{2},...,U_{n}\in\mathcal{T}\)이면,\(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{U_{i}}\in\mathcal{T}\)이다.
순서쌍 \((X,\,\mathcal{T})\)를 위상공간(topological space)이라 하고 \(\mathcal{T}\)가 알려진 경우, 간단하게 \(X\)만으로 나타낸다.
위상공간의 예:
(1) 집합 \(X(\neq\emptyset)\)에 대하여 \(\mathcal{I}=\{X,\,\emptyset\},\,\mathcal{D}=2^{X}\)는 \(X\)상의 위상이고 이 위상들을 각각 밀착위상(비이산위상, indiscrete topology), 이산위상(discrete topology)이라고 하고 \((X,\,\mathcal{I}),\,(X,\,\mathcal{D})\)를 각각 밀착위상공간(indiscrete topological space), 이산위상공간(discrete topological space)이라고 한다.
(2) \(X\)가 무한집합일 때, \(\mathcal{C}=\{U\,|\,U=\emptyset\,또는\,U^{c}는\,유한집합\}\)는 \(X\)상의 위상이고 이 위상 \(\mathcal{C}\)를 여유한위상(cofinite topology)이라고 한다.
(3) \((X,\,\mathcal{T})\)가 위상공간이고 \(Y\subset X\)일 때, \(\mathcal{T}_{Y}=\{U\cap Y\,|\,U\in\mathcal{T}\}\)는 \(Y\)상의 위상이고 이 위상 \(\mathcal{T}_{Y}\)를 \(Y\)상의 \(\mathcal{T}\)의 상대위상(relative topology)이라고 한다.
(4) \(\mathcal{U}=\{G\subset\mathbb{R}\,|\,모든\,x\in G\,에\,대하여,\,\epsilon>0이\,존재해서\,(x-\epsilon,\,x+\epsilon)\subset G\}\)는 실수 \(\mathbb{R}\)상의 위상이고 이 위상 \(\mathcal{U}\)를 보통위상(usual topology)이라고 한다.
위상 \(\mathcal{T}\)를 정의할 때 쓰는 조건은 실수 상의 보통위상 \(\mathcal{U}\)의 기본성질을 추상화하여 공리로 만든 것이다. \(\mathcal{T}\)의 원소들을 열린집합(open set)이라 하고 열린집합의 여집합을 닫힌집합(closet set)이라고 한다. 드 모르간 법칙으로부터 다음이 성립한다: \(\mathcal{T}'=\{F\,|\,F^{c}\in\mathcal{T}\}\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.
(1) \(\emptyset,\,X\in\mathcal{T}'\)
(2) \(\{F_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\subset\mathcal{T}'\)이면, \(\displaystyle\bigcap_{\alpha\in A}{F_{\alpha}}\in\mathcal{T}'\)
(3) \(F_{1},\,F_{2},\,...,\,F_{n}\in\mathcal{T}'\)이면, \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{F_{i}}\in\mathcal{T}'\)이다.
\(X,\,\mathcal{T}\)를 위상공간, \(A\subset X\)라 하자. \(A\)의 내부(interior) \(A^{o}\), 폐포(closure) \(\overline{A}\), 경계(boundary) \(\partial A\)를 다음과 같이 정의한다.$$A^{\circ}=\bigcup_{G\in\mathcal{T}}{\{G\,|\,G\subset A\}},\,\overline{A}=\bigcap_{F^{c}\in \mathcal{T}}{\{F\,|\,A\subset F\}},\,\partial A=\overline{A}-A^{\circ}$$
\(A\)의 내부 \(A^{\circ}\)는 \(A\)에 포함되는 최대의 열린집합이고 \(A\)의 폐포 \(\overline{A}\)는 \(A\)를 포함하는 최소의 닫힌집합이다. 즉 \(A^{\circ}\subset A\subset\overline{A}\). \(x\in A^{\circ}\)인 \(x\)를 \(A\)의 내점(interior point)이라 한다.
1.1 \(A,\,B\in X\)라 하자. (1) \(\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cup B}\) (2) \(A^{\circ}\cap B^{\circ}=(A\cap B)^{\circ}\) 증명 (1): 폐포의 정의에의해 \(A\subset\overline{A},\,B\subset\overline{B}\)이므로 \(A\cup B\subset\overline{A}\cup\overline{B}\)이고 다시 폐포의 정의에 의해 \(\overline{A\cup B}\subset\overline{A}\cup\overline{B}\)이다. \(\overline{A}\subset\overline{A\cup B},\,\overline{B}\subset\overline{A\cup B}\)이므로 \(\overline{A}\cup\overline{B}\subset\overline{A\cup B}\)이다. 따라서 \(\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cup B}\)이다. (2): 내부의 정의에 의해 \((A\cap B)^{\circ}\subset A^{\circ},\,(A\cap B)^{\circ}\subset B^{\circ}\)이므로 \((A\cap B)^{\circ}\subset A^{\circ}\cap B^{\circ}\)이다. 또한 \(A^{\circ}\subset A,\,B^{\circ}\subset B\)이므로 \(A^{\circ}\cap B^{\circ}\subset A\cap B\)이고 다시 내부의 정의에 의해 \(A^{\circ}\cap B^{\circ}\subset(A\cap B)^{\circ}\)이다. 따라서 \(A^{\circ}\cap B^{\circ}=(A\cap B)^{\circ}\)이다. (QED) |
\((X,\,\mathcal{T})\)를 위상공간, \(A\subset X\)라 하자. 그러면 한 점 \(x\in X\)에 대하여 열린집합 \(G\)가 존재해서 \(x\in G\subset A\)이면, \(A\)를 \(x\)의 근방(neighborhood)이라고 한다. \(A\)가 \(x\)의 근방이고 열린집합이면 \(A\)를 \(x\)의 열린근방(open neighborhood)이라고 한다. \(x\in X\)의 모든 근방 \(U\)에 대하여 \(A\cap(U-\{x\})\neq\emptyset\)이면, \(x\)는 \(A\)의 집적점(accumulation point)이라 하고 \(A\)의 집적점 전체의 집합을 도집합(derived set)이라 하고 \(A'\)로 나타낸다. \(x\in A^{\circ}\)일 때, \(x\in A^{\circ}\)일 필요충분조건은 열린집합 \(G\)가 존재해서 \(x\in G\subset A\)이고 또 이는 \(x\)가 \(A\)의 근방이라는 것과 같다.
\(X=\{a,\,b,\,c,\,d\},\,\mathcal{T}=\{\emptyset,\,X,\,\{a,\,b\},\,\{b,\,c\},\,\{a,\,b,\,c\},\,\{b\}\}\)일 때,$$c\in\{b,\,c\}\subset\{b,\,c,\,d\},\,\{b,\,c\}\in\mathcal{T}$$이므로 \(\{b,\,c,\,d\}\)는 \(c\)의 근방이나 개근방은 아니고 \(\{b,\,c\}\)는 \(c\)의 개근방이다. 또한 \(A=\{a,\,b,\,c\}\)일 때, \(a,\,b,\,c\)의 근방을 \(U_{a},\,U_{b},\,U_{c}\)로 나타내면 \(A\cap(U_{a}-\{a\})\neq\emptyset\), \(A\cap(U_{b}-\{b\})\neq\emptyset\), \(A\cap(U_{d}-\{d\})\neq\emptyset\)이므로 \(A'=\{a,\,c,\,d\}\)이다.
이산위상공간 \(X,\,\mathcal{D}\)에서 모든 \(A\subset X\)에 대해 \(A'=\emptyset\)이고 밀착위상공간\((X,\,\mathcal{I})\)에서 모든 \(A\subset X\)에 대해 \(A'=X\)이다. 이산위상공간에서 \(x\in X\)일 때 \(\{x\}\in\mathcal{D}\)이고 밀착위상공간에서는 \(\mathcal{I}=\{\emptyset,\,X\}\)이기 때문이다.
\(A\subset X\)에 대하여 \(\overline{A}=X\)이면 \(A\)는 \(X\)에서 조밀(dense)하다고 하고 \((\overline{A})^{\circ}=\emptyset\)이면 \(A\)는 희박하다(nowhere dense)고 한다.
1.2 (1) \(x\in\overline{A}\)일 필요충분조건은 \(x\)의 모든 근방 \(U\)에 대하여 \(U\cap A\neq\emptyset\)이다. (2) \(A,\,B\subset X\)에 대하여 \(A'\cup B'=(A\cup B)'\)이고 \(\overline{A}=A\cup A'\) (3) \(G\)가 열린집합이고 \(D\)가 조밀하면 \(\overline{G}=\overline{G\cap D}\)이다. 증명 (1): (\(\Rightarrow\)): \(x\notin A\)라 하자. 그러면 \(x\in(\overline{A})^{c}\)이고 \((\overline{A})^{c}\)는 \(x\)의 한 개근방이다. 따라서 \((\overline{A})^{c}\cap A\subset(\overline{A})^{c}\cap\overline{A}=\emptyset\)이다. (\(\Leftarrow\)): \(x\)의 한 근방 \(U\)에 대하여 \(U\cap A=\emptyset\)이라 하자. 그러면 열린집합 \(G\)가 존재해서 \(A\subset U^{c}\subset G^{c}\)이다. \(G^{c}\)는 닫힌집합이므로 폐포의 정의에 의해 \(A\subset\overline{A}\subset G^{c}\)이고 따라서 \(x\notin\overline{A}\)이다. (2): \(A\subset A\cup B,\,B\subset A\cup B\)이므로 \(A'\subset(A\cup B)',\,B'\subset(A\cup B)'\)이고 따라서 \(A'\cup B'\subset(A\cup B)'\)이다. 이제 \((A\cup B)'\subset A'\cup B'\)가 성립함을 보이자. 이 명제의 대우는 \((A'\cup B')^{c}=(A')^{c}\cap(B')^{c}\subset((A\cup B)')^{c}\)이므로 \(x\notin A'\cup B'\)이라 하자. 그러면 \(x\notin A',\,x\notin B\)이고 집적점의 정의에 의해 \(x\)의 근방 \(U\)가 존재해서$$A\cap(U-\{x\})=\emptyset,\,B\cap(U-\{x\})=\emptyset$$이고 \((A\cup B)\cap(U-\{x\})=\emptyset\)이므로 \(x\notin(A\cup B)'\)이다. 그러므로 \((A\cup B)'\subset A'\cup B'\)이고 따라서 \(A'\cup B'=(A\cup B)'\)이다. 이제 \(\overline{A}=A\cup A'\)를 증명하자. \(x\notin\overline{A}\)이면, \(A^{c}\)는 \(x\)의 한 근방이고 따라서 \(x\notin A\cup A'\)이고 \(A\cup A'\subset\overline{A}\)이다. \(x\notin A\cup A'\)이면 열린집합 \(U\)가 존재해서 \(x\in U\)이고 \(A\cap U=\emptyset\)이다. 그러면 \(\overline{A}\subset U^{c}\)이고 \(x\notin\overline{A}\)이므로 따라서 \(\overline{A}\subset A\cup A'\)이다. 그러므로 \(\overline{A}=A\cup A'\)이다. (3): \(G\cap D\subset G\)이므로 \(\overline{G\cap D}\subset\overline{G}\)이다. \(x\in\overline{G}\)라 하자. 그러면 \(x\)의 모든 근방 \(U_{x}\)에 대하여 \(G\cap U_{x}\neq\emptyset\)이다. \(D\)는 \(X\)의 조밀한 부분집합이고 \(G\cap U_{x}\)는 공집합이 아닌 열린집합이므로$$\emptyset\neq(U_{x}\cap G)\cap D=U_{x}\cap(G\cap D)$$이고 (1)에 의해 \(x\in\overline{G\cap D}\)이고 \(\overline{G}\subset\overline{G\cap D}\)이다. 그러므로 \(\overline{G}=\overline{G\cap D}\). (QED) |
참고자료:
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications 2nd edition, Folland, Wiley
Topology, Munkres, Pearson
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
